精品解析：湖南省郴州市永兴县等校联考2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

八年级数学（湘教版） （试题卷） 本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 4. “荷花”是湖南省“省花”，其花粉直径约0.000083米，这里“0.000083”用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 5. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）． A. B. C. D. 6. 计算的结果是（ ）． A. B. C. D. 7. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）． A. B. C. D. 8. 计算的结果是（ ）． A. B. C. D. 9. 随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 我们规定一种新运算“★”，其意义为，若，则x的值为（ ）． A. B. C. D. 1 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 若有意义，则应满足______． 12. 在实数范围内因式分解：x2-5=___________ 13. 化简的结果是______． 14. 若分式的值为0，则x的值为__________． 15. 若可分解为，则的值为______． 16. 比较大小：______．（填“”或“”或“”） 17. 已知，则______． 18. 一组数按下列规律排列：，，，，，，……，x，y，z，……，则相邻的三个数x，y，z之间的关系是______． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算：． 20. 因式分解： （1）； （2）． 21. 已知，． （1）求和的值； （2）利用（1）的结果求的值．（不可以把x，y的值直接代入求值哦！） 22. 先化简，后求值：，其中． 23. （1）已知，，求代数式的值； （2）已知，求x的值． 24. 为庆祝中华人民共和国成立七十六周年，某校组织了大型的庆祝活动，需保证每位师生都拥有一面小五星红旗．已知该校学生人数比教师人数的8倍还多人，购买教师用小五星红旗和学生用小五星红旗分别花了元和元． （1）求该校教师人数和学生人数； （2）在庆祝活动期间，学校为每位教师和学生提供一瓶饮用水，且购买饮用水的费用不超过元，则每瓶饮用水的价格不超过多少元？ 25. 材料1：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫作真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫作假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 根据材料1完成下列问题： （1）从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）；当时，随着x的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）； （2）当时，随着x的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）； 根据材料2完成下列问题： （3）将分式化成整式和真分式的代数和； （4）若x是整数，分式的结果也是整数，求满足条件的x的个数． 26. 【阅读材料】 材料一：我们规定，如果两个含有二次根式的式子的积中不含二次根式，我们就称这两个含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个式子叫作另一个式子的有理化因式． 材料二：我们在进行二次根式的化简时，有时需要把分子、分母乘以分母的有理化因式从而去掉分母中的根号，这个过程就是分母有理化，如：． 材料三：我们有时又需要把分子、分母乘以分子的有理化因式从而去掉分子中的根号，这个过程就是分子有理化，如：． 【问题解决】 任务一：请写出的一个有理化因数为______； 任务二：与是否互为有理化因式？若是，请说明理由；若不是，请写出的一个有理化因式； 【知识应用】 （1）请利用分母有理化知识，化简：； （2）请利用分子有理化知识，比较大小：与． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学（湘教版） （试题卷） 本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 被开方数，不是二次根式，不合题意； B. 是三次根式，不合题意； C. 被开方数a不能保证大于或等于0，故不一定是二次根式，不合题意； D. 是二次根式，符合题意． 故选：D 2. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的相关运算，熟记幂的相关运算法则是解决问题的关键． 根据同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算、幂的乘方和积的乘方运算法则逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A：，运算错误，不符合题意； B：，运算错误，不符合题意； C：，运算正确，符合题意； D：，运算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的判断，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开方的因数（即无完全平方因数），据此逐一判断各选项即可． 【详解】解： A. ，被开方数含分母，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； B. ，是最简二次根式，本选项符合题意； C. ，分母含根号，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； D. ，被开方数含完全平方因数4，故不是最简二次根式，本选项不符合题意． 故选：B． 4. “荷花”是湖南省“省花”，其花粉直径约0.000083米，这里“0.000083”用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，对于绝对值小于1的数，可以用科学记数法表示为形式，其中，n为第一个非0数前面所有0的个数，据此即可求解﹒ 【详解】解：． 故选：C 5. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解定义：将多项式化为几个整式的积的形式，熟记因式分解定义是解决问题的关键． 根据因式分解的定义，判断各选项是否满足左边为多项式，右边为整式的乘积，且等式成立即可． 【详解】解：A：，左边是多项式，右边是整式的积，且符合平方差公式，属于因式分解，符合题意； B：，右边不是积的形式，不属于因式分解，不符合题意； C：，是整式乘法，不属于因式分解，不符合题意； D：，右边含有分式，不是整式，不属于因式分解，不符合题意； 故选：A． 6. 计算的结果是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算，注意到分母 ，将第二个分式变形后合并，利用因式分解简化表达式即可； 【详解】解： ， 故选：D 7. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了乘方运算，负整数指数幂，零指数幂等知识，根据相关知识分别计算出，，，再比较大小，问题得解． 【详解】解：，，， ∴． 故选：B． 8. 计算的结果是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，积的乘方运算，涉及了平方差公式；通过观察 和 ，其乘积为 ；利用这一特点，将原式拆分为 计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故选：D． 9. 随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，乘公交车平均每小时走x千米，根据“电动汽车时间+小时=公交车时间”列出分式方程即可求解﹒ 【详解】解：15分钟=小时 设乘公交车平均每小时走x千米，则电动汽车的平均速度是每小时走2.5x千米， 得： 故选：D 10. 我们规定一种新运算“★”，其意义为，若，则x的值为（ ）． A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了新运算的定义、解分式方程等知识，根据题意新定义运算将方程转化为分式方程并求解，检验即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， 又 ∵， ∴ ，解得， 经检验，是该方程的解， ∴x的值为． 故选：C． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 若有意义，则应满足______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 在实数范围内因式分解：x2-5=___________ 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平方差公式分解因式即可得出答案． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了利用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 13. 化简的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了将根式化为最简二次根式，将根号内的分数表示为分子和分母的平方根之比，然后化简分母中的根号并有理化； 【详解】解：． 故答案为： ． 14. 若分式的值为0，则x的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据分式的值为0时分母≠0，且分子＝0两个条件求出x的值即可． 【详解】由x2-9=0，得 x=±3． 又∵x+3≠0， ∴x≠-3， 因此x=3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了分式值为0时求字母的值．分式值为0时分子=0，分母≠0，两个条件缺一不可，掌握以上知识是解题的关键． 15. 若可分解为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，通过将因式分解形式展开，比较多项式对应项的系数，建立方程求解； 【详解】解：∵， ∴， ∴，； 解得，； ∴； 故答案为： 16. 比较大小：______．（填“”或“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较幂的大小，熟记幂的乘方运算的逆运算是解决问题的关键． 通过幂的乘方的逆运算，将两个幂化为同指数形式，比较底数大小即可判断． 【详解】解：，， 根据指数相同时，由底数大小确定幂的大小，可知当时，， 即 ， 故答案为：． 17. 已知，则______． 【答案】 1 + 2 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用完全平方公式，将已知条件平方后减去常数项，即可求解； 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：. 18. 一组数按下列规律排列：，，，，，，……，x，y，z，……，则相邻的三个数x，y，z之间的关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中的变化规律，求出相应的关系． 观察数据发现，从第三个数字开始，每个数都是前两个的和，即可写出x，y，z之间的关系． 【详解】解：观察发现，从第三个数字开始，后一个数都是前两个的和， ∴可得：． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分别计算零指数幂、负整数指数幂以及绝对值，即可； 【详解】解：原式 20. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，综合应用提公因式法及公式法因式分解是解决问题的关键． （1）先提公因式，再由完全平方公式因式分解即可得到答案； （2）先分组，再分别由平方差公式和提公因式法因式分解，最后提公因式法因式分解即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 已知，． （1）求和的值； （2）利用（1）的结果求的值．（不可以把x，y的值直接代入求值哦！） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式变形求值． （1）通过展开完全平方公式计算和； （2）利用因式分解和第（1）问的结果求值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ， ∴， ． 【小问2详解】 解：， ， ． 22. 先化简，后求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，算术平方根和绝对值的非负性，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．先根据分式的运算法则，把括号内的分式通分计算，化除法为乘法，然后通过完全平方公式和平方差公式变形，再约分，计算减法即可得到化简结果，接着根据算术平方根和绝对值的非负性，得到a、b的值，再代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式 ∵，，且， ∴，， ∴， ∴原式． 23. （1）已知，，求代数式的值； （2）已知，求x的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法、幂的乘方运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、除法和幂的乘方运算法则． （1）利用同底数幂的除法和幂的乘方逆运算计算； （2）利用同底数幂的乘法和幂的乘方运算计算． 【详解】解：（1）∵， ． （2）∵， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ， ， ， ． 24. 为庆祝中华人民共和国成立七十六周年，某校组织了大型的庆祝活动，需保证每位师生都拥有一面小五星红旗．已知该校学生人数比教师人数的8倍还多人，购买教师用小五星红旗和学生用小五星红旗分别花了元和元． （1）求该校教师人数和学生人数； （2）在庆祝活动期间，学校为每位教师和学生提供一瓶饮用水，且购买饮用水的费用不超过元，则每瓶饮用水的价格不超过多少元？ 【答案】（1）教师人数为人，学生人数为人； （2）每瓶饮用水的价格不超过元； 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题关键； （1）设该校教师人数为，则学生人数为；由题意得：，即可求解； （2）设每瓶饮用水的价格为元，由题意得：，即可求解． 【小问1详解】 解：设该校教师人数为，则学生人数为； 由题意得：， 解得：； 经检验，是原方程的解； ∴； 即：教师人数为人，学生人数为人； 【小问2详解】 解：设每瓶饮用水的价格为元，由题意得： ，解得； ∴每瓶饮用水的价格不超过元． 25. 材料1：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫作真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫作假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 根据材料1完成下列问题： （1）从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）；当时，随着x的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）； （2）当时，随着x的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）； 根据材料2完成下列问题： （3）将分式化成整式和真分式的代数和； （4）若x是整数，分式的结果也是整数，求满足条件的x的个数． 【答案】（1）减小；减小；（2）减小；（3）；（4）8 【解析】 【分析】本题考查规律探究，涉及阅读理解、分式定义、分式的化简等知识，读懂材料中的方法是解决问题的关键． （1）直接根据材料1中的变化规律填空； （2）将分式化简为，利用的变化规律判断； （3）通过多项式除法将假分式化为整式与真分式的和； （4）根据（3）中化简结果，令分式部分为整数，求的整数解个数． 【详解】解：（1）根据材料1，当时，随着x的增大，的值减小； 当时，随着x的增大，的值减小． 故答案为：减小；减小． （2）∵， 当时，随着x的增大，的值减小， ∴的值随之减小． 故答案为：减小． （3）解：． ∴分式化为整式5和真分式的代数和． （4）解：由（3）知，， 是整数，且分式结果为整数， ∴必须为整数， ∴是8的因数，8的因数有：， 时，；时，；时，；时，；时，时，时，时，．所有值均满足分母， 满足条件的有8个． 26. 【阅读材料】 材料一：我们规定，如果两个含有二次根式的式子的积中不含二次根式，我们就称这两个含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个式子叫作另一个式子的有理化因式． 材料二：我们在进行二次根式的化简时，有时需要把分子、分母乘以分母的有理化因式从而去掉分母中的根号，这个过程就是分母有理化，如：． 材料三：我们有时又需要把分子、分母乘以分子的有理化因式从而去掉分子中的根号，这个过程就是分子有理化，如：． 【问题解决】 任务一：请写出的一个有理化因数为______； 任务二：与是否互为有理化因式？若是，请说明理由；若不是，请写出的一个有理化因式； 【知识应用】 （1）请利用分母有理化知识，化简：； （2）请利用分子有理化知识，比较大小：与． 【答案】任务一：； 任务二：是，理由：∵ ，为有理数， ∴与互为有理化因式． 知识应用（1）：；（2）： 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化的方法． 任务一：根据有理化因式的定义，寻找与相乘后结果为有理数的式子； 任务二：通过计算两式的乘积判断是否为有理化因式； 知识应用：（1）利用分母有理化将每项化为差的形式，通过求和化简； （2）利用分子有理化将差的形式转化为分式，通过比较分母大小得出结论． 【详解】解：任务一：为有理数． ∴的一个有理化因式为； 任务二：略 知识应用：（1） ， ． （2） ， ， ， ， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $