高中数学经典题型全解析：第21讲 基本不等式求最值的基本题型与策略讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦基本不等式求最值这一高考核心考点，涵盖与a+b、ab相关问题、分式函数、无理式、多元最值等题型，按“题型归类-策略提炼-典例解析”逻辑分层。通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建解题框架，突破配凑、消元等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以“问题情境-方法建构-应用迁移”为主线，创新采用“一题多解+变式拓展”模式，如用三角换元解决无理式最值，培养数学思维与运算能力。设置基础巩固到综合提升的分层练习，配合即时反馈，确保学生高效掌握“1”的代换、整体处理等策略，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第二十六课 基本不等式求最值的基本题型与策略 1. 与相关的最值问题 1.1 形如为非零常数）的最值可转化为“1”的代换 【典例】 1.A 【解析】】由x>0，y>0，x＋2y＝xy，得＋＝1， 则x＋2y＝(x＋2y)·（＋）＝＋2＋2＋≥4＋2 ＝8， 当且仅当＝，即x＝4，y＝2时，等号成立． 2. 【解析】因为log4(3a＋4b)＝log2， 所以 ，，故有， 则， 当且仅当时取“=”， 所以a＋b的最小值是． 1.2 形如为非零常数）的最值与消元法 【典例】 1.8 【解析】由得， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为8. 2. 7【解析】由得， 所以， 当且仅当 即时等号成立， 所以的最小值为7. 1.3形如为非零常数）的最值与整体处理法 【典例】 1. 【解析】由得， 解得， 故的最大值是，此时． 2.2 【解析】因为，所以， ， 化简得，即， 故的最大值是2， 此时． 2. 求分式形函数的最值常见的策略 2.1 分式形如为非零的常数）的最值与分离常数法 【典例】 1.【解析】， 当且仅当时 取“=”． 2.2 【解析】， 当且仅当时取“=”. 3. 【解析】， 设，， 则有， 因为时，， ， 当且仅当 即时取“=”， 所以， 由解得， 所以时，取得最小值是． 4.8 【解析】因为，， 所以， 当且仅当取“=”， 所以的最小值是8． 5. 4 【解析】因为，所以， 所以==， 当且仅当时等号成立． 2.2 分式形如为非零的常数）的最值与分离常数法 【典例】 1. 【解析】若,， 当且仅当时取“=”，则， 又函数是奇函数知的值域是． 2. 【解析】若，则； 若，则， 当且仅当时取“=”, 函数f(x)=的最大值为． 3.【解析】当时，， 所以， 当且仅当时取“=”， 因此． 4. 【解析】， 当且仅当时取“=”， 但是，所以或时最大， 又，数列最大的项是． 5. 【解析】由题意有， 所以， 当且仅当时取“=”． 即函数的最大值是. 6. 【解析】因为，且 ， 所以， ， 当且仅当，即时等号成立， 因正切函数在上单调递增，所以． 故的最大值为． 2.3 分子（分母）换元后分离常数可以降低配凑的难度 【典例】 1.【解析】令，， 则9， 当即时取“＝”号． 2.【解析】，， 则， 当且仅当即 时取“=”． 3.【解析】令，， 则， 当且仅当即时取“=”． 4.【解析】令，， 则在上是增函数， 故，所以函数的值域是． 5．【解析】将变形为， 则， 令，， 则，， 当且仅当，即，即时取“=”. 所以的最小值为. 2.4 换元法换低次求高次的分式函数的最值 【典例】 1.3【解析】令，则且． 所以. 因为，所以， 当且仅当，即时，取“=”． 所以当时，取得最小值． 2. 【解析】分子、分母同除以， ， 令，则化为， 又易知新函数在上单调递减， 所以， 故的最大值为． 3.【解析】易知当时，; 当且时，f(x)===， 利用基本不等式可得：若，则； 若，则． 综上，f(x)的最大值为，f(x)的最小值为， 故所求乘积为． 3. 含根号的无理式求最值问题 3.1 平方和为定值，可以平方凑定值 【典例】 1．【解析】， 当且仅当时取“=”， 又，所以 2.【解析】 当且仅当时取“=”． 3.【解析】， 当且仅当时取“=”． 4.【解析】将代入所求式得， 所以的最大值为. 5.【解析】 ， 当且仅当时取“=”． 3.2 三角换元求形如无理式的最值 【典例】 1.【解析】这个函数的定义域为， 设，则， 所以， 又，所以. 2. 【解析】因为 所以 从而可设且 因此 因为， 所以当，即时取等号， 故 3. 【解析】，， 则， （其中，）， 故当时取等号. 4.【解析】的定义域为, , ∴可设，, ∴, ∵,∴函数的值域为. 3.3 用对无理式（其中为定值）“脱根号用定值” 【典例】 1. 【解析】， 当且仅当即时取“=”． 2.【解析】， 所以， 当且仅当时等号成立． 3.【解析】因为（三个数也可以用）， 所以， 当且仅当时取“=”． 4. 【解析】， 当且仅当，即时取等号， 故此函数的最大值是． 5.【证明】因为， 所以， 同理，， 三式相加得. 6.【解析】由均值不等式，有， 当且仅当且，即时等号成立， 所以. 7.【解析】因为， 所以，则有， 所以 . 3.4 用对无理式（其中为常数）“脱根号凑定值” 【典例】 1.【解析】因为， 所以， 当且仅当时等号成立. 2.【解析】， 所以， 当且仅当时等号成立. 3.5 用基本不等式求解形如为常数）的无理式最值 【典例】 1.【解析】， 令，， 则， 当即时取等号， 所以的最小值是. 2.【解析】， 当且仅当时，取“=”， 故函数的值域. 3.6 用对勾函数的单调性求解形如为常数）的无理式最值 【典例】 1.0【解析】， 令，则， 又在上是增函数， 所以当时取得最小值，此时． 2.【解析】因为， 令t=(),则， 由对勾函数在上单调递减，在上单调递增知， 当即时，； 当即时，． 综上. 4.多元最值问题常见处理方法 4.1 消元是求多元最值问题的基本思想 【典例1】 1.【解析】由，得， 又，得. 2.【解析】由，得， 从而， 当且仅当时等号成立， 所以的取值范围是. 3.【解析】由x2 + 2y2 = 1，得y2 =. ∵y2 ≥ 0，∴≥ 0，即 – 1 ≤ x ≤ 1. ∴f (x) = 2x + = –(x –)2 +， 因此当x =时，f (x)max =； 当x = – 1时，f (x)min = – 2. 4.【解析】由3x2 + 2y2 = 2x，得y2 =. ∵y2 ≥ 0，∴– 3x2 + 2x ≥ 0，即0 ≤ x ≤， f (x) = x2 += –(x – 1)2 +， 故f (x)max = f () =；f (x)min = f (0) = 0. 【典例2】 1.27【解析】易得， 设则，， 所以=， 当且仅当即时等号成立. 2.【解析】由得，， 则有， 当且仅当时取“=”． 所以的最大值为． 4.2 先用基本不等式减元法 【典例】 1.【解析】， 当且仅当时等号成立. 2.3 【解析】法一：因为，即， 所以，当且仅当时等号成立. 法二：由x – 2y + 3z = 0，得y =， 将其代入所求式有==+ 6) ≥3， 当且仅当x = 3z时取等号. 3. 【解析】因为， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立． 4.3 直接整体代入也能实现消元 【典例】 1． 【解析】， 当 时等号成立 4.4 消元构造新函数求解多元最值问题 【典例1】 1.B 【解析】由得， ， 当且仅当时等号成立，此时， ， 当且仅当时等号成立， 故所求的最大值为1． 2.【解析】由已知得，， 又由，得， 记，则， 由，解得， 即函数在上递增， 进而可知函数在上递减， 所以． 【典例2】 1. 【解析】依题意得，， 由. 2. 【解析】（判别式法）由已知得，又， 所以可得， 从而是方程的两个实数根， 这表明该方程有实数解， 故，解得． 4.5 整体配凑不一定要消元也能求最值 【典例】 1. 【解析】由已知得， 则， 即， 当且仅当时取“=”． 2.4【解析】均为正实数， ， 当且仅当，时取“=”， 所以的最小值是4. 3.2【解析】由已知得， 所以， 当且仅当时取“=”， 故． 4. 【解析】由于， ， 当且仅当时等号成立. 5.【解析】由已知得， 则 当且仅当时取等号， 即的最小值为4. 6.【解析】，因此 ，即最小值为8. 4.6 三角换元求多元最值问题 【典例1】 1. 【解析】∵x2 + 400 – x2 = 400，故设x2 = 400cos2θ，400 – x2 = 400sin2θ， ∴y =+=(13+ 4tan2θ +), 当且仅当时取等号. 2．【解析】令，， 则， 可以看作点与点（2，0）两点连线的斜率， 故取值范围为 【典例2**】 1.【解析】由得 令代入 当时， 即得 即 所以的最大值为最小值为. 2.【解析】因为，可设（）， 故， 可化为即， 故，所以． 3.【解析】令，其中， 则 ． 令， 则，且. 于是 ． 由于在上单调递减， 所以的最小值为． 4.7 基本不等式求谁大（小）取谁对应函数的最值 【典例*】 1. 【解析】设 ， 当且仅当时取等号， 故，所以. 2. 【解析】由， 得， 所以，当且仅当时取等号. 3.2 【解析】由， 得， 所以，当且仅当时取等号. 故的最小值为2. 4.2 【解析】利用作差法易知， 所以，以下同【变式3】． 5.【解析】方法一：由题意知： 又 即. 所以当正数变化时，的最小值为. 方法二：由题意知： 又 即. 所以当正数变化时，的最小值为. 4.8 取等条件暗藏解题方向 【典例1*】 【典例2*】 1.16 【解析】由均值不等式有，即， 同理有，，， 于是 . 当时等号成立， 从而所求最小值为16. 2. 【解析】， 其中， 要使y取得最小值，应有， 此时，的最小值为． 5.处理不能直接用基本不等式的常见方法 5.1 对数变换 【典例】 1. 【解析】由，得， 又，故， 又，所以z的取值范围是. 2.7 【解析】由得， 且则， 所以， 当且仅当时等号成立． 3.1 【解析】依题意可得，， 所以 . 当且仅当时取等号，所以的最大值为1． 4. 【解析】， 所以． 5.【解析】， 所以，即， 当且仅当时取等号． 故的最大值为． 5.2 分段实施，逐段求解 【典例】 1. 【解析】， 又，所以， 当且仅当时取“=”． 5.3 不等式 【典例】 1.【解析】由均值不等式变式，有：，即， 同理有， 于是. 2.【解析】由均值不等式变式，，即， 同理有另外两式， 叠加有：. 又由均值不等式，，即， 同理有另外两式， 从而， 故. 3.【解析】由均值不等式变式，有，即 ， 同理有另外两式， 从而 . 又，即， 同理有另外两式， 从而， 故， 当时等号成立.从而所求最小值为 5.4 判别式法求多元函数的最值 【典例1】 1. 【解析】的定义域为，则方程在内有解. 当时，该方程有实数解. 当时，要使该方程有实数解， 则必须，解得且. 综上，原函数的值域为. 2.【解析】关于的方程有解， 则， 即， 当时， 从而的最小值为. 3.【解析】设，则， 代入整理得， 从而， 则，即最大值为（取等条件略）. 4. ,【解析】设，则， 代入整理得， 从而， 则，即最大值为,最小值为. 5．【解析】设，整理得， ①当时，；命题成立。 ②当时，方程可化为， 又因为实数，则则的最小值是. 6. 【解析】将代入，整理得. 以上关于的二次方程有实数解，则， 即，当时. 【典例2】 1. 或【解析】由题意，有， 关于的二次方程有解， 则，解得或. 2. 【解析】设三个实数为，由题意得； 由两式消去得 解得即. 所以. 3. 【解析】当时，易知； 当时，两边同除以得恒成立， 令,，由解得. 4.【解析】由题意得对任意恒成立. 当时，满足题意，此时； 当时，两边同除以整理得， 令，则对恒成立， 从而，解得. 综上的取值范围是. 【典例3】 1. 【解析】设，则， 代入整理得， 关于的二次方程有正实数解， 从而,， 解得，从而的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $第二十六 基本不等式求最值的基本题型与策略 学科网（北京）股份有限公司 1. 与相关的最值问题 1.1 形如为非零常数）的最值可转化为“1”的代换 1.2 形如为非零常数）的最值与消元法 1.3形如为非零常数）的最值与整体处理法 2. 求分式形函数的最值常见的策略 2.1 分式形如为非零的常数）的最值与分离常数法 2.2 分式形如为非零的常数）的最值与分离常数法 2.3 分子（分母）换元后分离常数可以降低配凑的难度 2.4 换元法换低次求高次的分式函数的最值 3. 含根号的无理式求最值问题 3.1 平方和为定值，可以平方凑定值 3.2 三角换元求形如无理式的最值 3.3 用对无理式（其中为定值）“脱根号用定值” 3.4 用对无理式（其中为常数）“脱根号凑定值” 3.5 用基本不等式求解形如为常数）的无理式最值 3.6 用对勾函数的单调性求解形如为常数）的无理式最值 4.多元最值问题常见处理方法 4.1 消元是求多元最值问题的基本思想 4.2 先用基本不等式减元法 4.3 直接整体代入也能实现消元 4.4 消元构造新函数求解多元最值问题 4.5 整体配凑不一定要消元也能求最值 4.6 三角换元求多元最值问题 4.7 基本不等式求谁大（小）取谁对应函数的最值 4.8 取等条件暗藏解题方向 5.处理不能直接用基本不等式的常见方法 5.1 对数变换 5.2 分段实施，逐段求解 5.3 不等式 5.4 判别式法求多元函数的最值 1. 与相关的最值问题 1.1 形如为非零常数）的最值可转化为“1”的代换 【典例】若正数满足，求的取值范围. 【解析】， 则， 当且仅当时取“=”， 所以的取值范围是. 【评注】式子典型特点是无常数项，只要等式两边同时除以二次项，可得到，这符合“1”代换的条件，这是一种最简单，也是最常用的解法. 【变式1】已知正数x，y，满足x＋2 y -x y＝0，那么x＋2 y的最小值为(　　) A.8 B．4 C．2 D．0 【变式2】若log4(3a＋4b)＝log2，求a＋b的最小值． 1.2形如为非零常数）的最值与消元法 【典例】已知正实数满足， 则的最小值为 . 【解析】由得， 所以， 当且仅当即，时等号成立， 所以的最小值为8. 【评注】由已知等式解出或(变形时尽可能满足或的系数为正)，代入得到关于或的代数式，再用基本不等式求解.利用基本不等式解题，要满足”一正、二定、三相等”的条件，特别注意等号成立的条件是否存在. 【变式1】已知正实数满足，则的最小值为 . 【变式2】已知正实数满足,则的最小值为 . 1.3形如为非零常数）的最值与整体处理法 【典例】已知，则的最小值是 ． 【解析】由题意得， 从而,即， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值是4. 【评注】本题将当做整体，利用基本不等式将等式变为不等式，得到关于的不等关系，然后解不等式得到范围来求最值，这是处理此类二元最值问题的常用方法. 【变式1】若实数满足，则的最大值是 ． 【变式2】若实数满足，则的最大值是 ． 2. 求分式形函数的最值常见的策略 2.1 分式形如为非零的常数）的最值与分离常数法 【典例】当时，函数的最小值是 ． 【解析】， 当且仅当时取“=， 故函数的最小值是. 【评注】形如为非零的常数）即分母是一个单项式、分子是多项式的分式，求最值时，可以考虑先分离常数，然后利用基本不等式,也可以换元降次． 【变式1】当时，函数的最小值是 ． 【变式2】当时，函数的最小值是 ． 【变式3】函数的最小值是 ． 【变式4】已知,求函数的最小值 ． 【变式5】当时，函数的最小值为 ． 2.2 分式形如为非零的常数）的最值与分离常数法 【典例】求函数的值域． 【解析】当时，， 当且仅当时取“=”， 所以； 当时，， 因为， 当且仅当时取“=”， 所以，故； 当时，. 综上可知，函数的值域是． 【评注】有时求值域相当于求最值，所以利用基本不等式求最值也是一种常用方法，除了直接运用基本不等式外，很多时候需要在分子或分母上局部变形，然后利用基本不等式，特别是当分子是一个单项式、分母是多项式的时候，可以考虑分子分母同除以x．分子分母同除以一个代数式，要讨论这个代数式可能为零的情形．同号的两个数取倒数大小关系相反：. 【变式1】函数的值域是 ． 【变式2】函数f(x)=的最大值为_________． 【变式3】若对任意，恒成立,则的取值范围是 ． 【变式4】数列的通项公式，则数列最大的项是 ． 【变式5】已知，则函数的最大值是 ． 【变式6*】已知且，求的最大值． 2.3 分子（分母）换元后分离常数可以降低配凑的难度 【典例】已知函数， 则该函数的值域为 ． 【解析】令，，则， 若 ， 所以函数的值域是； 【评注】当分母为多项式或分子为多项式都可以考虑把它们当成一个整体换元，转化为低次多项式，再进行分离常数，相对配凑会显得简单，运用此种方法解题思路清晰自然. 【变式1】函数的值域为 ． 【变式2】函数的值域是 ． 【变式3】已知，则函数的最大值是 ． 【变式4】函数的值域为 ． 【变式5*】已知正实数满足， 则的最小值为 ． 2.4 换元法换低次求高次的分式函数的最值 【典例】若，则函数的最小值是 . 【解析】令，则且, 有 ． 又易知新函数在上单调递增， 当时，函数的最小值为． 【评注】对于分子或分母是高次的分式函数的最值,一般情况是考虑用换元法换低次求解,但有时也要注意观察其本身的结构,对于不能换元的,往往用特殊的方法构造,如本例令换元后构造新函数. 【变式1】若，则函数的最小值为 . 【变式2*】若，则函数的最大值为 ． 【变式3*】若，则函数的最大值与最小值的乘积是 . 3*. 含根号的无理式求最值问题 3.1 平方和为定值，可以平方凑定值 【典例】函数的最大值是 ． 【解析】先平方再用基本不等式：， 又，所以，当且仅当， 即时取“=”，故函数的最大值是． 【评注】平方后之所以能出现定值，是因为两项或三项的平方和是定值．也可以直接利用重要不等式求解． 【变式1】已知，则的最大值是 ． 【变式2】已知，且，则的最大值是 ． 【变式3】当，函数的最大值为 ． 【变式4】设，且，则的最大值为 ． 【变式5】若，则的最大值是 ． 3.2 三角换元求形如无理式的最值 【典例】 求函数的最大值. 【解析】 由于故 令 则， 故 而 故当时，y有最大值4，即的最大值为4. 【评注】形如的无理式求最值的问题，利用三角换元法（三角换元的理论依据是圆的参数方程或同角的平方关系，角度数范围的确定应该适应于变量取值范围），对于形如的式子，先求出然后令再利用辅助角公式和正弦函数的有界性解题. 【变式1】函数的值域为 . 【变式2】设则的最大值为 . 【变式3】设均为正数，且为不等常数，为变量，若， 则最大值为 . 【变式4】已知函数，则该函数的值域是 ． 3.3 用对无理式（其中为定值）“脱根号用定值” 【典例】已知实数满足， 则的最大值为 ． 【解析】由题意得， 即， 当且仅当时取等号， 所以，解得， 故当且仅当，时，取得最大值4． 【评注】假如为定值，公式中，可设，那么无理式就可以实现“脱根号用定值”的目标：.基本不等式有几个常用变形：, ，，． 【变式1】已知，则的最大值是 . 【变式2】设，则的最大值是 ． 【变式3*】已知，且，则的最大值是 . 【变式4】已知，则函数的最大值是 . 【变式5】已知， 求证: . 【变式6*】若满足关系：， 求的值. 【变式7】设a>0, b>0，且a + b = 1， 求证：． 3.4 用对无理式（其中为常数）“脱根号凑定值” 【典例】设，且， 则的最大值为 . 【解析】因为，且， 所以， 当且仅当时等号成立. 【评注】若，则可变形为，当且仅当时取等号. 【变式1】已知，则函数的最大值为 . 【变式2】已知，则函数的最大值为 . 3.5 用基本不等式求解形如为常数）的无理式最值 【典例】求函数的最小值. 【解析】法一： = ， 当且仅当时取等号， 所以函数的最小值 法二：令，则， 因为时，， ， 当且仅当即时取“=”， 所以． 由解得，所以时，取得最小值是． 法三：令，则， 因为时是增函数， 所以当（解得）时取得最小值是， 即时，取得最小值是． 【评注】形如为常数）的无理式求最值，显然不能直接运用均值不等式，需巧妙分拆后部分运用基本不等式，特别要注意基本不等式满足的条件. 【变式1】求函数的最小值. 【变式2】求函数的值域． 3.6 用对勾函数的单调性求解形如为常数）的无理式最值 【典例】求函数的值域 . 【解析】令， 则， 因为在区间上单调递增， 故，即函数的值域为 【评注】对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数又被称为“双勾函数”、"勾函数"等，也被形象称为“耐克函数”或“耐克曲线”.是形如的函数特殊形式.函数的单调增区间是，，单调减区间是，. 【变式1】设，当函数取最小值时， ． 【变式2】已知，求函数的最小值． 4.多元最值问题常见处理方法 4.1 消元是求多元最值问题的基本思想 【典例1】已知正数满足， 求的最小值. 【解析】由，得， 由，和，得. ， 当时，取得最小值. 【评注】二元最值问题，往往通过消元将二元最值转化为一元最值，降低思维难度,该思想方法在高考中也是重点考查的,这也是通法通解. 【变式1】已知，且满足，求的取值范围. 【变式2】已知，且满足，求的取值范围. 【变式3】已知x2 + 2y2 = 1，求2x + 5y2的最值. 【变式4】已知3x2 + 2y2 = 2x，求x2 + y2的最值. 【典例2】已知正数满足， 则的最小值为 . 【解析】由已知得，，代入所求式得 ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为25. 【变式1】若实数满足，则的最小值为 . 【变式2】设，求的最大值． 4.2 先用基本不等式减元法 【典例】已知正数满足， 求的最小值． 【解析】 ， ， ∵， ∴当且仅当，时， 取最小值4． 【评注】对于多元函数，消元是最佳解题方向，可以直接导入条件实现消元，也可以先用一次基本不等式再放缩消元；一次可以消一元，有时还可以一次性消掉两“元’. 【变式1*】若均为正实数，且，则的最小值为 ． 【变式2*】已知则的最小值为 ． 【变式3*】设，则的最大值为 ． 4.3 直接整体代入也能实现消元 【典例】已知正实数满足， 则的最小值为 . 【解析】由题知, 故, 当且仅当时取等号. 【评注】对于较复杂的条件式,通过对条件和目标函数的变形，可发现部分结构完全相同，这样就可以将该部分内容整体替换，可以实现消元，再去利用基本不等式. 【变式1】设，且， 则的最大值是_______. 4.4* 消元构造新函数求解多元最值问题 【典例1】实数满足，， 求的取值范围． 【解析】由已知得，， 又， 所以，解得. 又， 所以本题即求在上的值域. 利用导数法可知： 函数在区间上递减，在区间上递增， 又易知， 所以. 故的取值范围为． 【评注】多元函数问题,消元,构造是关键!,本题求解需要关注两点：一是准确分析的取值范围（利用基本不等式及解不等式法）；二是转化目标式，构造函数，利用导数法巧求取值范围. 【变式1】设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ） A．0     B．1   C．     D．3  【变式2】已知，且， 求的最大值． 【典例2】已知实数，满足，， 则的最大值为 ． 【解析】因为， 所以 即， 解得（当且仅当时，）. 故的最大值为． 【评注】消元,构造不等式是解决多元函数常用手段,求某个单一字母的范围，往往有一定难度,需读者有足够的观察能力,眼睛盯住它不一定能够获得好的解题方向.关注其它参数，可能会得到意想不到的效果. 【变式1】已知实数满足，，则的最大值是________． 【变式2】已知实数满足，， 则的取值范围是 ． 4.5 整体配凑不一定要消元也能求最值 【典例】若且则的最小值为 ． 【解析】由已知得，所以 ，当且仅当时取等号,故的最小值为． 【评注】将写成关于的二次三项式，可迅速分解因式得，又注意到，故利用基本不等式可获解. 【变式1】已知正实数满足，则的最小值为 【变式2】已知均为正实数，若，则的最小值是 【变式3】已知均为正数，且，则的最小值是______. 【变式4】已知正数满足：，则的最小值是______. 【变式5】已知非负实数满足， 求的最小值. 【变式6】在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是 ▲ . 4.6 三角换元求多元最值问题 【典例1】设且， 求的最值. 【解析】设 则， ， ， 又， 故的最大值为，最小值为. 【评注】条件式有平方项时往往利用三角换元或利用圆或椭圆的参数方程求解,如本例中注意到，可采用三角恒等式，这种解法简单、快捷，常常可以化繁为简. 【变式1】已知y =(0 < x < 20)，则的最小值为 ． 【变式2】已知实数满足，， 则的取值范围为 ． 【典例2**】对于，当非零实数满足且使最大时，则的最小值为 【解析】由已知得 令则， 从而 其中，于是 此时 即 整理得即得 又 从而 于是 即的最小值为. 【评注】辅助角公式是求解三角最值的重要方法. 【变式1】已知实数满足 求的最大值和最小值. 【变式2】已知正实数满足，， 求实数的取值范围. 【变式3**】已知正实数满足，且， 求的最小值． 4.7基本不等式求谁大（小）取谁对应函数的最值 【典例*】记为两数的最大值，当正数 变化时，的最小值为 ． 【解析】法1：由题意知： 又 即. 所以当正数变化时，的最小值为10. 法2：由题意知：,, 又 即. 所以当正数变化时，的最小值为10. 【评注】求的最小值问题，可利用求解；当时，可利用求解. 【变式1】若则 . 【变式2】已知且，其中{a，b}表示 数a，b中较小的数，则h的最大值为 . 【变式3*】已知，记， 则的最小值为 ． 【变式4*】已知，记， 则的最小值为 ． 【变式5】记为两数的最大值，当正数变化时， 求的最小值． 4.8*取等条件暗藏解题方向 【典例*】设是正数，，，，则=（ ）. （A） （B） （C） （D） 【解析】由均值不等式，， 三式叠加即， 于是各个等号均成立， 即，从而选C. 【评注】一般情况下都是由条件式求最值，但由条件式求值时，往往注重均值不等式的取等条件，它暗藏解题方向，能够为我们解题指明一个方向. 这样就可以利用均值不等式的取等条件来求值,这是不等式近年高考的一大动向,读者应该引起关注. 【典例2*】若且， 则的最小值为______. 【解析】由均值不等式有，即. 同理有， 于是， 当时等号成立， 从而所求最小值为9. 【评注】如果是对等三式应用均值不等式，发现等号取不到， 由于对称性，猜测当时等号成立，从而分配系数，对等三式应用均值不等式.此例也可用展开求最值. 均值不等式的取等条件还可以帮我们在配凑式子的时候分配系数 【变式1】若且，则的最小值为______. 【变式2*】若已知，则的最小值为 . 5.处理不能直接用基本不等式的常见方法 5.1 对数变换 【典例】已知， 则当的值为 时，取到最大值． 【解析】当取最大值时，必定同号， 所以， 当且仅当时取等号， 故当的值为4时，取到最大值． 【评注】由条件式求最值,我们想方设法去利用已知式构造,本例就用对数运算法则：构造的. 【变式1】已知，且，， 则的取值范围为 . 【变式2】已知，若实数满足， 则的最小值是 ． 【变式3】设，，若，， 则的最大值为 ． 【变式4】已知正实数满足，则的取值范围是 ． 【变式5】已知，且， 求的最大值． 5.2 分段实施，逐段求解 【典例】设的最小值是 （ ） A．2 B． C． D． 【解析】， 当且仅当时，“=”成立. 答案为C. 【评注】基本不等式的运用有时不能一步到位，需要分段实施，逐段求解．有时分段实施的不都是基本不等式，还可以掺杂着非负数（如）、特殊的不等关系等，只要它们都能同时取到等号就可以． 【变式1】若，且， 则的最小值是 . 5.3*不等式 【典例】已知为非负数，， 求的最大值和最小值. 【解析】因为为非负数, 所以当不为0时由有， 故，即， 又，即， 于是， 同理， 从而 ， 当且仅当时等号成立，故最小值为. 由，从而，于是， 当或时等号成立，故最大值为. 【评注】当时有，从而，等号成立的条件是. 应用均值不等式的这个变式，可巧妙地解决很多问题. 【变式1】设是满足的非负实数， 求证：. 【变式2】有小于1的正数满足， 求证：. 【变式3】设为正数，且， 求的最小值. 5.4 判别式法求多元函数的最值 【典例1】设为实数，若， 则的最大值是 . 【解析】设，则， 代入整理得， 从而，则， 故最大值为（取等条件略）. 【评注】此题解法众多，判别式法是其中具有代表性且容易想到的一种方法.一般地对含有多元的函数的最值，判别式也是一种很好的选择，在转化为关于某元的一元二次方程之后，该方程的实数根的范围是全体实数即存在实数根，直接用判别式，即实系数一元二次方程在R上有实根的充要条件为. 【变式1】已知函数，则该函数的值域为 . 【变式2】若，设，则的最小值为 . 【变式3】设为实数，若，则的最大值是 . 【变式4】设为实数，若，则的最大值和最小值分别为 . 【变式5】设为实数，若，则的最小值是 . 【变式6】已知实数满足，，则的最大值是 . 【典例2】设为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足,则的取值范围是________. 【解析】 ， 代入得， 关于的二次方程有解， 则 解得或. 【评注】关于和都是二次的，由于是求的范围，因此把当主元当参数，用判别式构建关于的不等式求解.只要存在一个含有二元的方程或等式，便可以考虑使用判别式法。 【变式1】设为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足，则的取值范围是________. 【变式2*】有三个实数成等比数列，其和为正数，其积的最大值和最小值是________. 【变式3】不等式对于任意的恒成立， 则实数的取值范围是 . 【变式4】不等式对任意恒成立， 则实数的取值范围是 . 【典例3】 设正实数满足， 则实数的最小值为 . 【解析】由去分母整理得， 因为关于的二次方程有解， 则. 由得，上述方程的两根都是正数， 故，于是. 此时由得，解得（舍去）或， 故的最小值为（此时）. 【评注】当我们把一个二元二次的等式转化为关于某元的一元二次方程之后，要注意该方程的实数根的范围，如果是全体实数即存在实数根，直接用判别式，否则就要转化为一元二次方程存在某一范围上的实数根，就不是判别式一人能解决的问题了，还应该借助二次函数图像的对称轴位置、开口方向、与区间的交点情况综合考察（更详细的判别式法的介绍，请看函数值域与最值的讲座）. 【变式1】若正数满足， 则的取值范围是 . $