1.2解直角三角形（分层作业练题型）数学新教材北师大版九年级下册

分层作业 1.2解直角三角形 目 录 A组 巩固过关 题型01 已知一锐角和一边解直角三角形 题型02 已知两边解直角三角形 题型03 解非直角三角形 题型04 四边形中解直角三角形 题型05 网格中解直角三角形 题型06 坐标中解直角三角形 题型07 折叠中解直角三角形 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型 0 1 )已知一锐角和一边解直角三角形 1．如图，中，，，为，则长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，飞机在空中处探测到它的正下方地平面上目标，从飞机上看地平面指挥台的俯角为，此时飞机与指挥台的距离为，则此时飞行高度为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，中点为D，上点E满足，若，则的长为（     ） A． B．12 C． D．4 4．在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． ( 题型 0 2 )已知两边解直角三角形 5．在中，，，，欲求的值，最适宜的做法是（     ） A．通过计算的值求出 B．通过计算的值求出 C．通过计算的值求出 D．先根据求出，再利用求出 6．如图，“弦图”是由四个全等的和小正方形拼成的大正方形．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．如图，是斜边上的高，，，则的值为________． 8．在中，，求b的长及的度数． ( 题型 0 3 )解非直角三角形 9．如图，在中，，，，则的度数为________． 10．在中，，，，则的长为________． ( 题型 0 4 )四边形中解直角三角形 11．如图，将一副三角板拼成四边形为边的中点，连接，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 12．在平行四边形中，，，，则的长度为__________． 13．（26-27九年级上·山东青岛·期中）小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），，则图2中对角线AC的长为______． 14．如图，为矩形对角线，于点，，，则长为_____． ( 题型 0 5 )网格中解直角三角形 15．如图，A，B，C是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则的值为（     ） A． B． C． D． 16．如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长是，则的值为（     ） A． B． C． D． 17．图①、图②均为正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上，分别在指定的网格中按要求作图．      (1)在图①中找出一个点，连接使； (2)在图②中找一点，连接，使； (3)直接写出图②中的长为________． ( 题型 0 6 )坐标中解直角三角形 18．如图，四边形是边长为1的正方形，与x轴正半轴的夹角为，点B在抛物线的图象上，则a的值为（     ） A． B． C． D． 19．如下图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线交于点． (1)求点的坐标． (2)求的值． 20．如图，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，．求点A的坐标和k的值． ( 题型 0 7 )折叠中解直角三角形 21．如图，折叠矩形的一边，使D落在边上的F处，且． （1）与是否相似？___________；（选填“是”或者“否”） （2）若，设，则：___________．（用含的代数式表示） 22．如图，在矩形中，为上一点，将矩形沿折叠，使点A落在处，若的延长线恰好过点C，求的值． 1．如图，中，，，，，则（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，为的一条中线，为上一点，．若，，则________． 3．如图，一块四边形土地，其中，，，，．求这块土地的面积（结果保留根号）． 4．如图，小明想测量塔的高度．他在处用高为的测倾器测得塔顶的仰角为，再朝塔的方向前进至处，测得塔顶的仰角为．请你帮他计算一下这座塔的高度（结果精确到）． 5．如图，在中，，是边上一点，使，且，， (1)求的长； (2)过点作，交延长线于点，若，求的长． 6．在中，角所对应的边分别是，已知，，． (1)求的值； (2)求和的面积． 7．如图，在中，是上的高，． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若，求的值． 8．综合与实践活动中，某数学兴趣小组要利用测角仪测量建筑物的高度．如图，建筑物前有个斜坡，已知，，，，在同一条水平直线上．某学习小组在处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，广告牌． (1)求点到地面的距离的长； (2)求建筑物的高度（结果保留整数．（参考数据：，，，） 1．【最值问题】如图，在四边形中，，，，．当对角线最大时，的值为（     ） A． B． C． D． 2．【最值问题】如图，在中，，边上的高是8，当最小时，_____． 3．【一线三垂直】如图，在四边形中，连结且，点E在上，连结交于点F，若，，则的长为______． 4．【分类讨论】在中，是直线上一点，且，则的周长为______． 5．【方程思想】如图，在四边形中，，对角线，相交于点，，若，，则的长为________． 6．【动点问题】如图，在矩形中，，．点在边上，点关于直线的对称点为点，连接、，延长交射线于点． (1)下列线段中，始终与线段相等的是________； ①    ②    ③ (2)当点与点重合时，求的值； (3)当时，求的长； (4)连接，当时，直接写出线段的长． 7．【动点问题】如图，在中，，，于点D，M为的中点．点P从点D出发，沿方向向终点A运动，在边上的速度为每秒3个单位长度，在边上的速度为每秒5个单位长度．连结．设点P的运动时间为t（s）． (1)的值为______； (2)用含t的代数式表示的长； (3)当点B、P、M三点不共线时，以为邻边构造平行四边形，当为矩形时，求t的值． 8．【阅读理解】关于三角函数有如下的公式： ；① ；② ；③ 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值． 根据上面的内容，你可以选择适当的公式解决下面的问题： (1)试求的值； (2)如图所示，直升机在一建筑物上方的点处测得建筑物顶端点的俯角为，底端点的俯角为，此时直升机与建筑物的水平距离为，求建筑物的高． 9．【项目探究】数学活动课上，老师说：“正方形是一个很奇妙的图形，它的四条边都相等，四个角都是直角，而且通过添加线段，可以得到更多美妙的结论．”下面让我们一起来探究“奇妙的正方形”吧． (1)【活动一】如图①，在正方形中，分别是边上的点，且．请判断线段与之间的位置关系，并说明理由； (2)【活动二】“探究小组”在【活动一】的基础上发现，当F是的中点时，连结，如图②，可求出的正切值．请你求出的正切值． 1．（2026·山东淄博·中考真题）如图，在矩形中，过点作对角线的垂线，垂足为点，连接．若，，用科学计算器求的长，则下列按键顺序正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将点绕原点按顺时针方向旋转得到点，则点的坐标为__________________________． 3．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在矩形中，，，点E是边的中点，点F是对角线上一动点，作点C关于直线的对称点P，若，则的长为_______． 4．（2026·江苏常州·中考真题）综合与实践：试衣镜的摆放 小丽购买了一块脚撑式无边框平面试衣镜（如图），镜面的长为、宽为．小丽的身高为，眼睛距离地面的高度为． 【垂直摆放】小丽调节脚撑，使镜面与地面垂直，然后直立在试衣镜的正前方． (1)在图1中，用直尺和圆规补全小丽的像．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)如图2，小丽能从镜中看到自己像上的最高位置为，求的长． 【倾斜摆放】小丽再次调节脚撑，使镜面后倾，与地面的夹角为，然后直立在试衣镜的正前方． (3)当小丽能从镜中看到自己的全身像时，她和试衣镜下边沿的最远、最近距离分别为，．如图3是小丽和试衣镜下边沿的距离为时的示意图，求的值，并在图4中画出小丽和试衣镜下边沿的距离为时的示意图（无需尺规作图），再列出关于的方程（无需化简和解方程）． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 1.2解直角三角形 参考答案 A组 巩固过关 题型n1 已知一锐角和一边解直角三角形 A 2 3.B 4.B 题型02 已知两边解直角三角形 4 5.C 6.C 7. 510.8 8. 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，c=3V6,a=3√5 则sin4=a=5-V2 cV62, .∠A=45°， ∠B=45°. ∴.b=a=3V3 题型03 解非直角三角形 45°145度 10.1或3 颗型04 四边形中解直角三角形 11.C 12.5 13.8V3cm 14. 4 1/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型05 网格中解直角三角形 15.B 16.B 17. (1)解：如图，点C即为所求 图① (2)解：如图，点D即为所求 B 图② 3)30 题型0K 坐标中解直角三角形 18.C 19. 13 (1)解：由题意可知，点B是直线y=2x+2与直线y=2x的交点， 13 联立两直线解析式得方程组： y=2x+2 y=2x 1 3 将y=2x代入y=2x 2 2,得： 13 2x 2t+ 2 33 2x=2 2/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=1 将x=1代入y=2x,得y=2, 所以，点B的坐标为（山2）： (2)如图，过点B作BC⊥x轴于点C, A 则C(1,0),BC=2. 13 由2+0，得x=-3,则-3,0 AC=4, AB=VAC2+BC2=V42+2=25, sin∠BAO=BC=2-V5 AB-255· 20. 解：令x=0,则y=1, B(0,-H), ∴OB=1, 1 在RIAAOB中， an∠0BA=2, 0A 1 0B2' 1 .0A=2 把4行0代入y=-1得：-1=0， 解得：k=2」 3/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型07 折叠中解直角三角形 21. 【答案】 是 5x 【详解】判断△AFB与aFEC是否相似 ,四边形ABCD是矩形， .∴∠B=∠C=90° 由折叠的性质可知∠AFE=∠D=90°， ∴.∠AFB+∠EFC=180°-90°=90°」 在RtAAFB中，∠BAF+∠AFB=90°， ∴.∠BAF=∠EFC ∴.△AFBP△FEC ---------------D E在 中， ，且 B CE 3 tan∠EFC= RtAFEC CF4 CE=3xcm .可得CF=4xcm ∴.DE=EF=VCE2+CF2=5xcm」 22. 解：由折叠的性质，得AE=AE,AB=AB=6,∠BAE=∠BAE=90° ∠BAC=90°」 .AC=VBC2-A'B2=V102-62=8, 设AE=x,则AE=x, .DE=10-x,CE=A'C+AE=8+x, 在Rt△CDE中，由勾股定理，得(10-x)+62=(8+x), 解得x=2, AE=2, 在Rt△ABE中，BE=VAB2+AE2=2N10, cos∠AEB=E、VI0 BE 10 4/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ADlIBC. ∴.∠CBE=∠AEB, .Cos∠CBE= 10 10· B组 能力进阶 1.C 2.12V5 3. 解：解法一： 如图①，延长CA,DB交于点P, 图① ·.·∠ABD=120°AB LAC BD⊥CD ∴.∠C=360°-∠ABD-∠BAC-∠BDC=60°，∠PBA=180°-∠ABD=60°， 在R△cDp中，tanC=PD CD' :.PD=CD.tanC=503x/3=150(m). 在Ri△PAB中，tan∠PBA=P B :PA=AB.tanZPBA=303x3=90(m), Sw形me=5.o-SpB=7×505x150-×30n3x90=2400N5(m2）片 1 2 故这块土地的面积为2400W3m2. 解法二： 如图②，过点A作AE⊥DB,交DB的延长线于点E,作AF⊥CD于点F, 5/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -vE B OD 图② .∠ABD=120° .∠ABE=180°-∠ABD=60°， .AB=30v3m. AB=AB-sn∠AB5=30N5x5-45(m.BE=4Bcos∠ABE=30N5×g-155(m. ∠E=∠D=∠AFD=90°， .四边形AEDF为矩形， ∴FD=AE=45m, .:.CF=CD-FD=(50V3-45)m :AB⊥AC,BD⊥CD,∠ABD=120°， ∴.∠ACD=360°-∠BAC-∠ABD-∠D=60°， .AF=CF.tan∠ACD=(50W3-45)xV3=(150-45N3)m, Sw=Sue-Se=X45+50W5)50-45月)-×155x45=2405(mr） 故这块土地的面积为2400W3m2, 4. 解：设AB=xm,由题意可知，A,B,G三点共线，E,F,G三点共线，BG=lm,CD=EF-50m, BD=FG, 在Rt△4EG中，∠AGE=90,AG=AB-BG=(x-I)m,∠AEG=30°， ..EG= AG =x-1=5(x-）m, tan∠4EG tan30° 在Rt△4FG中，∠AGF=90°，AG=AB-BG=(c-I)m,∠AFG=45°， ..FG=_ AG x-1 tan∠AFG tan45o-(-)m, :.BD=FG=(x-1)m. .EG=BC=BD+CD. 5(x-1)=x-1+50 6121 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得x=25V5+26≈25×1.732+26≈69.3(m) 即这座塔的高度为69.3m 5. 1 1)解：：∠BAE=∠ADB' tan ZADB=2 an∠BAE BE 1 2,即AB2, ∴，AB=2BE, AFE5 :5j=(0EBc. 解得BE= 2(负值已舍去)，即4B=3: :tam∠ADB=2' 1 AB131 ·BD2,即BD2,解得：BD=6 (2)解：如图，过C作CF⊥BD于F, F ·BC∥AD .LDBC=∠ADB an∠DBC=CF=l BF2,即BF=2CF, .BC2 BF2+FC2, :(V5=(2FC2+FC2, 解得FC=1(负值已舍去)， ∴，BF=2,DF=BD-BF=4, .CD=CF2+DF2=12+42=17 7/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6. (1)解：如图，过点C作CE⊥AB,交BA的延长线于点E, E B .∠BAC=120° .∠CAE=180°-120°=60°， 在RIAACE中，∠E=90°，AC=b=5, E=4Ccs60=5x-.cE=4C-如60-5x5_55 22 2 2 在RIABCE中，∠E=90°，BC=a=14, ∴BE=VBC2-CE2 4 2 :AB=BE-AE=7095V709-5 222 即c=V709-5 2； (2)解：在Rt△BCE中，∠E=90°， 55 simB=CE-2_5V5 BC1428 :4AB=V709-5 2 ，CE55 2’CE⊥AB' 4B-CE=)x70-5x5y552I27-255 1 2 2 8 7. (1)证明：AD是BC上的高， B D C:.AD⊥BC ∴.∠ADB=90°，∠ADC=90°」 8/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△ABD和Rt△ADC中， tan B=4D BD cos∠DAC=AD , 又'tanB=cos∠DAC. ADAD BD AC' ∴AC=BD （②解：在RIAADC中，mC=P-2。 AC 13 ∴可设AD=12k,AC=13k, .∠ADC=90° .CD=AC2-AD2 =5k :BC=BD+CD,又AC=BD, .BC=13k+5k=18k. BC=12, .18k=12, 4D=12k=12x2-8 3 (3)解：设BD=AC=a,CD=b,AB=c, ,AD⊥BC .AB2-BD2=AC2-CD2=AD2. .c2-a2=a2-b2 :AB⊥AC .AB2+AC2=BC2, 则c2+a2=(a+b2, 2a2=2b2+2ab, ..a2=b2+ab, b-5-1 解得a 2 9121 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴cosC=CD=b-5-1 ACa2 8 (1)解：由题意得∠BHA=90°，AB=20m,∠BAH=a, .BH=AB:sina=20x0.60=12(m）, 答：点B到地面的距离BH的长为l2m: (2)解：过点B作BF⊥EC于点F,如图，则∠BFC=90°， E R 2217B 45N∠ H C 根据题意，∠EBF=22°，∠DAC=45°，DE=2m, .∠BFC=∠FCH=∠H=90°. ∴四边形CHBF是矩形， .FC=BH =12m,FB=CH, ∠DAC=45°， .tan∠DAC= DC=1, CA .DC=CA, .∠BHA=90°，AB=20m,∠BAH=a, .AH=AB.cosa=20x0.80=16(m）, .BF=CH=CA+AH=DC+16(m),EF=ED+DF=DE+(DC-FC)=DC-10(m). tan LEBF=EF F· tan22°≈Dc-10 DC+16' .0.4= DC-10 DC+16' 解得DC≈27， 答：建筑物DC的高度约为27m 10/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C组 思维拔高 1 1.C2. 4v97 20.5 3.85 4.9+5或9+35 5. 3 6. 【答案】(1)③ (2)2-V5 (3)AE=1或7-210 (④AE的长为1或3或3W5-6 【详解】(1)解：，四边形ABCD是矩形， .AB II CD ∴.∠AED=∠CDE, ,点A关于直线DE的对称点为点F, ∴.∠AED=∠FED. ∴.LFED=∠CDE, ∴DG=GE, ,在点E的运动过程中，线段DE、线段BE与线段DG不一定相等， ∴始终与线段DG相等的是线段GE (2)解：如图， (Gc B 由(1)可知，DG=GE, 点G与点C重合， ∴.DC=CE. :四边形ABCD是矩形， .∠A=∠B=90°，AB=DC=6,AD=BC=3, .DC=CE=6, 在RtoBCE中，BE=VCE2-BC2=V6-3=33, 11/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·AE=AB-BE=6-35】 在RAADE中，am∠ADE=能-6=35-2-5. AD 3 (③)解：①如图，当点G在点C的左侧时， D GC 四边形 是矩形， B.: ABCD .∠A=90°，AB=DC=6 CG=1, ..DG=DC-CG=5, ,点A关于直线DE的对称点为点F, .∠DFE=∠A=90°，DF=AD=3,AE=FE, .∠DFG=180°-∠DFE=90° 在Rt△DFG中，FG=VDG2-DF2=V5-32=4, 由(1)可知，DG=E=5, ..AE=FE=GE-FG=1: ②如图，当点G在点C的右侧时， D CG AE B 同理可得GE=DG=DC+CG=7, 在Rt△DFG中，FG=V√DG-DF2=V7-32=20, ∴.AE=FE=GE-FG=7-2√10 综上所述，AE=1或7-2V10 (4)解：设AE=x, 如图，当点G在点C的左侧时，作GH⊥AB于点H 12/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 GC A E H B AD=CB 在R△MDE和RI△CBG中，DE=BG: .RtAADERtACBG(HL). ∴.AE=CG=x, ∴DG=GE=DC-CG=6-x. 四边形ABCD是矩形， ∠ABC=∠BCD=90° GH⊥AB .∠EHG=∠BHG=90°， ∴四边形BCGH是矩形， ∴CG=BH=x,GH=BC=3, .EH AB-AE-BH=6-2x, 在Rt△EGH中，GE2=GH2+EH2, ∴.(6-x)2=32+(6-2x)2, 整理，得x2-4x+3=0, 解得x=1或x=3, 当x=3时，点F和点G重合且是DC的中点，点E是AB的中点，满足BG=DE,符合题意： 如图，当点G在点C的右侧时， D CG 和 中， AD=CB AE BRt△ADE Rt△CBG DE=BG .Rt△ADE≌RtACBG(HL), ∴.CG=AE=x. :GE=DG=DC+CG=6+x,AE=FE=x,∠DFG=90°， ∴.FG=GE-FE=6 在Rt△DFG中，DG=VDF2+FG=V3?+6=3V5, 13/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..AE=CG=DG-DC=35-6 综上所述，AE的长为1或3或35-6. 7. 4 【答案】() (2)当0≤t≤1时，CP=3-3t:当1<t≤2时，CP=5t-5 (3)1=g 【详解】(1)解：：AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC, :BD=CD=BC=3,∠ADC=90 2 由勾股定理得：AD=V52-32=4, tanC=4D、4 CD3: (2)解：分两种情况： ①当点P在CD上时，即0≤t≤1，如图1， DP C 图1 .∴.PD=3t PC=3-3t; ②当点P在AC上时，即1<t≤2，如图2， M D 图2 PC=5t-1)=5t-5 综上：当0≤t≤1时，CP=3-3t;当1<t≤2时，CP=5t-5; (3)解：M是AD的中点，AD=4, :.DM=4D=2, 当BMPN为矩形时，如图3，点P在CD上， 14/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 四边形 是矩形， D 图3 BMPN ∴.∠BMP=90° ∠BMD+∠DMP=90°， AD⊥BC, ∴∠ADB=90°， .∠DBM+∠BMD=90°， ∴∠DBM=∠DMP, ∴.tan∠DBM=tan∠DMP DM PD 23t BDDM,即32， 4 .t= 9· 8. 【答案】(1)2+V5 (2)建筑物CD的高为84米 【详解1解：an759=am(45+30m5m302+ =2+V5: (2)解：如图，过点D作DE⊥AB于点E, 4 E--- D B 由题意可知，ABIICD .∠ABC=∠DCB=90°， DE⊥AB, ∴.四边形DEBC是矩形， 15/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .ED=BC,CD=BE. ,在Rt△ADE中，∠ADE=a=60°， ∴AE=ED.tan6(0°=BC.tan60°=-425（米）， :在Rt△ACB中，∠ACB=B=75° .AB=BC.tan75° 由(1)可知，tan75°=2+√5」 AB=42×2+V5)=84+42W5(米)， ·CD=BE=AB-AE=84+42V5-423=84(米). 答：建筑物CD的高为84米 9. 【答案】(I)AE⊥BF 理由：四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC,∠ABE=∠BCF=90° .AE=BF, ∴.RteABE≌RtaBCF(HL), ∠BAO=∠CBF ∠AB0+∠CBF=90°， .∠ABO+∠BAO=90°， .∠AOB=90°，即AE⊥BF. (2)解：如答图，过点D作DG⊥AO于点G,过点O作OM⊥AD于点M M P O F 四边形 是正方形， E ABCD ∴.AB=BC=CD=AD 由【活动一】可知△ABE≌△BCF .BE=CF, :F是CD的中点， E是BC的中点， 16/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AB=BC=2BE, tan∠BAO= BO BE1 AO AB2 .A0=2B0 :∠ABO+∠BAO=∠BAO+∠MAO=90°， .∠MAO=∠ABO tan∠MAO=M0 AM =tan∠ABO=2, ..OM =2AM, :∠AGD=∠BOA=90°，AD=AB, ∴.△ADG≌△BAO(AAS). ..AG=BO, ∴G0=AG, ∴DG垂直平分A0, ∴.AD=OD 设AM=x,AD=a,且a>x>0, 则OM=2x,DM=a-x,D0=a 在Rt△ODM中，由勾股定理，得OM2+DM2=DO2, 即(2x}+(a-x}=a2, 解得=5a,=0(舍去)， .DM-a-2a=3 4 5a=3a,0M=2x= 0, ∴.tan∠ADO= OM 4 DM3 拓展 链接中考 1.A 2.(（32,32) 3.3或9 4. 17/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A A' M 【答案】(1) B 图1 (2)B'C'的长为0.9m. A Q (3) ；示意图： A ；方程： B 660° R T777T7 7777产 335 t+ 25 5 P 3,73,43 2 图4 21+10 7+ 2 5 【详解】(1)解：如图1，AB即为所求作. M 图1 (2)解：如图2，过点C'作CC⊥AB于点C,交MN于点D, A ch.. B47 B 图2 由题意，得AB⊥I,MN⊥1，B'C⊥1， ∴四边形B'CCB,B'CDN,BCDN均为矩形. .CC'=BB',CD=BN,C'D=B'N,BC=ND=B'C' 18/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设B'C'=xm,则DN=BC=xm, ..OC=OB-BC =(1.5-x)m.MD=MN-DN =(1.2-x)m 由题意，BN=B'N, ∴.CD=CD.C'C=2CD AB//MN, ∴.△C'DM∽aC'CQ MD C'D m1.2-x_1 QccC,即1.5-x2, 解得x=0.9,即B'C'的长为0.9m. (3)解：如图3，小丽和试衣镜下边沿N的最远距离为sm,则眼睛Q、试衣镜下边沿N、点B'在一条直 线上，连接BB',交MN的延长线于点E,则∠BNE=60°， MA B 子60° 77771 >A sm B' 图3 :.∠B'NE=∠BNE=60 ∴.∠QNB=180°-∠BNE-∠B'NE=60° 在RtAOBN中，QB=1.5m, tan/ONB52(m),即s= ∴BW= OB -1.53 2 如图4，小丽和试衣镜下边沿N的最近距离为m,则眼睛Q、试衣镜上边沿M、点A'在一条直线上，连 接AA',交NM的延长线于点O,分别延长AB,MN交于点P,连接A'P,交I于点R. 19/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 T A' 点，关于直线 对称， B 60° 图4 .AA' MN AA⊥MN,AP=AP, .∠ABN=∠AON=90°， .∠A=∠MNR=60°， ∴△APA'为等边三角形 在Rt△BPW中，BP=V3BN=√3m, .=P:. 过点f作H⊥AP于点H过点作MT⊥AP于点T·过点N作S⊥M灯于点5”则H=P阳-4P, MT‖A'H .△OTM∽aOHA,四边形BNST是矩形， OHH BT-NS-MN.sin 603 OT TM =3×2=S(m）,s=BN=m 5=Aaw-g对a). .QT =QB-BT =QB-NS 1p. 20/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 33V5 25 关于的方程为3,7 t+5 3,45· (方程表示形式不唯一，正确即可) ..t 2+102+5 -t+ 21/21函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 1.2解直角三角形 目录 A组巩固过关 题型01已知一锐角和一边解直角三角形 题型02已知两边解直角三角形 题型03解非直角三角形 题型04四边形中解直角三角形 题型05网格中解直角三角形 题型06坐标中解直角三角形 题型07折叠中解直角三角形 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 题型01 已知一锐角和一边解直角三角形 1.如图，△ABC中，∠ABC=90°，∠A=a,AC为3，则AB长为() B a 3 A.3cosa B.3tana C.3sina D cosa 【答案】A 1/49 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：A.cosa=AB-AB AC=3,解得AB=3cosa' 符合题意： BC B、tana= AB,解得AB= BC tana,不符合题意； C、sina= BCBC 4C=3,解得BC=3sina'不符合题意： ABAB D、cosa= AC3，解得AB=3cosa≠3 cosa,不符合题意. 2.如图，飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C,从飞机上看地平面指挥台B的俯角α为30°， 此时飞机A与指挥台B的距离为1O00m,则此时飞行高度AC为()m B A.1000tana B.1000cosa C.1000sina D.1000 【答案】C 【详解】解：由题意可知飞机水平视线与地面BC平行， ∠B=&, 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=1000, ；,sinB=AC AB' .'AC=AB.sinB=1000sina 3.如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC,AC中点为D,BC上点E满足ED⊥AC,若DE=2V5,则 AC的长为() B E A.45 B.12 C.25 D.4 【答案】B 【详解】解：AB=4C,4=12,得<C-18024=30。 2 :ED⊥AC, ∴∠EDC=90°， 2149 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Rt△DEC中，DC= DE an30°s6, :点D为AC中点， 故AC=12. 4在R△4BC中，∠HBC=90,B:4os1s 3,则BC的长为() A.5 B.25 C.55 D.35 【答案】B 【详解】解：如图：在RIAABC中，∠ABC=90°， B 根据锐角余弦定义得c0A= AC, 又：AB=4c0s1 3 4 AC-3,解得AC=6 由勾股定理得BC=VAC2-AB2,代入AC=6,AB=4得：BC=V62-42=V36-16=V20=2W5 题型02 已知两边解直角三角形 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,AB=4，,欲求∠A的值，最适宜的做法是() A.通过计算tanA的值求出 B.通过计算sinA的值求出 C.通过计算cosA的值求出 D.先根据sinB求出∠B,再利用90°-∠B求出 【答案】C 【详解】解：，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,AB=4, .cosA=4 AB,可直接代入已知边计算，进而求出∠A: 计算tanA或sinA均需先由勾股定理求出BC的长度，增加计算步骤， 3/49 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 通过sinB求∠B再计算∠A,需多一步角度换算，步骤更多， 6.如图，“弦图”是由四个全等的RtABE,RtaBCF,RtACDG,.RtDAH和小正方形EFGH拼成的大正方 EF 1 形ABCD:若AH3,则sin∠ABE的值为(） D 2 3 A.3 B.5 c. 0} 【答案】C 【详解】解：根据题意，设EF=x,则AH=3x, :Rt△ABE≌Rt△DAH,四边形EFGH是正方形， .AH BE=3x,EF HE=x, .AE=4x, ·∠AEB=90°， .AB=√AE2+BE2=5x, sin∠ABE=AE4x4 AB 5x 5 7.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4,BC=3,则cos∠BCD的值为」 A D B 【答案】 4 08 【详解】解：：△4BC是直角三角形，AC=4,BC=3, ∴由勾股定理得AB=√AC2+BC2=V42+32=5 :CD是斜边AB上的高， ·∠ACB=∠CDB=90° 4149 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90° ·.∠BCD=∠A cos∠BCD=cos∠A=4C=4 AB5· 8.在Rt△ABC中，∠C=90°，c=3V6,a=35,求b的长及∠B的度数. 【答案】b=3W3,∠B=45° 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，c=3V6,a=3V5. 则sinA=a-3_V2 62 ∠A=45°， .∠B=45°. ∴b=a=33 题型03 解非直角三角形 9知图在。BC中，=5BC-gasB=25, 5,则∠C的度数为 B 【答案】45°45度 【解答】解：过点A作AD⊥BC于D, D 在RIAABD中， ..cosB=BD_2V5 AB 5'AB=5 ÷BD=AB0sB=5×25 =2, 由勾股定理得， 5/49 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=AB:-BD:=(5)-22=1. BC=3, ∴.CD=BC-BD=3-2=1, :AD=CD=1. 又：AD⊥BC, .△ADC是等腰直角三角形， .∠C=45° 10.在AABC中，4B=5,AC=2,am∠4BC=,则BC的长为 【答案】1或3 【详解】解：由题意可知，△ABC不是直角三角形； 当∠C为锐角时，过点A作AD⊥LBC,垂足为D,如图所示： 在Rt4BD中，am∠ABC=D-是 BD2,即BD=2AD 设AD=x,则BD=2x,则由勾股定理得AD+BD2=AB2, 2+(2x)=(5, 则x2=1: 解得x=1或x=-1(负值舍去)， AD=1,BD=2, 在R△4DC中，由勾股定理得DC=AC2-AD=W2-P=1, .BC=BD+DC=2+1=3: 当∠C为钝角时，过点A作AD⊥BC,垂足为D,如图所示： 在RtABD中，tan∠ABC=D-{ BDF2:即BD=2AD, 设AD=y,则BD=2y,则由勾股定理得AD2+BD2=AB2, 6149 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 +2=(5,则y=1 解得y=1或y=-1(负值舍去)， .AD=1,BD=2, 在R△ADC中，由勾股定理得DC=VAC2-AD=VN2-P=1, .BC=BD-DC=2-1=1: 综上所述，BC的长为1或3 题型04 四边形中解直角三角形 11.如图，将一副三角板拼成四边形ABCD,E为AB边的中点，连接DE,若AB=4,则DE的长为 () 45° D30° A E B A.3 B.2V3 C.√5+1 D.23-1 【答案】C 【详解】解：如图，连接CE,设ED和AC交于点F, D 为直角三角形，点为边的中点， 45° X30° B.△ABC E AB 1 CE-2AB-AE. ∴.点E在AC的垂直平分线上， 在直角三角形ADC中，AD=CD, ∴点D在AC的垂直平分线上， DE垂直平分AC,点F是AC中点. :在直角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=30°， 7/49 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC=4B-si血30°=4×)-2,4C=AB-c0s30°=4x5 1 25 2 ·EF是△ABC的中位线， .EF=BC=1x2-1, 1 2 又r-4Cx2v5=5, .DE=DF+EF=3+1. 12.在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=2,AD=1,则BD的长度为 【答案】V3 【详解】解：根据题意，画图如下，过点D作DE⊥AB,垂足为E, :∠A=60°，AD=1, :AB=AD-c0s60°=1×22 11 55 DE=AD.sin60°=1× 22 ,AB=2, 13 .'EB=AB-AE=2- 22 .BD=DE2+EB2 13.(26-27九年级上山东青岛期中)小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测 得对角线AC=8√2cm,将正方形学具变形为菱形（如图2），∠DAB=60°，则图2中对角线AC的长为 D 图1 图2 【答案】8V3cm 【详解】解：：四边形ABCD是正方形， 8149 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=CB,∠B=90°， .AB2 +CB2=AC2, :2AB2=82, .AB=8,AB=-8(负值舍去)， .AB=BC=8cm. 如图2，过点C作CE⊥AB于点E, D 四边形 是菱形，边长没变， B 图2 ABCD .AB-BC-8m.AD8C.CAB-DAB :∠CBE=∠DAB=60,∠CAE=x60°=30°， .在直角三角形BCE中，sin∠EBC=EC BC :CB=BC-sin∠EBC=8×5-4W5cm, ,在直角三角形ACE中，sin∠CAE=5C AC, EC 4V5 ∴.AC= =83cm」 sin∠CAE sin30° 14.如图，AC,BD为矩形ABCD对角线，DE⊥AC于点E,∠BDE=30°，DE=V5,则AC长为一 D 【答案】4 【详解】解：如图， D 9149 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△ODE中，∠DEO=90°，∠BDE=30°，DE=V3, DE .D0 =c0s30° DE 3 DO= =2 c0s30° 3 2 又：四边形ABCD是矩形， .AC=BD=2D0=4 题型05 网格中解直角三角形 15.如图，A,B,C是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则si血∠ACB的值为() B 5 A § 3 B. C. D. 3 【答案】B 【详解】解：设小正方形的边长为1， 如图，在图中取格点D,连接AD, 由勾股定理得：AC=P+7=50=52,4AD=P?+32=√10，CD=V22+6=40=210, :AD2+CD2=10+40=50=AC2, 10/49 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°， ÷sin∠ACB=sin∠4CD=4D-oV5 AC5V25· I6.如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长是1，则sin∠ACB的值为 ( B B.v1o D. 10 3 【答案】B 【详解】解：如图过点A作AD⊥BC交CB的延长线于点D, D B C 则∠ADC=90°，AD=2,CD=6, AC=VAD2+CD2=V22+62=V40=210, ∴sin∠ACB=4D=2VIo AC2√1010 17.图①、图②均为5×5正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、 B均在格点上，分别在指定的网格中按要求作图. B 图① 图② (1)在图①中找出一个点C,连接AC使∠BAC=45°： ②在图E中找一点D:连按MD使am∠B1D 3 (3)直接写出图②中AD的长为 【答案】(I)解：如图，点C即为所求 11/49 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图① (2)解：如图，点D即为所求 B D 图② ③30 3 【详解】(1)略 (2)解：如图所作， B M 图② .MD∥NE BD BM 1 BE-BN3 又AB=BD BD 1 .AB3 在RtsABD中，tan∠BAD=BD- AB 3 (3)解：由图可得，AB=√22+32=√3， BD 1 .AB 3' 1 BD= 3, 12/49 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 中，AD=VAB2+BD 13 13 V130 在 3 3 RtAABD 即4D的长为130 3· 题型nk 坐标中解直角三角形 18.如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=r的图 象上，则a的值为() A② B.② D.- √2 2 3 3 2 【答案】C 【详解】如图，过点B作BD⊥x轴于D,连接OB 天：四边形 是边长为1的正方形， OABC .∠BOC=45°，OB=1×V2=V2, :OC与x轴正半轴的夹角为15°， .∠B0D=45°-15°=30， 62 ∴点B的坐标为 2’-2 ,点B在抛物线y=ar(a<O)的图象上， 13/49 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .a 2 2” 解得as- 3 1.3 19.如下图，在平面直角坐标系x0中，直线y=2x+2与x轴交于点A”与直线y=2x交于点B 01x (1)求点B的坐标. (2)求sin∠BAO的值. 【答案】（①）点B的坐标为(1,2) (②sin∠BA0= 5 13 【详解】()解：由题意可知，点B是直线y=2+之与直线y=2x的交点， 13 y=一x+ 联立两直线解析式得方程组： 2 2, y=2x 13 将y=2x代入y=2x+2,得： 13 2x=x+2 2 33 2x=2 x=1 将x=1代入y=2x,得y=2, 所以，点B的坐标为(1,2) (2)如图，过点B作BC⊥x轴于点C, 14/49 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C 则C1,0),BC=2. 3 由2x+20,得x=-3则4-3,0) AC=4, AB=AC2+BC2=V4+22=2W5, ∴sin∠BA0=BC=2-V5 AB255· 20.如图，直线y=:-1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，tan∠OBA 2:求点A的坐标和k的值， y=kx-1 B 【答案】 k=2 【详解】解：令x=0,则y=1, B(0,-1), .OB=1, 1 在R1AAOB中，tan∠OBA= 2 OA 1 0B2 1 .0A=2: 4: 15/49 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 无4行0代入y=-1得：支-1=0， 解得：k=2 题型07 折叠中解直角三角形 2L.如图，折叠矩形ABCD的一边AD,使D落在BC边上的P处，且m∠ErC-. D (1)△AFB与△FEC是否相似？ ；(选填“是”或者“否”) (2)若AE=10W5cm,设CE=3xcm,则：DE=EF= _cm.(用含x的代数式表示) 【答案】 是 5x 【详解】判断△AFB与△FEC是否相似 :四边形ABCD是矩形， ∴.∠B=∠C=90° 由折叠的性质可知∠AFE=∠D=90°， ∴∠AFB+∠EFC=180°-90°=90°， 在Rt△AFB中，∠BAF+∠AFB=90°， ∴.∠BAF=∠EFC .△AFBn△FEC, --D E,在 中， ,且 B F RtaFEC tan<EFC=CE、3 CE=3xcm ∴.可得CF=4xcm .DE EF=CE2+CF2 =5xcm. 22.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=10,E为AD上一点，将矩形ABCD沿BE折叠，使点A落在A处， 16/49 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若EA'的延长线恰好过点C,求cos∠CBE的值. E V10 【答案】 10 【详解】解：由折叠的性质，得AE=AE,AB=AB=6,∠BAE=∠BAE=90°， ∠BAC=90° .AC=√BC2-AB2=V102-62=8. 设AE=x,则A'E=x, .DE=10-x,CE=A'C+A'E=8+x, 在Rt△CDE中，由勾股定理，得(10-x)}+62=(8+x)2, 解得x=2, AE=2. 在Rt△ABE中，BE=√AB2+AE2=2N10, cos∠AEB=4E=V10 BE 10 .ADIIBC, .∠CBE=∠AEB, cos∠CBE=VO 10 0 B组 能力进阶 1如图，△4CB中，∠ACB=90°，∠ADC=B,∠B=a,AB=a,则BD=() B D 17/49 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a asina A.a(cosa-cosB) B.tanB-tanc C.acosa- tan B D.acosa-asina.a.tanB 【答案】C 【详解】解：：∠ACB=90°，∠ADC=B,∠B=&,AB=a, 一在Rt△ABC中，CosB=cosa= BC BC AB a' 则BC=a.cosa, :在R△ABC中，simB=sina=4C-4C AB a' ∴.AC=a.sina, 又：tan∠ADC=tanB=4C DC .DC-AC=asina tan B tanB 则BD=BC-DC=acosa- a.sina tan阝" 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD为△ABC的一条中线，E为AC上一点，∠ADE=∠B.若 AE=9,CE=3,则AB= E A 【答案】 12V5 【详解】解：：AD为△ABC的一条中线， .CD=BD, 设CD=BD=x,则BC=2x, .AE=9,CE=3 .AC=AE+CE=9+3=12, 在RtAACD中，AD=VAC2+CD2=V144+x2, 在RtsABC中，amB=AC=2_6 BC 2x x 过点E作EH⊥AD于点H, ∴∠AHE=∠C=90, 18/49 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：∠EAH=∠DAC, ∴，△AHEP△ACD EH AE AH CD AD AC· EH=AECD、 9x AH=4E,AC、9x12 108 AD V144+x, AD V144+x2V144+x2, DH=AD-AH=V144+x2_108 =144+2-108=2+36 V144+x2 V144+x2 V144+x2, 9x 9x 在 中，tan∠ADE= EH_V144+x2 DHx2+36x2+36: Rt EHD V144+x2 :∠ADE=∠B, .tan∠ADE=tanB. 9x6 x2+36x,整理得：9x2=62+36),解得x=72 在Rt△ABC中，AB=VAC2+BC2=V122+(2x=V144+4x, .AB=144+4×72=√144+288=√432=12√5. B 3.如图，一块四边形土地ACDB,其中∠ABD=120°，AB LAC,BD⊥CD,AB=30N3m, CD=50W3m.求这块土地的面积（结果保留根号）· B D 【答案】这块土地的面积为2400W3m2 【详解】解：解法一： 如图①，延长CA,DB交于点P, 19/49 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P B 图① ·.·∠ABD=120°AB⊥ACBD⊥CD :∠C=360°-∠ABD-∠BAC-∠BDC=60°，∠PBA=180°-∠ABD=60°， 在R△CDp中，anC=PD CD ..PD=CD.tanC=50/3x3=150(m) 在R△PHB中，tan∠PBA=P AB' .PA=AB.tanZPBA=303x3=90(m), ∴auca=S.or-S.pB=×505x150-x30n3×90=2400N5(m2）)片 1 故这块土地的面积为2400W3m2. 解法二： 如图②，过点A作AE⊥DB,交DB的延长线于点E,作AF⊥CD于点F, E B 图② .·∠ABD=120° .∠ABE=180°-∠ABD=60°， 4B =30/3m. 0x45(m).x155(m) ·∠E=∠D=∠AFD=90°， .四边形AEDF为矩形， ∴.FD=AE=45m, 20/49 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.CF=CD-FD=(503-45)m :AB⊥AC,BD⊥CD,∠ABD=120°， .∠ACD=360°-∠BAC-∠ABD-∠D=60°， ..AF=CF.tanZACD=(50/3-45)x3=(150-453)m, -aam=S0aE-Se-x45+505)050-45可)-5×155x45=2405(m) 故这块土地的面积为2400W3m2 4.如图，小明想测量塔AB的高度，他在C处用高为1m的测倾器CE测得塔顶A的仰角为30°，再朝塔的 方向前进50m至D处，测得塔项A的仰角为45°.请你帮他计算一下这座塔的高度（结果精确到0.lm). 50m 【答案】69.3m 【详解】解：设AB=m,由题意可知，A,B,G三点共线，E,F,G三点共线，BG=lm,CD=EF=50m, BD=FG, 在RtAEG中，∠AGE=90°，AG=AB-BG=(x-)m,∠AEG=30°， ..EG=_ 4G_=x-1=3(x-10m, tan∠4EG tan30° 在Rt△AFG中，∠AGF=90°，AG=AB-BG=(x-l)m,∠AFG=45°， :FG=-AG=x-1 tan ZAFG tan4s=(x-1)m, :.BD=FG=(x-1)m. .EG=BC=BD+CD .V5(x-1)=x-1+50, 解得x=25V5+26≈25×1.732+26≈69.3(m) 即这座塔的高度为69.3m. 5如图.在BD中，B⊥8D产E是边BD上一点，位∠B4E=∠ADB:且am∠4D8,4=5, 21/49 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B包 D C (I)求BD的长： (2)过点B作BC∥AD,交AE延长线于点C,若BC=V5,求CD的长. 【答案】(1)6 (②v17 详解】解：9B4E=DBan∠ADB= 2 1 BE 1 :tan∠BAE=2,即AB2: .AB=2BE, “aE=48+8E,4E-6 =(2BE)}+BE2, 解得旺一 (负值己舍去)，即AB=3 1 ,tan∠ADB= 2 AB131 BD2,即BD2,解得：BD=6 (2)解：如图，过C作CF⊥BD于F, C BC∥AD, .∠DBC=∠ADB. :tan∠DBC=CF=l BF=2,即BF=2CF: ..BC2=BF2+FC2, 22149 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :(5=(2FC}+FC2, 解得FC=1(负值已舍去)， .BF=2,DF BD-BF=4, ∴.CD=VCF2+DF2=V12+42=V17. 6.在△ABC中，角AB、C所对应的边分别是a,b,c,已知∠A=120°，a=14,b=5 (1)求c的值； (2)求sinB和△ABC的面积. 【答案】（仙c=V709-5 2 2)sin B=53 V2127-25V3 28’△4BC的面积为 8 【详解】(I)解：如图，过点C作CE⊥AB,交BA的延长线于点E, B :∠BAC=120°， ∴∠CAE=180°-120°=60° 在Rt△ACE中，∠E=90°，AC=b=5, 六AE=AC-c0s60°=5×22 15 ,CE=AC.sin60°=5x 55√3 2 2 在RtABCE中，∠E=90°，BC=a=14, ·BE=VBC2-CE ,142 53 2 -h96-5=V09 4 2 ∴AB=BE-AB=7095V79-5 22 2 即c=V709-5 2 (2)解：在RtABCE中，∠E=90°， 5v3 .sin B= C 2 5v5 BC=14=28 23/49 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=033,CE=53 2·CE⊥AB ·SAac 2B-CE=xV70-5x55_52127-255 2 2 2 8 7.如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB=cos∠DAC, (1)求证：AC=BD: O房m4c 13,BC=12,求AD的长： (3)若AB⊥AC,求cosC的值， 【答案】（①）证明：：AD是BC上的高， B D PC:.AD⊥BC .∠ADB=90°，∠ADC=90° 在Rt△ABD和Rt△ADC中， tan B=AD BD' cos∠DAC=AD 又'tanB=cos∠DAC, AD AD BD AC' ∴.AC=BD （②)解：在R△ADC中，mC=4P- AC 13' 可设AD=12k,AC=13k, .∠ADC=90°， ∴CD=VAC2-AD2=5k. BC=BD+CD,又AC=BD, 24/49 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.BC=13k+5k=18k. ,BC=12, 18k=12, 子 AD=12k=12x38 (3)解：设BD=AC=a,CD=b,AB=c, ,AD⊥BC, .AB2-BD2=AC2-CD2=AD2. c2-a2=a2-b2 .AB⊥AC .AB2+AC2=BC2, 则c2+a2=(a+b)2, .2a2=2b2+2ab, ..a2=b2+ab, -g8 b5-1 解得二= a 2 CD b5-1 ∴.cosC= AC a 2 8.综合与实践活动中，某数学兴趣小组要利用测角仪测量建筑物的高度.如图，建筑物DC前有个斜坡 AB,已知∠BAH=Q,AB=20m,C,A,H在同一条水平直线上.某学习小组在A处测得广告牌底部 D的仰角为45°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部E的仰角为22°，广告牌DE=2m, ◇ 22 45∠a C A (I)求点B到地面的距离BH的长； (2)求建筑物DC的高度（结果保留整数.（参考数据：sinu=0.60,cosa=0.80,tana=0.75, 25/49 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 tan22°≈0.40) 【答案】()点B到地面的距离BH的长为12m: (2)建筑物DC的高度约为27m 【详解】(1)解：由题意得∠BHA=90°，AB=20m,∠BAH=a, .BH=AB.sina=20×0.60=12(m), 答：点B到地面的距离BH的长为12m; (2)解：过点B作BF⊥EC于点F,如图，则∠BFC=90°， E 22之B 45a H C A 根据题意，∠EBF=22°，∠DAC=45°，DE=2m, ,∠BFC=∠FCH=∠H=90°， ∴四边形CHBF是矩形， .FC=BH =12m,FB=CH, :∠DAC=45°， Atm∠DaC=-DC-1, CA .'.DC=CA. :LBHA=90°，AB=20m,∠BAH=a, 、AH=ABc0sa=20×0.80=16(m), ..BF=CH=CA+AH=DC+16(m),EF=ED+DF=DE+(DC-FC)=DC-10(m), :tan∠EBF= EF BF' tan22°≈ DC-10 DC+16' ∴0.4=DC-10 DC+16? 解得DC≈27， 答：建筑物DC的高度约为27m 26/49 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C组 思维拔高 1.【最值间题】如图，在四边形ABCD中，∠BDC=90°，∠CBD=30°，AB=4,AD=2.当对角线 AC最大时，tan∠ABD的值为() 3 A 3 3 B 3 p.2 【答案】C 【详解】解：过点A作AB的垂线，在该垂线上取点E,使∠ABE=30°，如图所示， D .∠CBD=30° ∴.∠ABE=∠CBD ·∠ABE-∠EBD=∠CBD-∠EBD, 即∠ABD=∠EBC ∠BDC=90°，∠DBC=30°， .Cos∠DBC= D3 BC 2 同理，在Rt△ABE中， Cos∠ABE=BHV5 BE 2 BD BA BC BE' 又：∠ABD=∠EBC, ·AABD△EBC, AD_BD 3 EC BC2 27/49 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EC=2 3 AD=- 3 AB=4,∠ABE=30°，∠BAE=90°， an30°=4E-V5 AB 3' AE=3, 3x4=4 3· 由三角不等式：AC≤AE+EC.8 3 当A,E,C三点共线时取等号，此时AC最大， 当A,E,C三点共线时，如下图所示， ∠AEB=90°-∠ABE=609 .∠BEC=180°-∠AEB=120°， 由相似，∠BAD=∠BEC=120° 过点D作DH⊥AB,交BA的延长线于点H,如下图， ·.∠DAH=180°-∠BAD=60° 在Rt△ADH中： sin60°= AD2,cos60°=AH1 DH3 AD2 AD=2'得：DH= AD=4H=14D-1, 2 BH=AB+AH=4+1=5, 在Ri△BD中：am∠DBA=P1-5 BH 5 AB 2.【最值问题】如图，在。ABC中，AC2,BC边上的高4D是8，当BC最小时，anB=一. 28/49 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 1 【答案】20.5 【详解】解：在Rt△ABD和RtAACD中，由勾股定理得：AB2=BD2+AD2=BD2+64, AC2=CD2+AD2=CD2+64. AB :AC =2, 、.AB=2AC,即AB2=4AC2, .BD2+64=4(CD2+64), 整理得BD2-4CD2=192, CD=BD-BC, .BD2-4(BD-BC)2=192. 整理得3BD2-8BD.BC+4BC2+192=0, 将其看作关于BD的一元二次方程， 可知△=（-8BC)-4×3×(4BC2+192)≥0， 整理得BC2≥144， :BC>0, .BC212, 即BC的最小值是12， 3BD2-8BD×12+4×122+192=0, 整理得BD2-32BD+256=0, 即(BD-16}=0, 解得：BD=BD,=16 .tanB=4D-8 1 BD162· 3.【一线三垂直】如图，在四边形ABCD中，连结AC,AC⊥BC且AC=BC,点E在CD上，连结BE交 MC于点见若cE=,∠1DE=∠BED,m∠CEB-等DE=4,则AB的长为 29149 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 【答案】8V5 【详解】解：过点A作AM⊥CD交CD的延长线于点M,过点B作BN⊥DC交DC的延长线于点N,则 ∠M=∠N=∠ACB=90°， M. D B ∴，∠ACM+∠BCN=90°∠CBN+∠BCN=90° ∴∠ACM=∠CBN, 又AC=CB, ∴.△ACM≌△CBN .AM=CN,CM=BN, :∠ADE=∠BED .∠ADM=∠BEC an∠ADM=tan∠BEC=3=0, 设AM=CN=4x,则DM=3x, 由勾股定理，得AD=√AM+DMP=5x, ..CE=AD=5x, .BN=CM=DM+DE+CE=8x+4,EN=CE+CN=9x, ·tan∠BEN=BN EN 8x+44 9x-3 .x=1, ∴CN=4,BW=12, .BC=VCW2+BN2=V42+122=4V10, 30/49 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC⊥BC且AC=BC, .AB=√2BC=8V5 4【分类讨论】在R△ABC中，AB=34C=5∠B=90P是直线BC上一点，且cos∠B4P= 2,则 △ACP的周长为 【答案】9+V3或9+3V5 【详解】解：，在Rt△ABC中，AB=3,AC=5,∠ABC=90° .BC=VAC2-AB2=V52-32=4, ①如图，当点P在线段BC上时， :'Cos∠BAP=AB-V5 AP 2 B2、 .:AP=2 *3=25 :.BP=AP2-AB2 =3, .CP=BC-BP=4-3, ∴此时△ACP的周长为AC+CP+AP=5+4-3+2V5=9+V5: ②如图，当点P在线段BC的延长线上时， 同上可得：AP=2V3<AC,这与在钝角△ACP中，AP>AC不符，舍去： ③如图，当点P在线段CB的延长线上时， 同上可得：AP=2W3,BP=5, 31/49 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.CP=BC+BP=4+3, ∴此时△ACP的周长为AC+CP+AP-5+4+V5+25=9+3V3: 综上，△ACP的周长为9+V3或9+3√3， 5.【方程思想】如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，对角线AC,BD相交于点O,∠CAD=∠ABD 若AB=AC=10, tan∠ACD=3 4,则BD的长为 D B 【答案】 497 3 【详解】解：如图，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F,过点A作AE⊥BC于点E, B E C:AE⊥BCAB=AC ∴∠ABC=∠ACB,BE=CE, AE⊥BC,AF⊥CD,∠BCD=90°， ∴四边形AECF是矩形， ∴AE∥CF,AF∥EC,AF=EC, ∴·∠FAC=∠ACB=∠ABC,∠ACD=∠EAC. :∠CAD=∠ABD ∴·∠ABC-∠ABD=∠FAC-∠CAD,即∠DBC=∠DAF, tan∠ACD=4, ian∠EAC=EC_3 AE 4' 设EC=3x,AE=4x, 在RtAAEC中，AE2+CE2=AC2,即(4x)}2+(3x)2=102, 32/49 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=2(负值已舍去)， ∴EC=AF=6,AE=8, .BC=2EC=12, ∠DBC=∠DAF，∠BCD=∠AFD=9O°， .BCD△AFD, BC CD AFFD =2, .CD=2FD, .CD+FD=CF=AE=8, ∴CD=16 16 2 .BD=BC2+CD2 4v97 122 3 3 6.【动点问题】如图，在矩形ABCD中，AD=3,AB=6.点E在边AB上，点A关于直线DE的对称点 为点F,连接DF、EF,延长EF交射线DC于点G. D E B (1)下列线段中，始终与线段DG相等的是 ①BE②DE③GE (2)当点G与点C重合时，求tan∠ADE的值： (3)当CG=1时，求AE的长： (4)连接BG,当BG=DE时，直接写出线段AE的长. 【答案】(1)③ (2)2-V3 (3)AE=1或7-2V10 (④AE的长为1或3或35-6 【详解】(1)解：，四边形ABCD是矩形， .AB II CD .∠AED=∠CDE. 点A关于直线DE的对称点为点F, 33/49 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠AED=∠FED, ∴.∠FED=∠CDE, ..DG=GE ,在点E的运动过程中，线段DE、线段BE与线段DG不一定相等， ∴始终与线段DG相等的是线段GE. (2)解：如图， D (G)C 由(1)可知，DG=GE, 点G与点C重合， .DC=CE 四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠B=90°，AB=DC=6,AD=BC=3, .DC=CE=6 在RtoBCE中，BE=VGE2-BC2=V6-3=33, AE=AB-BE=6-3V3」 在Rt△ADE中，m∠1DE=5-6-35=2-5 AD 3 (3)解：①如图，当点G在点C的左侧时， 0 GC 四边形 是矩形， E B.: ABCD ∠A=90°，AB=DC=6, CG=1, ∴.DG=DC-CG=5, :点A关于直线DE的对称点为点F, .∠DFE=∠A=90°，DF=AD=3,AE=FE, :.∠DFG=180°-∠DFE=90° 34/49 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△DFG中，FG=VDG-DF2=VF-3子=4， 由(1)可知，DG=E=5, ∴.AE=FE=GE-FG=1: ②如图，当点G在点C的右侧时， CG AE B 同理可得GE=DG=DC+CG=7, 在Rt△DFG中，FG=VDG2-DF2=V7-32=2V10, .AE=FE=GE-FG=7-2v10 综上所述，AE=1或7-210 (4)解：设AE=x, 如图，当点G在点C的左侧时，作GH⊥AB于点H. D GC A E H B AD=CB 在R△HADE和R△CBG中，DE=BG .RtAADE≌RtACBG(HL). .AE=CG=x, ∴.DG=GE=DC-CG=6-x. ~四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠BCD=90° GH⊥AB ∴.∠EHG=∠BHG=90°， ∴四边形BCGH是矩形， :.CG=BH=x,GH=BC=3, ∴.EH=AB-AE-BH=6-2x. 在Rt△EGH中，GE2=GH2+EH2, 35/49 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .(6-x}2=32+(6-2x2, 整理，得x2-4x+3=0, 解得x=1或x=3. 当x=3时，点F和点G重合且是DC的中点，点E是AB的中点，满足BG=DE,符合题意： 如图，当点G在点C的右侧时， CG 和 中， F (AD=CB B Rt△ADE Rt△CBG DE=BG ∴.RtAADES≌RtACBG(HL), ..CG=AE=x. ~GE=DG=DC+CG=6+x,AE=FE=x,∠DFG=90°， ..FG=GE-FE=6 在Rt△DFG中，DG=VDF2+FG=V3+6=3V5, ∴AE=CG=DG-DC=3V5-6 综上所述，AE的长为1或3或35-6 7.【动点间题】如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC于点D,M为AD的中点.点P从 点D出发，沿DC-CA方向向终点A运动，在边DC上的速度为每秒3个单位长度，在边CA上的速度为每 秒5个单位长度.连结BMPM.设点P的运动时间为t(s)· B DP C (I)tanC的值为 (2)用含t的代数式表示CP的长： (3)当点B、P、M三点不共线时，以BM、MP为邻边构造平行四边形BMPN,当口BMPN为矩形时，求t 的值. 【答案】() (2)当0≤t≤1时，CP=3-3t:当1<t≤2时，CP=5t-5 36149 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0-号 【详解】(1)解：AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC, :.BD=CD=BC=3.LADC=90 1 2 由勾股定理得：AD=V52-32=4, ancs4D、4 CD-3: (2)解：分两种情况： ①当点P在CD上时，即0≤t≤1，如图1， M DP C 图1 ∴.PD=3t .PC=3-3t; ②当点P在AC上时，即1<t≤2，如图2， M D 图2 .∴.PC=5(t-1)=5t-5 综上：当0≤t≤1时，CP=3-3t;当l<t≤2时，CP=5t-5: (3)解：M是AD的中点，AD=4, :.DM=}4D=2, 当BMPN为矩形时，如图3，点P在CD上， M 四边形 是矩形， B D 图3 BMPN ∴.∠BMP=90°， 37/49 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BMD+∠DMP=90°， AD⊥BC, .∠ADB=90°， ∴.∠DBM+∠BMD=90°， ∠DBM=∠DMP, ∴tan∠DBM=tan∠DMP, DM PD 23t BDDM,即3-2， 1s4 9 8.【阅读理解】关于三角函数有如下的公式： sin(a+B)=sina cosB+cosa sin B；① cos(a+B)=cosa cos B-sinasinB:2 tan(a+B)= tana+tan B 1-tan a.tan B 1-tana-tanB≠0）；③ 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值. 根据上面的内容，你可以选择适当的公式解决下面的问题： (1)试求tan75°的值： (2)如图所示，直升机在一建筑物CD上方的点A处测得建筑物顶端点D的俯角α为60°，底端点C的俯角 B为75°，此时直升机与建筑物CD的水平距离BC为42m,求建筑物CD的高. B 【答案】(1)2+V3 (2)建筑物CD的高为84米 tan45°+tan30°3+√ 【详解】()解：an75°=tan(45°+30)-1-an45°xan303- =2+5: (2)解：如图，过点D作DE⊥AB于点E, 38/49 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E七- ⊙ 由题意可知，AB川CD, ∴.∠ABC=∠DCB=90°， ,DE⊥AB, ∴四边形DEBC是矩形， :.ED=BC,CD=BE, :在Rt△ADE中，∠ADE=a=60°， 、AE=ED:tan60°=BC.tan60°=423（米）， :在Rt△ACB中，∠ACB=B=75°， .AB=BC·tan75°， 由(1)可知，tan75°=2+V3 AB=42×(2+V3=84+42W5(米)， :.CD=BE=AB-AE=84+42V3-42V3=84(米). 答：建筑物CD的高为84米。 9.【项目探究】数学活动课上，老师说：“正方形是一个很奇妙的图形，它的四条边都相等，四个角都 是直角，而且通过添加线段，可以得到更多美妙的结论.”下面让我们一起来探究“奇妙的正方形”吧 B E E 图① 图② (I)【活动一】如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC,CD上的点，且AE=BF.请判断线段AE与 BF之间的位置关系，并说明理由： (2)【活动二】“探究小组”在【活动一】的基础上发现，当F是CD的中点时，连结OD,如图②，可求 出∠ADO的正切值.请你求出∠ADO的正切值 【答案】(I)AE⊥BF, 39/49 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 理由：四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC,∠ABE=∠BCF=90° AE=BF, .RteABES≌Rt△BCF(HL), ∠BAO=∠CBF. :∠AB0+∠CBF=90°， .∠AB0+∠BAO=90°， ∴.∠AOB=90°，即AE⊥BF. (2)解：如答图，过点D作DG⊥AO于点G,过点O作OM⊥AD于点M M D 四边形 是正方形， B E ABCD ∴.AB=BC=CD=AD 由【活动一】可知△ABE≌aBCF. :BE=CF. :F是CD的中点， E是BC的中点， .AB=BC=2BE. tan∠BAO= BO BE 1 AO AB 2 ..A0=2BO ∠ABO+∠BAO=∠BAO+∠MAO=90°， ∴.∠MAO=∠ABO ian∠MAo=Mo =tan∠ABO=2. AM ∴.OM=2AM ∠AGD=∠BOA=90°，AD=AB .AADG2△BAO(AAS), ∴.AG=BO 40/49 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..GO=AG, .DG垂直平分AO, ∴.AD=OD 设AM=x,AD=a,且a>x>0, 则OM=2x,DM=a-x,D0=a 在Rt△ODM中，由勾股定理，得OM2+DM2=DO, 即(2x}+(a-x2=a2, 2 解得x=5a,5=0(舍去)， DM=a-2a=3。 5a=a,0M=2x=4 0, ∴.tan∠ADO= OM 4 DM3· 拓展 链接中考 1.(2026山东淄博中考真题)如图，在矩形ABCD中，过点D作对角线AC的垂线，垂足为点E,连接 BE.若DE=1,∠AEB=36°，用科学计算器求BE的长，则下列按键顺序正确的是() 36 A ÷sin36= B 1☐×幻sim3]6= 1÷co3]6=☑ D 1×co36= 【答案】A 【详解】解：过点B作BF⊥AC于点F,如图： F 36 ,四边形ABCD是矩形， :.ABII CD,AB=CD, 41/49 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BAF=∠DCE, :DE⊥AC,BF⊥AC, .∠CED=∠AFB=90° I∠AFB=∠CED 在 和 中， ∠BAF=∠DCE △ABF△CDE AB=CD ,∴△ABF≌aCDE(AAS), ∴，BF=DE=1, :∠AEB=36°<90°，BF⊥AC. ∴点F在射线EA上， .∠BEF=∠AEB=36°， 在△BFE中，∠BFE=90° ·sin∠BEF=B E .BE=BF sin36°sin36° .按键顺序为l÷sin36=」 2.(2026江苏徐州中考真题)在平面直角坐标系中，将点A(0,6)绕原点按顺时针方向旋转45°得到点4， 则点A的坐标为 【答案】(3√2,32) 【详解】解：如图， % A B :点A坐标为(0,6)， 0A=6. ,将点A绕原点顺时针旋转45°得到点A, ∴.0A'=0A=6,∠A0A'=45° 过点A作AB⊥y轴于点B, 42149 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AB0=90°， ∴在Rt△AOB中，AB=AO-sin∠AOB=6sin45°=3√2， B0=A0:cos∠A0B=6cos45°=3V2, :点A在第一象限， “点的坐标为(32,32) 3.(2025黑龙江中考真题)如图，在矩形ABCD中，AD=6,∠CAD=60°，点E是边CD的中点，点 F是对角线AC上一动点，作点C关于直线EF的对称点P,若PE⊥AC,则CF的长为 D 【答案】3或9 【详解】解：如图所示，连接PC,交直线EF于点G,延长PE交AC于点H, 当点P在AC上方时， 、G D H ,在矩形ABCD中，AD=6,∠CAD=60°， .∠ACD=30°， AC=2AD=12. ∴.CD=VAC2-AD2=6N3, ,点E是边CD的中点， :.CE-1CD-33 2 ,点C关于直线EF的对称点P, .PE=CE=3N3,∠EGC=∠EGP=90°， PH⊥AC, 43149 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠EHC=∠EHF=90°， ,∠ACD=30°，∠ACD+∠CEH=∠ACD+∠CAD=90°， .∠CEH=∠CAD=60°， .∠PEC=120°， ..PE=CE, :∠CPE=∠PCE=)180-∠PEC)=30: 2 .'∠PEG=∠FEH,∠EGP=∠EHF=90°， ∴.∠CPE=∠EFC=30°， 、△CEF是等腰三角形， :.CH-FH-CF, 2 在RtaCEH中，CE=3V5,∠HCE=30°， ÷CH=CE-os∠HCE=35x5_9 22 .CF=2CH=9; 如图，当点P在AC下方时， D PE⊥AC, .∠CHE=90°， ∠ACD=30°， ÷∠CEP=60, CH=CE-COs LACD=3x9 22 由对称的性质得PE=CE, “△CEP是等边三角形， ∴.∠P=60°，CE=PC=PE=33」 六∠HBF=30,EH=PH=PE=3N3 2 2 44/49 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .HF=EH.tan∠PEF= 3V5V53 23=2 ∴.CF=CH-HF=3: 综上，CF的长为3或9 故答案为：3或9 4.(2026江苏常州中考真题)综合与实践：试衣镜的摆放 小丽购买了一块脚撑式无边框平面试衣镜（如图），镜面的长MN为1.2m、宽为0.5m.小丽的身高AB为 1.6m,眼睛距离地面的高度QB为1.5m. 0.5m 物理学告诉我们：平面 .2m 镜成像时，物与像关于镜面 对称. 【垂直摆放】小丽调节脚撑，使镜面MW与地面垂直，然后直立在试衣镜的正前方. A M M M 60o NA A 60° 7777 sm B B 图1 图2 图3 图4 (I)在图1中，用直尺和圆规补全小丽的像A'B'.(保留作图痕迹，不要求写作法) (②)如图2，小丽能从镜中看到自己像上的最高位置为C,求B'C的长。 【倾斜摆放】小丽再次调节脚撑，使镜面MN后倾，与地面的夹角为60°，然后直立在试衣镜的正前方. (3)当小丽能从镜中看到自己的全身像时，她和试衣镜下边沿N的最远、最近距离分别为sm,tm.如图3 是小丽和试衣镜下边沿N的距离为sm时的示意图，求s的值，并在图4中画出小丽和试衣镜下边沿W的 距离为m时的示意图（无需尺规作图），再列出关于t的方程（无需化简和解方程）· 45/49 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A A' M 【答案】(1) B1 B 图1 (2)BC'的长为0.9m u M (3) :示意图： A :方程： B 60° R T777T7 335 3 t 25 5 P 3,73,43 7+ 2 图4 21+10 2 5 【详解】(1)解：如图1，AB即为所求作. M 图1 (2)解：如图2，过点C'作CC⊥AB于点C,交MN于点D, A ch.. B 77777 图2 由题意，得AB⊥1，MN⊥1，B'C⊥1， ∴四边形B'CCB,B'CDN，,BCDN均为矩形. .CC'=BB',CD=BN.C'D=B'N,BC=ND=B'C' 46/49 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设B'C'=xm,则DN=BC=xm, .OC=OB-BC=(1.5-x)m,MD=MN-DN =(1.2-x)m 由题意，BN=B'N, ∴.CD=CD,C'C=2CD :AB∥MN, .∴△C'DMAC'CQ MD C'D m1.2-x_1 QccC,即1.5-x2 解得x=0.9,即B'C的长为0.9m, (3)解：如图3，小丽和试衣镜下边沿N的最远距离为sm,则眼睛Q、试衣镜下边沿N、点B在一条直 线上，连接BB,交MN的延长线于点E,则∠BNE=6O°， MA B 60° 77771 >A1 sm B' 图3 .∴.∠B'NE=∠BWE=609 ∴.∠QNB=180°-∠BNE-∠B'NE=60° 在Rt△QBN中，QB=1.5m, an∠QB5=2(m),即s= ∴BN= OB =1.53 2 如图4，小丽和试衣镜下边沿N的最近距离为m,则眼睛Q、试衣镜上边沿M、点A'在一条直线上，连 接AA',交NM的延长线于点O,分别延长AB,MN交于点P,连接A'P,交I于点R. 47/49 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 T A 点，关于直线 对称， B 60° 图4 .AA' MN 六AA⊥MN,AP=A'P, .∠ABN=∠AON=90°， .∠A=∠MWR=60°， ∴△APA为等边三角形 在Rt△BPN中，BP=V3BN=3m, ∴AA=AP=BP+AB= a*n 过点4作H⊥AP于点H过点M作MI⊥AP于点T·过点N作S⊥M灯于点S:则4=PH=P MTIAH :△OTM∽aOHA',四边形BNST是矩形， OT TM OH H. BT-NS=MN.sin 603 =3×2=S(m）,s=BN=m --oc() .QT =QB-BT =QB-NS ( m, TM =TS+MS=BN+MS=+5m. ,3 48149 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 33V5 25 t+5 关于的方程为3,7 3,45· (方程表示形式不唯一，正确即可) ..t 2+102+5 、t+ 49/49