精品解析：湖南省株洲市荷塘区2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年湖南省株洲市荷塘区八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，是分式的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的判定，分式是指分母中含有字母的代数式，根据定义判断各选项分母是否含有字母． 【详解】解：A、中的分母为3，不含字母，故此选项不符合题意； B、为整式，故此选项不符合题意； C、分母为π，不含字母，故此选项不符合题意； D、的分母为，含有字母m和n，是分式，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 下列属于最简二次根式的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式的识别，最简二次根式，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数，根据定义进一步求解即可． 【详解】解：A． ；不符合题意， B． 被开方数含分母；不符合题意， C． ， 被开方数含分母；不符合题意， D． 被开方数为质数，符合题意， 故选：D． 3. 下列各式从左到右的变形为因式分解的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义，需注意从左到右的变形且结果为积的形式．因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式．选项A、D右边是和的形式，不是积；选项C是整式乘法，不是因式分解；选项B符合定义． 【详解】解： 选项A：右边为，是和的形式，不是积的形式，故不是因式分解； 选项B：右边为，是积的形式，故是因式分解； 选项C：左边是积的形式，右边是多项式，是整式乘法，故不是因式分解； 选项D：右边为，是和的形式，不是积的形式，故不是因式分解． 故选：B． 4. 将多项式因式分解，结果正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，通过提取公因式进行因式分解． 【详解】解：， 故选：C． 5. 下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查指数运算法则，包括同底数幂的除法和幂的乘方，以及负指数的处理，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法和幂的乘方逐一判断即可求解． 【详解】解：A：∵ ，∴ A计算错误，不符合题意． B：∵ ，∴ B计算错误，不符合题意． C：∵ ，∴ C计算正确，符合题意． D：∵ ，∴ D计算错误，不符合题意． 故选C． 6. 若二次三项式可分解为，则n的值为（    ） A. 6 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了已知因式分解的结果求参数．将因式分解形式展开，与原二次三项式比较系数，即可求出n的值． 【详解】解：∵， 又∵ 原式为， ∴ 比较 x 项系数得 ． 故选：C． 7. 新型客机是我国自主研制的客机，年月，该客机开始执行“北京——长沙”的定期商业航线，两地的航线距离约为，该新型客机的平均速度比普通客机的平均速度提高了，航行时间节约了设该新型客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程与实际问题，关键是找到相等关系列方程； 根据新型客机比普通客机航行时间节约小时，列分式方程可解． 【详解】解：∵航线距离为， ∴新型客机时间为 ， 普通客机时间为 ， ∵节约时间， ∴， 故答案选：A． 8. 如图，边长为，的长方形，它的周长为，面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，，再把所给式子提取公因式，然后代入求值即可． 【详解】解：∵边长为，的长方形，它的周长为，面积为， ∴，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 【点睛】本题考查因式分解的应用，长方形的周长和面积，求代数式的值，运用了整体代入的思想．掌握因式分解是解题的关键． 9. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得，继而得出，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ， 故选：B． 10. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则n的取值范围是（    ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，分式方程的解，熟练掌握解方程及不等式的方法是解题的关键．解分式方程，得到解，根据解是非负数且分母不为零的条件，得关于n的不等式，解不等式即可确定 n 的取值范围． 【详解】解：原方程去分母得：， 解得：， ∵该方程的解是非负数， ∴且， 解得：且， 故选：D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）. 12. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和乘法法则化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是灵活运用运算法则． 13. 多项式中，各项的公因式是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了公因式，先确定系数的最大公约数，再确定各项的相同字母，并取相同字母的最低指数次幂． 【详解】解：多项式的系数的最大公约数是2，各项的相同字母的最低指数次幂是， 所以公因式是， 故答案为：． 14. 若分式的值为0，则x的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件：分式的分母不为零，分子为零．根据分式的值为零的条件得：且，即可求解． 【详解】解：根据分式的值为零的条件得：且， 解得：． 故答案为：2． 15. 分式、、的最简公分母是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母的确定，根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母，求解即可． 【详解】解：分母分解因式：，，；系数最小公倍数为12，字母a最高次幂为，字母b最高次幂为b，因式最高次幂为， 故最简公分母为． 故答案为：． 16. 若多项式可以用完全平方公式进行因式分解，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解-运用公式法，利用完全平方公式将多项式因式分解，比较系数求解． 【详解】解：∵多项式可以用完全平方公式进行因式分解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，例： ，按照这种运算方法，则______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查新定义下的实数运算，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据新运算的定义，将，代入公式计算． 【详解】解：由定义，， 所以． 故答案为：． 18. 现有一列数：，，，，，，（为正整数），规定，，，，，若，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先观察数列的规律，根据已知的关系，通过错项相加的方法，求出的通项公式：，再根据此公式，对分式方程的左边进行裂项，化简分式方程，最后可求出的值，通过错项相加法得到是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，， ∴以上各式左右两边分别相加得， ， ∴， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原分式方程的解， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 20. 因式分解： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． （1）提取公因式x进行因式分解即可； （2）利用平方差及完全平方公式因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 化简求值；，其中 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简，运算结果要化成最简分式或整式； 先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法化为乘法进行运算，最后把的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 22. 解下列分式方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出的值，然后检验即可； （2）把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出的值，然后检验即可． 【小问1详解】 解：， 方程两边同时乘得， 去括号得， 解得：， 检验：当时，最简公分母， 分式方程的解为； 【小问2详解】 解：， 方程两边同时乘，得， 去括号得， 解得：， 检验：当时，最简公分母， 是分式方程的增根， 分式方程无解． 23. 已知， （1）求，的值； （2）求，的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的乘法法则求出，根据二次根式的乘法法则、分母有理化求出； （2）利用完全平方公式把所求的式子变形，代入计算得到答案． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴； ， ， ∴． 24. 湖南省足球联赛（简称“湘超”）正在火热进行中，株洲主场的球赛更是一票难求，体育中心附近商店销售的文创产品也深受广大市民的喜爱．某商店也准备销售文创产品，用2400元购进吉祥物“湘湘”，用1440元购进吉祥物“超超”，“超超”购进单价是“湘湘”购进单价的倍，“超超”的购进数量比“湘湘”的购进数量少40个． （1）该商店“湘湘”的购进单价为多少元？ （2）该商店将“湘湘”的售价定为35元/件，如果要使得总利润不低于640元，那么“超超”的售价最低应该定为每件多少元？ 【答案】（1）该商店“湘湘”的购进单价为30元 （2）“超超”的售价最低应该定为每件42元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商店“湘湘”的购进单价为x元，则“超超”购进单价为元，根据“超超”的购进数量比“湘湘”的购进数量少40个，列出分式方程，解方程即可； （2）设“超超”的售价应该定为每件m元，根据要使得总利润不低于640元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设该商店“湘湘”的购进单价为x元，则“超超”购进单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：该商店“湘湘”的购进单价为30元； 【小问2详解】 解：由（1）可知，“湘湘”的购进单价为30元，则其购进数量为（个）；“超超”的购进单价为（元），则其购进数量为（个）， 设“超超”的售价应该定为每件m元， 由题意得：， 解得：， 答：“超超”的售价最低应该定为每件42元． 25. 阅读以下材料 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则原式 再将“”还原，得原式 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：______； （2）因式分解：； （3）因式分解： 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了公式法因式分解，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用材料的解题思路进行计算，即可解答； （2）利用材料的解题思路进行计算，即可解答； （3）利用材料的解题思路进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 26. 