第04讲 基本不等式及其应用 讲义-2027届高三数学一轮复习

第04讲 基本不等式及其应用 内 容 导 航 知识点1 基本不等式核心公式 知识点2 两大最值模型 知识点3 经典题型：“1 的代换” 知识点4 易错拓展：含负数、不能取等的处理 知识点5 基本不等式条件正误判断 知识点6 配凑定值求最值（拆项、配系数） 知识点7 "1 的代换" 求最值 知识点8 特殊情况处理（含负数、等号取不到） 知识点9 基本不等式实际应用 知识点10 含参恒成立问题 题型1 运用基本不等式比较大小 题型2 运用基本不等式求最值 题型3 运用“1”的代换构造基本不等式 题型4 运用基本不等式解决实际问题 知 识 点 通 关 知识点1 基本不等式核心公式 1.1 核心原型（算术 - 几何均值不等式） 若a>0,b>0，则，当且仅当a=b时取等号。 · 一正：a,b全为正数（负数不能直接套原式）； · 二定：求和最值则乘积为定值；求积最值则和为定值； · 三相等：等号可取（a=b在定义域内有解，取不到则改用函数单调性）。 1.2 拓展重要不等式（无条件 / 放宽条件） 1. a=b取等（全体实数可用，无正数限制）； 2. （积≤和平方四分之一，常用放缩）； 3. 同号： ； ab<0时 。 1.3 四项均值不等式链 对于正数a,b，有： 其中： · ：调和平均数（HM） · ：几何平均数（GM） · ：算术平均数（AM） · ：平方平均数（QM） 当且仅当a=b时，所有等号同时成立。 知识点2 两大最值模型 1. 积定求和最小：ab=k（定值，a,b>0） ，a=b取最小； 2. 和定求积最大：a+b=k（定值，a,b>0） ，a=b取最大。 核心操作：无定值时，需要通过拆项、配系数等方法凑出定值，这是基本不等式应用的关键。 知识点3 经典题型：“1 的代换” 已知ma+nb=1(a,b>0)，求 类最值：整体乘 1，展开后配凑均值。 知识点4 易错拓展：含负数、不能取等的处理 1. x<0：令t=-x>0，变形后用不等式；例 2. 定义域限制无法a=b：放弃基本不等式，用对勾函数单调性。 知识点5 基本不等式条件正误判断 方法技巧 不等式性质的快速判断 特殊值秒杀法：优先代入负数、0、边界值（如a=b、x=0）快速排除错误选项； 三条件逐项核验法：按 "一正→二定→三相等" 顺序逐一验证，缺一不可； 性质区分法：明确 （全体实数）与 （仅正数）的适用范围。 易错分析 忽略前提条件 忽略 "一正" 条件，直接对负数使用基本不等式； 忽略 "二定" 条件，无定值时强行求最值； 忽略 "三相等" 条件，等号取不到时仍用不等式结果； 混淆两个基本不等式的适用范围，导致判断错误。 知识点6 配凑定值求最值（拆项、配系数） 方法技巧 拆项法（凑和为定值）： 适用： 型； 操作： ，此时 为定值。 配系数法（凑积为定值）： 适用： x(k-mx)型； 操作：，此时mx+(k-mx)=k为定值。 分离常数法： 适用： 型； 操作：将分子配成分母的倍数 + 常数，转化为整式 + 分式形式。 易错分析 拆项时漏加常数项，导致结果偏小； 配系数时漏乘倒数，导致结果扩大或缩小； 等号条件不在定义域内，未改用函数单调性； 混淆和定与积定的应用场景，凑错定值类型。 知识点7 "1 的代换" 求最值 方法技巧 求代数式范围的规范步骤 标准解题模板： 变形定值：将ma+nb=k化为 ； 整体乘 1：所求代数式乘以； 展开配凑：展开得到 "整式 + 可均值分式"； 用基本不等式求最值，验证等号条件。 变形技巧：若已知 ，直接将px+qy乘以即可。 易错分析 范围扩大问题 乘错 "1" 的形式，未使用已知的定值条件； 展开时乘法分配律应用错误，导致系数错误； 联立方程求解等号条件时计算错误； 多次使用基本不等式，未保证所有等号同时成立。 知识点8 特殊情况处理（含负数、等号取不到） 方法技巧 含负数的处理：换元转化为正数，注意不等号方向改变； 等号取不到的处理：改用对勾函数单调性或导数求最值。 易错分析 负数直接使用基本不等式，未改变不等号方向； 等号取不到时仍用基本不等式的结果； 对勾函数的单调性记反，导致最值求错； 换元后未重新确定新变量的定义域。 知识点9 基本不等式实际应用 方法技巧 建模解题四步走： 设变量：根据题意设出合适的变量（通常设长、宽、产量为x）； 列关系式：建立目标函数和变量的取值范围； 求最值：利用基本不等式求最值，验证等号条件； 作答：将数学结果转化为实际问题的答案。 易错分析 忽略实际意义对变量的限制（如长度为正、墙长限制）； 目标函数建立错误，导致成本、利润计算错误； 等号条件不符合实际，未改用函数单调性； 单位不统一，导致计算结果错误。 知识点10 含参恒成立问题 方法技巧 优先使用分离参数法 分离参数：将参数移到一边，变量移到另一边； 求最值：求函数f(x)的最大值或最小值； 得范围：若 恒成立，则；若恒成立，则。 易错分析 分离参数时，除以负数未改变不等号方向； 求函数最值时忽略等号条件； 恒成立问题遗漏端点值； 混淆恒成立与能成立的最值要求。 考 点 演 练 题型1 运用基本不等式比较大小 【典例1】已知a＞b＞0，且a+b＝1，则下列不等式不一定成立的是（　　） A． B． C． D．sina＜cosb 【答案】B 【解答】解：由a＞b＞0，a+b＝1，得， 对于A，，A正确； 对于B，取，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，显然，则，D正确． 故选：B． 【变式1】已知非零实数a＞b，则下列命题中成立的是（　　） A．a2＞b2 B．ab＞b2 C． D．a3＞b3 【答案】D 【解答】解：对于A，令a＝1，b＝﹣1，满足a＞b，但a2＝b2，ab＜b2，无意义，故ABC错误， y＝x3在R上单调递增， a＞b， 则a3＞b3． 故选：D． 题型2 运用基本不等式求最值 【典例1】已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）＝ex满足，则的最小值为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】A 【解答】解：由题意可得，f（b）＞1， 又，∴f（2a）＞f（b）， ∵f（x）在（0，+∞）单调递增， ∴2a＞b＞0， 令b＝m＞0，2a﹣b＝n＞0，则， ∴ ，当且仅当m＝n时取等， 又，当mn＝2时取等， 综上，时，取得最小值4． 故选：A． 【变式1】已知m，n∈（0，+∞），2m+n＝1，则的取值范围是（　　） A．（0，+∞） B． C．[4，+∞） D． 【答案】D 【解答】解：∵m，n∈（0，+∞），2m+n＝1， ∴， 当且仅当，即，时等号成立． 故的取值范围是． 故选：D． 题型3 运用“1”的代换构造基本不等式 【典例1】当a＞0，b＞0且满足a+b﹣ab＝﹣3时，若ab＞k2+k+7恒成立，则k的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） B．（﹣1，2） C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．（﹣2，1） 【答案】D 【解答】解：因为a＞0，b＞0且满足a+b﹣ab＝﹣3，， 即， 则，即ab≥9，当且仅当a＝b时，等号成立， 又ab＞k2+k+7恒成立，所以9＞k2+k+7，即k2+k﹣2＜0， 解得﹣2＜k＜1． 故选：D． 【变式1】已知P为直线x+y＝1上动点，定点A（3，0），B（1，1），O为坐标原点，若，则有（　　） A．3λ+2μ＝1 B．2λ+3μ＝1 C． D． 【答案】A 【解答】解：由点A（3，0），B（1，1），O为坐标原点， 可得：， 所以，则P（3λ+μ，μ）， 因为P为直线x+y＝1上动点， 所以（3λ+μ）+μ＝1，3λ+2μ＝1． 故选：A． 题型4 运用基本不等式解决实际问题 【典例1】2025年12月29日，中国向国际电信联盟（ITU）一次性提交20.3万颗低轨卫星频轨资源申请，2026年商业航天发射活动将更加活跃，东方空间“引力一号”、深蓝航天“星云一号”、星河动力“智神星一号”、中科宇航“力箭二号”等火箭均已制定发射计划，备受关注的天兵科技“天龙三号”，据悉也将在近期迎来首飞．某企业自主研发了一款火箭专用高级设备，并从2026年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本400万元，每生产x百台高级设备需要另投成本y万元，且 ，x∈N．每百台高级设备售价为90万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为10000台． （1）求企业获得年利润M（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 【答案】（1）； （2）年产量40百台时利润最大，最大利润为1200万元． 【解答】解：（1）每百台高级设备售价为90万元，年产量x（百台）时销售收入为90x万元， 总成本为400+y万元，年利润M（x）＝90x﹣（400+y）万元． 当50≤x≤100时，M（x）＝90x﹣（400+y）； 当0≤x＜50时，M（x）＝90x﹣（400+y）＝90x﹣（400+x2+10x）＝﹣x2+80x﹣400； 所以年利润． （2）由（1）当0≤x＜50时，M（x）＝﹣x2+80x﹣400＝﹣（x﹣40）2+1200， 故当x＝40∈[0，50）（百台）时，M（x）max＝1200（万元）， 当50≤x≤100时， 2×90+1283＝1103， 当且仅当即x＝60（百台）时，等号成立，此时M（x）max＝1103（万元）， 因为1200＞1103，所以年产量40百台时利润最大，最大利润为1200万元． 【变式1】为了道路联通、贸易畅通，某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为3m，底面积为12m2，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费 用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两面墙的长度均为xm（2≤x≤6）． （1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（a＞0），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 【答案】（1）当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队报价最低为14400元；（2）0＜a＜12时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功． 【解答】解：（1）因为屋子的左右两侧墙的长度均为x米（2≤x≤6），底面积为12平方米， 所以屋子的前面墙的长度均为米（2≤x≤6），设甲工程队报价为y元， 所以y＝3400+2×150×3x+7200＝900（x）+7200，2≤x≤6， 因为900（x）+7200≥900×27200＝14400， 当且仅当x，即x＝4时等号成立， 所以当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队报价最低为14400元； （2）根据题意可知900（x）+7200对任意的x∈[2，6]恒成立， 即对任意的x∈[2，6]恒成立， 所以a 对任意的x∈[2，6]恒成立， 因为a＞0，（x+1）6≥26＝12， 当且仅当x+1，即x＝2时等号成立， 所以0＜a＜12， 故当0＜a＜12时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功． 过 关 验 收 1．记max{a，b}表示实数a，b中的较大的数，已知x，y，z均为正数，则的最小值为（　　） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【解答】解：设， 当时，， 因为x，y，z均为正数，所以tz， 当且仅当，，时，等式成立； 当时，， 当且仅当，，时，等式成立． 综上可知，t的最小值为． 故选：C． 2．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a+b，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3．设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作AF⊥BC于点F，则下列推理正确的是（　　） ①由图1和图2面积相等可得； ②由AE≥AF可得； ③由AD≥AE可得； ④由AD≥AF可得a2+b2≥2ab． A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③ 【答案】A 【解答】解：由图1和图2面积相等ab＝（a+b）d，可得，①对； 由题意知图3面积为，AF， AD， 图3设正方形边长为x，由三角形相似，，解之得x，则AE； 可以化简判断②③④对， 故选：A． 3．已知实数a＞0，b＞0，则下列说法正确的是（　　） A．若a＞b，则a2＞b2 B．若a＞b，则 C．若a+b＝2，则2a+2b≥4 D．若a+b＝2，则 【答案】ACD 【解答】解：当a＞b＞0时，有a2＞b2，故A正确； 当a＞b＞0时，有，故B错误； 若a+b＝2，则， 当且仅当a＝b＝1时等号成立，故C正确； 已知a＞0，b＞0，且a+b＝2， 则， 当且仅当，即a＝b＝1时等号成立，故D正确． 故选：ACD． 4．魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用图1给出了勾股定理的证明．设每个直角三角形的两条直角边长分别为a和b（a≠b）如图2．由刘徽构造的图形可以得到许多重要结论，则下列推理正确的是（　　） A．由正方形ABCD面积大于8个朱色图形面积得 B．由正方形EFGH面积大于4个朱色图形面积得 C．由三角形EBF面积大于黄色图形面积得 D．由正方形EFGH面积的2倍大于正方形ABCD面积得 【答案】ABD 【解答】解：对于A，由正方形ABCD的面积为（a+b）2， 8个朱色图形的面积为，显然，故A正确； 对于B，由图得正方形EFGH的面积为， 4个朱色图形的面积为， 由图可知，故B正确； 对于C，由三角形EBF面积大于黄色图形面积得， 所以2（a2+b2）＜5ab，故C错误； 对于D，由正方形EFGH面积的2倍大于正方形ABCD面积得，故D正确． 故选：ABD． 5．已知c＞0，且2a＝3b＝5c，则（　　） A．a＞b＞c B．ac＜b2 C． D．若a+c＝ac，则b＝log310 【答案】ACD 【解答】解：设2a＝3b＝5c＝k， 由c＞0可得k＞1， 对A，k＞1，易知a＞b＞c．选项A正确． 对C，因为a＝log2k，b＝log3k，c＝log5k，所以，，， 于是，选项C正确． 对D，若a+c＝ac，则，即logk2+logk5＝logk10＝1，则k＝10． 由3b＝10知b＝log310．选项D正确． 对B，取k＝3，则b2＝1，由3log32＝log38＜2知， 3log53＝log527＞2知，所以log32＜log53，即log32•log35＜1， ，此时ac＞b2，选项B错误． 故选：ACD． 6．已知x＞0，y＞0，且x+y＝1，则（　　） A． B．log2x+log2y≤﹣2 C． D． 【答案】ABD 【解答】解：选项A：因为x＞0，y＞0，x+y＝1，所以x﹣y＝2x﹣1＞﹣1，所以，故A正确． 选项B：，当且仅当时取等号，故B正确． 选项C：，所以，当且仅当时取等号，故C错误． 选项D：， 当且仅当时取等号，故D正确． 故选：ABD． 7．若a＞0，b＞0，则的最大值是　 　 ．（其中min{a，b}表示a，b中的较小值） 【答案】． 【解答】解：因为a＞0，b＞0， 所以 ， 所以当时，， 所以的最大值是． 故答案为：． 8．已知全集U＝R，实数a，b满足a＞b＞0，集合，，则M∩∁UN＝ 　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意可得或x≥a}， 又a＞b＞0，，， 所以， 故答案为：． 9.如图，设，线段DE与BC交于点F，且，通过计算得到：，则的最小值为（　　） A．5 B．9 C． D． 【答案】D 【解答】解：由，D，E，F三点共线，得，即4x+y＝5， 所以， 当且仅当y＝2x，即时取等号． 故选：D． 10．已知x，y为正实数，且x+y＝1，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为x+y＝1，则， 由于， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为． 故选：C． 11．已知函数f（x）＝loga（2x﹣1）+1（a＞0且a≠1）的图象经过定点P（x0，y0），若mx0+ny0﹣2＝0，当满足m＞0，n＞0时，代数式的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由2x﹣1＝1可得x＝1，且f（1）＝loga1+1＝1，故x0＝1，y0＝1， 则有m+n﹣2＝0，即m+n＝2， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为． 故选：A． 12．已知0＜a＜1，则的最小值为（　　） A． B． C．5 D．9 【答案】B 【解答】解：因为0＜a＜1，所以2﹣2a＞0，（2﹣2a）+2a＝2， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故所求的最小值为． 故选：B． 13．已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x，若正实数m，n满足f（2m）+f（n﹣5）＝f（0），则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x，则f（﹣x）＝e﹣x﹣ex，则f（x）＝﹣f（﹣x）， 则f（x）为奇函数且为增函数， 正实数m，n满足f（2m）+f（n﹣5）＝f（0），即f（2m）+f（n﹣5）＝0， 则f（2m）＝﹣f（n﹣5），则f（2m）＝f（5﹣n）， 则2m＝5﹣n，则2m+n+1＝6， 则， 当且仅当，即m＝2，n＝1时取等号， 则的最小值为． 故选：D． 14．已知a＞b＞0，a+b＝2，则（　　） A．的最大值是 B．2a+2b+2的最小值是8 C．a+sinb＜2 D．b+lna＞1 【答案】C 【解答】解：对于A，因为a＞b＞0，a+b＝2，所以2﹣b＞b＞0，即0＜b＜1， 则，（当时取等号），故A错误； 对于B，，当且仅当a＝b+2，即b＝0时等号成立，显然等号不成立，故B错误； 对于C，因为b∈（0，1），所以sinb＜b，则a+sinb＜a+b＝2，故C正确；． 对于D，b接近0，则a接近2，此时b+lna接近ln2，而ln2＜1，不满足大于1，故D错误 故选：C． 15．已知正实数x，y满足，且不等式x+y﹣a＞0恒成立，则a的取值范围是（　　） A．a＜2 B．a＜8 C．a＜6 D．a＜4 【答案】B 【解答】解：正实数x，y满足， 可得， 故x+y＝2（x+y）（）＝2（2）≥2（2+2）＝8，当且仅当x＝y＝4时等号成立． 而不等式x+y﹣a＞0恒成立， 故a＜（x+y）min＝8． 故选：B． 16．若正数x，y满足4x+y＝4，则的最小值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【解答】解：由正数x，y满足4x+y＝4， 得， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 故选：B． 17．已知正数a，b满足，则a+2b的最小值为（　　） A．9 B．6 C．4 D．3 【答案】A 【解答】解：正数a，b满足， 则， 当且仅当且，即a＝3，b＝3， 故a+2b取得最小值9． 故选：A． 18．已知正数a，b满足，则a+3b的最小值为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【解答】解：因为正数a，b满足， 则a+3b＝（a+3b）（）（10）（10+2）＝8， 当且仅当a＝b＝2时取等号． 故选：A． 19．已知正实数x，y满足，则4xy﹣3x的最小值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解答】解：由x＞0，y＞0，且，可得xy＝x+y．所以4xy﹣3x＝4x+4y﹣3x＝x+4y．又因为x+4y，当且仅当，即时取等号， 所以4xy﹣3x的最小值为9． 故选：B． 20．若x，y∈R+，且x+2y＝1，则的最小值为 　　 ； 【答案】8 【解答】解：根据题意，x，y∈R+，且x+2y＝1， 则（）（x+2y）＝4+（）≥4+28， 当且仅当x＝2y时等号成立， 则的最小值为8； 故答案为：8． 21．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关，假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系，其中d0（m）为安全距离，v（m/s）为车速，当安全距离d0取50时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（　　） A．90 B．96 C．110 D．122 【答案】B 【解答】解：当d0＝50时，（v＞0）， 分子分母同除以v，得， 由基本不等式，，当且仅当时取等号， 故，则． 故选：B． 22．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系，其中d0（m）为安全距离，v（m/s）为车速．当安全距离d0取40m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（　　） A．110 B．116 C．119 D．122 【答案】B 【解答】解：当d0＝40时，N116， 当且仅当，即v＝10时，等号成立， 所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为116． 故选：B． 23．某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为△ABC），点D，E在△ABC的边上，线段DE把草坪分成面积相等的两部分．如果沿DE铺设灌溉水管，则水管的最短长度为　 米． 【答案】20． 【解答】解：由302+402＝502，可得△ABC是直角三角形，其面积， 不妨设AC＝30，BC＝40，AB＝50， ①若D，E在AC，AB上，如图： 设， 则有，解得xy＝750， DE2＝x2+y2﹣2xycosA≥2xy﹣2xycosA＝600，即， 当且仅当时等号成立； ②若D，E在AC，BC上，如图： 设CD＝x，CE＝y， 则有，解得xy＝600， DE2＝x2+y2≥2xy＝1200，即， 当且仅当时等号成立； ③若D，E在BC，AB上，如图： 设， 则有，解得xy＝1000， DE2＝x2+y2﹣2xycosB≥2xy﹣2xycosB＝400，即DE≥20， 当且仅当时等号成立； 因为，所以DE的最小值为20，即水管的最短长度为20米． 故答案为：20． 24．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且AD＜AN≤2AD，对角线MN过点C，已知AB＝8米，AD＝6米． （1）若矩形AMPN的面积大于200平方米，求DN的长的取值范围； （2）求矩形花坛AMPN的面积的最小值． 【答案】（1）（0，4）； （2）192平方米． 【解答】解：（1）由AD＜AN≤2AD可知0＜DN≤6， 设DN的长为x，则AN＝x+6米， 因为，所以， 所以矩形AMPN的面积为， 由，得x2﹣13x+36＞0，解得x＜4或x＞9， 又0＜x≤6，所以0＜x＜4， 故DN的长的取值范围是（0，4）． （2）由题意得矩形花坛AMPN的面积为， 当且仅当，即x＝6时，等号成立， 此时矩形花坛AMPN的面积最小为192平方米． 25．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为x米，宽为y米． （1）若菜园面积为36平方米，则x，y为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若使用的篱笆总长为30米，则x，y为何值时，菜园面积最大？ （3）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 【答案】（1）长x为，宽y为时，所用篱笆总长最小； （2）菜园的长x为15m，宽y为时，菜园面积最大； （3）． 【解答】解：（1）若菜园面积为36平方米，则xy＝36，所用篱笆总长为x+2y． 因为， 当且仅当x＝2y时，即，时等号成立． 所以菜园的长x为，宽y为时，所用篱笆总长最小； （2）若使用的篱笆总长为30米，则x+2y＝30，菜园面积为xy． 因为， 当且仅当x＝2y时，即x＝15，时等号成立． 所以菜园的长x为15m，宽y为时，菜园面积最大； （3）若使用的篱笆总长为30米，则x+2y＝30， ， 当且仅当，即x＝y＝10时等号成立， 所以的最小值是． 26．徐州是两汉文化发源地．汉文化旅游节期间，徐州东站向汉文化景区和云龙湖景区两个方向发送游客接驳车．设向汉文化景区发x车，向云龙湖景区发y车（x、y＞0）． 一调度中心每天在两个方向投入固定管理费：汉文化景区方向每天3万元．云龙湖景区方向每天5万元．这些固定管理费按各方向车次平均分摊．已知两个方向每车平均分摊的固定管理费之和为1万元． （1）求总车次x+y的最小值，并写出此时x，y的值． （2）为保障游客体验，每车需配备志愿者：汉文化景区每车配2名志愿者，云龙湖景区每车配3名志愿者．设志愿者总数为T＝2x+3y． （i）求两方向车次乘积xy的最小值． （ii）求志愿者总数T的最小值，并写出此时x，y的值． 【答案】（1）最小值为，，； （2）（i）60； （ii）T的最小值为，，． 【解答】解：（1）由题意可得汉文化景区每车分摊固定管理费为万元， 云龙湖景区每车分摊固定管理费为万元，且（x＞0，y＞0） ， 当且仅当时等号成立，此时，． 当，时， x+y的最小值为； （2）（i）由于x＞0，y＞0， 则，整理得xy≥60， 当且仅当x＝6，y＝10时等号成立． 因此xy的最小值为60． （ii）， 当且仅当时等号成立，此时，． 当，时， T的最小值为． 27．“守护碧水蓝天，共治污水之源”，重庆市某自来水厂决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，水厂拟安装一种新的污水净化设备．这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该水厂需缴纳的总水费C（单位：万元）与设备占地面积x之间的函数关系为，将该水厂的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为y（单位：万元）． （1）要使y不超过11.2万元，求设备占地面积x的取值范围； （2）设备占地面积x为多少平方米时，y的值最小，并求出此最小值． 【答案】（1）[20，31]； （2）设备占地面积x为25平方米时，y的值最小，最小值为11万元． 【解答】解：（1）由题意得y＝0.2x+C＝0.2x（x＞0）， 令y≤11.2，即0.2x11.2，（x＞0）， 整理得x2﹣51x+620≤0，即（x﹣20）（x﹣31）≤0， 解得20≤x≤31， 所以设备占地面积x的取值范围为[20，31]； （2）y＝0.2x1≥21＝11， 当且仅当，即x＝25，时等号成立， 所以设备占地面积x为25平方米时，y的值最小，且最小值为11万元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 基本不等式及其应用 内 容 导 航 知识点1 基本不等式核心公式 知识点2 两大最值模型 知识点3 经典题型：“1 的代换” 知识点4 易错拓展：含负数、不能取等的处理 知识点5 基本不等式条件正误判断 知识点6 配凑定值求最值（拆项、配系数） 知识点7 "1 的代换" 求最值 知识点8 特殊情况处理（含负数、等号取不到） 知识点9 基本不等式实际应用 知识点10 含参恒成立问题 题型1 运用基本不等式比较大小 题型2 运用基本不等式求最值 题型3 运用“1”的代换构造基本不等式 题型4 运用基本不等式解决实际问题 知 识 点 通 关 知识点1 基本不等式核心公式 1.1 核心原型（算术 - 几何均值不等式） 若a>0,b>0，则，当且仅当a=b时取等号。 · 一正：a,b全为正数（负数不能直接套原式）； · 二定：求和最值则乘积为定值；求积最值则和为定值； · 三相等：等号可取（a=b在定义域内有解，取不到则改用函数单调性）。 1.2 拓展重要不等式（无条件 / 放宽条件） 1. a=b取等（全体实数可用，无正数限制）； 2. （积≤和平方四分之一，常用放缩）； 3. 同号： ； ab<0时 。 1.3 四项均值不等式链 对于正数a,b，有： 其中： · ：调和平均数（HM） · ：几何平均数（GM） · ：算术平均数（AM） · ：平方平均数（QM） 当且仅当a=b时，所有等号同时成立。 知识点2 两大最值模型 1. 积定求和最小：ab=k（定值，a,b>0） ，a=b取最小； 2. 和定求积最大：a+b=k（定值，a,b>0） ，a=b取最大。 核心操作：无定值时，需要通过拆项、配系数等方法凑出定值，这是基本不等式应用的关键。 知识点3 经典题型：“1 的代换” 已知ma+nb=1(a,b>0)，求 类最值：整体乘 1，展开后配凑均值。 知识点4 易错拓展：含负数、不能取等的处理 1. x<0：令t=-x>0，变形后用不等式；例 2. 定义域限制无法a=b：放弃基本不等式，用对勾函数单调性。 知识点5 基本不等式条件正误判断 方法技巧 不等式性质的快速判断 特殊值秒杀法：优先代入负数、0、边界值（如a=b、x=0）快速排除错误选项； 三条件逐项核验法：按 "一正→二定→三相等" 顺序逐一验证，缺一不可； 性质区分法：明确 （全体实数）与 （仅正数）的适用范围。 易错分析 忽略前提条件 忽略 "一正" 条件，直接对负数使用基本不等式； 忽略 "二定" 条件，无定值时强行求最值； 忽略 "三相等" 条件，等号取不到时仍用不等式结果； 混淆两个基本不等式的适用范围，导致判断错误。 知识点6 配凑定值求最值（拆项、配系数） 方法技巧 拆项法（凑和为定值）： 适用： 型； 操作： ，此时 为定值。 配系数法（凑积为定值）： 适用： x(k-mx)型； 操作：，此时mx+(k-mx)=k为定值。 分离常数法： 适用： 型； 操作：将分子配成分母的倍数 + 常数，转化为整式 + 分式形式。 易错分析 拆项时漏加常数项，导致结果偏小； 配系数时漏乘倒数，导致结果扩大或缩小； 等号条件不在定义域内，未改用函数单调性； 混淆和定与积定的应用场景，凑错定值类型。 知识点7 "1 的代换" 求最值 方法技巧 求代数式范围的规范步骤 标准解题模板： 变形定值：将ma+nb=k化为 ； 整体乘 1：所求代数式乘以； 展开配凑：展开得到 "整式 + 可均值分式"； 用基本不等式求最值，验证等号条件。 变形技巧：若已知 ，直接将px+qy乘以即可。 易错分析 范围扩大问题 乘错 "1" 的形式，未使用已知的定值条件； 展开时乘法分配律应用错误，导致系数错误； 联立方程求解等号条件时计算错误； 多次使用基本不等式，未保证所有等号同时成立。 知识点8 特殊情况处理（含负数、等号取不到） 方法技巧 含负数的处理：换元转化为正数，注意不等号方向改变； 等号取不到的处理：改用对勾函数单调性或导数求最值。 易错分析 负数直接使用基本不等式，未改变不等号方向； 等号取不到时仍用基本不等式的结果； 对勾函数的单调性记反，导致最值求错； 换元后未重新确定新变量的定义域。 知识点9 基本不等式实际应用 方法技巧 建模解题四步走： 设变量：根据题意设出合适的变量（通常设长、宽、产量为x）； 列关系式：建立目标函数和变量的取值范围； 求最值：利用基本不等式求最值，验证等号条件； 作答：将数学结果转化为实际问题的答案。 易错分析 忽略实际意义对变量的限制（如长度为正、墙长限制）； 目标函数建立错误，导致成本、利润计算错误； 等号条件不符合实际，未改用函数单调性； 单位不统一，导致计算结果错误。 知识点10 含参恒成立问题 方法技巧 优先使用分离参数法 分离参数：将参数移到一边，变量移到另一边； 求最值：求函数f(x)的最大值或最小值； 得范围：若 恒成立，则；若恒成立，则。 易错分析 分离参数时，除以负数未改变不等号方向； 求函数最值时忽略等号条件； 恒成立问题遗漏端点值； 混淆恒成立与能成立的最值要求。 考 点 演 练 题型1 运用基本不等式比较大小 【典例1】已知a＞b＞0，且a+b＝1，则下列不等式不一定成立的是（　　） A． B． C． D．sina＜cosb 【变式1】已知非零实数a＞b，则下列命题中成立的是（　　） A．a2＞b2 B．ab＞b2 C． D．a3＞b3 题型2 运用基本不等式求最值 【典例1】已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）＝ex满足，则的最小值为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式1】已知m，n∈（0，+∞），2m+n＝1，则的取值范围是（　　） A．（0，+∞） B． C．[4，+∞） D． 题型3 运用“1”的代换构造基本不等式 【典例1】当a＞0，b＞0且满足a+b﹣ab＝﹣3时，若ab＞k2+k+7恒成立，则k的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） B．（﹣1，2） C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．（﹣2，1） 【变式1】已知P为直线x+y＝1上动点，定点A（3，0），B（1，1），O为坐标原点，若，则有（　　） A．3λ+2μ＝1 B．2λ+3μ＝1 C． D． 题型4 运用基本不等式解决实际问题 【典例1】2025年12月29日，中国向国际电信联盟（ITU）一次性提交20.3万颗低轨卫星频轨资源申请，2026年商业航天发射活动将更加活跃，东方空间“引力一号”、深蓝航天“星云一号”、星河动力“智神星一号”、中科宇航“力箭二号”等火箭均已制定发射计划，备受关注的天兵科技“天龙三号”，据悉也将在近期迎来首飞．某企业自主研发了一款火箭专用高级设备，并从2026年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本400万元，每生产x百台高级设备需要另投成本y万元，且 ，x∈N．每百台高级设备售价为90万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为10000台． （1）求企业获得年利润M（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 【变式1】为了道路联通、贸易畅通，某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为3m，底面积为12m2，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费 用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两面墙的长度均为xm（2≤x≤6）． （1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（a＞0），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 过 关 验 收 1．记max{a，b}表示实数a，b中的较大的数，已知x，y，z均为正数，则的最小值为（　　） A． B．3 C． D．6 2．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a+b，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3．设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作AF⊥BC于点F，则下列推理正确的是（　　） ①由图1和图2面积相等可得； ②由AE≥AF可得； ③由AD≥AE可得； ④由AD≥AF可得a2+b2≥2ab． A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③ 3．已知实数a＞0，b＞0，则下列说法正确的是（　　） A．若a＞b，则a2＞b2 B．若a＞b，则 C．若a+b＝2，则2a+2b≥4 D．若a+b＝2，则 4．魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用图1给出了勾股定理的证明．设每个直角三角形的两条直角边长分别为a和b（a≠b）如图2．由刘徽构造的图形可以得到许多重要结论，则下列推理正确的是（　　） A．由正方形ABCD面积大于8个朱色图形面积得 B．由正方形EFGH面积大于4个朱色图形面积得 C．由三角形EBF面积大于黄色图形面积得 D．由正方形EFGH面积的2倍大于正方形ABCD面积得 5．已知c＞0，且2a＝3b＝5c，则（　　） A．a＞b＞c B．ac＜b2 C． D．若a+c＝ac，则b＝log310 6．已知x＞0，y＞0，且x+y＝1，则（　　） A． B．log2x+log2y≤﹣2 C． D． 7．若a＞0，b＞0，则的最大值是　 ．（其中min{a，b}表示a，b中的较小值） 8．已知全集U＝R，实数a，b满足a＞b＞0，集合，，则M∩∁UN＝ 　 ． 9.如图，设，线段DE与BC交于点F，且，通过计算得到：，则的最小值为（　　） A．5 B．9 C． D． 10．已知x，y为正实数，且x+y＝1，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 11．已知函数f（x）＝loga（2x﹣1）+1（a＞0且a≠1）的图象经过定点P（x0，y0），若mx0+ny0﹣2＝0，当满足m＞0，n＞0时，代数式的最小值是（　　） A． B． C． D． 12．已知0＜a＜1，则的最小值为（　　） A． B． C．5 D．9 13．已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x，若正实数m，n满足f（2m）+f（n﹣5）＝f（0），则的最小值是（　　） A． B． C． D． 14．已知a＞b＞0，a+b＝2，则（　　） A．的最大值是 B．2a+2b+2的最小值是8 C．a+sinb＜2 D．b+lna＞1 15．已知正实数x，y满足，且不等式x+y﹣a＞0恒成立，则a的取值范围是（　　） A．a＜2 B．a＜8 C．a＜6 D．a＜4 16．若正数x，y满足4x+y＝4，则的最小值为（　　） A．2 B． C．3 D． 17．已知正数a，b满足，则a+2b的最小值为（　　） A．9 B．6 C．4 D．3 18．已知正数a，b满足，则a+3b的最小值为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 19．已知正实数x，y满足，则4xy﹣3x的最小值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 20．若x，y∈R+，且x+2y＝1，则的最小值为 　　 ； 21．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关，假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系，其中d0（m）为安全距离，v（m/s）为车速，当安全距离d0取50时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（　　） A．90 B．96 C．110 D．122 22．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系，其中d0（m）为安全距离，v（m/s）为车速．当安全距离d0取40m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（　　） A．110 B．116 C．119 D．122 23．某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为△ABC），点D，E在△ABC的边上，线段DE把草坪分成面积相等的两部分．如果沿DE铺设灌溉水管，则水管的最短长度为　 米． 24．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且AD＜AN≤2AD，对角线MN过点C，已知AB＝8米，AD＝6米． （1）若矩形AMPN的面积大于200平方米，求DN的长的取值范围； （2）求矩形花坛AMPN的面积的最小值． 25．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为x米，宽为y米． （1）若菜园面积为36平方米，则x，y为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若使用的篱笆总长为30米，则x，y为何值时，菜园面积最大？ （3）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 26．徐州是两汉文化发源地．汉文化旅游节期间，徐州东站向汉文化景区和云龙湖景区两个方向发送游客接驳车．设向汉文化景区发x车，向云龙湖景区发y车（x、y＞0）． 一调度中心每天在两个方向投入固定管理费：汉文化景区方向每天3万元．云龙湖景区方向每天5万元．这些固定管理费按各方向车次平均分摊．已知两个方向每车平均分摊的固定管理费之和为1万元． （1）求总车次x+y的最小值，并写出此时x，y的值． （2）为保障游客体验，每车需配备志愿者：汉文化景区每车配2名志愿者，云龙湖景区每车配3名志愿者．设志愿者总数为T＝2x+3y． （i）求两方向车次乘积xy的最小值． （ii）求志愿者总数T的最小值，并写出此时x，y的值． 27．“守护碧水蓝天，共治污水之源”，重庆市某自来水厂决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，水厂拟安装一种新的污水净化设备．这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该水厂需缴纳的总水费C（单位：万元）与设备占地面积x之间的函数关系为，将该水厂的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为y（单位：万元）． （1）要使y不超过11.2万元，求设备占地面积x的取值范围； （2）设备占地面积x为多少平方米时，y的值最小，并求出此最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $