精品解析：湖南株洲市荷塘区2026-2027学年上学期八年级期中 数学试题（11月）

2026—2027学年度第一学期八年级期中检测 数学试卷 考试时长：120分钟 分值：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 计算（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 2. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分母不为零列出不等式计算即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：B． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘除．熟练掌握幂的乘方和积的乘方、同底数幂乘除运算法则是解题的关键． 幂的乘方、积的乘方、同底数幂乘除法运算法则逐项计算即可求解． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算正确，故此选项符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 4. 多项式12ab3c＋8a3b的公因式是(　　) A. 4ab2 B. 4abc C. 2ab2 D. 4ab 【答案】D 【解析】 【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项． 【详解】， 4ab是公因式， 故答案选：D． 【点睛】本题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“−1”． 5. 计算的结果为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 6. 2023年5月，某风景区举行玫瑰花旅游节，吸引着各地游客前来游玩赏花．玫瑰花花粉的直径约为，这里用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法表示较小的数，解题关键在于掌握一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 7. 若能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值是( ) A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的结构特征，根据完全平方公式的结构对比系数，即可求出常数的值． 【详解】解：∵能用完全平方公式进行因式分解，完全平方公式为， ∴原式可整理为，展开得， 对比一次项系数可得， 即的值为6或． 8. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确利用二次根式运算法则是解题的关键．分别计算各项即可求解． 【详解】解：A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项错误； D、，故该选项正确 ； 故选：D． 9. 下列各数中，与的积为无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别将各项中的式子与相乘，再利用二次根式乘法法则计算得到结果，然后判断即可． 【详解】解：A．，积为有理数，故此选项不符合题意； B．，积为有理数，故此选项不符合题意； C．，积为有理数，故此选项不符合题意； D．，积为无理数，故此选项符合题意． 10. 我国古代《四元玉鉴》中记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，只云绫罗各一尺，共直钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：现在有绫布和罗布长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文，绫布和罗布各出售尺共收入文．问绫布、罗布每尺各多少文？设绫布有尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据总长度表示出罗布的长度，再根据总收入得到两种布的单价，最后根据“绫布和罗布各出售尺共收入文”的等量关系列方程即可． 【详解】解：设绫布有尺，则罗布有 尺， 绫布和罗布分别全部出售后均能收入文， 绫布每尺价格为文，罗布每尺价格为文， 又绫布和罗布各出售尺共收入文， 可列方程． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 利用因式分解计算：________． 【答案】 1.2 【解析】 【分析】观察式子可知两项都含有公因式，提取公因式后即可简化计算得到结果． 【详解】解： ． 12. 已知，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，先把的左边分解因式，再把代入即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 若分式的值为0，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要考查了分式值为零的条件，分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．根据分式值为零的条件可得，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：得，且， 解得：， 故答案为：2． 14. 比较大小：__________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】两个正数比较大小，可将两数分别平方，通过比较平方结果的大小推得原数的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴． 15. 化简：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同分母分式的减法计算，掌握运算法则是解题的关键． 先处理分母的符号，将其化为同分母的分式减法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 16. 幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 19. 已知，． （1）求和的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2）16 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，完全平方公式，掌握二次根式的运算法则和利用完全平方公式变形进行计算是解本题的关键． （1）直接把，代入计算即可； （2）把变形为，再整体代入计算即可． 【小问1详解】 解： ，， ，； 【小问2详解】 解：由（1）得：，， ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先把分式化简后，再把的值代入求出分式的值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简值，熟练分解因式是解题的关键． 21. 已知关于的分式方程． （1）当时，求的值； （2）当时，解该分式方程． 【答案】（1） （2）原分式方程无解 【解析】 【分析】（1）将已知的代入原方程，建立关于的等式求解即可． （2）将已知的代入原方程，按分式方程求解步骤运算，检验根的有效性． 【小问1详解】 解：把代入原方程得  化简得  即  解得 【小问2详解】 把代入原方程得  方程两边同乘()， 去分母得   展开整理得  ， 即  解得  检验：当时，，因此是原方程的增根 综上所述，当时，原分式方程无解． 22. 年月日是第个世界读书日．某小区为给居民营造良好的阅读环境，决定建立社区图书馆．现有，两种书架可供选择，种书架的单价比种书架单价高；用元购买种书架的数量比用元购买种书架的数量多个． （1）请求出，两种书架的单价； （2）该小区现需购进个书架用于摆放书籍，且种书架数量不少于种书架数量的，请问书架最少购买多少个？此时总费用是多少？ 【答案】（1）种书架的单价为元，种书架的单价为元． （2）书架最少购买个，此时总费用为元． 【解析】 【分析】（1）设种书架单价为元，用含的式子表示种书架单价，根据元买的数量−元买的数量列分式方程，求解并检验． （2）设书架购买个，则书架个，根据不等关系列一元一次不等式，求出最小正整数解，再计算总费用． 【小问1详解】 解：设种书架单价为元，则种书架单价为元． ， ， ， ， （元）， 检验：时，，是原分式方程的解，符合题意． 答：种书架的单价为元，种书架的单价为元． 【小问2详解】 解：设购买种书架个，则购买种书架个．由题意得 ， 解得， 是正整数，最小值为． 总费用 （元）， 答：书架最少购买个，此时总费用为元． 23. 【问题情境】我们知道两个数的和为2，则这两个数的平均数为1．按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题．若，则a与b的平均数是1，我们称a与b是关于1的平衡数．例如，因为，所以3与是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与________是关于1的平衡数；与________是关于1的平衡数； 【实践探究】 （2）m与n是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求m与n的值； 【拓展延伸】 （3）若m为有理数且满足，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【答案】（1）， （2）， （3）不是； 理由：， 又∵， ∴， 即， ， ， 与不是关于1的平衡数． 【解析】 【分析】（1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案； （2）根据平衡数的概念得关于的方程组，由此可得出答案； （3）根据所给的等式，解出的值，进而再代入代数式判断即可． 【小问1详解】 解：由题意得，，， 与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数； 【小问2详解】 解：与是关于1的平衡数，与也是关于1的平衡数， ， 解得； 【小问3详解】 略 24. 分式的分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，那么称这样的分式为真分式．例如，分式和是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，那么称这样的分式为假分式．例如，分式和是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如：（我们把这种方法叫做拆分法） （1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和； （2）拓展应用： ①已知，求的值； ②已知实数a，b，c满足：，且，求的值． 【答案】（1）； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）参照题干给出的拆分法，把分子变形为含有分母的式子，再拆成整式与真分式相加的形式． （2）①先由得到，代入分式化简求值；或者拆分分式，整体代入计算．②先对已知等式变形，拆分分式，再结合，将目标式进行整体代换求解． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ， ， ； ②由，得， ∴， ， ∴，，， ∴转化为， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期八年级期中检测 数学试卷 考试时长：120分钟 分值：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 计算（ ） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 多项式12ab3c＋8a3b的公因式是(　　) A. 4ab2 B. 4abc C. 2ab2 D. 4ab 5. 计算的结果为( ) A. B. C. D. 6. 2023年5月，某风景区举行玫瑰花旅游节，吸引着各地游客前来游玩赏花．玫瑰花花粉的直径约为，这里用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 7. 若能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值是( ) A. B. 或 C. D. 或 8. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 下列各数中，与的积为无理数的是（ ） A. B. C. D. 10. 我国古代《四元玉鉴》中记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，只云绫罗各一尺，共直钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：现在有绫布和罗布长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文，绫布和罗布各出售尺共收入文．问绫布、罗布每尺各多少文？设绫布有尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 利用因式分解计算：________． 12. 已知，且，则______． 13. 若分式的值为0，则的值为______． 14. 比较大小：__________（填“>”“<”或“=”）． 15. 化简：_______． 16. 幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值________． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 已知，． （1）求和的值； （2）求的值． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 已知关于的分式方程． （1）当时，求的值； （2）当时，解该分式方程． 22. 年月日是第个世界读书日．某小区为给居民营造良好的阅读环境，决定建立社区图书馆．现有，两种书架可供选择，种书架的单价比种书架单价高；用元购买种书架的数量比用元购买种书架的数量多个． （1）请求出，两种书架的单价； （2）该小区现需购进个书架用于摆放书籍，且种书架数量不少于种书架数量的，请问书架最少购买多少个？此时总费用是多少？ 23. 【问题情境】我们知道两个数的和为2，则这两个数的平均数为1．按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题．若，则a与b的平均数是1，我们称a与b是关于1的平衡数．例如，因为，所以3与是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与________是关于1的平衡数；与________是关于1的平衡数； 【实践探究】 （2）m与n是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求m与n的值； 【拓展延伸】 （3）若m为有理数且满足，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 24. 分式的分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，那么称这样的分式为真分式．例如，分式和是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，那么称这样的分式为假分式．例如，分式和是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如：（我们把这种方法叫做拆分法） （1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和； （2）拓展应用： ①已知，求的值； ②已知实数a，b，c满足：，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $