重庆市实验中学校2026-2027学年高三上学期第十周数学周测题

重庆市实验中学校2026-2027学年上期高三数学周测试题解析（第十周） 1.【答案】C  【解析】解：函数的最小正周期为 故选： 由正切函数的周期性求解即可． 本题主要考查正切函数的周期性，属于基础题． 2.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，属于基础题． 根据复数的运算法则直接计算求解即可． 【解答】 解：复数z满足， ，故选 3.【答案】B  【解析】解：由且，则必有，即必要性成立； 因，当时，与均无意义，故充分性不成立； 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选： 利用充要条件的判断方法，结合对数函数的性质即得结论． 本题考查充要条件的判断方法以及对数函数的性质，属于基础题． 4.【答案】A  【解析】解：A选项：易知为偶函数，当时，， 此函数在上单调递增，在上单调递减，且，，，故A正确； B选项：记，则，故B错误； C选项：，故C错误； D选项：记，则，故D错误． 故选： 根据奇偶性和最值排除错误答案即可． 本题主要考查函数解析式的求解及常用方法，考查运算求解能力，属于中档题． 5.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了任意角的三角函数与两角和的正弦、余弦公式，向量求模，考查计算能力. 设射线OA与x轴非负半轴所成夹角为，射线与x轴非负半轴所成夹角为，则，根据三角函数的定义及两角和的正弦、余弦公式计算即可得到的坐标，最后再用坐标法求向量的模即可. 【解答】 解：设，射线OA与x轴非负半轴所成夹角为，则，， 射线与x轴非负半轴所成夹角为，则， 所以，， 又，，所以 同理，因为，所以，所以， 易得，，故，故选 6.【答案】D  【解析】解：因为函数，所以求导得， 因为在区间上单调递减，所以对恒成立， 即对恒成立， 当时，，所以，即a的最小值为故选： 转化问题为对于恒成立，进而求解即可． 本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题． 7.【答案】C  【解析】解：因为，所以， 又因为，，所以， 将的两边同时取以2为底的对数得：， 即，又因为， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以 故选： 由题意可得数列是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的前n项和公式即可求解． 本题考查数列递推式的应用，等比数列的前n项和公式，属于中档题． 8.【答案】A  【解析】解：函数的图象如图所示， ，，，， ， ， ， ， 的取值范围是 故选： 画出函数的图象，确定，，，，由此可得的取值范围． 本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题． 9.【答案】ABC  【解析】【分析】 本题考查利用导数根据极值或极值点求参，一元二次方程的解集及其根与系数的关系，属于基础题. 通过求导，问题可转化成有两个不相等的正根，通过根的分布可判断选项ABC，对于D，可举反例说明. 【解答】 解：， 由题意可得方程有两个不相等的正根，， 所以 故，，， 取，，满足上述条件，得到方程有两个不相等的正根， 但，所以ABC正确，D错误. 故选： 10.【答案】ACD  【解析】解：对于选项A，依题意，为图象上的两点，且的最小值为， 可得的最小正周期，解得，A正确； 由是的一个对称中心，得，则， 而，则，， 所以， 将图象上的所有点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图象，可得， 对于选项B，令，解得， 由题意，可得，解得， 整数k可取，，，，0，1，2，3，共8个极值点，B错误； 对于选项C，由，得， 当时，即当时，， 当时，即当时，，C正确； 对于选项D，当时，， 因此在区间上单调递增，D正确． 故选： 根据给定条件，结合五点法作图求出函数的解析式，进而求出函数的解析式，再利用正弦函数的性质逐项求解判断． 本题考查了函数的图象变换以及正弦函数性质的应用，考查了函数思想，属于中档题． 11.【答案】ACD  【解析】解：对于A，由得，而， 则，则，故A正确； 对于B，由A知，， 而， ， 则， 即，又， 则，， 所以 ， 当时，， 而，显然不满足，故B错误； 对于C，由，则时，， 由B知，，所以， 又，则，故C正确； 对于D，令，则， 所以， 所以，又， 所以 ， 则 ，故D正确． 故选： 对于A，根据题设化简，即可判断； 对于B，结合A及题设可得，进而得到，再举特例即可判断； 对于C，结合B可知，进而求解判断即可； 对于D，令分析可得，进而求解判断即可． 本题考查了根据数列递推公式写出数列的项，由递推数列研究数列的有关性质，分组并项法求和，逻辑推理能力，数学运算能力，属于难题． 12.【答案】2  【解析】解：幂函数， 的图像经过点， 则，解得， 故， 所以 故答案为： 结合幂函数的定义，以及的图像经过点，求出的解析式，再将代入，即可求解． 本题主要考查幂函数的概念，属于基础题． 13.【答案】3  【解析】解：因为，  所以，  所以，即，所以，    利用余弦二倍角公式，结合因式分解、同角三角函数关系式中的商关系、正弦的诱导公式、两角和的正切公式进行求解即可． 本题考查三角恒等变换知识的应用，属于基础题． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究函数单调性，导数中的零点问题，属于难题. 构造函数，利用导数确定函数的单调性，画出函数图象，确定实数a的取值范围即可. 【解答】 解：由题可知：函数有且仅有一个正零点， 又 当时，不妨令， 则， 所以 ①当时，， 由，，所以 此时函数没有零点； ②当时，， 令，， ， 当时，，，所以， 即在上恒成立， 则在单调递增， 当时，，，则， 又，所以在上的值域为 ③当时，， 令，， 由在上单调递减，在上单调递减， 所以也在上单调递减， 当时，，，则， 又，所以在上的值域为 若只有一个正零点， 即与在有且仅有一个交点， 由上述分析可得a的取值范围为： 或 即实数a的取值集合为： 故答案为： 15.【答案】解：， 由于， 所以函数的值域为， 令，，得，， 可得的单调递增区间为，； 将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象， 可得， 由，得， 于是， 解得，， 所以不等式的解集为  【解析】解：， 由于， 所以函数的值域为， 令，，得，， 可得的单调递增区间为，； 将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象， 可得， 由，得， 于是， 解得，， 所以不等式的解集为 利用三角函数恒等变换可得，利用正弦函数的性质即可求解； 将函数的图象变换可得，进而利用正弦函数性质即可求解． 本题考查了函数的图象变换，三角函数恒等变换以及正弦函数性质的应用，考查了函数思想，属于基础题． 16.【答案】解：Ⅰ设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 依题意，得，解得或， 因为， 所以舍去， 故，， 所以，的通项公式为，的通项公式为； Ⅱ ， 记    ① 则   ② ②-①得，， 所以   【解析】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题. Ⅰ首先设出等差数列的公差，等比数列的公比，根据题意，列出方程组，求得，进而求得等差数列和等比数列的通项公式； Ⅱ根据题中所给的所满足的条件，将表示出来，之后应用分组求和法，结合等差数列的求和公式，以及错位相减法求和，最后求得结果. 17.【答案】解：根据边角转换可得， 整理可得， ， 则， ，，故， 所以， ，则， 解得； ， 则，即； ，则，当且仅当时取等， 所以， 即，当且仅当时等号成立， 所以线段CD长度的最大值为  【解析】解：根据边角转换可得， 整理可得， ， 则， ，，故， 所以， ，则， 解得； ， 则，即； ，则，当且仅当时取等， 所以， 即，当且仅当时等号成立， 所以线段CD长度的最大值为 利用正弦定理及两角和的正弦公式化简得到，再根据辅助角公式得，解方程即可求解； 根据结合三角形的面积公式得到，利用余弦定理求出，结合基本不等式即可求出答案． 本题主要考查解三角形，属于中档题． 18.【答案】解：函数的定义域为， 求导得，令，解得， 当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为 由知，的单调递减区间为，单调递增区间为， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值 所以的最小值为 由题意，对任意，，恒成立， 由知，对于给定的，的最小值为， 所以只需对任意恒成立，化简得对任意恒成立， 令，求导得， 令，则，所以在上单调递增， 因为，， 所以存在唯一的，使得，即， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以的最小值为， 因为，，所以， 所以， 因为恒成立，所以， 又因为k为整数，且，所以k的最大值为  【解析】解：函数的定义域为， 求导得，令，解得， 当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为 由知，的单调递减区间为，单调递增区间为， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值 所以的最小值为 由题意，对任意，，恒成立， 由知，对于给定的，的最小值为， 所以只需对任意恒成立，化简得对任意恒成立， 令，求导得， 令，则，所以在上单调递增， 因为，， 所以存在唯一的，使得，即， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以的最小值为， 因为，，所以， 所以， 因为恒成立，所以， 又因为k为整数，且，所以k的最大值为 求导后解不等式和即可得出单调区间； 代入a值，利用第问的单调性直接求极值点得到最小值； 先利用的结论求出关于x的最小值，转化为关于a的单变量不等式恒成立，再通过构造函数并利用导数隐零点技巧求出的最小值范围，从而确定整数 k的最大值． 本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，不等式的恒成立问题，属于中档题． 19.【答案】解：因为， 所以当时，， 求导得，令， 求导得， 因为和在为单调递增函数， 所以在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 又因为， 所以当时，；当时，， 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是 由不等式，得， 即， 因为存在，使得成立， 所以在上有解，即， 令，则函数与函数的图象有交点， 构造函数，则求导得， 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，即， 又函数在单调递增，所以，即， 所以实数a的取值范围为 因为函数有两个零点，， 所以有两个不同的解， 由知，即有两个不同的解， 令，且为单调递增函数，， 当时，的两个解为，，即， 则，即， 令，由，则，且， 所以，， 所以， 令， 则， 令， 则， 所以在单调递增，则， 所以，则在单调递增， 则， 又因为时，，所以  【解析】解：因为， 所以当时，， 求导得，令， 求导得， 因为和在为单调递增函数， 所以在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 又因为， 所以当时，；当时，， 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是 由不等式，得， 即， 因为存在，使得成立， 所以在上有解，即， 令，则函数与函数的图象有交点， 构造函数，则求导得， 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，即， 又函数在单调递增，所以，即， 所以实数a的取值范围为 因为函数有两个零点，， 所以有两个不同的解， 由知，即有两个不同的解， 令，且为单调递增函数，， 当时，的两个解为，，即， 则，即， 令，由，则，且， 所以，， 所以， 令， 则， 令， 则， 所以在单调递增，则， 所以，则在单调递增， 则， 又因为时，，所以 先求得，令，利用导数求得在单调递增，从而得到在单调递增，再结合，即可求解； 根据题意，转化为有解，从而等价于，再利用换元，构造函数，求导，分析函数的单调性，即可求出a的取值范围； 根据题意，转化为有两个不同的解，结合得到，求得化简得到，令，求得，令，利用导数求得为增函数，得到，得到在递增，求得，即可得到答案． 本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，函数的零点问题，不等式能成立问题求解，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市实验中学校2026-2027学年上期高三数学周测试题（第十周） 本试卷满分150分 考试时间120分钟 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.函数的最小正周期为(     ) A. B. C. D. 2.已知i为虚数单位，若，则(     ) A. B. C. D. 3.已知a，，则“”是“”的(     ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.如图所示的“心形”图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”图形在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为(     ) A. B. C. D. 5.已知O为坐标原点，点，将绕点O逆时针方向旋转得到，则的模等于(     ) A. 2 B. C. D. 4 6.若函数在区间上单调递减，则a的最小值为(     ) A. B. C. D. e 7.已知数列满足，，，记，为数列的前n项和，则(     ) A. 63 B. 127 C. 255 D. 256 8.已知函数，若存在实数，，，，满足，且，则的取值范围是(     ) A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分） 9.若函数既有极小值又有极大值，则(     ) A. B. C. D. 10.已知函数，其中，，为图象上的两点，且的最小值为是的对称中心，将图象上的所有点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列选项正确的是(     ) A. B. 函数在上有2个极值点 C. 函数在区间上的最大值为，最小值为 D. 函数在区间上单调递增 11.若数列满足，且对任意正整数n，，记，则下列结论正确的是(     ) A. 对任意正整数n， B. 对任意正整数n， C. 对任意正整数m， D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知幂函数的图像经过点，则       . 13.若，则           . 14.若函数有且仅有一个零点，且，则实数a的取值集合为           . 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（13分）已知函数 ⑴求函数的值域及单调递增区间； ⑵将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象，求不等式 的解集. 16.（15分）设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知，， ⑴求和的通项公式； ⑵设数列满足求 17.（15分）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且 ⑴求C； ⑵若D为AB上一点，CD为的平分线，且，求线段CD长度的最大值. 18.（17分）已知函数 ⑴讨论的单调性； ⑵若，求的最小值； ⑶若，，，求整数k的最大值. 19.（17分）函数 ⑴若，求函数在上的单调区间； ⑵若存在，使得成立，求a的取值范围； ⑶若函数有两个零点，，且，求的取值范围. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $