专题01 圆的有关概念、过三点的圆10大题型（专项训练）数学新教材北京版九年级上册

专题01 圆的有关概念、过三点的圆10大题型 常考题型·精准突破 考点一 圆的有关概念、过三点的圆 题型01 圆的基本概念辨析 题型02 圆的周长和面积问题 题型03 点与圆的位置关系 题型04 利用点与圆的位置关系求半径 题型05 点与圆上一点的最值问题 题型06 求圆弧度数 题型07 确定圆的条件 题型08 三角形外心坐标 题型09 求特殊三角形外接圆的半径 题型10 判断三角形外接圆的圆心位置 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 圆的有关概念、过三点的圆 ◆题型01 圆的基本概念辨析 1．（26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）给出下列说法： ①相等的两个圆心角所对的弦相等； ②同弧或等弧所对的圆周角相等； ③三点确定一个圆；         ④平分弦的直径垂直于弦； ⑤圆周角的度数等于它所对弧的度数． 其中正确的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴；④相等的圆心角所对的弧相等；正确的有（     ） A．①④ B．① C．②③ D．①③ 3．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列命题中，正确的是（   ） ①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③平面上三个点确定一个圆；④在同圆或等圆中，直径是最长的弦；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②④⑤ ◆题型02 圆的周长和面积问题 4．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，正方形是由四个边长为2的小正方形拼成的，连接和，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于正方形的中心处，图中阴影部分的面积是（     ） A．4 B．6 C． D． 5．（2026·江苏盐城·三模）在一张长为，宽为的矩形纸片上，按两种方式剪出最大圆： 方式：剪个大圆； 方式：剪个等圆． 设按两种方式剪出圆后剩余面积分别为、，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，是某圆形扫地机器人的平面示意图，点是其圆心，毛刷绕点转动，面积比面积大平方厘米，若点在外经过的路径为半圆，则为（    ）厘米    A． B． C． D． ◆题型03 点与圆的位置关系 7．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 8．（26-27九年级上·辽宁·期中）在中，，以为圆心为半径画，使与线段有且只有两个公共点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，，，以点C为圆心，以的长为半径作圆，则点A与的位置关系是（    ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．以上都有可能 ◆题型04 利用点与圆的位置关系求半径 10．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（   ） A．6 B．2 C．2或3 D．4或6 11．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，是高线，以点为圆心作，使B，D，C三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则的半径的取值范围是_______． 12．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，以点P为圆心，长为半径作圆，若使点C在内且点B在外，则的半径可以是（   ） A． B．2 C． D． ◆题型05 点与圆上一点的最值问题 13．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知与相切于点，是的直径，且，延长交于点，若，，则点与上的点的最大距离为____． 14．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，弦．点在上移动，连接，过点作，交于点，则长的最大值为（     ） A． B． C． D． 15．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，平面直角坐标系中有一个圆，圆心为，半径为3，其中点A坐标为，点M是上的一个动点，连接，取中点N，连接，则的最大值（     ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 ◆题型06 求圆弧度数 16．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，A，B，C三点在上，若，则的度数是__________． 17．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）已知的半径是1，、分别是的弦，且，，则______． 18．（26-27九年级上·甘肃·期中）如图，以的直角顶点为圆心，以的长为半径的圆分别交 于点，交于点，连接．若，求的度数． ◆题型07 确定圆的条件 19．（26-27九年级上·全国·期中）如图，在中，． (1)用尺规作的外接圆（保留作图痕迹，标出圆心O） (2)求的外接圆的半径． 20．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图方格纸中，每个方格的边长是1，、两点皆在格点上，在方格纸上再找两个格点、，使得的外心为，则长度为（     ） A．4 B． C． D．5 21．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图所示，在的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的外心 C．的外心 D．的外心 ◆题型08 三角形外心坐标 22．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，图中外接圆的圆心坐标是（     ） A． B． C． D． 23．（26-27九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，和． (1)利用尺规作出外接圆的圆心． (2)写出圆心M的坐标，并求出的半径． 24．（2022·宁夏银川·二模）如图，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，画出三角形，使它与的相似比为； (2)直接写出的外心坐标． ◆题型09 求特殊三角形外接圆的半径 25．（26-27九年级上·河南开封·期中）在中，，，，则此三角形的外接圆的半径长为____________． 26．（25-26九年级下·陕西西安·阶段检测）如图，内接于，点在劣弧上，，，则半径的长为__________． 27．（2026·河北邯郸·一模）如图所示，在中，已知，，，则其内心O和外心M之间的距离是（   ） A． B． C． D． ◆题型10 判断三角形外接圆的圆心位置 28．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)请利用无刻度的直尺找出外接圆圆心P的位置； (2)在（1）的条件下求中所对圆心角的度数． 29．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，中， (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的外接圆的半径． 30．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C．以点O为原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系． (1)直接写出点B、C的坐标：B______、C______； (2)在图中标出该圆弧所在圆的圆心D的位置，并写出D的坐标D______． (3)过点B作的切线． (4)直接写出弧的长度______． 综合攻坚·知能拔高 1．（26-27九年级上·北京·课前预习）在中，最长的弦是，则的半径为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·北京·课堂例题）下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 4．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，为的直径，点C，D是上的两点，连接，，，若，，则长是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·宁夏银川·二模）如图，点P，Q分别在直线和上，且，与的平分线交于点R．如果以为直径作，那么点R与O的位置关系是（     ） A．点R在外 B．点R在内 C．点R在上 D．无法确定 6．（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，弧所在圆的圆心坐标为______________． 7．（26-27九年级上·北京·课前预习）在中，若两条直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径为________． 8．（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，以的直角顶点为圆心，以的长为半径的圆分别交于点，交于点，连接．若，则的度数是__________． 9．（2026·河北石家庄·二模）如图，O是的外心，则________． 10．（25-26八年级下·北京·期末）如图，在边长为2的正方形中，E是的中点，点F在正方形内，且，且，则线段的长的最小值是________． 11．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，是绕点顺时针旋转后得到的图形． (1)在所给的平面直角坐标系中画出，并写出，的坐标：______，______； (2)在旋转过程中线段扫过的面积为______． (3)的外接圆圆心坐标为______． 12．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，点，，均在正方形网格图的格点上，将线段绕点逆时针旋转后得到线段（点为点的对应点）． (1)画出线段； (2)以为直径作．（保留作图痕迹，不写作法） 13．（24-25九年级上·北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点． (1)画出绕点逆时针旋转后的图形，写出点的坐标，点所经过的路径长为___________； (2)将（1）中所得先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得，画出； (3)若可以看作绕某点旋转得来，直接写出旋转中心的坐标． 14．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，在中，，是的平分线． (1)尺规作图：作，圆心在线段上，且经过两点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求的半径． 15．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，在平面直角坐标系中，、、． (1)在图中画出经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的位置，并写出圆心的坐标 ； (2)的半径为 ； (3)中弧的长度为 ；（结果保留π） (4)点到上最近的点的距离为 ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 圆的有关概念、过三点的圆10大题型 常考题型·精准突破 考点一 圆的有关概念、过三点的圆 题型01 圆的基本概念辨析 题型02 圆的周长和面积问题 题型03 点与圆的位置关系 题型04 利用点与圆的位置关系求半径 题型05 点与圆上一点的最值问题 题型06 求圆弧度数 题型07 确定圆的条件 题型08 三角形外心坐标 题型09 求特殊三角形外接圆的半径 题型10 判断三角形外接圆的圆心位置 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 圆的有关概念、过三点的圆 ◆题型01 圆的基本概念辨析 1．（26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）给出下列说法： ①相等的两个圆心角所对的弦相等； ②同弧或等弧所对的圆周角相等； ③三点确定一个圆；         ④平分弦的直径垂直于弦； ⑤圆周角的度数等于它所对弧的度数． 其中正确的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据圆的基本性质和相关概念逐项分析即可得出结果． 【详解】解：①在同圆或等圆中，相等的两个圆心角所对的弦相等，故①说法错误； ②同弧或等弧所对的圆周角相等，故②说法正确； ③不在同一条直线上的三点才能确定一个圆，故③说法错误； ④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故④说法错误； ⑤圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，故⑤说法错误； 综上所述，正确的有个． 2．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴；④相等的圆心角所对的弧相等；正确的有（     ） A．①④ B．① C．②③ D．①③ 【答案】B 【分析】需关注各圆相关结论的适用前提，结合定义判断说法的正确性． 【详解】解：①直径是经过圆心的弦，故①正确； ②平分弦的直径垂直于弦的前提是被平分的弦不是直径，该说法缺少此前提，故②错误； ③圆的对称轴是直径所在的直线，直径是线段，不是对称轴，故③错误； ④相等的圆心角所对的弧相等的前提是在同圆或等圆中，该说法缺少此前提，故④错误； 综上，正确的说法是①． 3．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列命题中，正确的是（   ） ①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③平面上三个点确定一个圆；④在同圆或等圆中，直径是最长的弦；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理，根据半圆和弧的定义对①进行判断，根据弦的定义对②进行判断；根据三点确定一个圆的条件对③进行判断；根据直径的定义对④进行判断；根据圆的定义对⑤进行判断．解题的关键是掌握：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 【详解】解：半圆是弧，故命题①正确； 弦是连接圆上任意两点之间的线段，故命题②错误； 不在同一直线上的三个点确定一个圆，故命题③错误； 直径是圆中最长的弦，故命题④正确； 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，故命题⑤正确； ∴正确的是①④⑤． 故选：C． ◆题型02 圆的周长和面积问题 4．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，正方形是由四个边长为2的小正方形拼成的，连接和，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于正方形的中心处，图中阴影部分的面积是（     ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】先根据角角边分别证明和，从而证明和，通过等量转化即可推出阴影部分的面积就是半圆的面积，利用圆的面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：设与的交点为，设与的交点为，如图所示， 由题意可知，， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 根据和， 观察图可知，图中阴影部分的面积为即是以为半径的半圆的面积． ， 半圆的面积为， 阴影部分的面积为． 5．（2026·江苏盐城·三模）在一张长为，宽为的矩形纸片上，按两种方式剪出最大圆： 方式：剪个大圆； 方式：剪个等圆． 设按两种方式剪出圆后剩余面积分别为、，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算矩形面积，再分别求出两种剪法下剪出圆的总面积，进而得到剩余面积和，计算的取值范围即可． 【详解】矩形面积为； 方式：剪出个最大圆，圆的最大直径等于矩形的宽，可得半径，圆的面积为， ； 方式：剪出个等大的最大圆，两圆并排沿长摆放，可得单个圆最大直径为，半径，两个圆的总面积为， ； ， ， ， ，即， ，即， ， ， ，即， A选项符合题意． 6．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，是某圆形扫地机器人的平面示意图，点是其圆心，毛刷绕点转动，面积比面积大平方厘米，若点在外经过的路径为半圆，则为（    ）厘米    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的面积，勾股定理，解题的关键是确定点的轨迹．设的半径为，的半径为，根据面积比面积大平方厘米，列式可得，再根据点在外经过的路径为半圆，可得，进而可求得的长． 【详解】解：设的半径为，的半径为， 根据题意得，即， ， 点在外经过的路径为半圆， 点的轨迹为以点为圆心，半径为的半圆，，， ∴， 如图所示，    ，即， ，解得（负值已舍去）， 故选：A． ◆题型03 点与圆的位置关系 7．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系，比较点A到两个圆心的距离和对应圆的半径，即可判断点A的位置，点与圆的位置关系为：设圆半径为，点到圆心的距离为，则时点在圆外，时点在圆内． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆外部， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆内部． 8．（26-27九年级上·辽宁·期中）在中，，以为圆心为半径画，使与线段有且只有两个公共点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由勾股定理得，过点作于点，利用三角形的面积可得，再结合图形解答即可求解． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ， 如图，过点作于点， ∵， ∴， 解得， 当时，与线段相切，只有一个交点，如图； 当时，与线段有两个交点； 当时，与线段只有一个交点； 当时，与线段没有交点； ∴当与线段有且只有两个公共点时，的取值范围是． 9．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，，，以点C为圆心，以的长为半径作圆，则点A与的位置关系是（    ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的关系，30度角的直角三角形的性质． 根据30度角的直角三角形的性质，得，再与半径比较即可作答． 【详解】解：在中，，，， 设，则， 又，即， 解得， ， 即点A在外． 故选：A． ◆题型04 利用点与圆的位置关系求半径 10．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（   ） A．6 B．2 C．2或3 D．4或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径最小距离最大距离；②当点在圆外时，直径最大距离最小距离． 【详解】解：分为两种情况： ①当点在圆内时，如图1， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， 即半径为3； ②当点在圆外时，如图2， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， 即半径为2． 故选：C． 11．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，是高线，以点为圆心作，使B，D，C三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则的半径的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出长，再利用等面积法求出高；算出B、D、C三点到圆心的距离，根据“至少一点在圆内，至少一点在圆外”列条件求半径取值范围． 【详解】解：，，， ， ， ． 可得三点到点距离：，，． 要使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外： 当，三点都不在圆内，不符合题意； 当，三点都不在圆外，不符合题意； 当时，，点在内；，点在外，满足条件． 的半径的取值范围为． 12．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，以点P为圆心，长为半径作圆，若使点C在内且点B在外，则的半径可以是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理；分别求得的最小值，进而确定的半径范围，即可求解． 【详解】解：设的半径为，即，则， ∵点C在内 ∴，即，解得：， 连接， 在中， 当时， 解得： ∵点P是边上的一个动点，，点B在外 ∴ ∴，结合选项可得的半径可以是 故选：C． ◆题型05 点与圆上一点的最值问题 13．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知与相切于点，是的直径，且，延长交于点，若，，则点与上的点的最大距离为____． 【答案】/ 【分析】连接AE，连接并延长交于点，先利用切线性质得到，结合推出垂直平分，得到，再由判定为等边三角形，求出相关线段长度，接着在中借助勾股定理算出，最后加上半径得到最大值． 【详解】解：连接， ∵与相切于点， ∴， ∵，， ∴，， ∴是线段的垂直平分线， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 连接并延长交于点，此时为所求最大距离， ∴， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题是圆的综合填空题，综合考查切线的性质、线段垂直平分线的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及圆外一点到圆上点的最值模型，解题关键是掌握圆外一点到圆上点的最大距离为该点到圆心的距离加上半径． 14．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，弦．点在上移动，连接，过点作，交于点，则长的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由勾股定理得，为定值，最小时最大，根据垂线段最短，当时最小，最后求出最大值． 【详解】解：如图，连接， ， ， 为定值，则当取得最小值时，取得最大值， 当时，取得最小值， 此时点与点重合， ， ． 15．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，平面直角坐标系中有一个圆，圆心为，半径为3，其中点A坐标为，点M是上的一个动点，连接，取中点N，连接，则的最大值（     ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】C 【分析】取点，连接，，，根据三角形中位线定理得到，当，，三点共线时最大，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：取点，连接，，， ，， 是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， ∵ ∴ 当点在的延长线上时，取得最大值， 在中，， ， 的半径为， 的最大值为， 的最大值为． ◆题型06 求圆弧度数 16．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，A，B，C三点在上，若，则的度数是__________． 【答案】 【分析】连接，由圆的半径相等得，由平行线性质得，由等腰三角形性质即得 ． 【详解】解：如图，连接， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 17．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）已知的半径是1，、分别是的弦，且，，则______． 【答案】或 【分析】弦、可在半径的同侧或异侧，需分两种情况讨论，连接，证明是等边三角形，求出，证明是直角三角形，得到，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：如图所示，当点B和点C在半径的同侧时，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； 如图所示，当点B和点C在半径的异侧时，连接， 同理可得，， ∴； 综上所述，的度数为或． 18．（26-27九年级上·甘肃·期中）如图，以的直角顶点为圆心，以的长为半径的圆分别交 于点，交于点，连接．若，求的度数． 【答案】 【分析】由直角三角形两锐角互余求出，再由圆的基本性质得，最后根据等边对等角及三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵是直角三角形，， ∴ ， ∵， ∴是等腰三角形， ， ∴ ． ◆题型07 确定圆的条件 19．（26-27九年级上·全国·期中）如图，在中，． (1)用尺规作的外接圆（保留作图痕迹，标出圆心O） (2)求的外接圆的半径． 【答案】(1)如图所示 (2)5 【分析】（1）分别以点B，C为圆心，以为半径画弧，两弧交于点D，E，作直线，再以点A，C为圆心，以为半径画弧，两弧交于点G，H，作直线，两直线交于点O，以点O为圆心，以为半径画弧，则即为所求作； （2）根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：根据勾股定理，得， ∴， 所以的外接圆的半径是5． 20．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图方格纸中，每个方格的边长是1，、两点皆在格点上，在方格纸上再找两个格点、，使得的外心为，则长度为（     ） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据三角形的外心到三角形各顶点的距离相等以及勾股定理确定点、的位置，然后利用勾股定理求出线段长度． 【详解】解：点、的位置如图所示， ∵的外心为， ∴， ∵， ∴， ∵点、在格点上， ∴点、的位置即可确定， ∴． 21．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图所示，在的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的外心 C．的外心 D．的外心 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出，可得答案． 【详解】解：由勾股定理可知：， ， 所以点是△的外心． ◆题型08 三角形外心坐标 22．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，图中外接圆的圆心坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，先根据、坐标确定边的垂直平分线，再利用圆心到顶点距离相等列方程求解． 【详解】解：由图可知，， ， 线段的中点坐标为，且垂直于轴 线段的垂直平分线为直线 外接圆圆心的纵坐标为， 设圆心坐标为 圆心到点、的距离相等 整理得 解得 外接圆的圆心坐标是． 23．（26-27九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，和． (1)利用尺规作出外接圆的圆心． (2)写出圆心M的坐标，并求出的半径． 【答案】(1) (2)圆心的坐标为，的半径为 【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线，其交点即为圆心； （2）根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，作线段的垂直平分线，其交点即为圆心， ∴圆心的坐标为， 连接， ∵， ∴， ∴， 即的半径为． 24．（2022·宁夏银川·二模）如图，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，画出三角形，使它与的相似比为； (2)直接写出的外心坐标． 【答案】(1)如图，即为所求； (2) 【分析】（1）把A、B、C点的横、纵坐标都乘以得到、、的坐标，然后描点顺次连接即可； （2）作和的垂直平分线得到的外心，再写出它的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：如图，的外心为点P，坐标为． ◆题型09 求特殊三角形外接圆的半径 25．（26-27九年级上·河南开封·期中）在中，，，，则此三角形的外接圆的半径长为____________． 【答案】 【分析】先通过三边的平方关系判定三角形为直角三角形，再结合直角三角形外接圆的直径等于斜边长的性质计算半径． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ． ∴ 由勾股定理的逆定理可得，是直角三角形，且． ∵ 圆周角为直角时，其所对的弦为圆的直径， ∴ 直角三角形的外接圆直径与斜边长度相等． ∴ 外接圆半径为． 26．（25-26九年级下·陕西西安·阶段检测）如图，内接于，点在劣弧上，，，则半径的长为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，连接，，，根据圆周角定理求出和的度数，进而求出的度数，判定为等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出半径的长． 【详解】解：连接，，， ， °， °， °， 点D在劣弧上， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设的半径是R，则， 解得：（负值舍去）． 故答案为：． 27．（2026·河北邯郸·一模）如图所示，在中，已知，，，则其内心O和外心M之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆与各边的切点分别为E，F，N，连接，根据切线的性质，证明四边形是正方形，设，，得，根据解方程组，勾股定理求解即可． 【详解】解：设圆与各边的切点分别为E，F，N， 连接， 根据切线的性质，得， 故四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 根据切线长定理，得， 设，， ，，， ， 故， 解得， 点M是圆的外心， 故点M是斜边的中点， 故， 连接， 根据勾股定理，得， 故选：C． ◆题型10 判断三角形外接圆的圆心位置 28．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)请利用无刻度的直尺找出外接圆圆心P的位置； (2)在（1）的条件下求中所对圆心角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点； （2）利用（1）和已知条件可知网格中每个小格都是边长为1的正方形，用勾股定理的逆运用即可知道． 【详解】（1）解：作线段和线段的垂直平分线，交点即为圆心P，图略； （2）解：由点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为可知：网格中每个小格都是边长为1的正方形， 连接、，如下图所示： 根据图中可知：点P的坐标为， 利用网格，可知：，，， ， 是直角三角形，且， 在（1）的条件下中所对圆心角的度数为． 29．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，中， (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的外接圆的半径． 【答案】(1) 即为所求． (2) 【分析】本题考查作图，复杂作图、等腰三角形的性质、三角形的外接圆与外心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得的外接圆． （2）连接并延长，交于点D，连接，可得，即可得，，在中，根据勾股定理得，，设的外接圆的半径为x，则，，在中，根据勾股定理得，，代入求出x的值即可． 【详解】（1）解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆； （2）解：连接并延长，交于点D，连接， 得， ， 在中，根据勾股定理得，， 设的外接圆的半径为x， 则，， 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得 的外接圆的半径为． 30．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C．以点O为原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系． (1)直接写出点B、C的坐标：B______、C______； (2)在图中标出该圆弧所在圆的圆心D的位置，并写出D的坐标D______． (3)过点B作的切线． (4)直接写出弧的长度______． 【答案】(1)； (2) 如图所示，点D即为所求，则； (3) 如图所示，直线即为所求； (4) 【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，再根据点的位置可得对应点的坐标； （2）圆心D既在线段的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，据此结合网格的特点可确定点D的位置和坐标； （3）如图所示，取格点E，作直线，此时，利用勾股定理逆定理可证明，则为圆D的切线； （4）利用网格，用勾股定理和勾股定理的逆定理可证明，再利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：建立坐标系如下，则点B的坐标为，点C的坐标为； （2）略 （3）略 （4）解：如图所示，连接， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴弧的长． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，确定圆心的位置，切线的判定，求弧长，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟知圆的相关知识是解题的关键． 综合攻坚·知能拔高 1．（26-27九年级上·北京·课前预习）在中，最长的弦是，则的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆中最长的弦是直径解答即可． 【详解】解：∵在中，最长的弦是， ∴的直径为， ∴的半径为． 2．（26-27九年级上·北京·课堂例题）下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的基本概念：直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径；半径相等的半圆属于等弧；只长度相等，半径不同的不是等弧；只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧，逐一分析各项即可． 【详解】解：∵弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦， ∴弦不一定是直径，故①错误； ∵半径相等的两个半圆能够完全重合，是等弧， ∴②正确； ∵长度相等，半径相同的是等弧， ∴只有长度相等的两条弧不一定是等弧，故③错误； ∵只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧， ∴不在同圆或等圆中，优弧不一定大于劣弧，故④错误． 综上所述，正确的说法有个． 3．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 【答案】B 【分析】根据点P在内或外分类讨论，由最长最短距离与圆直径的关系计算半径即可． 【详解】当点P在外时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴ 的直径为 ，半径为 ． 当点P在内时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴的直径为 ，半径为 ． 因此的半径为或． 4．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，为的直径，点C，D是上的两点，连接，，，若，，则长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，由圆内接四边形的性质得出，由直径所对的圆周角等于90度得出，由三角形内角和定理得出，由圆周角定理得出，最后由弧长公式计算即可． 【详解】解：连接，， ∵四边形内接于，， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（2026·宁夏银川·二模）如图，点P，Q分别在直线和上，且，与的平分线交于点R．如果以为直径作，那么点R与O的位置关系是（     ） A．点R在外 B．点R在内 C．点R在上 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得出同旁内角互补，结合角平分线的定义求出，再根据直径所对的圆周角是直角即可判定点R在上 【详解】解：∵， ∴， ∵与的平分线交于点R， ∴，， ∴， ∴， ∴以为直径作时，的半径， ∴点R在上． 6．（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，弧所在圆的圆心坐标为______________． 【答案】 【分析】圆心位于弦的垂直平分线上，作线段的垂直平分线，设出圆心坐标，然后根据圆心到圆上任意一点的距离相等，列出方程，求解方程即可． 【详解】解：由题意知，点，，． 观察点A和点B，它们的纵坐标相同，说明线段平行于x轴，线段的中点为，则其垂直平分线是直线； 设圆心为，由得： 解得 所以，圆心P的坐标为． 7．（26-27九年级上·北京·课前预习）在中，若两条直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径为________． 【答案】5 【分析】已知直角三角形两条直角边长，直角三角形外接圆的直径等于斜边长，先由勾股定理求出斜边长，再计算半径即可． 【详解】解：设两条直角边分别为，，斜边为． 由勾股定理得：． ∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴外接圆直径为， ∴外接圆半径为． 8．（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，以的直角顶点为圆心，以的长为半径的圆分别交于点，交于点，连接．若，则的度数是__________． 【答案】 /56度 【分析】根据三角形内角和定理可以求出，根据圆的性质和等边对等角可知，根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 、是的半径， ， ， ． 9．（2026·河北石家庄·二模）如图，O是的外心，则________． 【答案】/90度 【分析】根据圆的外心定义和等腰三角形的性质得到，，，再根据三角形的内角和定理和周角定义求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，则． 10．（25-26八年级下·北京·期末）如图，在边长为2的正方形中，E是的中点，点F在正方形内，且，且，则线段的长的最小值是________． 【答案】 【分析】将正方形绕点顺时针旋转得到正方形，作的中点，连接，利用旋转的性质进一步证明，得到，确定点是在以点为圆心，为半径的圆上运动，利用圆外一点到圆上的最短距离求解． 【详解】解：如图所示，将正方形绕点顺时针旋转得到正方形， 取的中点，连接， ， ∵四边形是边长为2的正方形， ∴， ∵， ∴点共线， ∵, ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即，     ∵E是的中点，为的中点，， ∴，， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵点为定点，为定长， ∴点是在以点为圆心，半径为半径的圆上运动， ∴， ∴的最小值为． 11．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，是绕点顺时针旋转后得到的图形． (1)在所给的平面直角坐标系中画出，并写出，的坐标：______，______； (2)在旋转过程中线段扫过的面积为______． (3)的外接圆圆心坐标为______． 【答案】(1)如图，即为所求， ， (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的性质作图，再写出对应点坐标即可； （2）线段绕定点旋转，扫过的图形是圆心角等于旋转角的扇形，先用勾股定理求出旋转半径的长度，再代入扇形面积公式求解； （3）由旋转可知，为直角三角形，根据直角三角形外接圆圆心在斜边中点这一性质，设中点为点，过作轴的垂线，垂足为点，过作轴的垂线，垂足为点，构造，利用相似三角形的性质，求出到轴的距离和到轴的距离即可求得点的坐标． 【详解】（1）略． （2）如图，线段扫过的区域是一个圆心角为的扇形， ， ； （3）解：由旋转得：，直角三角形外接圆圆心是斜边中点， 如图，设中点为点，过作轴的垂线，垂足为点，过作轴的垂线，垂足为点， ， ， 轴，轴， ， ， ， ， ， 的纵坐标为，横坐标为， 的坐标为，即的外接圆圆心坐标为． 12．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，点，，均在正方形网格图的格点上，将线段绕点逆时针旋转后得到线段（点为点的对应点）． (1)画出线段； (2)以为直径作．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) 如图，线段即为所求； (2) 如图，即为所求． 【分析】本题考查旋转变换的作图与圆的基本作图． （1）利用旋转的性质(对应点到旋转中心的距离相等、旋转角为)，确定点、绕点逆时针旋转后的对应点、，进而画出线段； （2）先确定的中点作为圆心，以长度的一半为半径画圆，可借助平行四边形的对角线互相平分性质． 【详解】（1）略 （2）略 13．（24-25九年级上·北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点． (1)画出绕点逆时针旋转后的图形，写出点的坐标，点所经过的路径长为___________； (2)将（1）中所得先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得，画出； (3)若可以看作绕某点旋转得来，直接写出旋转中心的坐标． 【答案】(1) 解：所作如图所示： (2) 解：所作如图所示； (3) 【分析】本题主要考查平移、旋转的性质，弧长公式，勾股定理与网格，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合旋转的性质得出点，再依次连接，得，然后运用弧长公式进行列式计算，即可作答； （2）根据平移的性质可进行作图； （3）连接，再分别作它们的垂直平分线，交于一点，即旋转中心为点． 【详解】（1）依题意，， 则点所经过的路径长为； （2）略 （3）略 14．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，在中，，是的平分线． (1)尺规作图：作，圆心在线段上，且经过两点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求的半径． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2)6 【分析】本题考查尺规作图—作圆，等边对等角，平行线的判定和性质，勾股定理，正确的画圆，是解题的关键： （1）作的垂直平分线交于点，以为圆心，的长为半径画出即可； （2）连接，等边对等角结合角平分线的定义，推出，进而得到，得到，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，则， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，，由勾股定理，得， 即的半径为6． 15．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，在平面直角坐标系中，、、． (1)在图中画出经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的位置，并写出圆心的坐标 ； (2)的半径为 ； (3)中弧的长度为 ；（结果保留π） (4)点到上最近的点的距离为 ． 【答案】(1) 如图，点M为所作： ； (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形外接圆的圆心的确定方法、弧长公式是解题的关键. （1）根据三角形的外心的定义、线段垂直平分线的性质确定圆心，根据坐标与图形写出圆心的坐标； （2）根据勾股定理求出的半径； （3）根据勾股定理的逆定理得到，再根据弧长公式计算； （4）根据圆的半径、的长计算. 【详解】（1）略 （2）解：的半径为：， 故答案为：； （3）解：如图，连接、、， 由勾股定理得：， 则， ， 的长为：， 故答案为：； （4）解：的半径为，， 点到上最近的点的距离为：， 故答案为：. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $