3.1 函数的概念及其表示 教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习
3.1 函数的概念及其表示
教材结论与考点深挖
（1）教材出处
必修第一册 第三章 3.1.1 函数的概念 正文：函数定义、定义域与值域、区间；正文中求定义域、判断同一个函数的例题与练习。
（2）教材结论/公式/性质
结论类型：正文定理公式。
设 
是非空的实数集，如果对于集合 
中的任意一个数 
，按照某种确定的对应关系 
，在集合 
中都有唯一确定的数 
和它对应，那么就称 
为从集合 到集合 的一个函数，记作 
，
。
- 三要素：定义域 、对应关系 、值域
。值域由定义域和对应关系完全确定，是集合 的子集。 - 同一个函数：定义域相同，且对应关系相同，与自变量用什么字母无关。
- 定义域优先：只给出解析式而未说明定义域时，定义域是使解析式有意义的实数集合；有实际背景时，还要受实际意义限制。
- 常见限制：分式的分母不为零；偶次根式的被开方数非负；零次幂的底数不为零；由几部分组成时，取各部分取值范围的交集。
- 区间表示：开区间、闭区间、半开半闭区间；多个区间之间用并集符号连接。
（3）推导证明
- 值域由定义域与对应关系确定：定义域 中每个 在 下对应唯一的 ，所有这样的 组成值域。因此给定 与 ，值域随之确定；集合 只是取值所在的范围，不必恰好等于值域。
- 同一函数的判定依据：若两个函数的定义域相同，且对定义域中每个 的函数值都相同，则它们的值域也相同，两个函数完全一致；若定义域不同，即使解析式化简后相同，也不是同一个函数。
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- 具体函数定义域的来源：在实数范围内，分母不能为零、偶次根号下不能为负、零次幂的底数不能为零。这些限制同时出现时必须同时满足，故取交集。
（4）适用条件与易错提醒
- 定义域是自变量 的取值集合，不是函数值 的集合，也不是中间变量
的集合。 - 解析式有几处限制就列几个不等式，最后取交集；漏掉任何一处都会把定义域写大。
- 分母不为零、偶次根号内非负、零次幂底数非零，这三条必须逐项检查，不能只看见根号就结束。
- 判断同一个函数时，先看定义域，再看对应关系；不能把解析式先化简再比较，例如
与 
化简后都是 ，但后者定义域不含 
。 - 值域不是集合 ；题目写出 时， 只要求包含所有函数值，不要求恰好等于值域。
- 实际问题中，定义域还要符合背景：人数取整数、长度非负、时间不超过给定范围等。
（5）考点定位与命题角度
选填高频，考“求具体函数的定义域”“判断两个函数是否为同一个函数”“由定义域求参数范围”；解答题中常作第一问，为后续值域、单调性作铺垫。难度基础到中档。常见设问：
- 给出含分式、根式、零次幂的解析式，求定义域；
- 给出四组函数，判断哪一组表示同一个函数；
- 已知函数的定义域为全体实数或某区间，反求参数范围。
（6）方法归纳
- 第一步 看结构：把解析式拆成分式、偶次根式、零次幂等部分，逐处找限制。
- 第二步 列条件：分母不为零、被开方数非负、底数不为零，分别写成不等式或不等式组。
- 第三步 取交集：把所有条件在同一条数轴上标出，取公共部分，注意端点的开闭。
- 第四步 写结果：用区间或集合表示；判断同一函数时，再核对定义域与对应关系是否都相同。
（7）典型例题
已知函数 
。
（1）求函数的定义域；
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（2）求 
，
；
（3）当 
时，求 
，
。
解析
（1）使根式有意义，需 
，即 
；使分式有意义，需 
，即 
。两者取交集，定义域为 
。
（2）
。
（3）因为 ，所以 
，
，
，各式都有意义。
下列函数中，与函数 表示同一个函数的是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
解析
的定义域为全体实数，对应关系是输出等于输入。
A 中 
，但定义域为 
，与 的定义域不同，不是同一个函数。
B 中 
，定义域为全体实数，对应关系也相同，是同一个函数。
C 中 
，定义域相同但对应关系不同，不是同一个函数。
D 中 
，但定义域为 
，与 的定义域不同，不是同一个函数。
故选 B。
（8）变式训练
求函数 
的定义域。
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