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如、这样的分式就是假分式；再如、这样的分式就是真分式．假分数可以化成即带分数的形式．类似的，假分式也可以化为带分式整式与真分式的和或差的形式． 如： 再如： 解决问题： （1）分式是______填“真分式”或“假分式”； （2）将分式化成带分式； （3）将分式化成带分式； （4）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同，若m的平方能被n整除，求满足条件的两位数 【答案】（1）假分式 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减和分式的定义，解题关键是理解已知条件中的新定义，熟练掌握分式的加减法则． （1）根据真假分式的定义，观察分子和分母的次数，进行判断即可； （2）把分式的分子拆成的形式，把分式写成一个整式加一个分式的形式即可； （3）利用完全平方公式将分子拆成的形式，把分式写成一个整式加一个分式的形式即可； （4）通过设未知数，表达三位数m和两位数n，计算时用完全平方公式，根据整除的意义分情况讨论即可． 【小问1详解】 解：因为分式的分子和分母的次数都是1， 此分式是假分式， 故答案为：假分式； 【小问2详解】 解： 故答案为：； 【小问3详解】 解： ， 故答案为：； 【小问4详解】 解：设m的百位数字为a，十位数字为b，则m的个位数字为，n的十位数字为a，个位数字为b， 则：， 所以 ， 由题意得，，且a、b均为整数， 因为m的平方能被n整除， 所以为整数， 当时，，没有满足题意的b的值； 当时，，没有满足题意的b的值； 当时，，； 当时，，没有满足题意的b的值． 综上，满足条件的两位数n为36． 故答案为：36． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年湖南省株洲市荷塘区八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，是分式的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列属于最简二次根式的是（    ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右的变形为因式分解的是（    ） A. B. C. D. 4. 将多项式因式分解，结果正确的是（    ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 6. 若二次三项式可分解为，则n的值为（    ） A. 6 B. C. 2 D. 7. 新型客机是我国自主研制的客机，年月，该客机开始执行“北京——长沙”的定期商业航线，两地的航线距离约为，该新型客机的平均速度比普通客机的平均速度提高了，航行时间节约了设该新型客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（    ） A. B. C. D. 8. 如图，边长为，的长方形，它的周长为，面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A. 0 B. C. D. 10. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则n的取值范围是（    ） A. B. C. 且 D. 且 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 分解因式：x2－9＝______． 12. 计算的结果是______． 13. 多项式中，各项的公因式是______． 14. 若分式的值为0，则x的值是______． 15. 分式、、的最简公分母是______． 16. 若多项式可以用完全平方公式进行因式分解，那么______． 17. 对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，例： ，按照这种运算方法，则______ ． 18. 现有一列数：，，，，，，（为正整数），规定，，，，，若，则的值为______. 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2） 20. 因式分解： （1）； （2） 21. 化简求值；，其中 22. 解下列分式方程： （1）； （2） 23. 已知， （1）求，的值； （2）求，的值． 24. 湖南省足球联赛（简称“湘超”）正在火热进行中，株洲主场的球赛更是一票难求，体育中心附近商店销售的文创产品也深受广大市民的喜爱．某商店也准备销售文创产品，用2400元购进吉祥物“湘湘”，用1440元购进吉祥物“超超”，“超超”购进单价是“湘湘”购进单价的倍，“超超”的购进数量比“湘湘”的购进数量少40个． （1）该商店“湘湘”的购进单价为多少元？ （2）该商店将“湘湘”的售价定为35元/件，如果要使得总利润不低于640元，那么“超超”的售价最低应该定为每件多少元？ 25. 阅读以下材料 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则原式 再将“”还原，得原式 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：______； （2）因式分解：； （3）因式分解： 26. 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如、这样的分式就是假分式；再如、这样的分式就是真分式．假分数可以化成即带分数的形式．类似的，假分式也可以化为带分式整式与真分式的和或差的形式． 如： 再如： 解决问题： （1）分式是______填“真分式”或“假分式”； （2）将分式化成带分式； （3）将分式化成带分式； （4）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同，若m的平方能被n整除，求满足条件的两位数 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $