辽宁铁岭市部分县2026-2027学年九年级上学期期中数学试卷

九年数学 （本试卷共23题　　满分120分　　考试时间120分钟） 注意事项： 1．考生务必将考场/座位号、姓名、班级填写在答题卡相应位置上． 2．考生应把试题答案答在答题卡上对应题目处，答在试卷上无效． 3．选择题，需用2B铅笔涂黑在答题卡对应的选项中 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求） 1．下列命题为真命题的是 （ ） A．菱形、矩形、正方形都是轴对称图形 B．矩形的对角线互相垂直 C．对角线互相垂直的四边形一定是菱形 D．菱形的对角线相等 2．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 3．如果，那么的值为 （ ） A． B．或 C． D．2或 4．已知，是方程的两个实数根，则 （ ） A． B． C． D．2 5．在中，对角线与相交于点，是等边三角形，，则的面积是 （ ） A． B．16 C．32 D． 6．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的 （ ） A． B． C． D． 7．在一幅长90 cm，宽40 cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积占整个挂图面积的72%，那么金色纸边的宽应该是多少？设金色纸边的宽是，根据题意，可列方程为 （ ） A． B． C． D． 8．若，和是它们的对应角平分线，已知，，则与的对应高的比为 （ ） A． B． C． D． 9．在菱形中，对角线、相交于点，和的长是关于的方程的两个根，则的长为 （ ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．如图，在矩形中，对角线、相交于点，在的延长线上取一点，连接，交于点，已知，，，则的长 （ ） A． B． C． D． 第二部分　非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知是关于的方程的一个根，则的值为________． 12．如图，正方形的对角线与相交于点，点在上运动，连接，过点作，交于点，，则四边形的面积为________． 13．已知：中，点、分别在和上，且，，则________． 14．四条线段，，，成比例，其中，，，则线段的长=________． 15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，，，，已知矩形与矩形位似，位似中心是原点，且矩形等于矩形面积的则点的坐标为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16．（10分） （1）（5分）解方程： （2）（5分）解方程： 17．（8分） 已知：如图，在中，对角线与相交于点，，且和的长是关于的一元二次方程的两个根，， （1）求和的长； （2）求证：是菱形． 18．（8分） 定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“紫金方程”． （1）判断一元二次方程是否为“紫金方程”，并说明理由： （2）已知是关于的“紫金方程”，若，是此方程的两个根，求的值． 19．（8分） 如图，与相交于点，且，，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）若，，求的值． 20．（8分） 如图，在中，，是的一条角平分线，过点作，过点作，与相交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 21．（8分） 如图，在中，，，点是的中点，连接，，动点从点出发沿边运动，速度为，到点停止，动点从点出发沿边运动，速度为，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． （1）当t为何值时，； （2）在运动过程中，点，，组成的三角形能否与相似？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 22．（12分） 根据以下资料，完成探索任务． 活动主题 探索某品牌冰箱在某商场的销售利润问题 探究背景 某商场在2026年国庆节期间促销某品牌冰箱，每台进价为2500元，标价为3100元． 资料1 该商场举行了“喜迎国庆，回馈新老用户”抽奖活动，将冰箱价格连续两次下调，每次降价的百分率相同，最后以每台2511元的价格卖给中奖者 资料2 经市场调研表明：当每台冰箱的售价为2900元时，平均每天能售出8台，当售价每降低50元时，平均每天能多售出4台．若商场要想使该品牌冰箱平均每天的销售利润为5000元 问题解决： （1）求每次降价的百分率； （2）求每台冰箱的售价应定为多少元？ 23．（13分） 如图，在四边形是正方形，点在对角线的延长线上，连接，，过点作，交的延长线于点，过点作，分别交于点，交于点． （1）直接写出和的数量关系_________； （2）猜想的形状，请说明理由； （3）若，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $九年数学试卷参考答案 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 题号1234567 89 10 答案ADBCDB BCD A 第二部分非选择题（共0分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 9 11.-1；12.4;13.8；14.1cm;15.(3,2)或(-3，-2) 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16.(10分) (1)(5分)解：x2+12x+27=0 (x+3x+9]=0（1分) .x+3=0或X+9=0 --（3分) ￥=-3.2=-9 --(5分) （配方法：配方正确3分，解正确2分；公式法：a,b,c正确1分，算出b2-4ac>0正确1分，求根公式代数正 确1分，，解正确2分) (2)(5分)解：2(x+32=x(x+3】 2(x+32-x(x+3)=0. 原方程可变形为： -(1分) .x+3(2x+6-x)=0 (2分) “.x+3=0或x+6=0 --（3分) X1=-3X2=-6 (5分) 17.(8分) 1)解：x2-3x+2=0 (x-1)x-2=0 x-1=0或x-2=0 X1=1,X2=2 -（2分) :OA和OB的长是关于x的一元二次方程x2-3x+2=0的两个根，OA>OB, 九年数学答案第1页共6页 ∴.0A=2,OB=1- (4分) (2)证明：在△AOB中 .0A=2,OB=1,AB=V5 04A+0B=2+12=5,AB=（V5)5 ∴.0A2+0B2=AB2.---------（5分) ∴.△AOB是直角三角形，∠AOB=90°- --(6分) ∴.AC⊥BD-- -（7分) □ABCD是菱形.. -（8分) 18.(8分) (1)解：是-(1分) 2xr2+3x+1=0 ∴.a-2,b=3,c-1-(2分) .a-b+c=2-3+1=0-.- -(3分) 一元二次方程2x2+3x+1=0是“紫金方程” (4分) (2):x2+mx+6=0是关于x的“紫金方程” ∴.1-m+6-0,解得m=7-- -(5分) :,是方程+7x+6=0的两个根 、+X=7,=6 (6分) :(G++)=x+x++1=6+(-7)+1=0 -（8分) 19.(8分) (1)证明：，AC∥BD ∴.∠C=∠D- (1分) .AE⊥DC,BF⊥DC ∴.∠AEC=∠BFD=90° (2分) ∴.△AEC∽△BFD AE AC .BFBD」 --…（3分) 九年数学答案第2页共6页 ·AEBD=AC·BF (2).AC=7,BD=4, AE AC 7 :BF BD4.... (5分) ,∠AEC=∠BFD=90°，∠AOE=∠BOF ∴.△AE0∽△BF0-（7分) OE AE 7 .OFBF4」 (8分) 20.(8分) (1)证明：，'AE∥BC,CE∥AE- --（1分) ∴四边形ADCE是平行四边形- (2分) ,AB=AC,AD是△ABC的一条角平分线， ∴.AD⊥BC-- -(3分) ∴.∠ADC=90 ∴.□ADCE是矩形- (4分) (2)解：，AB=AC,AD是△ABC的一条角平分线，BC-6 11 ..BD=DC=2 BC=2 x6=3-. (5分) .在△ADB中，∠ADB=90 .'AB=8,BD=3 :AD=VAB2-BD2=V82-32=V55 (6分) ,四边形ADCE是矩形 .EC-AD=V55,∠ECD=90 -----（7分) BE=BC2+CE2=6+(55)=91 (8分) 21.(8分) (1)解：，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点， .'CD=20cm, ∴.AB=2CD=2×20-40(cm),AD=CD=20cm-- (1分) BC-10/7 cm :4C=VAB2-BC2=V402-10W7)=30(cm)】 -(2分) .'AE=4t,CF=3t ..AF=AC-CF=30-3t ,EF∥CD 九年数学答案第3页共6页 AE AF 4t30-3t ADAC,即2030，- (3分) 10 解得：t长3 (4分) (2)解：能 .DA=DC .∠A=∠DCF AE AF 4t_30-3t 当△AEF-△CFD时CFCD,即：3t20(5分) 10 解得t=0(舍去)，t9 1010 .CF=3t=3x9=3(cm） --（6分) AF AE 30-3t-4t 当△AFE-△CD时CFCD,即： 3t 20--(7分) 解得t=-10（舍去)，=5 ∴.CF=3=3×5=15(cm) 10 ∴.CF的长为3cm或15cm.(8分) 22.(12分) （1)解：设每次降价的百分率为x -(1分) 根据题意，得：3100(1-x)=2511- (3分) 解这个方程，得x=0.1=10%,士=1.9（舍去） (5分) 答：每次降价的百分率为10%- (6分) (2)解：设每台冰箱应降价y元 (7分) (2900-y-2500(8+×4)=5000 根据题意，得： 50 (9分) 解这个方程，得：=2=150 ----（10分) 2900-150=2750(元)----(11分） 答：每台冰箱的售价应定为2750元(12分) 九年数学答案第4页共6页 23.(13分) （1)PA=PC-- （2分) (2)△PCE是等腰三角形 ---（3分) 理由如下：四边形ABCD是正方形 ∴.AD-CD,∠ADC=90°，AB=CB .BD=BD ∴.△ABD≌△CDB(SSS) 人 ∴.∠ADB=∠CDB=2∠ADC-45, .∠ADP=∠CDP=135°， .DP=DP .∴.△APD≌△CPD(SAS) ∠PAD=∠PCD-- -(4分) 设∠PAD=∠PCD=a ∴.∠APD=∠ADB-∠PAD=45-a PA⊥PE,∴.∠APE=90 ∴.∠BPE=∠APE-∠APD=90°.(45-a)=45°+a ,∠DBC=45°， ∴.∠PEB=180°-∠BPE∠DBC180°.(45+a)-45=90-a--- (5分) ,四边形ABCD是正方形 ..∠DCB=90°， ∴.∠DCE=180°-∠DCB=90°， :∠PCD=a ∴.∠PCE=∠DCE∠PCD=90°--- （6分) .∠PCE=∠PEB ∴PC=PE -（7分) ∴.△PCE是等腰三角形 (3)解：过点P作PG⊥CE,垂足为G- -(8分) .'∠PGB=90°，∠PBC-45°；∴.∠BPG=∠PBC-45°， ..PG=BG :BP=8W2, :.BP=√BG2+PG=V2BG=8√2 ..PG-BG=8 .BD=3DP:..BP-BD+DP-4DP-8v2 九年数学答案第5页共6页 ∴DP=2V2 ∴BD=3DP=6V2 2 ..BC=CD=2 BD=6 .CG=BG-BC-8-6-2-- (9分) ,CF⊥PC:∴.∠FCP=90° .∠FCB+∠GCP=180°-∠FCP=90° :∠ABC=90;.∠FCB+∠BFC=90 ∴.∠BFC=∠GCP .∵ㄥFBC=ㄥCGP=90 ∴.△FBC△CGP- (10分) BF BC BF 6 ·GCGP,即28 3 BF= (11分) ,四边形ABCD是正方形 ∴.AB∥CD ∴.∠BFH=∠DCH .∠BHF=∠DHC ∴.△FHB一△CHD-- -(12分) 3 FH FB 21 .HC CD 6 4 (13分) 九年数学答案第6页共6页