第22讲 基本不等式讲义-2027届高三数学一轮复习

高中数学·一轮复习讲义系列 第22讲 基本不等式 （复习讲义）（解析版） 2026-2027学年高三一轮复习数学 4 大题型 · 33 题 · 03 精讲 10 题 · 05 分层 23 题 目　录 01　考情解码·命题预警 2 02　知识梳理 3 03　题型精讲 5 题型一　基本不等式的直接应用与证明 5 题型二　配凑与常数代换求最值  重  7 题型三　条件等式求最值  重  8 题型四　恒成立与实际应用  难  10 04　易错核对 12 05　分层练习 13 使用说明 • 本讲义共 33 题：03 精讲 10 题（4 个题型，配典例及变式），05 分层 23 题（A 8／B 8／C 7）。 • 原卷版用于课堂演练与限时训练，解析版逐题给出答案与详解（部分题附分析）。 • 建议顺序：02 知识梳理 → 03 题型精讲 → 04 易错核对 → 05 分层练习。 题型地图 题型 核心方法 题号 题型一　基本不等式的直接应用与证明 时 ，等号当且仅当 ；用「一正、二定、三相等」检验 01—02 题型二　配凑与常数代换求最值 配凑成和（或积）为定值再用基本不等式；已知 求 的最小值时，用「1 的代换」 03—05 题型三　条件等式求最值 条件是等式：用基本不等式把条件转化成关于 或 的不等式再求解；能因式分解的先分解 06—08 题型四　恒成立与实际应用 恒成立：分离参数后转化为最值；实际应用：设变量写目标函数，再用基本不等式，并检验取等的变量在范围内 09—10 05 分层练习按 A 基础、B 提升、C 综合编排，题号接 03 之后连续编号。 01　考情解码·命题预警 本讲复习定位：基本不等式是高考选填的常客，也常作为解答题中求最值、证明不等式的工具，题型集中、技巧性强。一轮复习要练成四个条件反射：一是用之前先检验「一正、二定、三相等」，三条缺一不可；二是目标式不是定值时，先想配凑与「1 的代换」——已知 求 的最小值，就把 乘以 再展开；三是条件是等式时，要么用基本不等式把条件转成关于 或 的不等式，要么先因式分解、消元；四是得到最值后必须写出取等条件并回代检验，实际问题还要检验变量范围。 考查要求 方法与条件 常见设问 会用基本不等式及其变形求值与证明 ；等号条件 ；一正二定三相等；拆成两项的基本不等式相加证明 第01、02、27题 会用配凑与常数代换求最值 拆项、添项凑定值；「1 的代换」；消元或换元；检验等号能否取到 第03、04、05、11、13、15、18、19、21、22、26、28、29题 会处理带条件等式的最值与范围 由条件用基本不等式得关于 或 的不等式；因式分解；消元；多个等号条件一致 第06、07、08、12、14、16、17、20、23、24、25、30、31、33题 会解决恒成立与实际应用 分离参数转最值；设变量列目标函数；取等的变量在范围内 第09、10、32题 命题预警 • 基本不等式要求各数为正，且和或积为定值，等号能取到；三条缺一不可，答题时要单独验证等号。 • 「1 的代换」要乘的是目标式，展开后确认最后是两个正数的积为定值，再检验取等条件。 • 条件为等式时，先考虑因式分解或消元；用基本不等式转化条件时，要解出所求量的范围并取正根。 • 实际问题与恒成立问题要写清变量范围，取等的变量必须落在范围内，恒成立转最值时注意不等号方向。 复习建议：每道题先问三句话——「各量是不是正数」「哪一个量是定值」「等号能不能取到」；三问答完，方法基本就定了。做完题再回头核一遍：取等条件是否同时成立，变量范围有没有漏写，条件转化后是否解了不等式。 02　知识梳理 按「基本不等式的直接应用与证明—配凑与常数代换求最值—条件等式求最值—恒成立与实际应用」四块整理，顺序同教材 2.2，与 03 的四个题型一一对应；每条都给出定义、判断方法与典型错处。 一、基本不等式的直接应用与证明（2.2） • 基本不等式：对任意正实数 ，有 ，当且仅当 时等号成立； 叫算术平均数， 叫几何平均数。 • 常用变形：；；（对任意实数 成立）；（ 同号）。 • 最值定理：设 。若 （定值），则 ，当 时积取最大值；若 （定值），则 ，当 时和取最小值。 • 使用条件：一正（各数为正）、二定（和或积为定值）、三相等（等号能取到）。三条缺一不可，答题时要单独验证等号。 • 易错：忽略「正数」条件；和与积都不是定值就直接用；用基本不等式后等号取不到仍写最值。 二、配凑与常数代换求最值（2.2） • 配凑：目标式不是「和为定值」或「积为定值」时，通过拆项、添项、提系数配成定值。例如 时 ，当 时取等号。 • 常数代换：已知 （），求 的最小值：把 乘以 ，得 ，当 时取等号。 • 条件为和为定值：如 （）求 的最小值：，当 时取等号。 • 消元法：条件是等式时，可解出一个变量代入目标，化成一元函数再配凑，注意变量的取值范围。 • 易错：配凑后等号取不到；「1 的代换」时漏乘或乘错因式；变量范围（如 ）漏写；两次使用基本不等式但等号条件不一致。 三、条件等式求最值（2.2） • 转化为不等式：条件 （）中，用 把 换成 ，得到关于 的二次不等式，解出 的最小值；用 把 换成 ，得到关于 的二次不等式，解出 的最小值。 • 因式分解法： 可配成 ，再用基本不等式。例如 化为 。由 知，若 同为负，则乘积小于 ，与 矛盾，故两者为正，，即 ，当 时取等号。 • 消元法：由条件解出一个变量（如 得 ，）代入目标，化成一元函数再配凑。 • 多个等号：同一题多次使用基本不等式时，各次的等号条件必须能同时成立，否则最值取不到。 • 易错：条件转化后没有解不等式就直接取等；解 时漏掉 的限制；等号条件与变量范围冲突。 四、恒成立与实际应用（2.2） • 恒成立转最值： 对所有 恒成立等价于 ； 恒成立等价于 。 的最值常用基本不等式求，注意等号能否取到。 • 含参数的不等式：如「对任意正数 ， 恒成立」，先分离出 ，再求右边的最小值 ，得 。 • 实际问题的步骤：① 设变量并注明范围；② 写出目标函数；③ 用基本不等式求最值；④ 检验等号成立时的变量是否在范围内；⑤ 回答问题。 • 常见模型：围墙、造价问题常得到 （），由 得最小值 ，等号在 取到。 • 易错：漏写变量范围；取等的变量不在实际范围内仍写最值；分离参数时除以含参数的式子不讨论符号。 03　题型精讲 按解法分 4 个题型，与配套专项训练同名同序。每个题型先给「考查重点」与方法条件，再以典例完整展示过程，必要时配变式训练；解析版给出完整答案与详解（部分题附分析）。 题型一　基本不等式的直接应用与证明（共2题） 考查重点　考查基本不等式的内容与等号条件、直接求最值与简单证明，要求会检验「一正、二定、三相等」。 【方法条件】 • 基本不等式： 时 ，当且仅当 时等号成立；常写成 或 。 • 用它求最值必须同时满足「一正、二定、三相等」：各项为正；和为定值时求积的最大值，积为定值时求和的最小值；等号能取到。 • 证明不等式：把所证式子拆成几个两项的基本不等式再相加，如 、（），并写出等号成立的条件。 • 遇到几何背景（如点在直线上、面积、周长）时，先把条件化成「和为定值」或「积为定值」再用。 【典例1】 01．（2026·重庆·模拟预测）已知为直线：在第一象限内的一点，则下列结论正确的是（） A．的最大值为2 B．的最小值为8 C．的最小值为3 D．的最小值为 【答案】BD 【分析】由题意得且，对于选项A，结合基本不等式，即可推导的最值；对于选项B，可将变形为，再利用基本不等式求解最小值；对于选项C，可利用代入转化为二次函数求解最小值；对于选项D，结合将原分式转化为单变量函数，再用换元法结合基本不等式求解最小值 【详解】由题意得且， 对A，由基本不等式，得，即，当且仅当时取等号，最大值为，A错误 对B，，， 所以，当且仅当即等号成立，最小值为，B正确 对C，代入得开口向上，对称轴，代入得最小值为，C错误 对D，代入得， 令，则 其中，当且仅当即时取等号， 所以 即的最小值为，D正确 【典例2】 02．（25-26高一上·河南·期中）已知，，且. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）直接利用基本不等式求解最值； （2）利用基本不等式“1”的代换技巧求解最值即可. 【详解】（1），，且， 所以，所以， 即，，当且仅当，时取等号，的最大值为； （2），所以，且， ， 当且仅当时等号成立，即， 又因为，可求得，. 所以的最小值为5. 题型二　配凑与常数代换求最值（共3题）  重  考查重点　考查通过配凑、拆项、常数代换把目标式化成「积为定值」或「和为定值」，并检验等号条件。 【方法条件】 • 配凑：把目标式凑成「和为定值」或「积为定值」。例： 时 ，当 时取等号。 • 常数代换（「1 的代换」）：已知 （）求 的最小值：，当 （即 ）时取等号。 • 消元或换元：用条件把一个变量表示成另一个，或设 化成熟悉的形式，再检验定义域与等号。 • 每步检查三件事：各项是否为正；是否已凑成定值；等号能否取到（取不到就不能直接写最值）。 【典例1】 03．（26-27高三上·四川眉山·阶段检测）已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A． B．1 C．4 D．2 【答案】B 【详解】因为，所以， 当且仅当，即，时等号成立， 则的最小值为1. 【典例2】 04．（26-27高一上·浙江·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A．64 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】由且，两边同除以得到.利用“1”的代换方法，将与相乘展开，运用基本不等式求最小值，最后需要验证等号成立即可. 【详解】已知，且，对等式两边同除以，可变形得到： . . 由基本不等式，得：. 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【变式1】 05．（26-27高一上·云南昆明·期中）已知正数a，b满足，则的最小值为___________． 【答案】9 【分析】利用“乘1法”，结合基本不等式即可求得. 【详解】因， 由， 当且仅当时取等，由解得， 即当时，取得最小值9. 题型三　条件等式求最值（共3题）  重  考查重点　考查带条件等式的最值与范围：先用基本不等式把条件转化成不等式，再解出所求量的范围，并检验等号。 【方法条件】 • 条件形如 （）：由 得 ，设 ，解 得 ，即 ；再由 得 。 • 条件能因式分解的先分解：如 化为 ，再令 用 。 • 条件为 、目标含倒数或平方时，先用常数代换或换元，再配凑；一题多次用基本不等式时，各次的等号条件必须能同时成立。 • 求出最值后回代：检查等号条件与变量范围（如 ）是否同时满足。 【典例1】 06．（26-27高三上·山西·阶段检测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 【答案】B 【分析】由“1”的代换结合基本不等式得结果. 【详解】因为，则 24， 当且仅当时，即时，等号成立， 因此6a+b的最小值是24． 【典例2】 07．（25-26高一上·山东青岛·期中）已知，，且，则的最小值是（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【详解】∵ ，，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立. 又，代入上述不等式可得 设（），整理得， ∵ ，∴解得，当且仅当时等号成立，故的最小值为6. 【变式1】 08．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据基本不等式的性质计算即可. 【详解】对等式左边提取公因式得：. 等式两边同时加2，整理得：，即. 由，且乘积为4>0，可得，满足基本不等式的正数要求. 将目标式变形为：， 根据基本不等式的性质可得， 所以，当且仅当，即时等号成立， 此时的最小值为7. 题型四　恒成立与实际应用（共2题）  难  考查重点　考查含参不等式恒成立（转化为最值）和实际问题中的最值，要求会建立函数模型并检验取等条件。 【方法条件】 • 恒成立：「 恒成立」等价于 ；「 恒成立」等价于 。先分离参数，再用基本不等式求最值。 • 实际应用：先设变量并写出范围，再列目标函数（如造价 ），用基本不等式求最小值，最后检查取等的变量是否在实际范围内，并回答问题。 • 等号取不到时，基本不等式给出的值不是最值，不能当最终答案，必须另行讨论。 【典例1】 09．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【答案】(1)，. (2)仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【分析】（1）由题意设，，其中，根据题目数据代入求出即可得到答案； （2）利用基本不等式即可求出答案. 【详解】（1）由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【典例2】 10．（26-27高三上·安徽·阶段检测）某校要建造一个高为，底面积为，且一面靠墙的长方体形状的体育馆，其中背面利用原有墙体.甲工程队报价为：体育馆前面新建墙体的报价为每平方米300元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米500元，屋顶和地面以及其他报价共计18000元.设体育馆左墙的长度为，且. (1)当左墙的长度为多少时，甲工程队报价最低? (2)现有乙工程队也参与此体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（报价低的工程队竞标成功），求的取值范围. 【答案】(1)米 (2) 【分析】（1）建立函数关系式，根据基本不等式求解即可. （2）分离参数，根据基本不等式求解即可. 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元， 由左墙的长度为，得前面新建墙体长为， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左墙的长度为米时，甲工程队的报价最低. （2）由题意得，对任意恒成立， 即对任意恒成立，所以. 因为， 当且仅当，，即时，取得最小值， 所以，故的取值范围是. 04　易错核对 以下 7 条来自本讲题目的常见失分点，每条给出典型表现、纠正方法和对应题号；做题时先对照，再回看原题；「对应题」只列本讲中最相关的几道，其余题也可按此自查。 序号 易错点 典型表现与纠正 对应题 易错一 忽视「一正」「二定」条件 把负数当正数用，或和与积都不是定值就直接用基本不等式。纠正：先写出各变量的范围，再说明哪一个量是定值。 第02、11、12、18题 易错二 等号取不到仍写最值 用基本不等式得到最小值后，没有检验等号条件，或两次使用时等号条件互相矛盾。纠正：写出取等时各变量的值，并回代原条件与范围。 第28、29、30、31题 易错三 「1 的代换」漏乘或乘错 如已知 ，应乘的是 ，展开后得 。纠正：展开后逐项核对系数，确认最后一步是两个正数的积为定值。 第04、05、06、13、14、16题 易错四 条件等式转化后不解不等式 由 得 后直接下结论。纠正：设 ，解 并取 ，得 。 第07、20、23、30题 易错五 消元后漏写变量范围 消去一个变量后，另一个变量的取值范围（如 ）没有写，导致配凑或最值错误。纠正：消元的同时写出新变量的范围。 第18、24、29、30题 易错六 恒成立转最值时方向写反 「 恒成立」应取 的最小值，「 恒成立」应取最大值。纠正：先分离参数，写出不等号方向再选最值。 第32题 易错七 实际问题漏写变量范围，取等点不在范围内 忘记写变量范围，或取等的变量不在实际范围内仍写最值。纠正：求出取等点后，对照实际范围检验。 第09、10题 05　分层练习 另选一批题，按 A 基础、B 提升、C 综合三层编排，与 03 不重复，题号接 03 之后连续编号。 A　基础达标（8题，建议用时约 20 分钟） 11．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）若函数，则的最小值为（      ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】B 【详解】∵ 函数的定义域为, ∴ , , . 当且仅当, 即，时等号成立，故的最小值为2. 12．