精品解析：湖南郴州市永兴县树德初级中学2026-2027学年八年级上学期期中考试数学试题

2026年下期八年级期中考试数学试卷 时间：120分钟 分值：120分 一、填空题（每题3分，共30分） 1. 下列从左到右的等式变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解，把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式进行因式分解，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； B、是因式分解，符合题意； C、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； D、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选B． 2. 要使分式的值为零，则应满足条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键． 分式的值为零需分子为零且分母不为零，据此进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴分子且分母， 解得（此时，满足条件）． ∴应满足， 故选：A． 3. 下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可． 【详解】解：A选项，，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B选项，符合最简二次根式的定义，故该选项符合题意； C选项，，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D选项，，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 4. 随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应为，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为， 故选：． 5. 下列各式中，变形正确的是（        ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、 ，分子、分母乘的数不是同一个，故该选项不正确，不符合题意； C、 ，由于，分子、分母同时除以，故该选项正确，符合题意； D、，当时成立，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 6. 下列运算中错误的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的基本运算法则，根据二次根式的乘除、加减、乘方运算法则，逐一计算验证即可找出错误选项． 【详解】解：A选项，正确． B选项：，正确． C选项：∵与不是同类二次根式，无法合并∴，错误． D选项：∵，正确． 7. 下列式子能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了利用公式法进行因式分解，解题的关键是掌握平方差公式． 利用平方差公式进行判断即可，平方差公式适用于形如的表达式，可分解为 ． 【详解】解：A.该选项不能用平方差公式分解因式，不符合题意； B. 该选项为完全平方形式，不能用平方差公式分解因式，不符合题意； C. 该选项不能用平方差公式分解因式，不符合题意； D.∵ ，符合平方差公式， ∴ 可分解为 ； 故选：D． 8. 端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．根据降价后用240元可以比降价前多购买10袋，可以列出相应的分式方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：C． 9. 已知，，则的值为（ ） A. 5 B. C. 23 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方．逆用幂的乘方以及同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故选：D． 10. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. B. 4或1 C. 或 D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】先将分式方程去分母化为整式方程，再分整式方程无解、解为增根两种情况计算m的值． 【详解】解：两边同乘，得， 去括号得， 移项、合并同类项得， ∵ 原分式方程无解． ∴ 分两种情况讨论： ①整式方程无解， ∵ 当时，不成立，整式方程无解． ∴ ； ②整式方程的解为原方程的增根． ∵ 原方程的增根为， ∴ 将代入，得， 解得． 综上，的值为或． 二、选择题（每题3分，共18分） 11. 因式分解：a3－a=______． 【答案】a（a－1）（a + 1） 【解析】 【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解：a3-a =a（a2-1） =a（a+1）（a-1） 故答案为：a（a－1）（a + 1）． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握公式是解题的关键． 12. 计算： _____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出关于的不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴二次根式的被开方数满足，分式的分母满足， 解不等式得， 解得， 因此实数的取值范围是且． 14. 已知，，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式因式分解，再将已知条件代入求解． 【详解】解：由平方差公式，得， ∵，， ∴，解得， 故答案为：3． 15. 若关于x的方程产生增根，则______ 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，解题的关键是掌握分式方程增根的概念． 化简分式方程得出，然后根据增根求出，代数求值即可． 【详解】解： 当原分式方程中产生增根，即，， ∴， 故答案为：4． 16. 如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为________. 【答案】8-12 【解析】 【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC,再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解. 【详解】∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，∴它们的边长分别为4cm，＝cm，∴AB＝4cm，BC＝（＋4）cm，∴空白面积＝（＋4）×4－12－16＝8＋16－12－16＝（8－12）cm2，故答案为8－12. 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，解本题的要点在于求出AB、BC的长度，从而求出空白部分面积. 三、解答题（共72分，其中17-18题每题6分19-20题每题8分，21-22题每题10分，23-24题每题12分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查乘方、负整数指数幂、算术平方根、零指数幂的运算． 先根据对应运算法则计算出每一项的值，再进行加减运算即可． 【详解】解：  18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．先计算乘法和除法，再合并即可得． 【详解】解：， ， ． 19. 解分式方程：． 【答案】分式方程无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，方程两边都乘得出整式方程，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解： 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以是增根， 即原分式方程无解． 20. 当时，求分式的值． 【答案】 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 已知最简二次根式与能合并． （1）求 的值； （2）若，化简：． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）根据同类二次根式的定义进行计算即可； （2）先推导出，得到，再进行绝对值与二次根式的化简，最后合并即可． 【小问1详解】 解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴ ． 22. 某地装有A，B两种沼气池，已知A沼气池处理15吨有机垃圾所用的时间与B沼气池处理18吨有机垃圾所用的时间相同，且A沼气池每小时比B沼气池少处理1吨有机垃圾． （1）求A沼气池每小时处理多少吨有机垃圾； （2）现需新建沼气池，并要求A沼气池比B沼气池多建2个，若新建的A，B两种沼气池1小时至少需要完成109吨的处理任务，那么B沼气池至少新建多少个？ 【答案】（1）5吨 （2）9个 【解析】 【分析】（1）设A沼气池每小时处理有机垃圾吨，则B沼气池每小时处理有机垃圾吨，列分式方程求解即可； （2）设B沼气池新建个，则A沼气池新建个，列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设A沼气池每小时处理有机垃圾吨，则B沼气池每小时处理有机垃圾吨， 根据题意得， 解得， 经检验，是分式方程的根，且符合实际， 答：A沼气池每小时处理5吨有机垃圾； 【小问2详解】 解：由（1）得A，B沼气池每小时分别处理5吨和6吨有机垃圾， 设B沼气池新建个，则A沼气池新建个， 根据题意得， 解得， 答：B沼气池至少新建9个． 23. 已知，； （1）求 的值； （2）若 x 的小数部分为 a，y 的小数部分为 b ，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，估算无理数的大小，正确化简，，求出、的值是解此题的关键． （1）先进行分母有理化，再直接代入计算即可； （2）分别估算出，的取值范围，然后可得、的值，再直接代入计算即可． 【小问1详解】 解： ， ； 【小问2详解】 解：， ， 由（1）知 ， ， 又∵x 的小数部分为 a，y 的小数部分为 b ， ， ∴ ． 24. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是______；（填序号） ①；②；③． （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； （3）先化简，若该式的值为整数，求x的整数值． 【答案】（1）②③ （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式有意义的条件，理解“和谐分式”的定义是解此题的关键． （1）根据“和谐分式”的定义逐个分析即可得解； （2）根据题意结合“和谐分式”的定义计算即可得解； （3）先化简，再结合分式有意义的条件即可得解． 【小问1详解】 解：，， 故属于“和谐分式”的是②③； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解： ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或1或， 又∵分式有意义时、1、、， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下期八年级期中考试数学试卷 时间：120分钟 分值：120分 一、填空题（每题3分，共30分） 1. 下列从左到右的等式变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 要使分式的值为零，则应满足条件是（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 4. 随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应为，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中，变形正确的是（        ） A. B. C. D. 6. 下列运算中错误的是（） A. B. C. D. 7. 下列式子能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 8. 端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，，则的值为（ ） A. 5 B. C. 23 D. 10. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. B. 4或1 C. 或 D. 或1 二、选择题（每题3分，共18分） 11. 因式分解：a3－a=______． 12. 计算： _____________． 13. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是___________． 14. 已知，，则___________． 15. 若关于x的方程产生增根，则______ 16. 如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为________. 三、解答题（共72分，其中17-18题每题6分19-20题每题8分，21-22题每题10分，23-24题每题12分） 17. 计算： 18. 计算：． 19. 解分式方程：． 20. 当时，求分式的值． 21. 已知最简二次根式与能合并． （1）求 的值； （2）若，化简：． 22. 某地装有A，B两种沼气池，已知A沼气池处理15吨有机垃圾所用的时间与B沼气池处理18吨有机垃圾所用的时间相同，且A沼气池每小时比B沼气池少处理1吨有机垃圾． （1）求A沼气池每小时处理多少吨有机垃圾； （2）现需新建沼气池，并要求A沼气池比B沼气池多建2个，若新建的A，B两种沼气池1小时至少需要完成109吨的处理任务，那么B沼气池至少新建多少个？ 23. 已知，； （1）求 的值； （2）若 x 的小数部分为 a，y 的小数部分为 b ，求的值． 24. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是______；（填序号） ①；②；③． （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； （3）先化简，若该式的值为整数，求x的整数值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $