2026-2027学年人教版九年级数学上册期中模拟卷

2026-2027学年人教版九年级数学上册期中模拟卷 测试范围:第25章反比例函数 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 3．一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（     ） A． B． C．D． 4．2026年云南省城市篮球联赛总决赛在昭通举办，男子五人制赛事分小组进行单循环比赛，某小组共有x支球队，每两队之间都比赛一场，该小组一共进行了6场比赛，则下列方程中符合题意的是（     ） A． B． C．D． 5．若点，在同一个函数图象上，则这个函数的表达式可能为（     ） A． B． C． D． 6．在同一坐标系内，函数和的图象大致为（     ） A． B． C． D． 7．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，将二次函数的图象竖直向上平移个单位长度后所得的图象与轴有两个交点，且这两个图象与轴的四个交点中，每相邻两点间的距离都相等，那么的值是(     ) A．18 B．16 C．2 D． 8．已知二次函数（为常数），在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，则的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，，连接，．若点为的中点，的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O在原点上，点A，C分别在x轴和y轴正半轴上，反比例函数图象交于点D，交于点E，连接并延长，交图象于点F，连接，若，，则k的值等于（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．用公式法解方程时，得，则“”处应填_________． 12．在函数的图象上有三个点，，，函数值，，的大小关系为________． 13．二次函数的部分图象如右图所示，则当时，x的取值范围是________________________． 14．若关于x的一元二次方程有两个根，且满足，则的值为________． 15．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，都在反比例函数的图象上，顶点，分别在轴的正半轴、轴的正半轴上，对角线轴．若菱形的面积为，则的值为________． 16．抛物线经过点，对称轴为直线，其部分图象如图所示．给出下面四个结论： ①； ②； ③若为任意实数，则； ④关于的一元二次方程的两个根都大于． 上述结论中，所有正确结论的序号是________． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）解下列方程 (1) (2) (3) (4) 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求和的值； (2)点是轴上一点，连接，且，求点的坐标． (3)观察图象，直接写出不等式的解集． 19．（8分）如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿边向终点B以的速度移动，同时点Q从点B出发，沿边向终点C以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：____________，____________；（用含t的代数式表示） (2)设的面积为y，点P，Q的运动时间为t秒，求y与t的函数解析式，并写出t的取值范围． (3)在动点P，Q运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 20．（8分）如图，抛物线L：，直线l：与抛物线、x轴分别相交于Q、P． (1)时，Q点的坐标为_________； (2)当P、Q两点重合时，求t的值； (3)当Q点达到最高时，求抛物线解析式； 21．（10分）借助函数的研究经验，探究函数的图象与性质． (1)函数的自变量的取值范围是__________； (2)补全表格： … … … … (3)补全表格后，根据表格中各组，的值，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并结合对函数解析式的分析，画出该函数的图象； (4)过点（）作轴的垂线，分别交直线与函数的图象于点，，将线段平移到（点的对应点为），为点关于原点的对称点，直接写出的面积随的变化情况． 22．（10分）阅读下面材料：已知，是一元二次方程（）的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”． 在学习了求根公式法解方程后，小星同学发现：，最后得到“差根方程”中，，之间的关系是．例如：一元二次方程两根是，，满足，则方程是“差根方程”（或者：∵，∴原方程是“差根方程”） 请你根据以上定义和推导，解决下列问题： (1)下面有两个一元二次方程，请分别判断是不是“差根方程”，写出判断过程； ①；② (2)已知关于的一元二次方程是“差根方程”，求的值； (3)若关于的“差根方程”的一个根是（，，均为常数，），则方程是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 23．（10分）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． (1)求点A，B，C的坐标和顶点P的坐标； (2)求的面积． (3)在x轴上方抛物线上存在一点Q，使得，直接写出点Q的坐标． 24．（10分）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数交于、两点，与直线交于点E． (1)求的表达式； (2)点P在反比例函数图象上，且在直线下方，若求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，且点P在第一象限，如图2所示，将点P沿射线方向平移个单位得到点，点F在反比例函数图象上，且满足，请直接写出点F的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版九年级数学上册期中模拟卷 测试范围:第25章反比例函数 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：是正比例函数，不是二次函数． B选项：是一次函数，不是二次函数． C选项：，右边不是整式，不是二次函数． D选项：，是二次函数． 2．已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 3．一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（     ） A． B． C．D． 【答案】D 【详解】解： 方程配方后得到． 4．2026年云南省城市篮球联赛总决赛在昭通举办，男子五人制赛事分小组进行单循环比赛，某小组共有x支球队，每两队之间都比赛一场，该小组一共进行了6场比赛，则下列方程中符合题意的是（     ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】赛制为单循环比赛（每两支球队之间都只比赛一场），每个小组x个球队比赛总场数，由此可得出方程． 【详解】解：设某小组共有x支球队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛， 由题意得：． 5．若点，在同一个函数图象上，则这个函数的表达式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两点坐标逐项代入函数验证即可． 【详解】解：选项A，把代入，得， ∵，∴，∴点不在该函数图象上，A错误． 选项B，把代入，得，令，解得，与矛盾，B错误． 选项C，把代入，得，把代入，得，即，符合条件，C正确． 选项D，把代入，得，把代入，得，不符合条件，D错误． 6．在同一坐标系内，函数和的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与二次函数的图象的性质，牢记解析式的系数与图象的关系是解题的关键；分别分析当时和当时，函数图象的开口方向和顶点位置，函数的图象所经过的象限，从而可得出答案． 【详解】解：根据题意， 当时，函数开口向上，顶点在原点；而函数的图象应该是随着的增大而增大，并且过点，即图象应该过第一、二、三象限； 当时，函数开口向下，顶点在原点；而函数的图象应该是随着的增大而减小，并且过点，即图象应该过第一、二、四象限； 分析选项可得，只有D选项符合题意． 7．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，将二次函数的图象竖直向上平移个单位长度后所得的图象与轴有两个交点，且这两个图象与轴的四个交点中，每相邻两点间的距离都相等，那么的值是(     ) A．18 B．16 C．2 D． 【答案】C 【分析】求出原抛物线与轴交点坐标，根据平移性质及等距条件确定新交点坐标，代入平移后的解析式求解． 【详解】解：令，得， 解得，即， ． 图象竖直向上平移个单位长度 新图象与轴的交点在线段上 四个交点中，每相邻两点间的距离都相等 相邻两点间距离为 新图象与轴交点的横坐标为和 平移后的解析式为 当时，，即 解得． 8．已知二次函数（为常数），在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，则的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】由给定范围内函数最小值大于顶点纵坐标，可知对称轴不在范围内，分两类求解． 【详解】解：该二次函数的顶点坐标为，最小值为4． ∵当时，的最小值为， ∴对称轴不在的范围内， 分两种情况讨论：当时， ∵，时随增大而增大， ∴时取最小值8， 代入得，整理得， 解得，（不符合，舍去）． 当时， ∵，时随增大而减小， ∴时取最小值8， 代入得，整理得， 解得，（不符合，舍去）． 综上，的值为或． 9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，，连接，．若点为的中点，的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，  利用矩形的性质和中点坐标公式表示出点的坐标，即得，，又由的面积为，可得，最后根据三角形面积公式解答即可． 【详解】解：设，   ∵是矩形，且点为的中点，点，在轴的正半轴上， ∴点纵坐标为，， 把代入反比例函数解析式，得，   ∴， ∴点横坐标为，   ∴点横坐标为， 把代入反比例函数解析式，得， ∴， ∴， ∵的面积为，点为的中点， ∴， ∵， ∴， 解得． 10．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O在原点上，点A，C分别在x轴和y轴正半轴上，反比例函数图象交于点D，交于点E，连接并延长，交图象于点F，连接，若，，则k的值等于（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】利用线段比例设出边长，结合反比例函数的几何意义，通过割补法求三角形面积，建立关于的方程求解． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵， ，，则． 将代入，得． 在上，横坐标为，代入，得， ． 与关于原点对称， ， ． 由割补法可得， ． ， ，解得， ． 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．用公式法解方程时，得，则“”处应填_________． 【答案】 【详解】解：原方程化为一般形式为， ， ，     ， ∴“”处应填． 12．在函数的图象上有三个点，，，函数值，，的大小关系为________． 【答案】 【分析】结合反比例函数的图象分布与增减性，根据三个点的横坐标判断所在象限，即可比较函数值大小． 【详解】解：对于反比例函数，比例系数， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵点、的横坐标为负数， ∴这两个点位于第三象限，对应的函数值均为负数， ∵，且在第三象限内，随的增大而减小， ∴， ∵点的横坐标为正数， ∴该点位于第一象限，对应的函数值， 综上可得． 13．二次函数的部分图象如右图所示，则当时，x的取值范围是________________________． 【答案】 【分析】根据二次函数图象的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，再根据当时，函数图象位于x轴上方解答即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵当时，函数图象位于x轴上方， ∴x的取值范围是． 14．若关于x的一元二次方程有两个根，且满足，则的值为________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入给定等式求解，再通过判别式验证解的合理性． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个根，， ∴根据根与系数的关系，可得，， ∵， ∴对等式变形得， 将，代入上式，得， 化简得， 解得， ∵一元二次方程有两个实数根，需满足判别式， ∴将代入判别式，得，符合方程有两个实数根的条件. ∴的值为． 15．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，都在反比例函数的图象上，顶点，分别在轴的正半轴、轴的正半轴上，对角线轴．若菱形的面积为，则的值为________． 【答案】 【分析】连接，由菱形的性质得到，由平行线的性质得到，根据反比例函数比例系数的几何意义可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形，且其面积为6， ∴， ∵轴， ∴轴，且， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过第一象限， ∴， ∴． 16．抛物线经过点，对称轴为直线，其部分图象如图所示．给出下面四个结论： ①； ②； ③若为任意实数，则； ④关于的一元二次方程的两个根都大于． 上述结论中，所有正确结论的序号是________． 【答案】①③/③① 【分析】根据对称轴公式可判断①；根据对称性可知，抛物线经过点，则抛物线与x轴有两个交点，据此可判断②；根据函数图象开口向下，则对称轴处函数有最大值可判断③；根据抛物线与直线的两个交点都是在x轴下方可判断④． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过点， ∴由对称性可知，抛物线经过点， ∴抛物线与x轴有两个交点， ∴对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，故②错误； ∵函数图象开口向下， ∴在对称轴处函数有最大值， ∴函数的最大值为， ∴对于任意的实数m有，即，故③正确； ∵函数图象开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵抛物线与直线的两个交点都是在x轴下方， ∴这两个交点的横坐标一个小于，一个大于1， ∴关于的一元二次方程的两个根一个小于，一个大于1，故④错误． 综上所述，正确的有①③． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）解下列方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）化系数为1，再开平方即可； （2）配方后再开平方即可； （3）先因式分解，再解方程； （4）利用公式法求解． 【详解】（1）解：， ， ， 解得； （2）解：， ， ， ， 解得； （3）解： ， 或， 解得； （4）解：， ， 则 ， 解得． 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求和的值； (2)点是轴上一点，连接，且，求点的坐标． (3)观察图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2)的坐标为或 (3) 【分析】（1）由题意把代入可得，再把代入即可求的值； （2）根据，可求出，分两种情况：当在右侧时，可得的坐标为，当在左侧时，可得的坐标为； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 点的坐标为， 又点也在反比例函数上， （2）解：∵点是轴上一点，连接，且，如图， ， ∵， ， ， ∵直线， 当时，则， ∴点的坐标为； 当在右侧时， ， ， 当在左侧时， ， ， 综上所述，的坐标为或． （3）解：由图象可知，关于的解集为：． 19．（8分）如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿边向终点B以的速度移动，同时点Q从点B出发，沿边向终点C以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：____________，____________；（用含t的代数式表示） (2)设的面积为y，点P，Q的运动时间为t秒，求y与t的函数解析式，并写出t的取值范围． (3)在动点P，Q运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)y与t的函数解析式为，t的取值范围为 (3)存在，或 【分析】（1）利用“路程=速度×时间”，把各自的速度与时间t相乘，分别求出和，然后根据求出． （2）根据列解析式，求出到的时间及到的时间，由一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动即可得t的取值范围； （3）先算出矩形面积，五边形面积是矩形的，说明面积是矩形的，列方程求解并检验t是否在取值范围内． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴（）； （2）解：∵， ∴， ∵到：，到：， ∴t的取值范围为； （3）解：矩形面积：， ∵五边形的面积为矩形面积的， ∴的面积为， ∴， 解得，，都满足， ∴存在，或． 20．（8分）如图，抛物线L：，直线l：与抛物线、x轴分别相交于Q、P． (1)时，Q点的坐标为_________； (2)当P、Q两点重合时，求t的值； (3)当Q点达到最高时，求抛物线解析式； 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）当时，抛物线L为：，直线l为：，把代入求解即可； （2）当P、Q两点重合时，直线l与抛物线L交于x轴，所以交点的纵坐标为0，即可列方程求解； （3）先求出，当Q点达到最高时，的值最大，设，则时，M有最大值，再把代入即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线L为：，直线l为：， 当时，， 点的坐标为； （2）解：当P、Q两点重合时，直线l与抛物线L交于x轴， 交点的纵坐标为0， ， 解得，； （3）解：当时，， ， 当Q点达到最高时，的值最大， 设， 则， 即当时，M有最大值， 抛物线解析式为，即． 21．（10分）借助函数的研究经验，探究函数的图象与性质． (1)函数的自变量的取值范围是__________； (2)补全表格： … … … … (3)补全表格后，根据表格中各组，的值，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并结合对函数解析式的分析，画出该函数的图象； (4)过点（）作轴的垂线，分别交直线与函数的图象于点，，将线段平移到（点的对应点为），为点关于原点的对称点，直接写出的面积随的变化情况． 【答案】(1)； (2) … 1 2 3 … … 0 … (3) (4)无论为何值，的面积不变，为． 【分析】（1）由在分母上，得出； （2）由对应的值，求出对应的函数值即可； （3）连点成线，画出函数图象； （4）由题意得到点，，点，算出，根据面积公式求出得出答案． 【详解】（1）解：函数的自变量的取值范围是； （2）略 （3）略 （4）解：如图： ∵，轴， ∴点，， ∴， ∵为点关于原点的对称点， ∴点， ∴ ， ∴无论为何值，的面积不变，为． 22．（10分）阅读下面材料：已知，是一元二次方程（）的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”． 在学习了求根公式法解方程后，小星同学发现：，最后得到“差根方程”中，，之间的关系是．例如：一元二次方程两根是，，满足，则方程是“差根方程”（或者：∵，∴原方程是“差根方程”） 请你根据以上定义和推导，解决下列问题： (1)下面有两个一元二次方程，请分别判断是不是“差根方程”，写出判断过程； ①；② (2)已知关于的一元二次方程是“差根方程”，求的值； (3)若关于的“差根方程”的一个根是（，，均为常数，），则方程是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 【答案】(1)解：①方程是“差根方程”， ∵，，， ∴， ∴该方程是“差根方程”． ②方程不是“差根方程”． ∵，，， ∴， ∴该方程不是“差根方程”． (2) (3)解：方程不是“差根方程”，理由如下， ∵是“差根方程”， ∴． ∵是该方程的根， ∴，即． 将代入，得， 整理得，即， ∴或． 对于方程，其判别式， 若该方程是“差根方程”，则需满足，即， 解得或，与或（）矛盾． ∴方程不是“差根方程”． 【分析】（1）①确定，计算的值等于 1，和相等，依据判定条件判断它是差根方程，②确定，计算的值等于 8，和不相等，依据判定条件判断它不是差根方程． （2）根据差根方程结论，代入列方程，化简求出． （3）先用差根方程条件得到，再把根代入得到，代入化简得到或，再写出的判别式，假设它是差根方程求出或，两组结果矛盾，因此不是差根方程． 【详解】（1）略． （2）解：∵ 方程是 “差根方程”，， ∴ ， ∴ ； （3）略． 23．（10分）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． (1)求点A，B，C的坐标和顶点P的坐标； (2)求的面积． (3)在x轴上方抛物线上存在一点Q，使得，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)，，， (2) (3)或 【分析】（1）抛物线与x轴交点的纵坐标为0，令解一元二次方程即可得到点A、B的横坐标；抛物线与y轴交点的横坐标为0，所以令得到点C的纵坐标；将抛物线解析式转化为顶点式得到P的坐标； （2）先求直线解析式，过作竖直线交于一点，用铅垂高水平底的方法算出面积； （3）先结合为底用点Q纵坐标表示，算出的值，进而求出点纵坐标，代入抛物线解析式即可得到点坐标． 【详解】（1）解：令，得， 解得，， ∴，， 令，， ∴， ∵， ∴； （2）解：设直线的解析式为，代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴的垂线交于点， 把代入，得， ∴， ∴； （3）解：∵点Q在x轴上方，即， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵点Q在抛物线上， ∴， 解得，， ∴点Q的坐标为或． 24．（10分）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数交于、两点，与直线交于点E． (1)求的表达式； (2)点P在反比例函数图象上，且在直线下方，若求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，且点P在第一象限，如图2所示，将点P沿射线方向平移个单位得到点，点F在反比例函数图象上，且满足，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点P作轴交于点Q，设，则，则，求解即可； （3）根据平移求出，当F点在第三象限时，过作轴交于G点，根据所给条件推导出，则直线与反比例函数图象的交点为F点；当F点在第一象限时，过作轴，且，过H点作，且，连接，可得，则直线与反比例函数图象的交点为F点． 【详解】（1）解：将代入中， ∴， ∴， 将代入， ∴， ∴， 将，代入中， ∴， 解得， ∴的表达式为； （2）解：过点P作轴交于点Q， 当时，解得， ∴， 设，则， ∴， 解得， 经检验，均为原分式方程的解， ∵ ∴或； （3）解：∵点P在第一象限， ∴， ∵点P沿射线方向平移个单位， ∴P点向左平移4个单位，向上平移4个单位， ∴， 当F点在第三象限时，过作轴交于G点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 将代入得，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，解得（舍）， 经检验，为原分式方程的解， ∴； 当F点在第一象限时，当时，， 即， 过作轴，且，过H点作，且，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在线段上， 设直线的解析式为， 将、代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，解得（舍）， 经检验，为原分式方程的解， ， ∴； 综上所述：F点坐标为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 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