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知的最小值为______． 【答案】 【分析】使用配凑法配凑出分母的和，再结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以． 所以， 当且仅当，且，即时等号成立． 故的最小值为． 13．（2026·河南开封·模拟预测）已知正实数a，b满足，则的最小值为______． 【答案】4 【详解】， ， ， ， ， 当且仅当，即，结合得时等号成立， 的最小值为4． 14．（26-27高三上·江苏·阶段检测）已知正实数x、y满足，则的最小值是（     ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】借助基本不等式“1”的活用计算即可得. 【详解】 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值是. 15．（2026·安徽·三模）已知，当取得最大值时，则__________． 【答案】3 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以，当且仅当时，等号成立. 所以，所以. 16．（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知 ，且 ，则的最小值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】因为，所以， . 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为. 17．（2026·浙江宁波·三模）已知实数满足，且，则的最小值为_____． 【答案】7 【详解】由，则， 即，又，则， 解得 ，当且仅当取等， 则的最小值为7. 18．（2026·福建南平·二模）若，，且，则的最小值为________. 【答案】5 【分析】根据题意得，对整理，再利用基本不等式求解. 【详解】由得，所以， 因为，，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为5. B　能力提升（8题，建议用时约 25 分钟） 19．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知，则的最小值为__________． 【答案】9 【分析】对进行变形，然后利用基本不等式求解其最小值. 【详解】因为，则，. 所以 . 当且仅当时，即等号成立. 因此，的最小值为9. 20．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据基本不等式，结合因式分解法进行求解即可； （2）对已知等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可； （3）利用换元法，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值. 21．（25-26高一下·贵州毕节·期末）若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】， ， 当且仅当，即时取等号， 所以. 22．（25-26高一上·上海·期中）若正实数a，b满足，则的最小值是________． 【答案】/0.25 【分析】利用换元法和分离常数的思路将式子整理为，然后根据“1”的运用求最值. 【详解】由题意得， 令，，则，，， ， 当且仅当，即，时等号成立. 23．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知正实数，满足，下列说法正确的是（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，即，解得， 又因为正实数，，所以，则有，当且仅当时取得等号，故A正确； 对于B，由A知，，所以，当且仅当时取得等号，故B错误； 对于C，由题可得所以，解得， ， 当且仅当即时取得等号，故C正确； 对于D， ， 当且仅当时取得等号，故D正确． 24．（26-27高三上·天津宁河·阶段检测）若，，且，则的最小值为________． 【答案】24 【分析】先对多变量分离出单变量，进行消元，利用基本不等式化简消除其中变量，再通过构造再利用不等式进行求解。 【详解】因为，所以， 又，令，则原式转换为， 且， 当且仅当时等号成立，此时， 则， 其中， 当且仅当时，即时等号成立， 于是. 故当，，时取得最小值. 25．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知是非负实数且，则的最小值为（   ） A．9 B．11 C． D． 【答案】D 【分析】先化简已知分式等式，转化的定量关系，再利用基本不等式性质 “积定，为定值”，求 “和的最小值”即可. 【详解】因为，所以， 即：，  所以：， 化简得：， 因，故， 所以：， 当且仅当时，基本不等式的等号成立， 又因为 所以即， 所以当时，的最小值为. 故选：D 26．（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知，，则的最小值为_________. 【答案】 【分析】解法一：设，，则，，可得出，结合基本不等式求解即可； 解法二：由基本不等式可得，，再利用不等式的可加性可得出的最小值. 【详解】法一：设，，则，， 则. 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 故的最小值为； 法二：因为，，则，， 由基本不等式可得， ， 上述两个不等式相加可得，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以的最小值为. C　综合拓展（7题，建议用时约 30 分钟） 27．（25-26高三上·陕西·阶段检测）已知，且． (1)求的最大值； (2)求的最大值； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由基本不等式即可直接求解； （2）由条件得到，代入，再由基本不等式即可求解； （3）由条件得到，再由乘“1”法即可求解. 【详解】（1）由题意得，得， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值是． （2）由，得， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值是． （3）由，得， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为． 28．（25-26高一上·安徽池州·期中）已知，那么，当代数式取最小值时，的值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】根据题意有，当且仅当，即时取等号，所以，结合以及两个不等式等号成立的条件可求出的值，从而可求得答案 【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号 ，所以，所以， 当且仅当，即时取等号，其中第一个不等式等号成立的条件为， 第二个不等式等号成立的条件为，所以当，时，取最小值，此时 故选：A 29．（25-26高一上·河南·期末）已知均为正数，，则的最小值为_______ 【答案】 【分析】通过换元将目标表达式转化为关于新变量的式子，再利用基本不等式求最小值，换元后简化了表达式结构，使基本不等式的应用更直观. 【详解】由均为正数，，得，且， 令，则，，， 代入， 得 ， 记，则，且. 表达式化为， 由基本不等式，当且仅当，即时取等号. 此时，解得，故，，满足条件. 故答案为： 30．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知正实数a，b满足，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A项，由基本不等式 ​，代入已知等式得：， 令则不等式化为，结合 ，解得， 即，得到，当且仅当 时，等号成立，故A正确； 对于B项，由基本不等式，令，则， 整理得到，结合 ，解得 ，即， 当且仅当 时，等号成立，故B错误； 对于C项，先化简得到，将代入得到， 由选项 A 知，则，故， 当且仅当 时，等号成立，故C正确； 对于D项，由得到，其中 ， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 31．（25-26高三上·陕西西安·期末）已知实数满足，则的最小值为__________. 【答案】4 【分析】先利用换元法化简已知条件，求得，再利用基本不等式求得的最小值. 【详解】令， 所以，两边平方并化简得， 同理， 由题知，则， 故，得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4. 故答案为： 32．（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为______________． 【答案】 【分析】利用换元法和分离参数的方法，对不等式进行变形判断． 【详解】由可得； 设，则； 则，即，即； 由可得，， 因为，，故； 则，； 则；由可得； 故有；当且仅当，即时，等号成立； 此时，即． 33．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）设，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最小值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为9 D．的最大值为 【答案】D 【分析】对于AB，利用基本不等式判断即可；对于C，利用基本不等式“1”的妙用判断即可；对于D：先证，结合题意分析求解即可. 【详解】因为， 对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为1，故A错误； 对于选项B：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值2，故B错误； 对于选项C：因为， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以的最小值为，故C错误； 对于选项D：， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 则，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，故D正确； 故选：D. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·一轮复习讲义系列 第22讲 基本不等式 （复习讲义）（原卷版） 2026-2027学年高三一轮复习数学 4 大题型 · 33 题 · 03 精讲 10 题 · 05 分层 23 题 目　录 01　考情解码·命题预警 2 02　知识梳理 3 03　题型精讲 5 题型一　基本不等式的直接应用与证明 5 题型二　配凑与常数代换求最值  重  6 题型三　条件等式求最值  重  7 题型四　恒成立与实际应用  难  8 04　易错核对 9 05　分层练习 10 使用说明 • 本讲义共 33 题：03 精讲 10 题（4 个题型，配典例及变式），05 分层 23 题（A 8／B 8／C 7）。 • 原卷版用于课堂演练与限时训练，解析版逐题给出答案与详解（部分题附分析）。 • 建议顺序：02 知识梳理 → 03 题型精讲 → 04 易错核对 → 05 分层练习。 题型地图 题型 核心方法 题号 题型一　基本不等式的直接应用与证明 时 ，等号当且仅当 ；用「一正、二定、三相等」检验 01—02 题型二　配凑与常数代换求最值 配凑成和（或积）为定值再用基本不等式；已知 求 的最小值时，用「1 的代换」 03—05 题型三　条件等式求最值 条件是等式：用基本不等式把条件转化成关于 或 的不等式再求解；能因式分解的先分解 06—08 题型四　恒成立与实际应用 恒成立：分离参数后转化为最值；实际应用：设变量写目标函数，再用基本不等式，并检验取等的变量在范围内 09—10 05 分层练习按 A 基础、B 提升、C 综合编排，题号接 03 之后连续编号。 01　考情解码·命题预警 本讲复习定位：基本不等式是高考选填的常客，也常作为解答题中求最值、证明不等式的工具，题型集中、技巧性强。一轮复习要练成四个条件反射：一是用之前先检验「一正、二定、三相等」，三条缺一不可；二是目标式不是定值时，先想配凑与「1 的代换」——已知 求 的最小值，就把 乘以 再展开；三是条件是等式时，要么用基本不等式把条件转成关于 或 的不等式，要么先因式分解、消元；四是得到最值后必须写出取等条件并回代检验，实际问题还要检验变量范围。 考查要求 方法与条件 常见设问 会用基本不等式及其变形求值与证明 ；等号条件 ；一正二定三相等；拆成两项的基本不等式相加证明 第01、02、27题 会用配凑与常数代换求最值 拆项、添项凑定值；「1 的代换」；消元或换元；检验等号能否取到 第03、04、05、11、13、15、18、19、21、22、26、28、29题 会处理带条件等式的最值与范围 由条件用基本不等式得关于 或 的不等式；因式分解；消元；多个等号条件一致 第06、07、08、12、14、16、17、20、23、24、25、30、31、33题 会解决恒成立与实际应用 分离参数转最值；设变量列目标函数；取等的变量在范围内 第09、10、32题 命题预警 • 基本不等式要求各数为正，且和或积为定值，等号能取到；三条缺一不可，答题时要单独验证等号。 • 「1 的代换」要乘的是目标式，展开后确认最后是两个正数的积为定值，再检验取等条件。 • 条件为等式时，先考虑因式分解或消元；用基本不等式转化条件时，要解出所求量的范围并取正根。 • 实际问题与恒成立问题要写清变量范围，取等的变量必须落在范围内，恒成立转最值时注意不等号方向。 复习建议：每道题先问三句话——「各量是不是正数」「哪一个量是定值」「等号能不能取到」；三问答完，方法基本就定了。做完题再回头核一遍：取等条件是否同时成立，变量范围有没有漏写，条件转化后是否解了不等式。 02　知识梳理 按「基本不等式的直接应用与证明—配凑与常数代换求最值—条件等式求最值—恒成立与实际应用」四块整理，顺序同教材 2.2，与 03 的四个题型一一对应；每条都给出定义、判断方法与典型错处。 一、基本不等式的直接应用与证明（2.2） • 基本不等式：对任意正实数 ，有 ，当且仅当 时等号成立； 叫算术平均数， 叫几何平均数。 • 常用变形：；；（对任意实数 成立）；（ 同号）。 • 最值定理：设 。若 （定值），则 ，当 时积取最大值；若 （定值），则 ，当 时和取最小值。 • 使用条件：一正（各数为正）、二定（和或积为定值）、三相等（等号能取到）。三条缺一不可，答题时要单独验证等号。 • 易错：忽略「正数」条件；和与积都不是定值就直接用；用基本不等式后等号取不到仍写最值。 二、配凑与常数代换求最值（2.2） • 配凑：目标式不是「和为定值」或「积为定值」时，通过拆项、添项、提系数配成定值。例如 时 ，当 时取等号。 • 常数代换：已知 （），求 的最小值：把 乘以 ，得 ，当 时取等号。 • 条件为和为定值：如 （）求 的最小值：，当 时取等号。 • 消元法：条件是等式时，可解出一个变量代入目标，化成一元函数再配凑，注意变量的取值范围。 • 易错：配凑后等号取不到；「1 的代换」时漏乘或乘错因式；变量范围（如 ）漏写；两次使用基本不等式但等号条件不一致。 三、条件等式求最值（2.2） • 转化为不等式：条件 （）中，用 把 换成 ，得到关于 的二次不等式，解出 的最小值；用 把 换成 ，得到关于 的二次不等式，解出 的最小值。 • 因式分解法： 可配成 ，再用基本不等式。例如 化为 。由 知，若 同为负，则乘积小于 ，与 矛盾，故两者为正，，即 ，当 时取等号。 • 消元法：由条件解出一个变量（如 得 ，）代入目标，化成一元函数再配凑。 • 多个等号：同一题多次使用基本不等式时，各次的等号条件必须能同时成立，否则最值取不到。 • 易错：条件转化后没有解不等式就直接取等；解 时漏掉 的限制；等号条件与变量范围冲突。 四、恒成立与实际应用（2.2） • 恒成立转最值： 对所有 恒成立等价于 ； 恒成立等价于 。 的最值常用基本不等式求，注意等号能否取到。 • 含参数的不等式：如「对任意正数 ， 恒成立」，先分离出 ，再求右边的最小值 ，得 。 • 实际问题的步骤：① 设变量并注明范围；② 写出目标函数；③ 用基本不等式求最值；④ 检验等号成立时的变量是否在范围内；⑤ 回答问题。 • 常见模型：围墙、造价问题常得到 （），由 得最小值 ，等号在 取到。 • 易错：漏写变量范围；取等的变量不在实际范围内仍写最值；分离参数时除以含参数的式子不讨论符号。 03　题型精讲 按解法分 4 个题型，与配套专项训练同名同序。每个题型先给「考查重点」与方法条件，再以典例完整展示过程，必要时配变式训练；解析版给出完整答案与详解（部分题附分析）。 题型一　基本不等式的直接应用与证明（共2题） 考查重点　考查基本不等式的内容与等号条件、直接求最值与简单证明，要求会检验「一正、二定、三相等」。 【方法条件】 • 基本不等式： 时 ，当且仅当 时等号成立；常写成 或 。 • 用它求最值必须同时满足「一正、二定、三相等」：各项为正；和为定值时求积的最大值，积为定值时求和的最小值；等号能取到。 • 证明不等式：把所证式子拆成几个两项的基本不等式再相加，如 、（），并写出等号成立的条件。 • 遇到几何背景（如点在直线上、面积、周长）时，先把条件化成「和为定值」或「积为定值」再用。 【典例1】 01．（2026·重庆·模拟预测）已知为直线：在第一象限内的一点，则下列结论正确的是（） A．的最大值为2 B．的最小值为8 C．的最小值为3 D．的最小值为 【典例2】 02．（25-26高一上·河南·期中）已知，，且. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 题型二　配凑与常数代换求最值（共3题）  重  考查重点　考查通过配凑、拆项、常数代换把目标式化成「积为定值」或「和为定值」，并检验等号条件。 【方法条件】 • 配凑：把目标式凑成「和为定值」或「积为定值」。例： 时 ，当 时取等号。 • 常数代换（「1 的代换」）：已知 （）求 的最小值：，当 （即 ）时取等号。 • 消元或换元：用条件把一个变量表示成另一个，或设 化成熟悉的形式，再检验定义域与等号。 • 每步检查三件事：各项是否为正；是否已凑成定值；等号能否取到（取不到就不能直接写最值）。 【典例1】 03．（26-27高三上·四川眉山·阶段检测）已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A． B．1 C．4 D．2 【典例2】 04．（26-27高一上·浙江·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A．64 B．8 C． D． 【变式1】 05．（26-27高一上·云南昆明·期中）已知正数a，b满足，则的最小值为___________． 题型三　条件等式求最值（共3题）  重  考查重点　考查带条件等式的最值与范围：先用基本不等式把条件转化成不等式，再解出所求量的范围，并检验等号。 【方法条件】 • 条件形如 （）：由 得 ，设 ，解 得 ，即 ；再由 得 。 • 条件能因式分解的先分解：如 化为 ，再令 用 。 • 条件为 、目标含倒数或平方时，先用常数代换或换元，再配凑；一题多次用基本不等式时，各次的等号条件必须能同时成立。 • 求出最值后回代：检查等号条件与变量范围（如 ）是否同时满足。 【典例1】 06．（26-27高三上·山西·阶段检测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 【典例2】 07．（25-26高一上·山东青岛·期中）已知，，且，则的最小值是（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【变式1】 08．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 题型四　恒成立与实际应用（共2题）  难  考查重点　考查含参不等式恒成立（转化为最值）和实际问题中的最值，要求会建立函数模型并检验取等条件。 【方法条件】 • 恒成立：「 恒成立」等价于 ；「 恒成立」等价于 。先分离参数，再用基本不等式求最值。 • 实际应用：先设变量并写出范围，再列目标函数（如造价 ），用基本不等式求最小值，最后检查取等的变量是否在实际范围内，并回答问题。 • 等号取不到时，基本不等式给出的值不是最值，不能当最终答案，必须另行讨论。 【典例1】 09．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【典例2】 10．（26-27高三上·安徽·阶段检测）某校要建造一个高为，底面积为，且一面靠墙的长方体形状的体育馆，其中背面利用原有墙体.甲工程队报价为：体育馆前面新建墙体的报价为每平方米300元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米500元，屋顶和地面以及其他报价共计18000元.设体育馆左墙的长度为，且. (1)当左墙的长度为多少时，甲工程队报价最低? (2)现有乙工程队也参与此体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（报价低的工程队竞标成功），求的取值范围. 04　易错核对 以下 7 条来自本讲题目的常见失分点，每条给出典型表现、纠正方法和对应题号；做题时先对照，再回看原题；「对应题」只列本讲中最相关的几道，其余题也可按此自查。 序号 易错点 典型表现与纠正 对应题 易错一 忽视「一正」「二定」条件 把负数当正数用，或和与积都不是定值就直接用基本不等式。纠正：先写出各变量的范围，再说明哪一个量是定值。 第02、11、12、18题 易错二 等号取不到仍写最值 用基本不等式得到最小值后，没有检验等号条件，或两次使用时等号条件互相矛盾。纠正：写出取等时各变量的值，并回代原条件与范围。 第28、29、30、31题 易错三 「1 的代换」漏乘或乘错 如已知 ，应乘的是 ，展开后得 。纠正：展开后逐项核对系数，确认最后一步是两个正数的积为定值。 第04、05、06、13、14、16题 易错四 条件等式转化后不解不等式 由 得 后直接下结论。纠正：设 ，解 并取 ，得 。 第07、20、23、30题 易错五 消元后漏写变量范围 消去一个变量后，另一个变量的取值范围（如 ）没有写，导致配凑或最值错误。纠正：消元的同时写出新变量的范围。 第18、24、29、30题 易错六 恒成立转最值时方向写反 「 恒成立」应取 的最小值，「 恒成立」应取最大值。纠正：先分离参数，写出不等号方向再选最值。 第32题 易错七 实际问题漏写变量范围，取等点不在范围内 忘记写变量范围，或取等的变量不在实际范围内仍写最值。纠正：求出取等点后，对照实际范围检验。 第09、10题 05　分层练习 另选一批题，按 A 基础、B 提升、C 综合三层编排，与 03 不重复，题号接 03 之后连续编号。 A　基础达标（8题，建议用时约 20 分钟） 11．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）若函数，则的最小值为（      ） A．1 B．2 C．4 D． 12．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知的最小值为______． 13．（2026·河南开封·模拟预测）已知正实数a，b满足，则的最小值为______． 14．（26-27高三上·江苏·阶段检测）已知正实数x、y满足，则的最小值是（     ） A． B．3 C． D．6 15．（2026·安徽·三模）已知，当取得最大值时，则__________． 16．（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知 ，且 ，则的最小值为（    ） A．4 B． C．5 D． 17．（2026·浙江宁波·三模）已知实数满足，且，则的最小值为_____． 18．（2026·福建南平·二模）若，，且，则的最小值为________. B　能力提升（8题，建议用时约 25 分钟） 19．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知，则的最小值为__________． 20．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 21．（25-26高一下·贵州毕节·期末）若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 22．（25-26高一上·上海·期中）若正实数a，b满足，则的最小值是________． 23．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知正实数，满足，下列说法正确的是（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最小值为 24．（26-27高三上·天津宁河·阶段检测）若，，且，则的最小值为________． 25．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知是非负实数且，则的最小值为（   ） A．9 B．11 C． D． 26．（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知，，则的最小值为_________. C　综合拓展（7题，建议用时约 30 分钟） 27．（25-26高三上·陕西·阶段检测）已知，且． (1)求的最大值； (2)求的最大值； (3)求的最小值． 28．（25-26高一上·安徽池州·期中）已知，那么，当代数式取最小值时，的值为（    ） A． B．4 C． D．8 29．（25-26高一上·河南·期末）已知均为正数，，则的最小值为_______ 30．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知正实数a，b满足，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 31．（25-26高三上·陕西西安·期末）已知实数满足，则的最小值为__________. 32．（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为______________． 33．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）设，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最小值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为9 D．的最大值为 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $