专题15 垂径定理的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版九年级上册

专题15 垂径定理的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用垂径定理求线段长 题型二、利用垂径定理求平行弦问题 题型三、利用垂径定理求同心圆问题 题型四、利用垂径定理求最值 题型五、垂径定理的实际应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：圆中弦、弧、弦心距、半径、弓形高之间的计算与证明，常涉及求弦长、半径或证明弧相等。 - 解题方法：作弦心距构造直角三角形，用“半径²=半弦²+弦心距²”列方程；利用垂径定理及其推论（平分弦、弧）导等量关系；结合勾股定理求值。 - 易错提醒：忽视“弦非直径”这一前提；作弦心距时未说明垂直；计算中混淆弦心距与弓形高；多解时未考虑圆心在弦两侧。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用垂径定理求线段长 典例1 （26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，是的直径，弦于，若，，则的长为______． 【答案】13 【分析】利用垂径定理求出的长，设半径为，表示出的长，在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 题型模版 1.特征：圆中弦、弦心距、半径构成直角三角形，已知其中两者求第三量。 2.方法：作弦心距，利用垂径定理得弦被平分，再结合勾股定理 \(r^2=d^2+(\frac{a}{2})^2\) 列方程求解。 变式1-1（2026·江苏常州·一模）如图，在中，是直径，弦于点，若，，则__________． 【答案】 【分析】根据直径的长度求出半径，结合线段的数量关系求出的长，在直角三角形中利用勾股定理求出的长，最后根据垂径定理求出的长． 【详解】解：是的直径， ，且 在 中，由勾股定理得 是直径， 由垂径定理得． 变式1-2（26-27九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，的直径与弦相交于点，且，若，则的半径为___________． 【答案】 【分析】过点O作于点E，连接，根据垂径定理得出，根据等腰三角形的判定和性质得出，整理得出，最后求出结果即可． 【详解】解：过点O作于点E，连接，如图所示： 则， ∵， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，负值舍去， 即的半径为． 变式1-3（2026·宁夏银川·三模）如图，在中，按下列步骤作图：①在边上取一点 ，以 为圆心，长为半径画 ，交 于点 ；②分别以 为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，交 于点 ，若 ，则的长为____________． 【答案】 【分析】根据作图步骤①可知，即为等腰三角形；根据作图步骤②可知 是线段 的垂直平分线，利用垂径定理及勾股定理求出 的长，最后根据半径计算的长即可． 【详解】解：由作图步骤①可知，点 、 在上， ， 由作图步骤②可知， 垂直平分线段 ， ，， 在 中，由勾股定理得：， 点在上， ， ． 题型二、利用垂径定理求平行弦问题 典例2 （25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）已知的半径为，弦，且，，则与之间的距离为______． 【答案】或 【分析】由于弦，需分两种情况讨论：当与在圆心同侧时，距离为圆心到两弦距离之差；当在圆心两侧时，距离为圆心到两弦距离之和，利用垂径定理和勾股定理求出圆心到各弦的距离． 【详解】过点作于点，则为中点，连接， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 过点作于点，则为中点， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 如图所示，当与在圆心同侧时，与之间的距离为； 如图所示，当与在圆心两侧时，与之间的距离为． 故答案为：或． 题型模版 1.特征：圆中两条平行弦，已知弦长和半径，求两弦间距离，需分圆心同侧或异侧。 2.方法：分别作两弦的弦心距，用勾股定理求各自距离，再根据圆心在弦同侧（相减）或异侧（相加）得结果。 变式2-1（25-26九年级上·河南许昌·期中）已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是______． 【答案】或 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点作于点，交于点．    ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点作于点，延长交于点．   ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是． 综上可知与间的距离是或． 故答案为：或． 变式2-2（25-26九年级上·山东菏泽·阶段检测）的两条平行弦的长分别为6和8，若的半径为6，则这两条平行弦之间的距离为______． 【答案】或 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，分两种情况：当两条平行弦在的同侧时和当两条平行弦在的异侧时，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当两条平行弦在的同侧时，如图，过点作于点，交于，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 当两条平行弦在的异侧时，如图，过点作于点，于，连接， ∵，， ∴， ∴， ， 又∵， ∴共线， ∴， 综上，这两条平行弦之间的距离为或， 故答案为：或． 变式2-3（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 【答案】或 【分析】本题考查圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键， 分弦和弦在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦和弦到圆心的距离，再计算两条弦之间的距离即可， 【详解】解：过点O作于点M，于点N， ， 点O、M、N三点共线， 由垂径定理得，M为中点，N为中点 在中，、， 由勾股定理得 在中，、， 由勾股定理得 当、在圆心同侧时，如图： 距离为 当、在圆心异侧时，如图： 距离为． 故答案为：7或17． 题型三、利用垂径定理求同心圆问题 典例3 （25-26九年级上·河南周口·期末）如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，过点作于点，连接，由垂径定理可得，由勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 题型模版 1.特征：同心圆中被同一弦截得两段弦长，求圆半径或弦长，常用弦心距沟通两圆。 2.方法：作公共弦心距，分别在两圆中用勾股定理表示弦长一半，联立方程消去弦心距求半径或弦长。 变式3-1（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形是解题的关键． 作于点，连接、，根据垂径定理可得，，再利用勾股定理分别求出和的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点，连接、， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 变式3-2（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作于点，连接，根据垂径定理求出线段的长度，最后利用线段的和差进行求解即可； （2）结合（1）得，根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接， 根据垂径定理得，点为线段和的中点， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图所示，过点作于点，连接， 结合（1）得， 根据勾股定理得， ∴， ∴小圆的半径长为． 变式3-3（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，以为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点、、、． (1)求证：； (2)连接、，如果，，，求小圆半径的值． 【答案】(1) 证明：如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， 即； (2) 【分析】（）过点作于点，由垂径定理得，，进而即可求证； （）连接、，可得，，即得，设，则，，利用勾股定理求出的值进而即可求解； 本题考查了垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接、， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设，则，， 在中，∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 即小圆半径的值为． 题型四、利用垂径定理求最值 典例4 （2025九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，弦是下半圆上的一动点，E为的中点，连接，则的最小值为___________．    【答案】 【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆周角定理，垂径定理，最短线段的计算是解题的关键，根据题意，连接，由垂径定理可得，点E在以为直径的圆上运动，根据可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得则的半径为3，由此即可求解． 【详解】解：连接，    ∵点为的中点， ， ∴点E在以为直径的圆上运动，   ， ∴是等边三角形， ，取的中点M， 则的半径为3， 的最小值为， 故答案为：． 题型模版 1.特征：圆中弦长或弦心距变化，求线段或面积的最值，常利用垂线段最短。 2.方法：作弦心距，用勾股定理表示目标量，转化为二次函数或利用垂线段最短确定最值。 变式4-1（2025·河北保定·二模）如图，点，，，，，是的六等分点，连接，，点为弦的中点，点为上一点．已知的直径为，则的周长最小值为__________． 【答案】/ 【分析】如图所示，连接，，，，，，，首先得出当点B，H，G三点共线时，的周长取得最小值，即的长度，然后得到，是等边三角形，，然后求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，，，，，，， ∵点，，，，，是的六等分点， ∴，是直径，点B和点F关于对称， ∴， ∴的周长， ∴当点B，H，G三点共线时，的周长取得最小值，即的长度， ∵的直径为， ∴， 由题意得，是等边三角形，， ∴， ∵点为弦的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， 根据题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长最小值为． 故答案为：． 变式4-2（25-26九年级上·福建龙岩·期末）如图，的直径，垂足为，，，点是上的动点（不与，两点重合），，垂足为，点在运动过程中线段的最小值为______． 【答案】/ 【分析】由可判断点的轨迹是以为直径的圆弧，则当、、三点共线时，最短．根据垂径定理和勾股定理计算出和，作差即可． 【详解】解：如图，连接，，以为直径作， ∵， ∴， ∴点在上， ∴当、、三点共线时，最短． ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵点为中点， ∴，且， 在中，， ∴最小为． 故答案为：． 变式4-3（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为____________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，垂径定理，对于，当时，得直线过定点，再求出，得点P在内部，根据过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，得当直线与垂直时，为最小，此时，在中，由勾股定理求出，进而可得的最小值． 【详解】解：∵ ∴直线过定点， ∵点， ∴， 又∵的半径为， ∴， ∴点P在内部， 由于过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，即当直线与垂直时，为最小，如图所示： 由垂径定理得：， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 即的最小值为6． 故答案为：6． 题型五、垂径定理的实际应用 典例5 （26-27九年级上·北京·单元测试）有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 【答案】(1)米 (2)不需要采取紧急措施 【分析】（1）连接，利用r表示出的长，在中根据勾股定理求出r的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长． 【详解】（1）解：连接， 由题意得：米，米， 在中，有，解得米； （2）解：连接． 米， ∴在中，（米）， 米． ， ∴不需要采取紧急措施． 题型模版 1.特征：圆拱形、管道截面等实际问题，已知弦长或拱高求半径或相关量。 2.方法：构造弦心距，用勾股定理建立半径、弦半长、弦心距的关系式，代入已知数据求解。 变式5-1（2026·河南信阳·模拟预测）我国西南地区公路隧道众多，如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横截面（阴影部分）如图2所示，是同心圆环的一部分，左右两边缘的延长线交于圆心，甲、乙两个小组分别采用两种不同的方法，测算两片不同大小的混凝土管片的外圆弧半径． (1)如图2，，的延长线交于圆心O，若甲组测得，，，求的长． (2)如图3，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点L为的中点，若乙组测得，，求：该混凝土管片的外圆弧半径． 【答案】(1) (2)该混凝土管片的外圆弧半径为 【分析】（1）先证明，再根据相似三角形对应边成比例解答即可； （2）连接、、、、与相交于点，由垂径定理的推论可得，再结合勾股定理得到，据此解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的根，即． 答：的长为； （2）解：如图，设圆心为点，连接、、、、与相交于点， ∵点L为的中点，为半径， ∴， 由题意得，与相切于点，则， 而 ∴四边形为矩形， ∴， 设外半径为，则， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：， 答：该混凝土管片的外圆弧半径为． 变式5-2（25-26九年级上·安徽淮南·期中）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为O，半径，垂足为D，拱高（弧的中点到弦的距离），连接． (1)直接判断与的数量关系； (2)求这座石拱桥主桥拱的半径． 【答案】(1) (2)19.4m 【分析】本题考查垂径定理的实际应用，熟练掌握垂径定理是解题的关键： （1）根据垂径定理即可得出结论； （2）利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ （2）设主桥拱半径为R， ∵，， ∴，， 在中，由勾股定理，得， 即，解得． 答：这座石拱桥主桥拱半径为． 变式5-3（2025·江苏无锡·二模）如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离，弓形的高度． (1)计算桥拱圆弧所在圆的半径； (2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，为船身宽，为保证安全，点、与其正上方拱桥线上的对应点、的距离均应不小于．某日，测得拱顶点高出水面．现有一艘货轮露出水面部分的高度为，．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？ 【答案】(1) (2)需要提前增加货物，至少需要增加120吨 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，利用垂径定理可得，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值即可解答； （2）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，连接交于点，由题意得四边形是矩形，则有，利用垂径定理得到，进而利用勾股定理求出的长，计算可得货轮露出水面部分的高度应不超过，再结合货轮露出水面部分的实际高度，比较大小得出需要提前增加货物的结论，再结合题意计算增加货物的重量即可． 【详解】（1）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、， 由题意得，，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 桥拱圆弧所在圆的半径为． （2）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，连接交于点， 由题意得，四边形是矩形， ， ， ， 由（1）得，， ， ， 要保证该货轮安全通过大桥，则货轮露出水面部分的高度应不超过， ， 需要提前增加货物， 由题意得，至少需要增加吨， 答：要保证该货轮安全通过大桥，需要提前增加货物，至少需要增加120吨． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（26-27九年级上·天津·期中）如图，是的弦，半径于点D．若，，则的长是（     ） A．3 B．2 C．6 D．4 【答案】B 【分析】连接，由垂径定理求出，由勾股定理即可求出的长，再求出的长即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵半径于点D， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理和勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：过点 O作 于点 E，交 于点 F，连接 ， ∵，， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：， ， 即的半径为10． 3．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的与长方形的边相切于点，点为拱门的最高点，经测量，，，则拱门最高点到地面的距离是（     ）dm A．13.25 B．15.25 C．24.5 D．26.5 【答案】D 【分析】连接交于点，连接，根据矩形的性质和垂径定理求得的值，通过构建直角三角形，利用勾股定理进行计算即可求解． 【详解】解：连接交于点，连接，如图： ∵拱门所在的与长方形的边相切于点， ∴，，， ∵，， ∴， 即， ∴，， 设的半径为，则， 在中，， 即， 解得， ∴拱门最高点到地面的距离是． 4．（2026·河北沧州·三模）如图，已知，是中位于圆心上下两侧的两条弦，且，设弦，，关于的函数图象如图所示，当时，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作于，于，则，，，，由，得，进而得到，即可证，得到，即得到，再根据函数图象可知的直径为，即得，设，则，利用勾股定理求出的值即可求解． 【详解】解：作于，于，则，， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由函数图象可知，当时，，此时为直径， ∴的直径为， ∴， 在中，设，则， 由勾股定理得，, ∴， ∴． 5．（2026·甘肃白银·二模）如图（1），一只圆形平盘被同心圆划成M，N，S三个区域，随机向平盘中撒一把豆子，计算落在M，N，S三个区域的豆子数的比．多次重复这个试验，发现落入三个区域的豆子数的比显示出一定的稳定性，总在三个区域的面积之比附近摆动．如图（2）将一根筷子放在该盘中位置，发现三个圆弧刚好将五等分．我们把豆子落入三个区域的概率分别记作，，，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图 2，设，过点作于，连接，根据垂径定理得到，再利用几何概率的求法得到，则，接着利用勾股定理，在中有，在中有，所以，则，于是可表示出，然后根据几何概率的求法计算区域的面积与整个面积的比即可； 【详解】解：如图 2，设， 过点作于，连接，则， ， ， 整理得， 在中，， 在中，， ， 即， 解得， 在中，， 在中，， ． 二、填空题 6．（26-27九年级上·浙江宁波·开学考试）在中，弦，，则的半径为___________． 【答案】 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到直角三角形，再结合等腰三角形和含角的直角三角形即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵ ，都是的半径， ∴ ， ∵ ，， ∴ 由垂径定理得， ∵ ，， ∴ ， 在中，， ∴． 7．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图1是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧，随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图2是月亮门的示意图，其中，点C为的中点，D为月亮门的最高点，则月亮门底部的宽度d与月亮门所在圆的半径r满足的数量关系为_____． 【答案】 【分析】连接，由为中点，为最高点可得，，设圆半径为，则，，在中，由勾股定理得，代入数据整理即可得到与的关系 【详解】解：连接， ∵为中点，为月亮门最高点， ∴，， ∴， 设圆的半径长为，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， ∵为月亮门底部的宽度， ∴， ∴， ∴． 8．（2026·辽宁鞍山·一模）如图，的半径为5，弦的长为8，点C是上一点，且，连接并延长，交于点D，交于点E，则的长为________． 【答案】2 【分析】连接，根据垂径定理推论可得，，勾股定理求出，即可得． 【详解】解：连接， ∵点C是上一点，且，连接并延长，交于点D，交于点E，弦的长为8， ∴，， ∵的半径为5， ∴， ∴， ∴． 9．（2026·陕西榆林·二模）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作．其中记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，、是的半径，点是的中点，连接，于点，“会圆术”给出劣弧的弧长的近似值计算公式：，当时，则的值为______． 【答案】 【分析】连接，根据垂径定理的推论，知，从而证明M，N，O共线，根据勾股定理求出，再求出，计算求出答案即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴、N、M三点在同一直线上， ∵， ∴， ∵， ∴在中，根据勾股定理得：， ∵， ∴， ． 10．（26-27九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，的直径，是上半圆（，除外）上任一点，的平分线交于，弦过，的中点，，则的长是___________． 【答案】 【分析】连接交于点，连接，由垂径定理的结论说明，从而说明是的中点，在中，由勾股定理得的长，即可求得． 【详解】解：连接交于点，连接， 平分， ， ， ， ， ， ，分别是，的中点， ， ， ． ， ， 是的中点， ， ， 直径， ， ， 在中，，由勾股定理得 ， ． 三、解答题 11．（25-26九年级上·云南昆明·期末）文物修复师在修复破损文物时，经常通过几何推理还原其原貌．如图1，某修复师修复一件破碎的古代瓷器束口盆（盆口原貌为圆形）时，仅凭一块碎片便能推算出其原始口径尺寸．图2是修复师根据碎片切面绘制的几何示意图：碎片边缘为圆弧，设圆弧所在圆的圆心为O，半径于D，连接．已知，，求盆口半径的长度． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，由垂径定理得出，设这个盆口半径的长为，则，再利用勾股定理即可得出r． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 设这个盆口的半径的长为，则， 在中， 由勾股定理得：， 解得：， 答：这个盆口半径的长为． 12．（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知，如图：的半径，弦．点在上交于点． (1)若，求线段的长． (2)若点在弦上运动，则的最大值________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，作于点，连接，，用垂径定理得到，算出长，在中利用勾股定理求出，由三个直角判定四边形为矩形，得到、长度，再在利用勾股定理求出，最后由求得； （2）沿用（1）的辅助线与矩形结论，设，，将整理为，由勾股定理得到，利用完全平方公式推出的最大值，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴； （2）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， 同（1）得，，四边形是矩形， 设，，则， ∴， 故求的最大值，只需求的最大值， 在中，，即， ∵，即， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴当且仅当时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为． 13．（2026·广西·中考真题）如图1，是锐角三角形的外接圆，，，于点． (1)求证：平分； (2)如图2，若以为圆心，为半径的圆与相切于点，求的长及的度数． 【答案】(1)证明：连接，， ，， ， ， ，，， ， ， 平分； (2)， 【分析】（1）连接，，证明即可； （2）连接，，，过点作于点，根据圆周角定理先确定为等腰直角三角形，，然后解求出，再由圆的切线的性质求解，再解求出，解求出，最后根据垂径定理以及角度和差计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，，，过点作于点， ， ， ， 为等腰直角三角形，， ， 以为圆心，为半径的圆与相切于点， ， ，均为等腰直角三角形， ， ， ，平分， ， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ． 14．（2026·河北廊坊·一模）项目背景：胜芳古镇是国家级历史文化名镇，其“胜芳河灯会”是首批国家级非物质文化遗产．活动小组为研究灯会中大型灯门拱架的结构，取其圆形拱架截面示意图（截面为圆的一部分）进行测量与建模实践． (1)活动一，测量与建模：如图1是灯门拱架截面示意图（截面为圆的一部分），测得圆形拱门的开口弦长为，拱高（圆拱的最大高度）为．求及半径的长； (2)活动二，灯光效果模拟实验：如图2为模拟灯会灯光效果，光源点M沿弧缓慢移动．经测量，结合（1）中的数据回答问题． ①当点M在弧的三等分点处，且在点A的右侧时，求劣弧的长； ②如图3，当光源M在最高点A时，光束张角恰好照亮拱门开口．求此时的度数，并判断当光源M沿弧（不含端点C，D）移动时，的度数是否发生变化． 【答案】(1) (2)①；②，的度数不变 【分析】（1）通过弦，拱高，弦端点的半径，垂直于弦的半径，构造直角三角形，利用勾股定理，即可得出结论； （2）①利用弧长的计算公式，即可得出结果； ②利用圆周角定理及其推论，可得出结果． 【详解】（1）解：由题意得为圆拱的半径，，   ， 设则， 在中，据勾股定理得：， 即，解得， ∴． （2）解：①， 的长m， 当点M在的三等分点处，且在点A的右侧时， m； ②当光源M在最高点A时，光束张角恰好照亮拱门开口，为优弧所对的圆周角， 光源M沿（不含端点C，D）移动时， 圆心角不变， ， 的度数不变． 15．（25-26九年级下·浙江绍兴·阶段检测）如图，四边形为的内接四边形，且． (1)求的度数． (2)若的半径为5． ①如图2，连接，求的长． ②如图3，连接，若平分，求的最大值． (3)如图4，若是的直径，直接写出线段之间的等量关系． 【答案】(1) (2)①，②的最大值为10 (3) 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）①利用圆周角定理，求出，再利用特殊角求解即可； ②利用角构造等边三角形， 将转化为相等的线段长，再利用定弦定角，找到这条相等线段的最大值即可； （3）延长，，构造直角三角形，利用，角，找到线段之间的联系即可． 【详解】（1）解：由图可知，四边形是圆内接四边形， ∴， 又， ∴， ∴； （2）解：①如图，连接，，作于点E， 则，， ∴， ∴， ∴， 由垂径定理，得，得，则， ∵平分， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， 由①，得， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴点F在以为弦，所对圆周角为的圆上， ∴当为所在圆直径时，的长最大， 此时， ∴， ∴， ∴， ∴，即为最大值， ∴的最大值为10； （3）解：如图，延长，，交于点G， ∵为直径， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题15垂径定理的五类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用垂径定理求线段长 题型二、利用垂径定理求平行弦问题 题型三、利用垂径定理求同心圆问题 题型四、利用垂径定理求最值 题型五、垂径定理的实际应用 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 夙解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：圆中弦、弧、弦心距、半径、弓形高之间的计算与证明，常涉及求弦长、半径或证明弧相等。 -解题方法：作弦心距构造直角三角形，用“半径2=半弦2+弦心距2”列方程：利用垂径定理及其推论 (平分弦、弧)导等量关系；结合勾股定理求值。 -易错提醒：忽视“弦非直径”这一前提，作弦心距时未说明垂直；计算中混淆弦心距与弓形高；多解时 未考虑圆心在弦两侧。 夙题型到归纳一精讲典型题法，奔尖解题根基 题型一、利用垂径定理求线段长 典例1(26-27九年级上·黑龙江哈尔滨阶段检测)如图，BD是⊙O的直径，弦AC⊥BD于E,若 AC=24,BE=8,则OC的长为 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 题型模版 1.特征：圆中弦、弦心距、半径构成直角三角形，已知其中两者求第三量。 2.方法：作弦心距，利用垂径定理得弦被平分，再结合勾股定理2=d2+frac{a}{2)2)列方程求解。 变式1-1(2026江苏常州一模)如图，在⊙0中，AB是直径，弦CD⊥AB于点E,若AB=6cm, OE=2EB,则CD= cm 变式1-2(26-27九年级上·浙江宁波开学考试)如图，⊙0的直径AB与弦CD相交于点P,且 ∠APC=45°，.PC2+PD2=16⊙0 ,若 ,则的半径为 B D 变式1-3(2026宁夏银川三模)如图，在∠AOB中，按下列步骤作图：①在OA边上取一点C,以C为 圆心，0C长为半径画oC，交0B于点D:②分别以0，D为圆心，大于2OD长为半径画弧，两弧交 于点G,连接CG交OD于点E,交⊙C于点F,若OC=5,OD=8,则EF的长为 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二、利用垂径定理求平行弦问题 典例2(25-26九年级上·河南新乡·阶段检测)已知⊙0的半径为6cm,弦AB∥CD,且AB=6v2cm, CD-63cm 则MB与CD 之间的距离为 题型棋版 1.特征：圆中两条平行弦，已知弦长和半径，求两弦间距离，需分圆心同侧或异侧。 2方法：分别作两弦的弦心距，用勾股定理求各自距离，再根据圆心在弦同侧（相减）或异侧（相加）得 结果。 变式2-1(25-26九年级上河南许昌·期中)己知在⊙0中有两条平行弦AB‖CD,AB=12,CD=16, ⊙0的半径是10，则AB与CD间的距离是 变式2-2(25-26九年级上山东菏泽阶段检测)⊙0的两条平行弦的长分别为6和8，若⊙0的半径为6， 则这两条平行弦之间的距离为 变式2-3(25-26九年级上江苏南京期中)已知⊙0的半径为13，弦AB=10,弦CD=24,AB‖CD,则 这两条平行弦AB,CD之间的距离为 题型三、利用垂径定理求同心圆问题 W5 典例3，(25-26九年级上河南周口期末)如图，半径为 和5的两个圆都以O为圆心，大圆的弦B交 小圆于C、D两点，若CD=8,则AB= 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 题型模版 1.特征：同心圆中被同一弦截得两段弦长，求圆半径或弦长，常用弦心距沟通两圆。 2方法：作公共弦心距，分别在两圆中用勾股定理表示弦长一半，联立方程消去弦心距求半径或弦长。 变式3-1(25-26九年级上贵州遵义期末)如图，两个圆都以点0为圆心，大圆的弦AB交小圆于C,D两 点，大圆的半径为10，小圆半径为7.若AB=16,则弦CD的长是 0 变式3-2(25-26九年级上江西上饶期末)如图，以点0为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于 C,D两点，AB=8,CD=6. DB (I)直接写出BD的长为 (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长。 变式3-3(25-26九年级上·上海静安期未)如图，以0为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆 相交，自左向右的交点依次为点A、B、C、D. 。O B入 C (I)求证：AB=CD 4/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)连接OA、OB,如果∠OAD=30°，∠OBC=45°，AB=2,求小圆半径r的值. 题型四、利用垂径定理求最值 典例4(2025九年级上全国·专题练习)如图，BC是⊙0的直径，弦AB=6,∠ABC=60°，D是下半圆 BC 上的一动点，B为D的中点，连接BE,则BE的最小值为 E 0 题型模版 1.特征：圆中弦长或弦心距变化，求线段或面积的最值，常利用垂线段最短。 2方法：作弦心距，用勾股定理表示目标量，转化为二次函数或利用垂线段最短确定最值。 变式41(2025河北保定二模)如图，点A,B,C,D,E,F是⊙0的六等分点，连接AD,DE, 点G为弦DE的中点，点H为AD上一点.已知⊙O的直径为4，则△FGH的周长最小值为 B G D 变式42(25-26九年级上福建龙岩·期末)如图，⊙0的直径CD1AB,垂足为N,CD=8,ON=2,点 P是⊙0上的动点（不与A,C两点重合），CM⊥AP,垂足为M,点P在运动过程中线段OM的最小 值为 M B D 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式43(2025江苏南通中考真题)在平面直角坐标系中，以点 30)为圆心B为半径作OA.直线 y=kx-3k+2.⊙AB,C BC 与 交于 两点，则的最小值为 题型五、垂径定理的实际应用 典例5(26-27九年级上·北京·单元测试)有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗 如画.如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代.图2是拱桥的示意图，它的跨度AB=60 米，拱高PD=18米. 图1 图2 (1)求圆弧所在的圆的半径r的长： (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，是否要采取 紧急措施？ 题型模版 1特征：圆拱形、管道截面等实际问题，已知弦长或拱高求半径或相关量。 2方法：构造弦心距，用勾股定理建立半径、弦半长、弦心距的关系式，代入已知数据求解。 变式5-1(2026河南信阳·模拟预测)我国西南地区公路隧道众多，如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成 圆形隧道的重要部件.管片的横截面（阴影部分）如图2所示，是同心圆环的一部分，左右两边缘的延长 线交于圆心，甲、乙两个小组分别采用两种不同的方法，测算两片不同大小的混凝土管片的外圆弧半径. 6/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、D 图1 图2 图3 (I)如图2，BA,CD的延长线交于圆心O,若甲组测得AB=0.6m,AD=3m，BC=4m,求OB的长. (2)如图3，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接 触点L为MP MN=PO=0.5m NL=LO=2m 的中点，若乙组测得 ,求：该混凝土管片的外圆弧半径， 变式5-2(25-26九年级上·安徽准南·期中)石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建 造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表.如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何 AB B 图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为 桥的跨度〈3弧所对的弦长)4B=26m,设 所在圆的圆心为 O,半径OC L AB,垂足为D,拱高（弧的中点到弦的距离）CD=5m,连接OB. C o 图1 图2 (I)直接判断AD与BD的数量关系： (2)求这座石拱桥主桥拱的半径， 变式5-3(2025江苏无锡二模)如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离 L=40m,弓形的高度S=10m 77777777777777777777777777777777 (1)计算桥拱圆弧所在圆的半径； (2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，AB为船身宽，为保证安全，点A、B与其正上方拱 7/13 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 桥线上的对应点E、F的距离均应不小于2m.某日，测得拱顶C点高出水面15m.现有一艘货轮露出水 面部分的高度为l3.2m,AB=14m.该货轮每增加货物10吨，船身就会下降0.1m,请问要保证该货轮安 全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？ ◆ 同压轴挑战一攻克高难压热，突致思维上保 一、单选题 1.(26-27九年级上天津期中)如图，AB是⊙0的弦，半径0C1AB于点D.若AB=8,OC=5,则 CD的长是() B A.3 B.2 C.6 D.4 2.(26-27九年级上浙江杭州阶段检测)如图，在⊙0中，弦ABCD,AB=12,CD=16,且AB与 CD 位于国心0的同.若B与CP之间的距离为2，则00 0 0 的半径为() 9 A.8 B.9 C.10 D.12 3.(2026河北邯郸模拟预测)如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的⊙0与长方形的边BC相 切于点M,点E为拱门的最高点，经测量，AB=2dm,BC=14dm,则拱门最高点E到地面BC的距离是 (dm 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D B A.13.25 B.15.25 C.24.5 D.26.5 4.(2026河北沧州三模)如图1，己知AB,CD是⊙0中位于圆心上下两侧的两条弦，且 ∠C0D+∠40B=180,设弦4B=光，CD=y,'关于产的函数图象如图2所示.当CD=24B时，则CD 的长为() 9 y B 图1 图2 3v5 6W5 9W5 A. B.5 C.5 D.5 5.(2026甘肃白银二模)如图(1)，一只圆形平盘被同心圆划成M,N,S三个区域，随机向平盘中撒 一 把豆子，计算落在M,N,S三个区域的豆子数的比.多次重复这个试验，发现落入三个区域的豆子数的 比显示出一定的稳定性，总在三个区域的面积之比附近摆动.如图(2)将一根筷子放在该盘中AB位置， 发现三个圆弧刚好将AB五等分.我们把豆子落入三个区域的概率分别记作 (M)PN.PS),已知 PrN)-=,则Pw等于() 9/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 MIN MN S (1) (2) 8 2 A.15 B.5 c.& D.5 二、填空题 6.(26-27九年级上浙江宁波·开学考试)在⊙0中，弦AB=9,∠AOB=120°，则⊙0的半径为 7.(2026陕西咸阳·模拟预测)如图1是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧，随 着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意.图2是月亮门的示意图，其中CD=2AB, 点C为AB的中点，D为月亮门的最高点，则月亮门底部的宽度d与月亮门所在圆的半径r满足的数量关系 为一 A CB 图1 图2 8.(2026辽宁鞍山一模)如图，⊙0的半径为5，弦AB的长为8，点C是O0上一点，且AC=BC,连 接CO并延长，交AB于点D,交⊙O于点E,则DE的长为 D B E 9.(2026陕西榆林·二模)《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中记录了计算圆弧长度的“会圆术”. 如图，OA、OB。⊙0 B是00的半径，点M是 的中点，连接B.MW1BN 于点，“会圆术”给出劣弧 10/13 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB的弧长，的近似值计算公式：1=AB+ OA,当0A=5,AB=6时，则7的值为 A M B 10.(26-27九年级上浙江宁波开学考试)如图，⊙0的直径AB=10,P是上半圆(A,B除外)上任 一点，∠APB的平分线交⊙O于C,弦EF过AC,BC的中点M,N,则EF的长是 B 三、解答题 11.(25-26九年级上·云南昆明期末)文物修复师在修复破损文物时，经常通过几何推理还原其原貌.如 图1，某修复师修复一件破碎的古代瓷器束口盆（盆口原貌为圆形）时，仅凭一块碎片便能推算出其原始 口径尺寸.图2是修复师根据碎片切面绘制的几何示意图：碎片边缘为圆弧AB,设圆弧所在圆的圆心为 O,半径OC⊥AB于D,连接OB.已知AB=12cm,CD=2cm,求盆口半径OB的长度. 0 图1 图2 12。（25-26八年级下江苏南京期未)已知，如图：00的 的半径R=52 2,弦B=14.点C在MB上 CD⊥AB交OO于点D. 11/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 0. B (I)若BC=4,求线段CD的长， (2)若点C在弦AB上运动，则AC+CD的最大值 13.(2026广西中考真题)如图1，⊙0是锐角三角形ABC的外接圆，∠BAC=45°，BC=2, BD⊥AC于点D. D B 图1 图2 (I)求证：OD平分∠ADB: (2)如图2，若以O为圆心，OD为半径的圆与BC相切于点E,求AC的长及∠CBD的度数. 14.(2026河北廊坊·一模)项目背景：胜芳古镇是国家级历史文化名镇，其“胜芳河灯会”是首批国家 级非物质文化遗产，活动小组为研究灯会中大型灯门拱架的结构，取其圆形拱架截面示意图（截面为圆的 一部分)进行测量与建模实践， A M A(M) D B O O 图1 图2 图3 (1)活动一，测量与建模：如图1是灯门拱架截面示意图（截面为圆的一部分)，测得圆形拱门的开口弦长 3 CD为6m,拱高（圆拱的最大高度）AB为2m.求CB及半径O4的长； (2)活动二，灯光效果模拟实验：如图2为模拟灯会灯光效果，光源点M沿弧CD缓慢移动.经测量 ∠COD=105°，结合(1)中的数据回答问题， ①当点M在弧CD的三等分点处，且在点A的右侧时，求劣弧CM的长： 12/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②如图3，当光源M在最高点A时，光束张角∠CMD恰好照亮拱门开口CD.求此时∠CMD的度数，并判 断当光源M沿弧CD(不含端点C,D)移动时，∠CMD的度数是否发生变化. 15.(25-26九年级下·浙江绍兴阶段检测)如图，四边形ABCD为⊙0的内接四边形，且∠C=2∠A. y A A 0 0 o D B 图1 图2 图3 图4 (1)求∠A的度数. (2)若⊙0的半径为5， ①如图2，连接BD,求BD的长 ②如图3，连接CA,若CA平分∠BCD,求BC+CD的最大值. (3)如图4，若AC是⊙0的直径，直接写出线段AB,BC,CD之间的等量关系. 13/13