第二十一章 圆（单元自测）数学新教材北京版九年级上册
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内容正文：
第二十一章 圆
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
1．三角形内切圆的圆心是（ ）
A．三角形的三条高的交点 B．三角形的三条中线的交点
C．三角形的三条角平分线的交点 D．三角形的三条边的垂直平分线的交点
【答案】C
【解析】选项，三角形的三条高的交点是三角形的垂心，错误；
选项，三角形的三条中线的交点是三角形的重心，错误；
选项，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三条角平分线的交点，同时三角形的内心到三边的距离相等，正确；
选项，三角形的三条边的垂直平分线的交点是三角形的外心（外接圆圆心），错误．故选C．
2．下列说法正确的是（ ）．
A．过任意一点总可以作圆的两条切线
B．圆的切线长就是圆的切线的长度
C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等
D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径
【答案】C
【解析】A选项，点在圆内时无法作圆的切线，点在圆上时仅能作1条切线，故A错误，
B选项，切线长是圆外一点到切点的线段长度，切线是直线，无长度，故B错误，
C选项，过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，故C正确，
D选项， 设圆半径为，圆外一点到圆心的距离为（ ），由勾股定理得切线长为，取，，切线长为，故D错误．故选C．
3．如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有关概念是解题的关键．
【解析】圆中的弦有：、，共两条，
故选．
4．如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH=4cm，O为直线b上一动点，以O为圆心1cm为半径作圆，当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，经过t s与直线相切，则t为（ ）
A．2s B．s或2s C．2s或s D．s或s
【答案】D
【分析】利用圆心到直线的距离等于半径即可．
【解析】设圆与直线b交于A、B两点，
当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，OP=2t，PB=2t+1，PA=2t-1，
当PB=PH时即2t+1=4，t=1.5与直线a相切，
当PA=PH时即2t-1=4，t=2.5与直线a相切．
故选D．
【点睛】本题考查圆与直线相切问题，关键掌握圆与直线相切的条件，会利用此条件确定动点圆心的位置，列出等式解方程解决问题．
5．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
【解析】第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选A．
6．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于，两点，若，则两圆之间的圆环的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，连接，过点O作，得出，进而求出结论．
【解析】连接，过点O作，
，
，即，
，
由圆环的面积公式可得：
，
故选D．
7．如图，中，以边的中点为圆心，2为半径作，下列判断错误的是（ ）
A．点在外 B．点在内
C．与相交 D．与相切
【答案】B
【分析】如图，连接，过点O作于点E，过点O作于点F，由勾股定理得，再根据直角三角形斜边上中线的性质得，即可判定A、B；根据等腰三角形三线合一的性质得，，则、是的中位线，，，即可判定C、D．
【解析】如图，连接，过点O作于点E，过点O作于点F，
∵中，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴点在外，点在外，
故选项A正确；选项B错误；
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴、是的中位线，
∴，，
∴与相切，与相交，
故选项C、D正确．
故选B．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，中位线的性质，勾股定理等知识．熟练掌握圆心距与圆到直线距离的大小关系对应的位置关系是关键．
8．下列说法正确的是（ ）
A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的弦是直径
C．在圆中，角所对的弦是直径 D．相等的圆心角所对的弧相等
【答案】B
【分析】本题考查圆的基本概念，包括弦、直径、圆心角和弧的性质，弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的弦，据此可判断A、B；根据的圆周角所对的弦是直径可判断C；根据弧与圆心角之间的关系可判断D．
【解析】A、直径是弦，但弦不一定是直径，原说法错误，不符合题意；
B、过圆心的弦是直径，原说法正确，符合题意；
C、在圆中，的圆周角所对的弦是直径，原说法错误，不符合题意；
D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原说法错误，不符合题意；
故选B．
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
9．若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径的长是________．
【答案】2
【分析】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的公式是解题的关键．根据弧长的公式计算．
【解析】根据弧长的公式，
，
∴，
故答案为2．
10．如图，四边形内接于，为直径，，连接．若，则的度数为________．
【答案】
【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦之间的关系、同圆（或等圆）中同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为和圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键；先根据弧、弦之间的关系得出，再根据圆周角定理得出，直径所对的圆周角为，求出，最后根据圆内接四边形的性质得出，求出答案即可．
【解析】∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵是的直径，
∴，
∴．
∵四边形内接于，
∴，
∴．
故答案为．
11．如图，是的直径，点、在上．若，，则的度数是________．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，
先连接，根据等弧所对的圆心角相等得，再根据圆周角定理得出答案．
【解析】如图所示，
连接，
∵，
∴，
∴．
故答案为．
12．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则的度数为________．
【答案】106
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理．根据是的直径，可得，从而得到，再由圆内接四边形的性质，即可求解．
【解析】∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴．
故答案为106
13．已知等腰内接于半径为5的，圆心到的距离为2，则这个等腰中底边上的高为________．
【答案】3或7或
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，解题的关键是利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理．
分三种情况讨论：①当是底，是锐角三角形时，②当是底，是钝角三角形时，③当是腰时，由勾股定理分别求出答案即可．
【解析】①当是底，是锐角三角形时，如图1，
连接交于点，
，
，
，，
，
②当是底，是钝角三角形时，如图2，
同理可得，．
③当是腰时，连接并延长到于，作于点，
在中，，，
，
，
设，在中，，
在中，，
，
解得，
．
故答案为3或7或．
14．下列有关圆的一些结论：①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③圆内接四边形对角互补；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等．正确的有________．（填序号）
【答案】③⑤
【分析】逐一验证每个结论，注意圆相关定理的前提限制条件，即可得到正确结果．
【解析】①只有不共线的三点才能确定一个圆，共线三点无法确定一个圆，故①错误；
②只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，缺少前提条件，故②错误；
③圆内接四边形对角互补，符合圆的性质，故③正确；
④只有当被平分的弦不是直径时，平分弦的直径才垂直于弦，且平分弦所对的弧，若被平分的弦是直径，结论不成立，缺少前提条件，故④错误；
⑤三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离都相等，符合外心的性质，故⑤正确；
综上，正确的结论是③⑤．故答案为③⑤．
15．如图，四边形是圆的内接四边形，是圆直径，点为半径上一点，连接并延长交圆于点，连接，若，则的度数为________．
【答案】（或度）
【分析】连接,则为直角，可以求出的值，根据同弧所对的圆周角相等，即可求出的值．
【解析】连接,如图所示．
∵是圆直径，
∴为直角，
∴，
∴,
∵圆周角与圆周角所对同一段弧，
∴,
∴．故答案为（或度）．
16．如图，四边形内接于为的直径，D为的中点，过点D作于点E，若则________．
【答案】3
【分析】连接，先根据圆内接四边形对角互补得，再结合，求出，，由圆周角定理及“等弧对等弦”证得，再由“同弧上的圆周角相等”证得，结合可推得，即可作答．
【解析】∵四边形内接于，，
∴，
∵，
∴，
∴，
则，
∴，
如图，连接．
∵为的直径，D为弧的中点，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∵，则，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案为3．
【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理、等弧对等弦、等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是作出正确的辅助线．
三、解答题（本大题共 10 小题，共 72 分）
17．（5分）如图，在坐标系中，、、．
（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为________；
（2）这个圆的半径长为________；
（3）直接判断点与的位置关系，点在________．（填内、外、上）
（4）E是图中某一格点，连接，若是的切线，则E点有________个．
【答案】（1）
（2）
（3）外
（4）4
【分析】本题主要考查圆心的确定，垂直平分线的性质，勾股定理与网格等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
（1）根据圆心到弧上各点距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，作线段的垂直平分线的交点即为圆心；
（2）运用勾股定理与网格，结合图形求解即可；
（3）运用勾股定理与网格得到，再与圆的半径比较即可；
（4）根据切线的定义，作图判定即可．
【解析】（1）解：如图所示，
∴；
（2）解：，
∴这个圆的半径长为；
（3）解：，
∵，
∴点在外，
故答案为外；
（4）解：如图所示，连接，过点作的垂线，
∴点均为图中网格点，符合题意，
∴该图中有4个，
故答案为4．
18．（5分）如图所示，与坐标轴交于，两点，点的纵坐标为，求的半径．
【答案】的半径是
【分析】过作于M，求出，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可．
【解析】如图，过作于M，
则，
，，
，
，
∵点的纵坐标为，
，
在中，由勾股定理得：，
即的半径是．
19．（6分）如图，点P是外一点．请利用尺规过点P作的一条切线．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
【答案】
如图，直线即为所求，
【分析】本题考查切线的定义和尺规作图；作法为：①连接，以为直径作；②与相交于点E，作直线．则直线即为所求．
【解析】∵是直径，
∴，
∴，
∴是的切线．
20．（6分）如图，圆内接四边形满足，连结、，是延长线上的一点，过点作于点．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）8
【分析】（1）根据圆的内接四边形，得到，可推导出，继而推导出，即可解答；
（2）过作于，推导出，可证明，得到，继而推导出，可求出，进而求出的长即可．
【解析】（1）略
（2）解：过作于，
平分，，，
，
在和中
，
，
在和中
，
，
，
，
，
答：的长为．
21．（6分）如图，在中，，平分交于点，点在上，．
（1）求证：是的外接圆的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）
证明：取的中点，连接，如图，
，
，
为的外接圆的直径，点为的外接圆的圆心．
平分，
．
，
，
，
，
，
，
是的外接圆的切线．
（2）
【分析】（1）取的中点，连接，由，根据圆周角定理可得为的外接圆的直径，点为的外接圆的圆心，再证明，根据平行线的性质得到，于是可根据切线的判定定理判断即可求解．
（2）设的半径为，根据勾股定理求得，根据平行线分线段成比例定理来求解．
【解析】（1）略
（2）解：设的外接圆的半径为
在中，
，
即，
解得．
，
，
即，
．
【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可，也考查了勾股定理和平行线分线段成比例定理，圆周角定理．
22．（8分）如图，为⊙的直径，点C在⊙上，的平分线交⊙于点D，过点D作，交的延长线于点E．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）
证明：连接，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
直线是的切线；
（2）
【分析】（1）连接，由圆周角定理可证，进而可证，由平行线的性质可证，可得是⊙的切线；
（2）求出得，在中，由勾股定理求出，然后根据即可求解．
【解析】（1）略
（2），，
，
，
在中，，即，
解得：，
，
，
．
【点睛】本题考查了勾股定理、圆周角角定理、直径所对的圆周角是直角、扇形面积公式、切线的判定以及平行线的性质，熟练掌握圆周角角定理、直径所对的圆周角是直角以及切线的判定是解题的关键．
23．（8分）如图，、是的两条弦，， 过点O作交于点 E， 交于点G，延长交于点 F．
（1）求证：；
（2）若，， 求的半径．
【答案】（1）
证明：如图，连接，
∵，
∴，
∴；
（2）5
【分析】（1）连接，由平行线的性质可得，，由圆周角定理可得，；
（2）连接，设的半径为，根据垂径定理可得，．在直角中，使用勾股定理构造方程，解方程即可．
【解析】（1）略
（2）解：连接，设的半径为，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在直角中，，
∴，
解得，，
∴的半径为5．
【点睛】本题考查平行线的性质，圆周角定理，垂径定理和勾股定理，掌握好圆的基本性质是关键．
24．（8分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过格点A，B，C，交网格线于点D．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
（1）在图1中画出该圆的圆心O，再画出的中点E；
（2）在图2中画出线段绕点A逆时针旋转得到的线段（点M与点C对应）．
【答案】（1）
所作圆心O及的中点E如图所示：
（2）
所作线段如图所示：
【分析】本题考查作图旋转变换，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂径定理，三角形的外心等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）在圆上取一点P，使得，连接交的垂直平分线于点O，则为点O圆心；取弦与中间格点线的交点G，连接交于点E，则问题可求解；
（2）取格点M，连接，此时且，连接并延长交于点H，连接并延长交水平格线于点N，连接，则线段即为所作．
【解析】（1）解：略．
（2）解：取格点G，过点N作于点F，
∵是的直径，
∴，
∴，
由作图可知：，
∴，
由图可得：，
∴，
∴，
∴，
∴．
25．（10分）如图，是的直径，C，E是上两点，平分，交的延长线于点D．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）
证明：连接．
，
．
，
．
∵平分，
．
．
．
．
．
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）
【分析】本题考查圆周角定理和切线的判定与性质，弧长的计算，掌握与圆相关的定理是解题关键．
（1）连半径，通过角平分线和圆的半径相等，求出相等角，得到，从而得到垂直关系，即可证明；
（2）借助角平分线，和等弧关系，得到，从而得到的特殊角，求出半径长再利用弧长公式求解即可．
【解析】（1）略
（2）解：如图，连接．
∵，，，
．
，
．
，．
，
是等边三角形．
，
∴的长．
26．（10分）综合与实践——探究四点共圆的条件（续）
某学习小组在开展“探究四点共圆的条件”的数学活动后，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
【提出问题】如图1所示，在线段同侧有两点，连接，如果，那么四点在同一个圆上．
【探究展示】如图2所示，作经过点的，在劣弧上取一点（不与重合），连接，
则，（依据1）
．
点四点在同一个圆上．（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点在点所确定的上，（依据2）
点四点在同一个圆上．
【反思归纳】
（1）上述探究过程中的“依据1”是________，“依据2”是________．
（从下框内选一个选项，直接填序号）
①圆内接四边形对角互补
②对角互补的四边形四个顶点共圆
③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆
④经过两点的圆的圆心在这两点所连线段的垂直平分线上
【结论运用】
（1）如图3，在四边形中，，，则的度数为________．
（2）如图4，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，旋转角为，连接．延长交于点．请证明下列两个结论：
四点共圆；
②．
【答案】【反思归纳】①，③；
【结论运用】（1）；
（2）①证明：由旋转的性质可得，，
∴，
，
∴，
∴点四点共圆；
②证明：如图，连接，
∵点四点共圆，
∴，
又∵，
∴，即，
∵，
∴．
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，关键是读懂题干信息；
【反思归纳】（1）选择恰当的依据填空即可；
【结论运用】（1）通过已知判断四点共圆，进而利用圆周角的性质即可求得结果；
（2）①利用旋转可得，进而结论可证；
②通过论证，结合等腰三角形即可得出结论．
【解析】【反思归纳】解：∵四点共圆，
∴，（圆内接四边形对角互补）
，
点四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点在点所确定的上，（过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆）
点四点在同一个圆上．
故答案为①，③；
【结论运用】（1）解：∵，
∴四点共圆，
∵，
∴，
故答案为；
（2）略
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第二十一章 圆
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
1．三角形内切圆的圆心是（ ）
A．三角形的三条高的交点 B．三角形的三条中线的交点
C．三角形的三条角平分线的交点 D．三角形的三条边的垂直平分线的交点
2．下列说法正确的是（ ）．
A．过任意一点总可以作圆的两条切线
B．圆的切线长就是圆的切线的长度
C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等
D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径
3．如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH=4cm，O为直线b上一动点，以O为圆心1cm为半径作圆，当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，经过t s与直线相切，则t为（ ）
A．2s B．s或2s C．2s或s D．s或s
5．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于，两点，若，则两圆之间的圆环的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，中，以边的中点为圆心，2为半径作，下列判断错误的是（ ）
A．点在外 B．点在内
C．与相交 D．与相切
8．下列说法正确的是（ ）
A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的弦是直径
C．在圆中，角所对的弦是直径 D．相等的圆心角所对的弧相等
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
9．若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径的长是________．
10．如图，四边形内接于，为直径，，连接．若，则的度数为________．
11．如图，是的直径，点、在上．若，，则的度数是________．
12．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则的度数为________．
13．已知等腰内接于半径为5的，圆心到的距离为2，则这个等腰中底边上的高为________．
14．下列有关圆的一些结论：①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③圆内接四边形对角互补；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等．正确的有________．（填序号）
15．如图，四边形是圆的内接四边形，是圆直径，点为半径上一点，连接并延长交圆于点，连接，若，则的度数为________．
16．如图，四边形内接于为的直径，D为的中点，过点D作于点E，若则________．
三、解答题（本大题共 10 小题，共 72 分）
17．（5分）如图，在坐标系中，、、．
（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为________；
（2）这个圆的半径长为________；
（3）直接判断点与的位置关系，点在________．（填内、外、上）
（4）E是图中某一格点，连接，若是的切线，则E点有________个．
18．（5分）如图所示，与坐标轴交于，两点，点的纵坐标为，求的半径．
19．（6分）如图，点P是外一点．请利用尺规过点P作的一条切线．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
20．（6分）如图，圆内接四边形满足，连结、，是延长线上的一点，过点作于点．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的长．
21．（6分）如图，在中，，平分交于点，点在上，．
（1）求证：是的外接圆的切线；
（2）若，，求的长．
22．（8分）如图，为⊙的直径，点C在⊙上，的平分线交⊙于点D，过点D作，交的延长线于点E．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
23．（8分）如图，、是的两条弦，， 过点O作交于点 E， 交于点G，延长交于点 F．
（1）求证：；
（2）若，， 求的半径．
24．（8分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过格点A，B，C，交网格线于点D．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
（1）在图1中画出该圆的圆心O，再画出的中点E；
（2）在图2中画出线段绕点A逆时针旋转得到的线段（点M与点C对应）．
25．（10分）如图，是的直径，C，E是上两点，平分，交的延长线于点D．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
26．（10分）综合与实践——探究四点共圆的条件（续）
某学习小组在开展“探究四点共圆的条件”的数学活动后，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
【提出问题】如图1所示，在线段同侧有两点，连接，如果，那么四点在同一个圆上．
【探究展示】如图2所示，作经过点的，在劣弧上取一点（不与重合），连接，
则，（依据1）
．
点四点在同一个圆上．（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点在点所确定的上，（依据2）
点四点在同一个圆上．
【反思归纳】
（1）上述探究过程中的“依据1”是________，“依据2”是________．
（从下框内选一个选项，直接填序号）
①圆内接四边形对角互补
②对角互补的四边形四个顶点共圆
③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆
④经过两点的圆的圆心在这两点所连线段的垂直平分线上
【结论运用】
（1）如图3，在四边形中，，，则的度数为________．
（2）如图4，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，旋转角为，连接．延长交于点．请证明下列两个结论：
四点共圆；
②．
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