精品解析：陕西咸阳市永寿县2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试题

九年级数学（北师大版A） 注意事项：满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 若是方程的一个解，则n的值为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据方程的解求参数，将 代入方程，直接计算 n 的值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴ 代入方程：， 即， ∴， ∴ ， ∴ 故选B． 2. 两个多边形相似，且相似比为，小多边形的最大边长为8，则大多边形的最大边长为（ ） A. 16 B. 32 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．根据相似多边形的边长比等于相似比作答即可． 【详解】解：设大多边形的最大边长是x． 依题意有， 解得：． 故大多边形的最大边长是16． 故选：A ． 3. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，熟知菱形的对角线平分一组对角是解题的关键．根据菱形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4. 用配方法解方程，方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把常数项移到方程右边，再方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可． 【详解】解： ， 故选C． 【点睛】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，熟知配方法的步骤是解题的关键． 5. 如图，中，，是边上的高，是边上的中线，若，则的长为（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和直角三角形斜边中线定理，利用勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，即可求出． 【详解】解：由题意，可知， ∴， ∵是直角三角形，是斜边的中线， ∴． 6. 如图，在中，点D在边上，点E在的延长线上，添加下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理并应用解决问题是解题关键． 根据已知条件可知，再利用相似三角形的判定定理依次判断即可得到答案． 【详解】解：A、，即，又，可根据两边对应成比例，夹角相等证明，不符合题意； B、，不能证明，符合题意； C、，，可根据两角对应相等证明，不符合题意； D、，，可根据两角对应相等证明，不符合题意； 故选：B． 7. 城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．小华了解到某列车在未进站时开始减速滑行，列车离停车线的距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）满足关系，则列车从开始减速到停止时经过的时间为（ ） A. 16秒 B. 24秒 C. 32秒 D. 36秒 【答案】C 【解析】 【分析】列车停止时离停车线的距离最小，通过配方求解对应二次函数取最小值时的t值． 【详解】解：列车停止时，离停车线的距离取得最小值． 对配方，得 . ∵ ， ∴ 当时，取得最小值，即列车从开始减速到停止经过32秒． 8. 如图，在正方形中，是对角线上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，连接．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点E作于点G，根据正方形的性质，三角形相似的判定和性质，解答即可． 【详解】解：过点E作于点G， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 正方形， ∴，，， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用设的方法，把a，b，c都用含的式子表示，再代入代数式化简求值． 【详解】解：设， ． ． 10. 如图，在矩形中，，垂足为，若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，则，利用三角形外角的性质得，由，利用直角三角形两锐角互余可算出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴与相等且互相平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： ． 11. 设，是方程的两个实数根，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】直接运用根与系数的关系计算两根之积即可． 【详解】解：方程为，其中二次项系数，常数项， ∴ ． 12. 决赛开始前，为提升队伍士气，所有队员都相互拥抱了1次．已知所有人共拥抱105次，则队员的人数为_________． 【答案】15 【解析】 【分析】设队员总人数为，每名队员需和其余名队员各拥抱1次，每一次拥抱会被重复计算2次，据此推导总拥抱次数并列方程求解即可． 【详解】解：设队员总人数为，根据题意得 整理得， 解得或， ∵队员人数为正整数， ∴舍去．即队员人数为15． 13. 在海洋生物观察课上，同学们发现海螺的结构十分奇妙．如图，点是线段的黄金分割点，且．已知，则的长为_________（结果保留根号）． 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据黄金分割的计算公式正确计算即可． 【详解】解：点C是线段的黄金分割点， ． 14. 如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接．若，，则的长为__________． 【答案】9 【解析】 【分析】首先证明，再证明，最后证明，解比例式即可． 【详解】解：菱形，， ，，， ∵ ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． 先移项，再根据因式分解法求解即可． 【详解】解： 或 16. 如图，，如果，求线段的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，注意对应线段的书写顺序是解答的关键．根据平行线分线段成比例进行解答即可． 【详解】解：， ， ∵， ， ∵， ∴， ． 17. 如图，在中，，，在边上求作一点D，使将分割成两个三角形，并且两个三角形都和原相似． （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图所示，、都与相似． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定，作可以得到两个直角三角形分别是、，由两个角对应相等两个三角形相似即可求解． 【详解】略 18. 如图，是正方形的边的中点，连接，证明． 【答案】 证明见解析 【解析】 【分析】通过已知条件，借助边角边即可证三角形全等． 【详解】解：是正方形的边的中点， ， 在和中 19. 如图，线段，相交于点，，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】证明，求解即可． 【详解】解：∵，， ， ，即， ，经检验，是原方程的解． 20. 如图是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长相等的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个底面积为的无盖长方体纸盒，求剪去的正方形的边长． 【答案】剪去的正方形的边长为 【解析】 【分析】设剪去的正方形的边长为．根据题意，得，求解即可． 【详解】解：设剪去的正方形的边长为． 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：剪去的正方形的边长为． 21. 长尾夹是我们日常学习、办公经常用到的一种文具．某品牌的长尾夹如图1所示，图2是其在闭合状态时的示意图，经测量得知，求在图2闭合状态下点之间的距离． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ， 又， ， ， ． 22. 已知：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当为最大正整数时，求方程的根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到，进行求解即可； （2）根据（1）的结论，求出最大正整数的值，代入方程，再解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴最大正整数的值为2， ∴方程化为：， 即， ∴． 【点睛】此题主要考查了根的判别式，解一元二次方程，解题关键是熟练掌握根与判别式关系． 23. 如图，在平行四边形中，E为上一点，连接，F为上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴； ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质证明； （2）由相似三角形的性质推出，进而计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 24. 某地农业研究所培育海水稻，其中第一期试验田亩产量为，在每期亩产量平均增长率保持不变的情况下，第三期亩产量达到． （1）求每期海水稻亩产量的平均增长率． （2）农业研究所将收获的海水稻对外售卖，且海水稻的进价为每千克4元．经市场调研发现：若售价定为每千克8元，则日销售量为200千克；若售价每提高0.5元，则日销售量减少10千克．当海水稻的定价为每千克多少元时，每天可获利960元？ 【答案】（1）平均增长率为 （2）海水稻的定价为每千克10元或12元 【解析】 【分析】（1）设平均增长率为，根据“第三期亩产量达到”建立等式求解即可． （2）设海水稻的定价为每千克元，根据“每天可获利960元”建立等式求解即可． 【小问1详解】 解：设平均增长率为， 则， 解得：（负值舍）， 答：每期海水稻亩产量的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设海水稻的定价为每千克元，则每千克的利润为元， 根据题意可知，日销售量减少千克，则日销售量为千克， 则：，即， 解得：或12， 答：海水稻的定价为每千克10元或12元． 25. 如图，在平行四边形中，点在边上，点在的延长线上，连接交于点，且垂直平分，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：垂直平分， ∴，． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴，． ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，菱形判定，证明即可； （2）根据菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解答即可． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∴． ∵四边形是菱形， ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 26. 【问题提出】 （1）如图①，在矩形中，，，连接，过点作，交边于点，则的值为            ； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，，为边上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．若，，求的长； 【问题解决】 （3）如图③，园区管委会计划在码头修建栈桥平台四边形，，，．工作人员分别在平台边缘，上设置系缆桩，，并在，上布置缆绳，使得，求两段缆绳与之间的数量关系． 【答案】（1） （2） （3）解：两段缆绳与之间的数量关系为．理由如下： 如图③，连接交于点． ，，， ． ． 垂直平分． ，． 在中，由勾股定理，得， ， ． ，． 过点作于点． ， , ． , ，． ． ． ， 即． 答：两段缆绳与之间的数量关系为． 【解析】 【分析】（1）证明，解答即可； （2）过点C作，交的延长线于点，证明，列出比例式，求解即可； （3）解：连接交于点．过点作于点．证明． 利用勾股定理，三角形相似的性质，解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得矩形，，， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图②，过点C作，交的延长线于点， 则． ∴四边形为矩形． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ，即． ． 【小问3详解】 解：略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学（北师大版A） 注意事项：满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 若是方程的一个解，则n的值为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 2. 两个多边形相似，且相似比为，小多边形的最大边长为8，则大多边形的最大边长为（ ） A. 16 B. 32 C. 4 D. 2 3. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程，方程可变形为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，是边上的高，是边上的中线，若，则的长为（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 6. 如图，在中，点D在边上，点E在的延长线上，添加下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．小华了解到某列车在未进站时开始减速滑行，列车离停车线的距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）满足关系，则列车从开始减速到停止时经过的时间为（ ） A. 16秒 B. 24秒 C. 32秒 D. 36秒 8. 如图，在正方形中，是对角线上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，连接．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知，则的值为____________． 10. 如图，在矩形中，，垂足为，若，则的度数为________． 11. 设，是方程的两个实数根，则的值为_________． 12. 决赛开始前，为提升队伍士气，所有队员都相互拥抱了1次．已知所有人共拥抱105次，则队员的人数为_________． 13. 在海洋生物观察课上，同学们发现海螺的结构十分奇妙．如图，点是线段的黄金分割点，且．已知，则的长为_________（结果保留根号）． 14. 如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接．若，，则的长为__________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程： 16. 如图，，如果，求线段的长． 17. 如图，在中，，，在边上求作一点D，使将分割成两个三角形，并且两个三角形都和原相似． （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 18. 如图，是正方形的边的中点，连接，证明． 19. 如图，线段，相交于点，，，，，求的长． 20. 如图是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长相等的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个底面积为的无盖长方体纸盒，求剪去的正方形的边长． 21. 长尾夹是我们日常学习、办公经常用到的一种文具．某品牌的长尾夹如图1所示，图2是其在闭合状态时的示意图，经测量得知，求在图2闭合状态下点之间的距离． 22. 已知：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当为最大正整数时，求方程的根． 23. 如图，在平行四边形中，E为上一点，连接，F为上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 24. 某地农业研究所培育海水稻，其中第一期试验田亩产量为，在每期亩产量平均增长率保持不变的情况下，第三期亩产量达到． （1）求每期海水稻亩产量的平均增长率． （2）农业研究所将收获的海水稻对外售卖，且海水稻的进价为每千克4元．经市场调研发现：若售价定为每千克8元，则日销售量为200千克；若售价每提高0.5元，则日销售量减少10千克．当海水稻的定价为每千克多少元时，每天可获利960元？ 25. 如图，在平行四边形中，点在边上，点在的延长线上，连接交于点，且垂直平分，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求的长． 26. 【问题提出】 （1）如图①，在矩形中，，，连接，过点作，交边于点，则的值为            ； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，，为边上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．若，，求的长； 【问题解决】 （3）如图③，园区管委会计划在码头修建栈桥平台四边形，，，．工作人员分别在平台边缘，上设置系缆桩，，并在，上布置缆绳，使得，求两段缆绳与之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $