精品解析：上海市松江区2026-2027学年八年级上学期期中考试数学试题

2026学年第一学期八年级数学学科期中质量监测试卷 （满分100分，答题时间90分钟） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分共18分） 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于的方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 当时，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 对于一元二次方程，当满足下列哪个条件时，原方程有两个不相等的实数根（ ） A. ， B. ， C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 16的平方根是_______． 8. 在实数范围内，当______时，有意义． 9. 比较大小： ______ （填 、或） 10. 方程的解是_____． 11. 我们生活在物质的世界里，所有的物质都是由一些看不见的微小粒子构成的，例如水就是由水分子构成的．科学家们通过测量发现一个水分子的直径仅约，其中用科学记数法表示为______________． 12. 第48届世界技能大赛在上海举办，来自中国香港的戴心怡是瓷砖贴面项目唯一女选手，凭借精准的测量与裁切完成比赛如图1．在比赛过程中经常要对现有的瓷砖进行切割，如图2阴影部分是戴心怡在一块正方形瓷砖上裁去面积为和的两个小正方形后剩下的部分，请问阴影部分瓷砖的面积为：______． 13. 如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，观察作图痕迹得点所表示的数为__________. 14. 不等式的解集是______． 15. 如果的小数部分是，是的整数部分，那么______． 16. 若关于的一元二次方程的一个根是0，则______． 17. 请在方程的“（ ）”内添加一项，使得这个关于的一元二次方程有一个根为，请写出一种添项的方法：______． 18. 已知、、满足，则______． 三、简答题（本大题共6题，每题5分，满分30分） 19. 计算： 20. 计算： 21. 计算：（） 22. 用配方法解方程： 23. 解方程： 24. 解方程：． 四、解答题（本大题共4题，25，26，27每题6分，28题10分，满分28分） 25. 对于解方程，小因的做法如下： 解：等式的右边提取因数2化简，得，步骤① 两边同时除以，得，步骤② 去括号，得，步骤③ 移项、合并同类项，得，步骤④ 系数化为1，得．步骤⑤ （1）已知小因的解答是错误的，开始出现错误的步骤是 ．（填序号） （2）错误原因是： ；请给出正确的解答过程． 26. 先化简，再求值：，其中，． 27. 根据下表回答下列问题： 12 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8 12.9 144 146.41 148.84 151.29 153.76 156.25 158.76 161.29 163.84 166.41 （1） ， ， ； （2）的整数部分是 ，小数部分是 ； （3）若，则满足条件的整数有 个． 28. 阅读下面材料：已知，是一元二次方程（）的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”． 在学习了求根公式法解方程后，小星同学发现：，最后得到“差根方程”中，，之间的关系是．例如：一元二次方程两根是，，满足，则方程是“差根方程”（或者：∵，∴原方程是“差根方程”） 请你根据以上定义和推导，解决下列问题： （1）下面有两个一元二次方程，请分别判断是不是“差根方程”，写出判断过程； ①；② （2）已知关于的一元二次方程是“差根方程”，求的值； （3）若关于的“差根方程”的一个根是（，，均为常数，），则方程是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期八年级数学学科期中质量监测试卷 （满分100分，答题时间90分钟） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分共18分） 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：是整数，是无限循环小数，是分数，均为有理数； 中是无理数，故是无理数． 2. 下列关于的方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】注意二次项系数不为0的隐含条件，结合一元二次方程的定义判断各选项. 【详解】解：A、方程分母含未知数，不是一元二次方程； B、仅含一个未知数，最高次数为2，是一元二次方程； C、方程未说明，二次项系数可能为0，不是一元二次方程； D、方程含、两个未知数，不是一元二次方程． 3. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简各选项二次根式，再比较被开方数是否与的被开方数相同． 【详解】解：A、，被开方数为，不符合要求； B、，被开方数为，符合要求； C、，被开方数为，不符合要求； D、为最简二次根式，被开方数为，不符合要求． 4. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：和的被开方数含分母，均不是最简二次根式． 的被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式． 的被开方数不含分母且不含能开得尽方的因式，是最简二次根式． 5. 当时，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次根式的性质将根号化为绝对值，结合的取值范围去绝对值后化简． 【详解】解：∵ ， ∴ ，即， ∴ ， ∴ 原式． 6. 对于一元二次方程，当满足下列哪个条件时，原方程有两个不相等的实数根（ ） A. ， B. ， C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 【详解】解：一元二次方程中，，判别式， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 16的平方根是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义，找出平方等于的数即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴平方后等于的数为和， ∴的平方根是． 8. 在实数范围内，当______时，有意义． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式,解出即可得x的取值范围. 【详解】解：∵ 有意义， ∴ ，解得： ， ∴x的取值范围为. 9. 比较大小： ______ （填 、或） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，比较两个正无理数的大小，通过比较它们的平方值来判断即可 【详解】解：，，且 ， 故答案为： 10. 方程的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法是关键． 通过移项将方程化为标准形式，然后因式分解，利用零乘积性质求解． 【详解】解：化为一般式得，， ∴因式分解得，， ∴， 故答案为：． 11. 我们生活在物质的世界里，所有的物质都是由一些看不见的微小粒子构成的，例如水就是由水分子构成的．科学家们通过测量发现一个水分子的直径仅约，其中用科学记数法表示为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：用科学记数法表示为， 故答案为：． 12. 第48届世界技能大赛在上海举办，来自中国香港的戴心怡是瓷砖贴面项目唯一女选手，凭借精准的测量与裁切完成比赛如图1．在比赛过程中经常要对现有的瓷砖进行切割，如图2阴影部分是戴心怡在一块正方形瓷砖上裁去面积为和的两个小正方形后剩下的部分，请问阴影部分瓷砖的面积为：______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据两个小正方形面积求出它们的边长，相加得到大正方形瓷砖的边长，算出大正方形总面积，再减去两个小正方形面积，得到阴影面积． 【详解】解：，， 这块正方形瓷砖的边长为， 阴影部分瓷砖的面积为． 13. 如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，观察作图痕迹得点所表示的数为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的求解，解题的关键是掌握实数与数轴的关系以及求解算术平方根． 先求出面积为3的正方形的边长，根据点表示的数以及点、点的位置，求解即可． 【详解】解：设面积为3的正方形的边长为，则， 由算术平方根的性质可得，， 由题意可得，， 由点在数轴上表示的数为1，点在点的左边， 则点所表示的数为， 故答案为：． 14. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【详解】解： ， ， 不等式的解集为． 15. 如果的小数部分是，是的整数部分，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】通过平方数估算与的取值范围，依据整数部分、小数部分的定义求出和，再代入计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分， ∵， ∴， ∴的整数部分， ∴． 16. 若关于的一元二次方程的一个根是0，则______． 【答案】 【解析】 【分析】解题需紧扣两个核心条件，一是一元二次方程的二次项系数不为0，二是方程的根满足等式关系，代入根求解后需排除不符合一元二次方程定义的取值． 【详解】解：是原一元二次方程的根， 将代入原方程，可得，解得或， 原方程为关于x的一元二次方程， 二次项系数满足，即， ． 17. 请在方程的“（ ）”内添加一项，使得这个关于的一元二次方程有一个根为，请写出一种添项的方法：______． 【答案】 9（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据方程根的定义，将已知根代入原方程，即可求出括号内添加项需满足的条件，写出任意一个符合要求的项即可． 【详解】解：设括号内添加的项为． ∵ 是该一元二次方程的根， ∴ 将代入方程，等式左右两边相等，即 ． 计算得 ， 解得 ． 此时对应的方程为， 即， 方程的根为， 满足有一个根为的要求． 18. 已知、、满足，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】先将原等式移项，利用完全平方公式合并含、的项，结合绝对值、二次根式、平方的非负性，根据二次根式有意义的条件分情况讨论的取值，进而求出、的值，代入计算． 【详解】解：， ， 二次根式的被开方数非负， ， 对任意实数成立， 分三种情况讨论的取值 ①当，即时，此时， ， 其余项、、均为非负数， 左边整体大于2，与右边等于2矛盾，此情况不成立； ②当，即时，此时，， 等式变为， ， 绝对值和平方均为非负数， ，， 解得：， 此时； ③当，即时 ，且， ，即， ， ， 等式变为， ， 绝对值和平方均为非负数， ，， 解得：，， 此时，满足条件， ， 综上，的值为或． 三、简答题（本大题共6题，每题5分，满分30分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先展开完全平方，对分母有理化，根据去掉绝对值符号，按零次幂规则得 1，再合并同类二次根式与常数，算出结果 2． 【详解】解：原式 20. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的乘除法则，将系数与被开方数分别进行运算，再化简结果即可． 【详解】解： ． 21. 计算：（） 【答案】 【解析】 【详解】解：    ． 22. 用配方法解方程： 【答案】 【解析】 【分析】根据配方法解一元二次方程的一般步骤解出方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴． 23. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】利用公式法求出方程的解即可． 【详解】解：∵， ∴a＝3，b＝－2，c＝－4， ∴， ∴， 解得：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键． 24. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【详解】解： 或 ，． 四、解答题（本大题共4题，25，26，27每题6分，28题10分，满分28分） 25. 对于解方程，小因的做法如下： 解：等式的右边提取因数2化简，得，步骤① 两边同时除以，得，步骤② 去括号，得，步骤③ 移项、合并同类项，得，步骤④ 系数化为1，得．步骤⑤ （1）已知小因的解答是错误的，开始出现错误的步骤是 ．（填序号） （2）错误原因是： ；请给出正确的解答过程． 【答案】（1）② （2）错误原因：方程两边同时除以可能为0的整式，导致漏解． 正确解答过程：， 等式的右边提取因数2化简，得， 移项，得， 提取公因式，得， ∴或， 解得，． 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【解析】 【分析】对两个分式的分子分别利用平方差公式、完全平方公式因式分解，约分化简后合并同类项，再代入给定的a、b值计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 27. 根据下表回答下列问题： 12 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8 12.9 144 146.41 148.84 151.29 153.76 156.25 158.76 161.29 163.84 166.41 （1） ， ， ； （2）的整数部分是 ，小数部分是 ； （3）若，则满足条件的整数有 个． 【答案】（1），，； （2），； （3）244 【解析】 【分析】（1）结合表格中的数值求解即可； （2）结合表格中的数值进行无理数的估算，即可得解； （3）先将不等式平方，,再结合表格中的数值计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， 的整数部分是，小数部分是； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ，即， 满足条件的整数有个． 28. 阅读下面材料：已知，是一元二次方程（）的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”． 在学习了求根公式法解方程后，小星同学发现：，最后得到“差根方程”中，，之间的关系是．例如：一元二次方程两根是，，满足，则方程是“差根方程”（或者：∵，∴原方程是“差根方程”） 请你根据以上定义和推导，解决下列问题： （1）下面有两个一元二次方程，请分别判断是不是“差根方程”，写出判断过程； ①；② （2）已知关于的一元二次方程是“差根方程”，求的值； （3）若关于的“差根方程”的一个根是（，，均为常数，），则方程是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 【答案】（1）解：①方程是“差根方程”， ∵，，， ∴， ∴该方程是“差根方程”． ②方程不是“差根方程”． ∵，，， ∴， ∴该方程不是“差根方程”． （2） （3）解：方程不是“差根方程”，理由如下， ∵是“差根方程”， ∴． ∵是该方程的根， ∴，即． 将代入，得， 整理得，即， ∴或． 对于方程，其判别式， 若该方程是“差根方程”，则需满足，即， 解得或，与或（）矛盾． ∴方程不是“差根方程”． 【解析】 【分析】（1）①确定，计算的值等于 1，和相等，依据判定条件判断它是差根方程，②确定，计算的值等于 8，和不相等，依据判定条件判断它不是差根方程． （2）根据差根方程结论，代入列方程，化简求出． （3）先用差根方程条件得到，再把根代入得到，代入化简得到或，再写出的判别式，假设它是差根方程求出或，两组结果矛盾，因此不是差根方程． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵ 方程是 “差根方程”，， ∴ ， ∴ ； 【小问3详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $