第22讲 基本不等式 讲义-2027届高三数学一轮复习

高中数学·题型专项训练系列 第22讲 基本不等式 专项训练（4大题型33题）（解析版） 2026-2027学年高三一轮复习 数学 题型归纳 · 内容导航 题型 定位 题号 题数 题型一　基本不等式的直接应用与证明 基础 第1—3题 3 题型二　配凑与常数代换求最值 重点 第4—16题 13 题型三　条件等式求最值 重点 第17—29题 13 题型四　恒成立与实际应用 难点 第30—33题 4 方法索引 · 易错提示 题型 核心方法 易错点 题型一　基本不等式的直接应用与证明 时 ，等号当且仅当 ；用「一正、二定、三相等」检验 忽视「一正」「二定」条件；等号条件没有检验；证明时漏写等号成立的条件 题型二　配凑与常数代换求最值 配凑成和（或积）为定值再用基本不等式；已知 求 的最小值时，用「1 的代换」 等号取不到仍写最值；「1 的代换」漏乘或乘错；配凑后变量范围漏写 题型三　条件等式求最值 条件是等式：用基本不等式把条件转化成关于 或 的不等式再求解；能因式分解的先分解 条件转化后不解不等式；消元后漏写变量范围；多次用基本不等式但等号条件不一致 题型四　恒成立与实际应用 恒成立：分离参数后转化为最值；实际应用：设变量写目标函数，再用基本不等式，并检验取等的变量在范围内 恒成立转最值时不等号方向写反；实际问题漏写变量范围；取等点不在范围内 使用说明 • 本专项共 33 题，按 4 个题型编排（各题型依次 3、13、13、4 题）；每个题型先【知识积累】，再【典例】，后【变式训练】。 • 原卷版用于课堂演练与限时训练，解析版逐题给出答案与详解（部分题附分析）；解答题先独立书写，再对照解析。 • 建议先读上表“方法索引·易错提示”，做题时对照易错点自查；4 个题型与配套复习讲义同名同序，可对照使用。 题型通关 · 靶向提分 题型一　基本不等式的直接应用与证明（共3小题） 考查重点　考查基本不等式的内容与等号条件、直接求最值与简单证明，要求会检验「一正、二定、三相等」。 【知识积累】 基本不等式：对任意正实数 ，有 ，当且仅当 时等号成立； 叫算术平均数， 叫几何平均数。 常用变形：；；（对任意实数 成立）；（ 同号）。 最值定理：设 。若 （定值），则 ，当 时积取最大值；若 （定值），则 ，当 时和取最小值。 使用条件：一正（各数为正）、二定（和或积为定值）、三相等（等号能取到）。三条缺一不可，答题时要单独验证等号。 易错：忽略「正数」条件；和与积都不是定值就直接用；用基本不等式后等号取不到仍写最值。 【典例】 1．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知，均为正数，且，设，，，则下列关系中不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式可得，再按，，分类讨论可判断ABD，对于C：利用完全平方式可得到，再令，可计算出，进而可判断C. 【详解】已知，均为正数，且， 因为，即， 由基本不等式可知：，所以， 由于 ，考虑 相对于 2 的位置： 当时，选项A可能成立，选项D不成立； 当时，选项B可能成立，选项D不成立； 当时，则，， 若选项D成立，则成立，即，此时， 同时成立，即， 当 ，则 ，要求 ，即 ，但 ，矛盾； 当 ，则 ，要求 ，即 ， 由 得 ，与 矛盾； 故选项 D 在所有情况下均不可能成立. 对于C， 由，，得： ， 所以，令得，故此时 ，，， 故：，故选项C可能成立. 故选：D 【变式训练】 2．（2026·上海黄浦·三模）已知实数，满足，则的最大值为________． 【答案】 【详解】由，等式两边平方得：展开得. 由于对任意实数，有， 将其代入上式：，则. 当且仅当时取等号，代入,解得或，此时，满足取等条件,因此的最大值为1. 3．（25-26高一上·江苏盐城·期中）若，，且满足 (1)求的最小值； (2)求的最大值. 【答案】(1)6； (2). 【分析】（1）将给定等式变形为，再利用基本不等式求出最小值. （2）将给定等式变形为，再利用基本不等式求最大值． 【详解】（1）由，，得， 即，整理得，解得， 当且仅当时取等号，由，得， 所以当时，取得最小值6. （2）由，，得， 因此， 当且仅当时取等号，由，得时取等号， 所以当时，取得最大值. 题型二　配凑与常数代换求最值（共13小题）  重  考查重点　考查通过配凑、拆项、常数代换把目标式化成「积为定值」或「和为定值」，并检验等号条件。 【知识积累】 配凑：目标式不是「和为定值」或「积为定值」时，通过拆项、添项、提系数配成定值。例如 时 ，当 时取等号。 常数代换：已知 （），求 的最小值：把 乘以 ，得 ，当 时取等号。 条件为和为定值：如 （）求 的最小值：，当 时取等号。 消元法：条件是等式时，可解出一个变量代入目标，化成一元函数再配凑，注意变量的取值范围。 易错：配凑后等号取不到；「1 的代换」时漏乘或乘错因式；变量范围（如 ）漏写；两次使用基本不等式但等号条件不一致。 【典例】 4．（26-27高三上·四川雅安·阶段检测）已知 ，则代数式 的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】， 因为即所以， 当且仅当时等号成立， 即时取得最小值，最小值为. 【变式训练】 5．（2026·湖南湘潭·一模）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】已知，，整理，得， 则，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为. 6．（26-27高三上·辽宁·开学考试）已知a，b均为正数，，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用可得，结合基本不等式即可求解最小值. 【详解】因为a，b均为正数，且，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为6. 7．（25-26高三上·湖南·期中）已知，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用，结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当 时，等号成立. 故的最小值为. 故选：D. 8．（25-26高三上·湖北·期末）下列说法中正确的是（    ） A．若，则的最小值为2 B．若，则的最大值为 C．若，且，则的最大值为 D．若，则的最小值为2 【答案】BCD 【分析】根据基本不等式的性质，以及基本不等式取等号的条件，逐一判断各选项正误. 【详解】对于选项A，，当且仅当时，即时取等号，因为，所以等号不成立，所以选项A错误； 对于选项B，当时，，则，当且仅当时，即时取等号， 所以，即，所以选项B正确； 对于选项C，，因为，所以，当且仅当时，即时取等号，即， 所以，所以，所以选项C正确； 对于选项D，因为，所以，所以，当且仅当时，即时取等号， 所以，所以选项D正确； 故选：BCD. 9．（2026·安徽·模拟预测）已知，，且，则的最小值为________． 【答案】 【详解】由题意得，， 所以， 当且仅当，，即时，等号成立． 10．（2026·上海·三模）已知均为正数，且，则的最小值为___________ 【答案】2 【详解】因为，所以. ，当且仅当时等号成立. 11．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为_____. 【答案】3 【分析】设，将待求式化为关于的函数式，再利用基本不等式求解即得. 【详解】设，因，则， 且， 因，当且仅当时取等， 即时，也即时，取得最小值4，此时的最小值为3. 12．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知正数、满足，则的最小值为_______. 【答案】/ 【分析】由已知条件得出，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为正数、满足，则. 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 13．（2026·广西南宁·二模）设，，若不等式恒成立，则实数的最大值为______． 【答案】8 【详解】由 . 从而原问题转化为求的最小值. 因为 ， （以上均为当且仅当时取等号）. 所以. 即实数的最大值为8. 14．（25-26高三上·河北·期末）若，且，则的最小值为___________，此时___________. 【答案】 【分析】利用基本不等式证明，即得到，再利用基本不等式即可求出答案. 【详解】， 因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 又因为， 所以， 当且仅当时，第二个等号成立， 所以的最小值为，此时. 故答案为：；. 15．（25-26高一上·河北唐山·期末）已知，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】令，则，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为，则， 令，由可知，即， 所以， 所以由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 故答案为： 16．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）（1）已知，求的最小值； （2）已知x，y是正实数，且，求的最小值. 【答案】（1）6；（2） 【分析】（1）结合基本不等式即可求解； （2）利用乘1法，结合基本不等式即可求解． 【详解】当时，，当且仅当，即时取等号， 故的最小值6； ，y是正实数，且， 则， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为 题型三　条件等式求最值（共13小题）  重  考查重点　考查带条件等式的最值与范围：先用基本不等式把条件转化成不等式，再解出所求量的范围，并检验等号。 【知识积累】 转化为不等式：条件 （）中，用 把 换成 ，得到关于 的二次不等式，解出 的最小值；用 把 换成 ，得到关于 的二次不等式，解出 的最小值。 因式分解法： 可配成 ，再用基本不等式。例如 化为 。由 知，若 同为负，则乘积小于 ，与 矛盾，故两者为正，，即 ，当 时取等号。 消元法：由条件解出一个变量（如 得 ，）代入目标，化成一元函数再配凑。 多个等号：同一题多次使用基本不等式时，各次的等号条件必须能同时成立，否则最值取不到。 易错：条件转化后没有解不等式就直接取等；解 时漏掉 的限制；等号条件与变量范围冲突。 【典例】 17．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知正实数满足，则的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由，可得， 利用基本不等式可得， 两边平方可得，所以； 当且仅当时，即时，等号成立， 即的最大值为. 【变式训练】 18．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知，且，则的最大值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用均值不等式结合求出的最大值，再对整体平方，即可求出. 【详解】因为，且，所以，即， 当且仅当时等号成立，取到最大值为， 所以，即， 当且仅当时等号成立，此时的最大值为. 19．（26-27高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D．13 【答案】B 【详解】已知正实数满足，由于，，等式两边同时除以， 化简得， 通过“1”的代换得. 由于，因此，当且仅当即时等号成立. 将代入，解得，满足正实数条件， 因此的最小值为. 20．（26-27高三上·湖南娄底·阶段检测）若正实数满足，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】利用“1的代换”的方法，结合基本不等式求解即可. 【详解】将等式两边同时除以，可得：， 所以， 因为， 所以， 当且仅当，即， 结合，可得时取等号， 故的最小值为4. 21．（26-27高三上·甘肃·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【分析】通过对已知等式中的“1”进行整体代换，结合基本不等式求解目标式的最小值. 【详解】由，则 ， 由可得，，根据基本不等式可得， 当且仅当，即， 又得，代入，解得时等号成立， 因此，当且仅当时等号成立，所以的最小值为9. 22．（25-26高一上·山东聊城·期中）已知正数，满足，则（    ） A． B．的最小值为4 C．的最小值为4 D． 【答案】D 【分析】对A，举反例；对B，利用基本不等式求解；对C，利用基本不等式取等号条件判断；对D，利用基本不等式求得，得解. 【详解】对于A，由，，取，则，故A错误； 对于B，， 当且仅当，即时，等号成立，故B错误； 对于C， ，当且仅当，即时等号成立， 由，等号不成立，故C错误； 对于D，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故D正确. 故选：D. 23．（2026·山东日照·模拟预测）已知，，则下列说法正确的有（     ） A．若，则的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最小值为4 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式即可判断A；利用拼凑法和基本不等式即可判断B；利用和基本不等式即可判断C；将拆分成，再利用基本不等式即可判断D， 【详解】对于A，已知，，由基本不等式有， 两边平方得，当且仅当 ，即，时等号成立，故A正确； 对于B，因为，所以， 由基本不等式有， 当且仅当 ，即时等号成立， 因为，所以，故B错误； 对于C，已知，，由可得， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，已知，，，则，， ， 由基本不等式有， 当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， 所以， 当且仅当，，即，时等号成立，故D正确. 24．（25-26高二下·山西运城·期末）已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 【答案】ACD 【分析】将题设等式化成，可判断A项；将代入，利用基本不等式可判断B项；再将其化成，可利用基本不等式判断C项；将代入，利用换元后，利用基本不等式判断D项. 【详解】对于A，由去分母，整理得，因，， 则，且，因，则有，故A正确； 对于B，由A得，则， 因，则，当且仅当， 即时取等号，此时的最小值为，故B错误； 对于C，由去分母，得，即得， 因，，则，当且仅当时等号成立， 由解得，即当时，取得最小值为2，故C正确； 对于D，由A得，代入，得， 设，则， 当且仅当，即，也即时，等号成立，此时取得最小值，故D正确. 25．（26-27高三上·上海闵行·期中）已知两个正数，的几何平均值为2，则的最小值为______． 【答案】8 【详解】由题意得，则， 则，当且仅当时等号成立. 26．（2026·上海静安·三模）若均为正数，且，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最值求解. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立， 所以，的最小值为. 27．（26-27高三上·河南·阶段检测）已知实数x，y满足，则的最大值是_________． 【答案】 【分析】先应用换元结合判别式法计算求解. 【详解】设，且， 所以，即得， 所以， 所以， 所以的最大值为. 28．（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）已知实数满足，则的最小值为______． 【答案】 【分析】由条件可得，令，，则解得，代入化简整理，利用基本不等式求最值即可得出． 【详解】由，可得， 令，，则． 联立可得，，， 则， 当且仅当，即，或，时，即，或，时取等号． 故答案为：． 29．（2026·河南平顶山·模拟预测）已知，． (1)若，求的最大值； (2)若，求的最小值； (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）直接用基本不等式，求出的最大值； （2）利用“乘1法”，把式子乘以条件，展开后利用基本不等式得到最小值4； （3）利用换元法把，代入原式，再根据基本不等式得到最小值． 【详解】（1）解：已知，，， 则， 当且仅当，时，等号成立， 故的最大值为． （2）解：已知，，， 则， 当且仅当，时，等号成立， 所以的最小值为4． （3）解：已知，， 令，， 则 ， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以的最小值为． 题型四　恒成立与实际应用（共4小题）  难  考查重点　考查含参不等式恒成立（转化为最值）和实际问题中的最值，要求会建立函数模型并检验取等条件。 【知识积累】 恒成立转最值： 对所有 恒成立等价于 ； 恒成立等价于 。 的最值常用基本不等式求，注意等号能否取到。 含参数的不等式：如「对任意正数 ， 恒成立」，先分离出 ，再求右边的最小值 ，得 。 实际问题的步骤：① 设变量并注明范围；② 写出目标函数；③ 用基本不等式求最值；④ 检验等号成立时的变量是否在范围内；⑤ 回答问题。 常见模型：围墙、造价问题常得到 （），由 得最小值 ，等号在 取到。 易错：漏写变量范围；取等的变量不在实际范围内仍写最值；分离参数时除以含参数的式子不讨论符号。 【典例】 30．（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）小明同学用一架两臂不等长的天平称20克药剂，他先将10克的砝码放在天平左盘中，取出一些药剂放在天平右盘中使天平平衡；再将10克的砝码放在天平右盘中，再取出一些药剂放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的药剂装入烧杯．你认为小明装入烧杯中药剂的剂量（    ） A．小于20克 B．等于20克 C．大于20克 D．不能判断 【答案】C 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且， 设第一次操作（药剂在右盘）称得的药剂为克， 第二次操作（药剂在左盘）称得的药剂为克， 则，解得， ， 当且仅当时，取等号，而，所以. 【变式训练】 31．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）设矩形（其中）的周长为24，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点.设，求的最大面积为________. 【答案】 【分析】根据基本不等式，结合勾股定理及三角形面积公式求解即可. 【详解】由题意知，则. 设 ，则. 因为，所以，解得. 易知，则. 设，则. 在中，，整理得，即. . 因为，当且仅当，即（满足）时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立. 故的最大面积为. 32．（25-26高一上·湖北荆州·期中）2025年5月，荆州市首次获评第七届全国文明城市称号，荆州中学作为“全国文明校园”的再次蝉联者，既是荆州市文明城市创建的受益者，更是文明创建践行者.以此为契机，学校计划在天问广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，在两块完全相同的长方形上种植绿草坪，草坪周围（阴影部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米. (1)若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 【答案】(1)16 (2). 【分析】（1）设草坪长和宽，根据条件得到关系和不等式，解不等式即可求得草坪宽的最大值； （2）设整个绿化面积为平方米，根据题意列出表达式，并通过基本不等式求得最小值. 【详解】（1）设草坪的宽为x米，长为y米， 因为两块绿草坪的面积均为400平方米，所以， 因为矩形草坪的长比宽至少多9米，则，即， 解得，所以草坪宽的最大值为16米； （2）设整个绿化面积为S平方米， 由题意可得，，当且仅当时取等号， 所以整个绿化面积的最小值为平方米. 33．（25-26高三上·陕西渭南·阶段检测）已知，，完成下列各题： (1)若，比较与的大小； (2)若，求的最小值； (3)若，且恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】（1）利用作差法比较大小； （2）利用乘“1”法和基本不等式求最值； （3）将恒成立问题转化为最值问题，利用基本不等式求最值即可得到实数的取值范围． 【详解】（1）， 由题意知， 因为，所以． （2）因为，所以， 则， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为8． （3） ， 当且仅当，且，即，时等号成立， 故实数的取值范围为． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·题型专项训练系列 第22讲 基本不等式 专项训练（4大题型33题）（原卷版） 2026-2027学年高三一轮复习 数学 题型归纳 · 内容导航 题型 定位 题号 题数 题型一　基本不等式的直接应用与证明 基础 第1—3题 3 题型二　配凑与常数代换求最值 重点 第4—16题 13 题型三　条件等式求最值 重点 第17—29题 13 题型四　恒成立与实际应用 难点 第30—33题 4 方法索引 · 易错提示 题型 核心方法 易错点 题型一　基本不等式的直接应用与证明 时 ，等号当且仅当 ；用「一正、二定、三相等」检验 忽视「一正」「二定」条件；等号条件没有检验；证明时漏写等号成立的条件 题型二　配凑与常数代换求最值 配凑成和（或积）为定值再用基本不等式；已知 求 的最小值时，用「1 的代换」 等号取不到仍写最值；「1 的代换」漏乘或乘错；配凑后变量范围漏写 题型三　条件等式求最值 条件是等式：用基本不等式把条件转化成关于 或 的不等式再求解；能因式分解的先分解 条件转化后不解不等式；消元后漏写变量范围；多次用基本不等式但等号条件不一致 题型四　恒成立与实际应用 恒成立：分离参数后转化为最值；实际应用：设变量写目标函数，再用基本不等式，并检验取等的变量在范围内 恒成立转最值时不等号方向写反；实际问题漏写变量范围；取等点不在范围内 使用说明 • 本专项共 33 题，按 4 个题型编排（各题型依次 3、13、13、4 题）；每个题型先【知识积累】，再【典例】，后【变式训练】。 • 原卷版用于课堂演练与限时训练，解析版逐题给出答案与详解（部分题附分析）；解答题先独立书写，再对照解析。 • 建议先读上表“方法索引·易错提示”，做题时对照易错点自查；4 个题型与配套复习讲义同名同序，可对照使用。 题型通关 · 靶向提分 题型一　基本不等式的直接应用与证明（共3小题） 考查重点　考查基本不等式的内容与等号条件、直接求最值与简单证明，要求会检验「一正、二定、三相等」。 【知识积累】 基本不等式：对任意正实数 ，有 ，当且仅当 时等号成立； 叫算术平均数， 叫几何平均数。 常用变形：；；（对任意实数 成立）；（ 同号）。 最值定理：设 。若 （定值），则 ，当 时积取最大值；若 （定值），则 ，当 时和取最小值。 使用条件：一正（各数为正）、二定（和或积为定值）、三相等（等号能取到）。三条缺一不可，答题时要单独验证等号。 易错：忽略「正数」条件；和与积都不是定值就直接用；用基本不等式后等号取不到仍写最值。 【典例】 1．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知，均为正数，且，设，，，则下列关系中不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 2．（2026·上海黄浦·三模）已知实数，满足，则的最大值为________． 3．（25-26高一上·江苏盐城·期中）若，，且满足 (1)求的最小值； (2)求的最大值. 题型二　配凑与常数代换求最值（共13小题）  重  考查重点　考查通过配凑、拆项、常数代换把目标式化成「积为定值」或「和为定值」，并检验等号条件。 【知识积累】 配凑：目标式不是「和为定值」或「积为定值」时，通过拆项、添项、提系数配成定值。例如 时 ，当 时取等号。 常数代换：已知 （），求 的最小值：把 乘以 ，得 ，当 时取等号。 条件为和为定值：如 （）求 的最小值：，当 时取等号。 消元法：条件是等式时，可解出一个变量代入目标，化成一元函数再配凑，注意变量的取值范围。 易错：配凑后等号取不到；「1 的代换」时漏乘或乘错因式；变量范围（如 ）漏写；两次使用基本不等式但等号条件不一致。 【典例】 4．（26-27高三上·四川雅安·阶段检测）已知 ，则代数式 的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式训练】 5．（2026·湖南湘潭·一模）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 6．（26-27高三上·辽宁·开学考试）已知a，b均为正数，，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．（25-26高三上·湖南·期中）已知，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 8．（25-26高三上·湖北·期末）下列说法中正确的是（    ） A．若，则的最小值为2 B．若，则的最大值为 C．若，且，则的最大值为 D．若，则的最小值为2 9．（2026·安徽·模拟预测）已知，，且，则的最小值为________． 10．（2026·上海·三模）已知均为正数，且，则的最小值为___________ 11．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为_____. 12．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知正数、满足，则的最小值为_______. 13．（2026·广西南宁·二模）设，，若不等式恒成立，则实数的最大值为______． 14．（25-26高三上·河北·期末）若，且，则的最小值为___________，此时___________. 15．（25-26高一上·河北唐山·期末）已知，则的最小值为______. 16．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）（1）已知，求的最小值； （2）已知x，y是正实数，且，求的最小值. 题型三　条件等式求最值（共13小题）  重  考查重点　考查带条件等式的最值与范围：先用基本不等式把条件转化成不等式，再解出所求量的范围，并检验等号。 【知识积累】 转化为不等式：条件 （）中，用 把 换成 ，得到关于 的二次不等式，解出 的最小值；用 把 换成 ，得到关于 的二次不等式，解出 的最小值。 因式分解法： 可配成 ，再用基本不等式。例如 化为 。由 知，若 同为负，则乘积小于 ，与 矛盾，故两者为正，，即 ，当 时取等号。 消元法：由条件解出一个变量（如 得 ，）代入目标，化成一元函数再配凑。 多个等号：同一题多次使用基本不等式时，各次的等号条件必须能同时成立，否则最值取不到。 易错：条件转化后没有解不等式就直接取等；解 时漏掉 的限制；等号条件与变量范围冲突。 【典例】 17．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知正实数满足，则的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】 18．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知，且，则的最大值为（    ） A．3 B． C． D． 19．（26-27高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D．13 20．（26-27高三上·湖南娄底·阶段检测）若正实数满足，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C． D． 21．（26-27高三上·甘肃·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 22．（25-26高一上·山东聊城·期中）已知正数，满足，则（    ） A． B．的最小值为4 C．的最小值为4 D． 23．（2026·山东日照·模拟预测）已知，，则下列说法正确的有（     ） A．若，则的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最小值为4 D．若，则的最小值为 24．（25-26高二下·山西运城·期末）已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 25．（26-27高三上·上海闵行·期中）已知两个正数，的几何平均值为2，则的最小值为______． 26．（2026·上海静安·三模）若均为正数，且，则的最小值为___________． 27．（26-27高三上·河南·阶段检测）已知实数x，y满足，则的最大值是_________． 28．（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）已知实数满足，则的最小值为______． 29．（2026·河南平顶山·模拟预测）已知，． (1)若，求的最大值； (2)若，求的最小值； (3)若，求的最小值． 题型四　恒成立与实际应用（共4小题）  难  考查重点　考查含参不等式恒成立（转化为最值）和实际问题中的最值，要求会建立函数模型并检验取等条件。 【知识积累】 恒成立转最值： 对所有 恒成立等价于 ； 恒成立等价于 。 的最值常用基本不等式求，注意等号能否取到。 含参数的不等式：如「对任意正数 ， 恒成立」，先分离出 ，再求右边的最小值 ，得 。 实际问题的步骤：① 设变量并注明范围；② 写出目标函数；③ 用基本不等式求最值；④ 检验等号成立时的变量是否在范围内；⑤ 回答问题。 常见模型：围墙、造价问题常得到 （），由 得最小值 ，等号在 取到。 易错：漏写变量范围；取等的变量不在实际范围内仍写最值；分离参数时除以含参数的式子不讨论符号。 【典例】 30．（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）小明同学用一架两臂不等长的天平称20克药剂，他先将10克的砝码放在天平左盘中，取出一些药剂放在天平右盘中使天平平衡；再将10克的砝码放在天平右盘中，再取出一些药剂放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的药剂装入烧杯．你认为小明装入烧杯中药剂的剂量（    ） A．小于20克 B．等于20克 C．大于20克 D．不能判断 【变式训练】 31．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）设矩形（其中）的周长为24，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点.设，求的最大面积为________. 32．（25-26高一上·湖北荆州·期中）2025年5月，荆州市首次获评第七届全国文明城市称号，荆州中学作为“全国文明校园”的再次蝉联者，既是荆州市文明城市创建的受益者，更是文明创建践行者.以此为契机，学校计划在天问广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，在两块完全相同的长方形上种植绿草坪，草坪周围（阴影部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米. (1)若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 33．（25-26高三上·陕西渭南·阶段检测）已知，，完成下列各题： (1)若，比较与的大小； (2)若，求的最小值； (3)若，且恒成立，求实数的取值范围． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $