重庆市实验中学校2026-2027学年高三上学期第7周数学测试题

重庆市实验中学校2026-2027学年高三上期第七周数学测试题 本试卷满分150分 考试时间120分钟 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设全集Z，，，则等于    A. B. C. D. 2.i是虚数单位，则的共轭复数是(     ) A. B. C. D. 3.设是公比为的无穷等比数列，为其前n项和．若，则“”是“数列存在最小项”的     A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 4.已知，，均为单位向量．若=+，则与夹角的大小是    A. B. C. D. 5.若，，其中，，则(     ) A. B. C. D. 6.在某项芯片测试试验中，有5个不同的芯片欲组装到一个云计算的主机中，先将它们串联在一起统一测试，在串联电路中甲、乙两个芯片不相邻的前提下，丙、丁两个芯片相邻的概率为(     ) A. B. C. D. 7.已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为      A. B. C. D. 8.在锐角中，，、的对边长分别是b、c，则的取值范围是 A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分） 9.下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的有        A. 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 B. 相关变量的线性回归方程为，若样本点中心为，则 C. 由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数一定能确切地反映变量之间的相关关系 D. 在独立性检验中，随机变量的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越大 10.已知等差数列的首项为，公差为d，其前n项和为，若，则下列说法正确的是    A. 当时，最大 B. 使得成立的最小自然数 C. D. 数列中的最小项为 11.在中，，，F是AC的中点，则下列说法正确的是(     ) A. 若，点D在线段BC的延长线上，则 B. 若E是AB的中点，BF与CE相交于点Q，则 C. 若点P在线段AC上，则的值可以是 D. 若E是线段AB上一动点，则为定值 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若函数的定义域为，则实数a的取值范围是          . 13.已知数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为           . 14.已知函数的图象关于点对称，且，若在 上没有最大值，则实数t的取值范围是           . 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（13分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为   求；   若，，求的周长． 16.（15分）已知数列满足， 若数列为数列的奇数项组成的数列，为数列的偶数项组成的数列，求出，，，并证明：数列为等差数列; 求数列的前22项和. 17.（15分）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为 求点A到平面的距离； 设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值. 18.（17分）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. 若数学组的7名学员中恰有3人来自A中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自A中学的人数，求的分布列和数学期望； 在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值. 19.（17分）已知函数 若曲线在点处的切线方程为，求实数a的值； 若对恒成立，求整数a的最小值； 当时，证明：在上存在唯一零点和唯一极小值点，且 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $《高2024级高三上数学第七周周练》 单项选择题（40分) 1.(5分)设全集U={x∈Z-7<2x-1<9},A={ 2,2},B={-2,4},则(CUA)UB等于 A.{4 B.{-1,0,4} C.{-2,0,3,4} D.{-2,-1,0,1,3,4} 【参考答案】D 解析：由题意，得U={x∈Z-3<x<5}={-2, 1,0,1,2,3,4},A={-2,2},B={-2,4},所以CwA={ -1,0,1,3,4,所以(CwA)UB={-2,-1,0,1,3,4} 2(汾)是点数年位，则2=的共钷复数是 c.1-i D.1+ 【参考答案】B 解析：【分析】本题考查复数的运算以及共轭复数的 定义，属于基础题。 根据复数的四则运算计算出2=。+二。 ，即可得到z的共 2 轭复数 【解答】解：复数x= 11+i1,1 1-i2-2+2, 11 则复数的共轭复数z= 22. 故选B 3.(5分)设{an}是公比为g(g卡-1)的无穷等比数列， Sm为其前n项和.若a1>0,则“q>0”是“数列{Sn} 存在最小项”的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 【参考答案】A 解析：【分析】 本题考查等比数列的通项公式与求和公式，充分、必 要条件的判定，属于中档题 先利用分类讨论思想结合指数函数的单调性证明充分 性，再举反例证明不必要性，即可判断 重庆市实验中学校高三数学教师讲义满分：150分 【解答】 解：当q=1时，Sn=na1,因为a1>0,所以此时数列 {Sn}递增，存在S1=a1是最小项， 当g>0且g≠1，Sn=a1(1-g）=a1 aign 1-g1-q1-9 当q>1,a1>0时，可知数列{Sn}递增，存在S1=a1 是最小项， 当0<q<1,a1>0时，可知数列{Sn}还是递增，存 在S1=a1是最小项， 综上“q>0”是“数列{Sn}存在最小项的充分条件； 肖1<0<0,01>0，不纺取：a11,g之 则-11-g-8-1-日+日-8-1-g+号 15 1,11,111 885g=1-2+48+1616 1,11,1121 S6=1-2十48+1632=32，Sm= 3 2 2 3 2 当n+∞时，Sm→3 即此时5=方是最小项。 即“q>0”不是“数列{Sn}存在最小项”的必要条件， 综上可知：“g>0”是“数列{Sn}存在最小项”的充分非 必要条件， 故选：A. 4.(5分)已知d,6,c的为单位向量.若d-b+仓，则6与d 夹角的大小是 B.T 2π C 3 D.5i 6 【参考答案】C 解析：解：由d=b+c,得a=(b+d可2， 即a=6+2+26. 则1=1+1+2×1×1×c0s 又6动∈o, 则c- n .故选：C 1 5(5分)若cosa+cos月-=2cos(a-)= 4 其中a, B∈(0，x),则sina+sinB= 5 3 2 B v6 c. 2 4 D. 2 【参考答案】A 解析：解：.cosa十cosB= 2→c0s2a+cos2B+ 1 2cos a cosB-4 cos(a-B)=cosa cos +sin a sin .'.1-sin2a+1-sin2B+2x(4-sin a sin B)- 5 sin"otsin'8+2 sin a sin →(na+sinj2-i→血a+in9=±y5 .'a,B∈(0，π)→sina>0,sinB>0, ..sin a+sin B=v5 2 故选：A. 6.(⑤分)在某项芯片测试试验中，有5个不同的芯片欲组 装到一个云计算的主机中，先将它们串联在一起统 测试，在串联电路中甲、乙两个芯片不相邻的前提下， 丙、丁两个芯片相邻的概率为 1 D. 5 【参考答案】A 解析：五个芯片的排列数为A=120种，其中甲、乙相 1/7 邻的排列有2A4=48种，所以甲、乙不相邻的排列有72 种，绑定丙、丁，再将甲、乙插空有2×2C号A号=24种， 所以在串联电路中甲、乙两个芯片不相邻的前提下， 丙、丁两个芯片相邻的概率 241.故选A. 72=3 7.(5分)己知函数f(x)的定义域为R,且f(x)>'(x)+1, f(0)=3,则不等式f(x)>2e+1的解集为 A.(-o,0)B.(0,+∞)C.(-o,1)D.(1,+∞) 【参考答案】A 解析：【分析】 本题考查利用导数研究函数的单调性，解不等式，属 于中档题. 构造函数g()= @)一1，利用导数研究g()的单调性， 将f(x)>2e+1,等价转化为g(c)>g(0),即可求解. 【解答】 解：令g=f)-1 ex 求导得g(x)= f(x)e-[f(x)-1]e" e2x f'(x)+1-f(c) ez 因为f(x)>f'(x)+1, 所以g)=f')+1-fe L<0在R上恒成立， 所以g(x)=f四- 二在R上单调递减， ex 又因为f(c)>2e+1, 所以@1>2=3-1=f0)1,即g(e)>g0 ez e0 所以x<0, 所以不等式f(x)>2e+1的解集为(-∞，0). 故选：A. 8.(5分)在锐角△ABC中，∠A=2∠B,∠B、∠C的对边 长分别是b、c,则 6的取值范围是()· b+c 2/7 重庆市实验中学校高三数学教师讲义满分：150分 A(司)BG)c分)D(后 【参考答案】B 解析：【分析】 本题考查正弦定理在解三角形中的应用，注意锐角三 角形中角的范围的确定，是本题解答的关键，考查计 算能力，逻辑推理能力.属于难题， 确定B的范围，利用正弦定理化简表达式，求出范围即 可. 【解答】 解：在锐角△ABC中， Ae0,7,Be(0,7,C∈0,7，又LA-2∠B, ∠C=π-3∠B, cos2Be分， b 所以由正弦定理可知： sin B b+c sin B+sinC= sin B sin B sinB+sin(π-3B) sin B+sin 3B sinB sinB+sinBcos2B+cos Bsin2B 1 1 1 1+cos 2B+2cos2B4cos2B 故选B. 号多项选择题(18分) 9.(6分)下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的 有 A.回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条 直线 B.相关变量x,y的线性回归方程为=8x-m,若样本点 中心为(m,14),则m=2 C.由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系 数一定能确切地反映变量之间的相关关系 D.在独立性检验中，随机变量X的观测值越小，“认为 两个变量有关”这种判断犯错误的概率越大 【参考答案】BD 解析：解：对于A,回归直线是通过最小二乘法拟合数 据得到的直线，它的目的是使样本数据点到该直线的 距离的平方和最小，而不是经过样本数据点最多的那 条直线，故A错误. 对于B,对于线性回归方程=8x一m,因为样本点中 心(m,14)一定在回归直线上， 所以将x=m,=14代入回归方程可得：14=8m-m, 即7m=14,解得m=2,故B正确 对于C,由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相 关系数只是对变量之间相关关系的一个估计，它受到 样本随机性的影响，不一定能确切地反映变量之间的 相关关系，故C错误 对于D,在独立性检验中，随机变量Xx的观测值越小， 说明两个变量之间越可能没有关系，那么“认为两个变 量有关”这种判断犯错误的概率就越大，故D正确， 故选：BD l0.(6分)已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,其 前n项和为Sn,若S8<S6<S7,则下列说法正确的 是 A.当n=7时，Sm最大 B.使得Sm<0成立的最小自然数n=13 C.a6 +a7<a8 +ag 中的最小项为 as 【参考答案】ACD 1.6分)在△ABC中，∠ABC-7,AC-5,F是AC 的中点，则下列说法正确的是 A若BC-=3,点D在线段BC的延长线上，则AB.AD =16 B.若E是AB的中点，BF与CE相交于点Q,则AQ= nd 3 C若点P在线段AC上，则B户.AP的值可以是-25 D.若E是线段AB上一动点，则EA·EB+EF2为定 值 【参考答案】AD 解析：【分析】 本题考查了向量的数量积的概念及其运算，向量的加 减与数乘混合运算和向量的长度（模），属于中档题.。 利用向量的数量积运算对A进行判断，利用向量的数量 积运算，结合向量的加减与数乘混合运算对B与C进行 判断，利用向量的数量积运算，结合向量的长度（模）对 D进行判断，从而得结论， 【解答】 解：对于A如图： B D 因为LABC= 2’AC=5,BC=3,所以AB=4,因此 AB=4,<AB,AD>=∠BAD, 所以AB.AD-AA cos AB,AD>= a:ad os∠BAD=AB=16,故A正确； 对于B.如图： 因为F是AC的中点，E是AB的中点，BF与CE相交于 点Q,所以Q是△ABC的重心，因此B-号B京， 断uag-digB时i号x(ad） 重庆市实验中学校高三数学教师讲义满分：150分 2。.1。之 BA+号BC,故B错误； 3 3 对于C如图： 设AP=xAC(0≤x≤1) 因为B丽-正A店-a-店，5-4d>, 所以B时A-6-(d-d） zACA位-25m2A店>25(e2-≥2克，故c精 25 误； 对于D.如图： 因为E是线段AB上一动点，所以设AE= tAB(0≤t≤1)，因此EB=(1-t)AB: 因为成衣店-号c所-d -taa4faB25-aB+a6. 2 4 / 2 因此EA EB+EF =t(1-)AB+4 2 25 t2AB 4 EA EB+ EF为定值，故D正确， 填空题(15分) 12.(5分)若函数f(x)= 的定义域为R, Vax2+ax+1 则实数a的取值范围是 【参考答案】[0,4) 解析：【分析】 本题考查函数的定义域及其求法，一元二次不等式存 在性或恒成立问题，考查数学转化思想方法及分类讨 论的数学思想方法，属于中档题。 把函数f(x)= 的定义域为R,转化为 Vax2+ax+1 ax2+ax+1>0对任意实数x恒成立.然后分a=0和 a卡0分类求解得答案。 【解答】 解：·函数f(x)= 的定义域为R, Vax2 +ax+1 .ax2+a+1>0对任意实数x恒成立. 若a=0,不等式成立； a>0 若a卡0，则{ a2-4a<01 解得0<a<4. 综上：0≤a<4, 所以实数a的取值范围是0,4). 故答案为[0,4). 13.(5分)己知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn= n2an(n∈N*),则数列{an}的通项公式为 2 【参考答案】an= n(m+1) 解析：【分析】 本题考查了数列通项公式的求解，主要考查了数列的 第n项与数列前n项和之间关系的应用，迭乘法求解数 列通项公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简计算 能力，属于中档题 利用数列的第n项与数列前项和之间的关系，得到 an_n-1, 然后利用迭乘法求解数列通项公式即 an-1 n+1 可.【解答】 解：因为Sn=nan(n∈N*), 3/7 所以当n≥2时，Sn-1=(m-1)2an-1, 故an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1,整理可得 an An-1 =n-1 n+1 dnan.ain-1.an-2...03 a2.a= an-1 an-2 an-3 a2 a1 n-1n-2m-321 2 n+1 1= nn-1…431= n(n+1) 当m=1时，a1=1也适合上式， 故数列{an}的通项公式为an= 2 n(n+1) 故答案为：an= 2 m(m+1) 14.(5分)己知函数f(x)=sin(2x+p)的图象关于点 (日，0)对称，且f0)>(日)，若@)在0，)上没有最 大值，则实数t的取值范围是。 【参考答案】( 5元11π 612 解析：【分析】 本题考查三角函数图象与性质的应用、最值，属于较 难题目. 由已知函数e)=sin(2e+o)的图象关于点（石，0）对称， 且fo)>fg 确定出函数的解析式f(x)= sn2r+=in(2e+2. 再根据当x∈[0，t)时，2x 2n 3∈[3,2t+ 函数没有最大值，则3<2+ 2m5_ 3≤2，即可解答. 【解答】 解：函数fe)=sin(2x十o)的图象关于点(g,o)对称。 则2×6+p=k1,&1∈Z, 所以p-k1-了∈2，① 4/7 重庆市实验中学校高三数学教师讲义满分：150分 又0)> 即sinp>sim(+9，即si(p-）>0, 所以2k2m<p-3 ,<2k2π+π，2∈Z, 4π 所以2km+3<口<3+2k,2∈乙，② 所以由①②知：当且仅当k1=1,k2=0时，p 2x成立， 所以f(x)=sin(2c+p)=sin(2x+ 3 当a∈Q8时2红+行∈经2+ 因为若f(c)在[0，)上没有最大值， 3元<2+3≤2 ,解得纸<t≤2 2m5 .11π 6 5元11π 故答案为(6,12 解答题（77分) 15.(13分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, c,已知△ABC的面积为，a3 3sinA (1)求sin Bsin C; (2)若6 cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长. 【参考答案】解：(1)因为△ABC面积S= a2 且 3sinA S- 2besin A. 1 3simA-2csin4,所以a2-号in2A. 所以、a2 1 2 3 由正弦定理得sin2A=2si血Bsin Csin2A, 因为sinA≠0，所以sin Bsin C=2 3 2)()特s血EsinC--号，-合 2 6 因为A+B+C=π，所以cosA=cos(π-B-C)= cos(B+C)-sin Bsin C-cosBcosC-1, 又A∈0，，所以A=名m4V3 1 2，CosA= 由余弦定理得a2=b2+c2-bc=9,① 由正弦定理得b-sinA sinB,c= a ·sinC, sin A a2 所以bc= sin2A .·sin Bsin C=8,② 由①②得：b+c=V33, 所以a+b+c=3+√33，即△ABC周长为3+V33, 解析：本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦 公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的 运算能力，属于中档题， (1)根据三角形面积公式和正弦定理可得答案. (2)根据两角余弦公式可得cosA= 即可求出4= 再根据正弦定理可得bc=8,根据余弦定理即可求出b+c, 问题得以解决. 16.(15分)已知数列{an}满足，an+1= an+1,n为奇数时， amn-2,n为偶数时， a1=1 (1)若数列{bn}为数列{an}的奇数项组成的数列，{cn} 为数列{an}的偶数项组成的数列，求出c1,c2,cg,并 证明：数列{bn}为等差数列； (2)求数列{an}的前22项和. 【参考答案】解：(1)因为an+1= am+1,n为奇数时 (an-2,n为偶数时 所以c1=a2=a1十1=2， c2=a4=a3+1=a2-2+1=1, c3=a6=a5+1=a4-2+1=0, 由题意知，bn+1=a2m+1=a2m-2=a2m-1+1-2=a2m-1-1 =bn-1, 且b1=a1=1 所以数列{bn}是首项为1，公差为-1的等差数列； (2)因为cn+1=a2m+2=a2m+1+1=a2m-2+1=a2m-1=Cn 1, 所以数列{cn}是首项为2，公差为-1的等差数列， 结合(1)可知，{an}的奇数项和偶数项都是以-1为公差 的等差数列， 所以S22=a1十a2十…十a2=(a1十a3+…+a21)+ (a2+a4+.+a22) =(b1+b2+·+b11)+(c1+c2+…+c11) =1×11+ 0x(-1)+2x1+X10x(-1) 11×10 2 2 =-77. 解析：本题考查根据数列的递推公式求数列的项、等 差数列的判定或证明、分组（并项）法求和、等差数列的 求和公式，属于中档题 (1)利用递推公式求出c1,c2,c3,再由bn+1=a2m+1= a2m-2=a2m-1十1-2=a2m-1-1=bn-1,即可证出数列 {bn}为等差数列； (2)判断出数列{cn}是首项为2，公差为-1的等差数列， 利用S22=(b1+b2+…+b11)+(c1+c2+…+c11), 结合等差数列的求和公式，即可求出结果 17.(15分)如图，直三棱柱ABC- A A1B1C1的体积为4，△A1BC的面 B D 积为2V2. (1)求点A到平面A1BC的距离： (2)设D为A1C的中点，AA1= AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1, 求二面角A-BD-C的正弦值. 【参考答案】解(1)设点A到平面 A1BC的距离为h. 因为直三棱柱ABC-A1B1C1的体 积为4，所以VA-A1BC= SAABC AA-VABC-A1BO 4 3’ 又△A1BC的面积为2W2,VA-A1BC= 3 司×2vxh音， 所以h=V2,即点A到平面A1BC的距离为√2. 重庆市实验中学校高三数学教师讲义满分：150分 (2)取A1B的中点E,连接AE,则AE⊥A1B. 因为平面A1BC⊥平面ABB1A1,平面A1BCn平面 ABB1A1=A1B,AEC平面ABB1A1, 所以AE⊥平面A1BC,又BCC平面A1BC,所以 AE⊥BC. 又AA1L⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以AA1⊥BC. 因为AA1∩AE=A,AA1,AEC平面ABB1A1, 所以BC⊥平面ABB1A1,又ABC平面ABB1A1,所 以BC⊥AB. 以B为坐标原点，分别以BC,BA,BB1的方向为c, y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz, 由(1)知，AE=V2,所以AA1=AB=2,A1B=2V2. 因为△A1BC的面积为2V2,所以2V2=号A1B.BC, 所以BC=2, 所以A(0,2,0),B(0,0,0),C(2,0,0),A1(0,2,2), D(1,1,1),E(0,1,1),则BD=(1,1,1),BA= (0,2,0). 设平面ABD的一个法向量为元=(c,y,), 则 i:BD=0,即{红+y+名=0令=1，得航= (元.BA=0, 12y=0, (1,0,-1). 又平面BDC的一个法向量为AE=(0,-1,1), AE.元 -1 所以cos V2×V2 2 AE.元 设二面角A-BD-C的平面角为0，则sin0= √3 AE,元 所以二面角A-BD-C的正弦值为 2 18.(17分)“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、 教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名 具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高 校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、 化学学科夏令营活动. (1)若数学组的7名学员中恰有3人来自A中学，从这7名 学员中选取3人，飞表示选取的人中来自A中学的人数， 求的分布列和数学期望； (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科 知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中， 每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本 轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道 题的概率分别为p1，p2.假设甲、乙两人每次答题相互 雅立，儿互不影响当+专时，求甲、乙两位同学 在每轮答题中取胜的概率的最大值. 【参考答案】解：(1)由题意知，的可能取值有0,1， 2,3,P(=0)= C35 C4C312 P(传=1)= C2C318 C3-35,P(5=2)令 C 35 P(传=3)= C 1 C9-35 所以ξ的分布列为： 0 1 2 3 4 18 12 1 P 35 35 35 35 4 18 12 1 9 E()=0× 35 +1× 35 +2 35 +3× 35=7· (2) 因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为X, 则X~B(2,P), 设乙答对题数为n,则m~B(2,P2), 设“A=甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”， 则P(A)=P(X=1)P(7=2)+P(X=2)P(7=1)+ 5/7 P(X=2)P(7=2) =C2P1(1-P1)C号P+C2P2C3P2(1-P2)+ C号P12CP2 =2P1(1-P1)P+2P2(1-P2)P+P12P 8 --3P3P2+3PP2 0≤A≤1,0≤A≤1，又n+w专，所以 3≤B≤1， 则PP2=P (信-R)A-PR.<1, 所以PP∈ [141 39 8 设t=PP2,所以P(A)=-3t2+St,te 1 4 由二 3’9 次函数可知当t一号时取最大值27 6 所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大 首为9 解析：本题考查了超几何分布的分布列，均值，概率， 属于难题. (1)利用超几何分布，求出分布列和期望，即可得出结 果； (2)根据甲、乙答对题数为二项分布及独立事件的概率 求出每轮答题中取得胜利的概率，再由二次函数的性 质求出结果 19.(17分)已知函数f(x)=aln(x+1)-2sinx. (1)若曲线y=(x)在点(0，f0)处的切线方程为y=心，求 实数a的值； (2)若fx)>0对Hx∈(0，π)恒成立，求整数a的最小值； (3)当a∈(0,1)时，证明：x)在(0，π)上存在唯一零点 x2和唯一极小值点x1,且x1<c2<2x1· 【参考答案】解：(f(a)z2cos,由f0- a-2=1得：a=3. 6/7 重庆市实验中学校高三数学教师讲义满分：150分 (2fo)-0,fa)）a12cos,所以出必要性@) x+1 =a-2≥0→a≥2， 当a=2时，f(m)=21n(c+1)-2sin,f2)= 2n(写+1)-2<0，不符合，散a≥3. 下证a=3时成立，此时f(x)=3ln(c+1)-2sinx, 当0<x≤1时，f(x)=3ln(x+1)- 2sina>31n(x+1)-2a=g(x), 而g32-2,所以ga在0，)递增， x+1 x+1 在，递减， 又g(0)=0,g(1)=31n2-2>0,所以g(x)>0,即 f(x)>0. 当1<x<π时，3ln(x+1)>3ln2>2≥2sinx,所 以f(x)>0. 所以当a=3时，均有f(x)=3ln(x+1)-2sinx>0对 c∈(0，π)恒成立， 综上所述，整数a的最小值为3. 法二：下证a=3时成立，此时f(x)=3n(x+1)-2sinc, 3 当0<≤时.fa)312cos,令pa创 x+1 f'(如=B+ -2 cos x, e中在0，罗1上递增。 3 则p'(xc)=2sin心- 而p0)<0,p(受)>0，所以存在0∈0,2)使得 3 p(ro）=0,即2sin0(o+12 0, 面p后）=1 3 一<0，所以c0≥字 (6+1)2 则f'e)a血=f'eo）=,3 x0+1 -2cosxo=2 /2sin zo- 所以)在(o,1递增，有@)>0)=0. 当2<<时，0<-<分<2 所以f(x)=3ln(x+1)-2sinx>3ln(π-x+1)- 2sin(π-x)>0,也成立. 综上所述，整数a的最小值为3. 网当ae0,1时，fe -2 cosa, 令ha)=fa a --2cosc,h'(x)=2sin- (x+1) 在o,空)上潘始， 而N0)<0,h(②)>0，所以存在an∈(0,2，使得 h'(co)=0, 所以（在0,2o)递减，在(o)递增， 又f'o)=a-2<0,f'(eo)<fo)<0,f'(2) 0 >0， 1十2 所以存在1∈(eo,,使得f(e）0, 所以f倒在0，)递减，在(1，受)递增， 当a∈哈时，fe年 -2c0sx>0,所以 f红∈受，m)递增。 所以f(c)在(0，c1)递减，在(c1,)递增， 所以x=1是(x)在(0，)上的唯一极小值点. 此时f(c1)<f0)=0,f(π)=an(1+)>0, 所以在(x1,),也即(0，)上存在唯一零点2，且 c1<x2; 下证：x2<21: 因为1∈(，牙，所以21≤，又f在(a,道增， 所以只需证f2c1)>f(x2)=0. 即证f(2c1)=aln(1+2x1)-2sin2x1= 2(1+x1)cosx1·ln(1+2x1)-2sin2c1>0 重庆市实验中学校高 台ln(1+2x1) 2sin 1 1+x1 >0, 而sinx1<x1,只需证明：血(1+2x1)- 2x170, 1+x1 令1(x)=ln(1+2x)- 年2e02) 2x 2 2 则'(x)=1+2x 2x2 (1+x)2 1+2a)01+2>0, 所以(e)在(0，)上单调递增，)>《0)=0， 2c1一 所以(c1)=ln(1+2x1)-1+x >0成立，证毕 解析：详细解答和解析过程见【答案】 三数学教师讲义满分：150分 7/7