重庆市实验中学校2026-2027学年高三上学期第6周数学测试题

重庆市实验中学校2026—2027学年高三上期第6周数学测试题 本试卷满分150分 考试时间120分钟 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合，，则   A. B. C. D. 2.在中，“”是“”的     A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知向量、满足，，，则     A. B. C. D. 4.已知A为抛物线上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则       A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 5.已知，，，则的最小值为(     ) A. 2 B. 3 C. D. 6.的内角A，B，C的对边分别为a，b，若的面积为，则(     ) A. B. C. D. 7.已知a，，且，，，则(     ) A. B. C. D. 8.已知函数，若，则实数a的取值范围是        A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分） 9.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则      A. B. C. 的面积为 D. 的周长为 10.已知函数的部分图象如图所示，则(     ) A. 的最小正周期为 B. C. 的图象关于点中心对称 D. 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象，则是区间上的增函数 11.已知函数的定义域是R，对任意的实数 x、y满足，且，当时，，则下列结论正确的是(     ) A. B. C. 函数为偶函数 D. 不等式的解集为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知，，则           . 13.在中，角的对边分别为，若，，则边b的取值范围为           . 14.已知函数，若关于x的函数有6个不同的零点，则实数b的取值范围是           . 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（13分）已知函数， ⑴求函数的最小正周期和单调递增区间； ⑵求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值. 16.（15分）如图，在三棱锥中，平面平面PBC，，M为BC的中点． ⑴求证：平面PBC； ⑵求点M到平面PAB的距离； ⑶求直线AM与平面PAB所成角的正弦值． 17.（15分）已知椭圆的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且 ⑴求椭圆的方程； ⑵直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点若，求直线l的方程． 18.（17分）某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为 ⑴求该运动员第二次投篮命中的概率； ⑵记该运动员前两次投篮命中的次数为X，求X的分布列和数学期望； ⑶设第i次投篮命中的概率为，求证： 19.（17分）已知函数， ⑴若函数与在处的切线平行，，求的极值； ⑵当时，讨论函数零点的个数； ⑶设m为正整数，若，，求m的最小值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $《高三上数学周测试题（第六周）》 号单项选择题（40分) 1.(5分)已知集合A={1,2,3},B={y=2x-1,x∈A},则 A∩B= A.{1,3} B.{1,2} C.{2,3} D.{1,2,3} 2.6分)在6ABC中，n2A=Y是A=30°的). 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.5分)已知向量ā、石满足d=4,|=5,a+=6,则 a-=(): A.V46 B.3V5 c.4V3 D.5V2 4.(5分)已知A为抛物线C:y=2px(p>0)上一点，点A到C的焦 点的距离为12，到y轴的距离为9，则p= A.2 B.3 C.6 D.9 5.(5分)已知a>0,b>0,3a+b=2ab,则a+b的最小值为 A.2 B.3 C.2+V2 D.2+V3 6.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC 的面积为02+62-c2 ,则C= 4 A D.g 7.(5分)已知a,b∈(0,3)，且4lna=aln4,4lnb=bln2,c= 1og0.30.06,则 A.c<b<a B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 8.5分)已知函数f(x)=log(c+V√2+1)- 2 3+1,若 f(2a-1)+f(a2-2)≤-2，则实数a的取值范围是 A.[-3,1] B.[-2,1] C.(0,1] D.[0,1] 吕多项选择题（18分) 9.(6分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b= 1,a2+c2-62=ac,sin2B=3sin Asin C, AB-写 1 B.ac-3 重庆市实验中学校高三年级数学教师讲义满分：150分 C.△ABC的面积为 D.△ABC的周长为√2+1 4 10.(6分)已知函数f(x)= sin(wx+p)(w>0,lpl<π)的部分图象如 图所示，则 12 A.f(x)的最小正周期为π B.g=3 Ce)的图象关于点(-智o中心对称 D.将f(x)图象上所有点的横坐标伸长为 原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 g@)的图象，则g(e)是区间x,7经1上的 增函数 11.(6分)已知函数f(x)的定义域是R,对任意的实数x、y满足 f(c+y)=f(x)+f(+1,且f(1)=0,当x>1时，f(x)>0,则 下列结论正确的是 A.f(0)=-1 B.f(4x)=4f(x)+4 C.函数f(x)+1为偶函数 D.不等式f(3x2)-2f(x)<f(3x)+2的解集为{x0<x< 53 填空题（15分) 2 (+a)号，0<a< 2T 12.(5分)已知sin 13.(5分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1, bcosA-=1+cosB,则边b的取值范围为一： 14幼已知数e{径}，若头州面 2f(x)+2bf(x)+1有6个不同的零点，则实数b的取值范围是 解答题(77分) 15.3分已知函数f@=血(（2红-，∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (②)求函数f()在区间[牙，]上的最小值和最大值，并求出 取得最值时x的值. 16.(15分)如图，在三棱锥P-ABC中， 平面PAC⊥平面PBC,AC=BC= AB,PB=PC=1,PBLPC,MBC 2 的中点. (1)求证：AC⊥平面PBC: (2)求点M到平面PAB的距离； (3)求直线AM与平面PAB所成角的正弦值. 17a5分已知椭图三+茶-1a>b>0的右焦点为R,上顶 点为B.离心率为25，且B=V6, (1)求椭圆的方程： (2)直线与椭圆有唯一的公共点M,与y轴的正半轴交于点N, 过N与BF垂直的直线交x轴于点P.若MP/BF,求直线l的方程. 18.(17分)某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果， 第一次投签命中的概率为号若前一次投签命中，那么下次投签 命中的概率为：若前一次投篮末命中，那么下次投篮命中的 概率为 2 (1)求该运动员第二次投篮命中的概率； (2)记该运动员前两次投篮命中的次数为X,求X的分布列和数 学期望； (阅设第谈授篮合中的瓶率为R,求证：≤R<沿 19.7分)已知函数e)号3-am2+1,9a)-号3+ln (1)若函数f(x)与g(x)在c=1处的切线平行，h(x)=f(x)-9(x), 求h(x)的极值： (2)当a>0时，讨论函数f(x)零点的个数： (3)设m为正整数，若Vn∈N*, 2(+)(+)(+)(+)<m,求m的最 小值 1/5 ◆参考答案◆ 高三上数学周测试题（第六周） 1.A解析：【解答】 解：根据题意，集合A={1,2,3},而B={y=2x-1,x∈A}, 则B={1,3,5}, 则A∩B={1,3}, 故选：A. 2.B解析：在△ABC中，由sin2A=Y 知2A=60°，或2A= 2 120，即130或460，血2A=9会A二30，因此不 充分油4-30如m2A=,因此“必要枚选B 3.A解析：a+-6可得(a+)°=a+副=36，即a2+ 2a+°-16+2a+25=36,解得a.-3所以a- (a-)=a2-2a.计6=16+5+25-46，|a-=v46,故 选A. 4.C解析：【分析】 本题考查了抛物线的定义，属于基础题. 利用抛物线的概念建立等式，即可求得的值 【解答】 解：设点A的坐标为(x,), 由点A到y轴的距离为9，可得心=9， 由点A到抛物线C的焦点的距离为12，可得红+号-12 解得p=6. 故选C. 5.D解析：【分析】本题考查基本不等式的性质以及应用，关 键是对3a+b=2ab的变形，属于中档题. 根据题意，由3a+b-=2ab可得3+-1，进而分析可得a+h 26+2a (易+云+-2斗织+云由整本不等式分新可符务案。 【解答】解：根据题意，3a+b=2b→2b+2a 3,1 =1, 因为a>0,b>0, 3a.6-2+ +(第+云a+列+0品≥2+2罗五 √3， 2/5 重庆市实验中学校高三年级数学教师讲义满分：150分 当且仅当b=V5a且3a+b=2abi时，即a=V3+1,63+V5时 2 2 等号成立， 则a+b的最小值为2+√3， 故选：D 6.C解析：，△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, △ABC的面积为Q2+62-c2 4 .SAABC=absin C=a+b2-c2 1 4 .'.sin C=a2+62-c2 -=cos C, 2ab 0<c<7.=7 =4 故选C 7.C解析：【分析】 本题考查了利用导数判断函数单调性，对数基本运算和对数函 数的单调性，考查了计算能力，属于中档题， 根据对数的运算公式可得心，，的值，再构造函数比较即 a 可.【解答】 解：由na_血4_2m2n2 4 2 In6 In2 In16 41n2 In2 b-4-16 164’ 令er@-1 1-Inx 所以f(x)在(0，e)上单调增，在(e,+oo)上单调减， 因为a,b∈(0,3)，所以a=2,由 nb<血0，得b<a, b a 又因为c=log0.30.06=log0.3(0.2×0.3)=1og0.30.2+1>1og0.30.3+ 1=2,所以a<c 综上所得b<a<c 故选C, 8.A解析：【分析】 本题考查了函数的单调性、函数的奇偶性和不等式的求解，属 于拔高题. 设g(x)=f(x)+1,先得出g(x)为奇函数，且g(x)为单调递增函数， 由题意得g(2a-1)+g(a2-2)≤0，所以g(2a-1)≤-g(a2-2) =9(-a2+2),则2a-1≤-a2+2,解出即可. 【解答】 2 解：设g(e)=f(@)+1=log(e+V2+D）-3十1+1，易知 g(x)的定义域为R, 2 g(-+9a=lg(-+V2+①-3+1t1+ loga( 一+1 =1og1-2438+1)+232+1 (3-x+1)(3x+1) 2 =23+34+2》+2=0. 2+3-x+3x 所以g(-x)=一9(x),g(x)为奇函数， 易知g(x)为单调递增函数， 由f(2a-1)+f(a2-2)≤-2，得g(2a-1)+g(a2-2)≤0， 所以g(2a-1)≤-g(a2-2)=g(-a2+2), 所以2a-1≤-a2+2,即a2+2a-3≤0，解得-3≤a≤1， 即实数a的取值范围是[-3,1， 故选A. 9.ABD解析：【分析】 本题主要考查利用余弦定理解三角形，正弦定理及变形，考查 三角形的面积公式，属于中档题， 由余弦定理求出角B,由正弦定理求出aC,结合三角形面积公式 求得S,利用配方法，得到a+c的值，即可求出周长.【解答】 解：a2+e2-b2=ac,cosB=a2+c2-b21 2ac :B@动B=子 .sin2B=3 sin Asin C,由正弦定理可得b2=3ac, 1 b=1,.ac=3’ 11V3V3 △ABC的面积为S-号cmB=×写×号-冷， .b=1,a2+c2-b2=ac, .(a+c2-2ac=3' 4 :.a+c=V2或-V2(舍去)， ∴.△ABC的周长为a+b+c=V2+1. 故选ABD, 10.4CD解析：解：由函数图象可知，2=1212一2' T115π 所以函数f(x)的最小正周期为π，故A正确： 所w--2 所以f(x)=sin(2x+p), 2 由2× 5,3 2+=三，得p-3,故B错误： 2 所以f()=sin(2x+ 因为-刘(-骨+会)n(-2对-0， 8 所以)的图象关于点(-誓，0中心对称， 故C正确： π 由题意知，g(c)=sin(卫+3 当e7经时，+ 2 [5π29π 3π 3’12 [], 7π 所以g四是区间如，4]上的增函数， 故D正确. 故选ACD 11.ACD解析：解：对于A选项，对任意的实数x、y满足 f(x+y)=f(x)+f()+1, 令x=y=0,可得f(0)=2f(0)+1,解得f(0)=-1,故A正确； 对于B选项，令y=x,则f(2x)=2f(x)+1, 用2x代替x,令y=2x,则f(2+2x)=f(2x)+f(2x)+1=2f(2x) +1, 即f(4x)=2f(2x)+1=2[2f(x)+1]+1=4f(x)+3, 即f(4x)=4(x)+3,故B错误； 对于C选项，令g(x)=f(x)+1, 由fc+)=f()+f()+1,可得f(x+)+1=fa)+1+f()+1, 即g(c+)=g(x)+g(), 且g(0)=f(0)+1=0, 令y=-x,则g(c)+g(-x)=g(0)=0,即g(-x)=-g(x), 所以Ig(-x=|-g(x川=lg(x)儿， 所以函数g(x)川=f(x)十1为偶函数，故C正确； 对于D选项，由题意可知，当x>1时，f(x)>0, 令x=1,y=-1,可得f0)=f(1)+f-1)+1,解得f(-1)=-2, x-1>0时，f(x-1)=f()+f(-1)+1=f()-1>-1, 故当x>0时，f(x)>-1, 任取1，x2∈R且x1<x2, 则f(x2)=f(x2-c1)+f(x1)+1>-1+f(x1)+1=f(c1), 即函数f(x)在R上为增函数， 不等式f(3x2)-2f(c)<f(3ax)+2可化为f(3x2)<f(5x), 3x2<5,解特0<2<督极D正确， 故选：ACD. 重庆市实验中学校高三年级数学教师讲义满分：150分 2 12.一3 解析：因为血（后+o）号，所以ca(+a） 2 cas(+石+a)-sm(+a)=-号 13.(1,2) 解析：解：由a=1,bcosA=1+cosB, 得bcosA=a+acosB, 由正弦定理可得sin BcosA=sinA+sinAcosB, 即sin(B-A)=sinA, 所以B-A=A或B-A十A=π（舍去）， 所以B=2A, 由正弦定理得，b= asinB asin2A sinA sinA =2cosA, (0<A<π 0<A<π 而〈0<B<元， 即〈 0<2A<π， (0<C<π (0<π-3A<π 所以0<4<行 以5<cosA<1,所以b=2cosA∈(L2 所以b的取值范围为(1,2)： 故答案为：(1,2) 14--2 解析：【分析】 本题主要考查函数零点个数问题，运用数 形结合思想分内外两层考查函数零点问题 是解题关键，属于难题， 根据f(x)的图象判断f(x)=t的解的情况， 从而得出关于t的方程2t2+2bt+1=0的根的分布情况，根据二次 函数的性质列不等式组解出b的范围， 【解答】 解：作出f(x)的函数图象如下： 设f(x)=t,则当t=1或t<0时，方程f(x)=t只有1解， 当t=0时，方程f(x)=t有2解， 当0<t<1时，方程f(x)=t有3解， 当t>1时，方程f(x)=无解 .关于x的函数y=2f(x)+2bf(x)+1有6个不同的零点， .·关于t的方程2t2+2bt+1=0在(0,1)上有两解， 4b2-8>0 b 0< <1，解得-<b<-V 2+2b+1>0 故答案为：（一号-V②， 15解：)函数f(e)sn(2红-)的最小正周期7= 2 由-+2≤2红-≤+2k,解-+m≤z≤+m, 3π k∈Z, 所以函数f巴的单调递增区间是-8十标，g十标，k∈Z e写引，2牙[号] 则当2-牙-名，即z=君时，fm=-1 当2-，即 3π 时，f(c)max=1,， 所以函数回)在[-名引上的最大值为1， 此时c= 3π :最小值为-1，此时=- 8 16.解：(1)因为平面PAC⊥平面PBC, 平面PACn平面PBC=PC,PB⊥PC,PBC平面PBC, 所以PB⊥平面PAC, 又因为ACC平面PAC,所以PB⊥AC. 因为AC-BC-号AB,所以4C2+BC2-AB,所以ACLBC. 又BC∩PB=B,且BC,PBC平面PBC, 所以AC⊥平面PBC. (2)由(1)及已知可得BC=AC=V2,AB=2. 设点M到平面PAB的距离为d,则点C到平面PAB的距离为 2d. 因为ACL平面PBC,所以VA-PBC=3S△PBO·AC= 言PB-PC.AC-9 6 在Rt△PAC中，AC=√2，PC=1,所以PA=VAC2+PC2= √3， 因为PBL平面PAC,所以PBLPA,SAPADPA·PB=Y3 2 VA-Pn-V-PA 1 ,解得46 3/5 (3)由AC1BC,可得AM=VAC2+CM2_ 2 设直线AM与平面PAB所成的角为6，则sin0=d=⑤ AM=15, 故直线AM与平面PAB所成角的正弦值为V⑤ 15 解析：(1)利用面面垂直的性质，由平面PAC⊥平面PBC得到线 面垂直PB⊥平面PAC,再得到线线垂直PB⊥AC,结合 AC⊥BC,再利用线面垂直判定定理得到AC⊥平面PBC即可 .(2)利用等体积法得到点M到平面PAB的距离即可；(3)根据线 面角的定义，结合M到平面PAB的距离计算即可. 17.解：(1)因为离心率e= 2w5 5,BF= V5, c= 2W5 5 所以 a 解得a=V5,c=2,b a=v5 a2=b2+c2 =1, 所以椭圆的方程为写+=1. (2②)由(1)知B(0,1),F(2,0,则kBF=2-0=一2' 0-11 设N(0,t)(t>0),又过点N且垂直于BF的直线斜率为2，其方 程为y=2x+t, 令g-0,得P(-2, 易知直线的斜率存在，设其方程为y=kc+t, y=kx+t 联立 5+y2=1消去y得(5k2+1)x2+10ktc+5t2-5=0, ·,·直线与椭圆有唯一的公共点M, .△=(10t)2-4(5k2+1)(5t2-5)=0,化简得t2=5k2+1, 此时cM= 268千空，m-ke+t即 10kt 5k 整 由MPI/BF得kMP= 1 化简得t2=10k-4, -( 2 从而5%2+1=10k-4,解得k=1, 代入得t2=6,又t>0,得t=V6, 故直线的方程为x-y叶V6=0. 4/5 重庆市实验中学校高三年级数学教师讲义满分：150分 解析：本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，解题中 需要一定的计算能力，属于中档题. 由离心率e25,B=V5,列方程组，解得a,6,c,即 可得出答案 (2)(2)先求出直线BF的斜率，设N(0,t)(t>0),由PN⊥BF求 得P(-专，0)，设直线的方程为k:+t,与椭圆方程联立，由 △=0得t2=5k2+1及点M的坐标，再由MP∥BF得到关于k,t的 方程，联立解得k,t,即可得出直线的方程. 18.解：(1)设第一次投篮命中”为事件A,“第二次投篮命中1为 事件B, E为P-Pa-手P④-1-子PrA-号 银据全率公式P(团=P代)P(aA利+P同P西团-子号升 1、23,118+523 4×3=5+6=30=30 2x的取值为0,1,2.PX-0=P团×PEA)= 1--*号品 Px=-P(A)xPA列+P间xPB-XI-音+ 1.23.1,1.23.19+1019 4×3=4×5+4×3=20+6=60=60 3.43 P(X=2)=P(A×PBA)=4×5=5' 所以X的分布列为： 0 1 2 P 1 19 3 12 60 效学期里Rx灯-0x立+1x品+2×名品+贵 1 319,1219+72 60 91 60 已知R-圣由愿意可得R-R1×言+1-R)× 4 2 4 22.22 P-1+g3 5 -1=5B-1+5 则R-8-名A-8. 10、 所R-铝是un日-8”塑安为现 2为公比的等比数列， 1 则P,=8 10 ×(，国为会)>0所以A 1 10 13 101 10140-1393 气ax39 所以 52 -=52=4' ≤R< 10 解析：详细解答和解析过程见【答案】 19解：0号-a2+1 f'(x)=2x2-2ax,则f'(1)=2-2a, 2 由g)=33-+l血，得g(@=2a2-1+士则g1=2, 由函数f(x)与g(c)在=1处的切线平行， 得2-2a=2,.a=0, 此时h(x)=f(x)-g(c)=1+x-lnc,x>0, 回-1 当0<c<1时，h(x)<0,当x>1时，h'(x)>0, 故h(c)在(0,1)上单调递减，在(1，+o∞)上单调递增， 故当x=1时，h(x)取得极小值h(1)=2,无极大值： (2)由(1)知f'(x)=2x2-2aa=2ax(c-a), 因为a>0,故x∈(-∞，0)U(a,+∞)时，f'(x)>0,x∈(0，a)时， f'(x)<0, 则f(x)在(-oo,0),(a,十∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减， 则f(c)在x=0处取到极大值，在c=a处取到极小值， o=1>0,f-2y=9-4a+1<0, 知f(x)在(-o∞，0)上有一个零点， 当0<a<3时，f@)-1-专a3>0,fa)在0，+o0)上无零点， 此时f(x)在R上仅有一个零点； 当a>时，fa)-1-3a<0,f0fa<0. ∴.f(x)在(0，a)上有一个零点， f2a)-jw+1>0.f(a)f(2a)<0. 故f(x)在(a,十o∞)上有一个零点， 此时f(x)在R上有3个零点， 当a=源时，fo-1名a-0,e)在0+o)上有一个零点， 此时f(x)在R上有2个零点， 重庆市实验中学校高三 综上所述，当0<a<3时，f(x)在R上仅有一个零点： 当a=3时，f(x)在R上有2个零点： 当a>3时，f(c)在R上有3个零点： (3)由(1)知，对于任意x>0,h(x)≥2， 得lnx≤x-1,当且仅当=1时取等号， 2 2、2 令x=1+”,则血(1+3)大知 n-1时.21+3》-9<4 当n≥2时， (+)+(+)4(+)录 2 21 3n 3 放(+是)×(1+)xx(1+品)se<14 故 2x(+)x(+)×(+)x×(+)s1x9<5 2(+)(+)(+)(+)2xg×g 11074, 27 结合Vn∈N*, (+)(+)(+)(+) m且m为正整 数， 可得正整数m的最小值为5. 解析：详细解答和解析过程见【答案】 年级数学教师讲义满分：150分 岁