第21讲 等式与不等式的性质、一元二次不等式 专项训练-2027届高三数学一轮复习

高中数学·题型专项训练系列 第21讲 等式与不等式的性质、一元二次不等式 专项训练（5大题型31题）（解析版） 2026-2027学年高三一轮复习 数学 题型归纳 · 内容导航 题型 定位 题号 题数 题型一　不等式的性质与大小比较 基础 第1—7题 7 题型二　一元二次不等式的解法 基础 第8—12题 5 题型三　三个二次的关系与参数 重点 第13—19题 7 题型四　恒成立与存在性问题 重点 第20—28题 9 题型五　整数解与综合应用 难点 第29—31题 3 方法索引 · 易错提示 题型 核心方法 易错点 题型一　不等式的性质与大小比较 比较大小用作差；乘负数不等号方向要改变；拿不准的选项代入特殊值 同向不等式相减；乘负数不改变方向；倒数性质不看 的符号；作差后不判断符号 题型二　一元二次不等式的解法 二次项系数化为正；「大于取两边、小于取中间」；含参先分类 二次项系数为负时直接套口诀；含参不分类；漏掉 ；两根大小不比较 题型三　三个二次的关系与参数 解集端点就是方程的根，用根与系数关系求系数；先由解集形状判断 的符号 由解集反求系数时不判断 的符号；根与系数关系漏负号；约去 时不等号方向没改 题型四　恒成立与存在性问题 在 上恒成立先验证 再用 ；区间上恒成立转化为最值 漏讨论 ；把「恒成立」与「有解」的最值方向搞反；最值取不到仍写等号 题型五　整数解与综合应用 数轴标整数点，由端点落点列不等式；端点含不含整数单独检验 端点是否含整数不检验；区间方向看反；参数分类漏掉两根相等 使用说明 • 本专项共 31 题，按 5 个题型编排（各题型依次 7、5、7、9、3 题）；每个题型先【知识积累】，再【典例】，后【变式训练】。 • 原卷版用于课堂演练与限时训练，解析版逐题给出答案与详解（部分题附分析）；解答题先独立书写，再对照解析。 • 建议先读上表“方法索引·易错提示”，做题时对照易错点自查；5 个题型与配套复习讲义同名同序，可对照使用。 题型通关 · 靶向提分 题型一　不等式的性质与大小比较（共7小题） 考查重点　考查不等式的基本性质（同向可加、乘正数与乘负数方向不同、倒数与乘方的条件）、作差比较大小，以及用特殊值排除选项。 【知识积累】 实数大小比较：；；。比较两式的大小，就是判断它们的差的符号；常用通分、因式分解、配方把差变成乘积或平方形式。 不等式的基本性质：① 对称性 ；② 传递性 ；③ 可加性 ；④ 可乘性 ，；⑤ 同向可加 ；⑥ 同向正数可乘 ；⑦ 乘方 （）。 倒数： 且 时 ； 且 时 。用倒数性质前先看 同号还是异号。 求代数式的范围：由 求 的范围用同向相加；求 要先写成 再与 的范围相加，不能直接相减。 易错：同向不等式不能相减、相除；乘（除）以含字母的式子前要判断符号；由 推 需要 （如 ）。 【典例】 1．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）设，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项A，取，，，，则，，所以，此时选项A不成立； 对于选项B，取，，，，则，，所以，此时选项B不成立； 对于选项C，取，，，，则，，所以，此时选项C不成立； 对于选项D，，其中由已知得，，，故恒成立. 【变式训练】 2．（26-27高三上·上海闵行·期中）已知，为非零实数，且，则下列命题一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，满足，此时，故A选项不成立； 当时，满足，此时，故B选项不成立； ， 为非零实数，则，由 ，有，即，C选项成立； 当时，满足，此时，故D选项不成立． 3．（26-27高三上·云南保山·阶段检测）若，且，则必有（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，，故A、B错误； 取，，，则，故C错误； 因为，所以，则，故D正确. 4．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知，，满足，且，那么下列各式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由且，可知与异号.若，则，此时，与矛盾，故，. 选项A，已知，，由不等式基本性质，两边同乘正数，不等号方向不变，得，故A正确； 选项B，由得，又，两负数相乘得正，故，故B正确； 选项C，由，两边同乘，当时，，得；当时，，，此时，不满足严格小于，故C错误； 选项D，已知，又，故，)为负数乘正数，得，故D正确. 5．（25-26高三上·山东济宁·期中）甲乙两位驾驶员采用不同的加油方式，甲不考虑油价升降，每次都将油箱加满.乙不考虑油价升降，每次加油所花的钱数一定，多次加油之后，甲乙两位驾驶员谁的加油方式比较经济？（   ） A．甲比较经济 B．甲和乙一样经济 C．乙比较经济 D．不能确定 【答案】C 【分析】设两次加油的油价分别为 ，分别计算出甲、乙两人加油的平均单价，再对两者进行比较. 【详解】设两次加油的油价分别为 ，甲每次都将油箱加满，设油箱容量为V，可得甲加油的平均单价为 . 设乙每次加油花费的钱数都为M，则第一次加油的油量 ，第二次加油的油量为，两次加油的花费为2M，总共加的油量为，可得乙加油的平均单价为 因为，所以 ，所以乙比较经济， 故选：C 6．（26-27高三上·四川·阶段检测）已知，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，且，则 【答案】AC 【详解】对于选项A： ∵ ，可知，即，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变. ∴ ，故A正确. 对于选项B： 取反例：，，，，满足，， 此时，，，不满足，故B错误. 对于选项C： 作差得. ∵ ，∴ ，. ∴ ，即，故C正确. 对于选项D： 取反例：，，，满足且， 此时，，，即，不满足. 故D错误. 7．（25-26高一上·北京·阶段检测）若，，则_____（用“”、 “”或“”填空）． 【答案】 【分析】用作差法比较大小即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 题型二　一元二次不等式的解法（共5小题） 考查重点　考查一元二次不等式的解法：因式分解求根、按判别式与开口方向写解集，含参时对二次项系数、判别式与两根大小分类讨论。 【知识积累】 一元二次不等式：形如 （或 ）（）的不等式。二次函数 的图象与 轴交点的横坐标就是对应方程的根，解集由图象在 轴上方或下方的范围读出。 判别式与解集（）： 时方程有两根 ： 的解集是 ， 的解集是 ； 时 的解集是 ， 的解集是 ； 时 的解集是 ， 的解集是 。 解题步骤：① 化二次项系数为正（为负时两边同乘 ，不等号方向改变）；② 求对应方程的根（因式分解或判别式）；③ 画简图或用口诀「大于取两边、小于取中间」写出解集；不等号带等号时端点取得到。 含参数的分类：① 看二次项系数是否为 （为 时退化成一次不等式）；② 时看能否因式分解或看 ；③ 能分解时比较两根大小，如 ，按 、、 分类。 易错：二次项系数为负时直接套口诀；两根大小不分类；解集写成互相矛盾的形式；漏掉二次项系数为 的情形。 【典例】 8．（26-27高三上·湖南·阶段检测）不等式的整数解的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先因式分解求出不等式的解集，再数出其中的整数. 【详解】由 得 ，解得 . 所以不等式的整数解为 ，共个. 【变式训练】 9．（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ABD 【分析】根据参数的取值范围，等价转化成一元一次或一元二次不等式，求解即得. 【详解】对于A， 当时，不等式为，解得，即，故A正确； 对于B，当时，不等式为，即，可得，故B正确； 对于C，当时， ， 因，可得，故原不等式的解为或，故C错误； 对于D，当时，， 因，则原不等式的解为，故D正确. 10．（2026·河北沧州·三模）不等式 的解集为__________． 【答案】 【详解】原不等式可化简为，即，得， 故不等式的解集为. 11．（26-27高三上·广东东莞·阶段检测）已知关于x的不等式的解集中恰有个整数，则正整数a =________． 【答案】2 【详解】由题意得，为正整数，故， 不等式可化为， 方程的两根为，， 二次函数开口向上， 所以不等式的解集为， 因为解集中恰有个整数，该整数只能是， 所以，又是正整数，故. 12．（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数（）. (1)当时，解不等式； (2)当时，解不等式. 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 【分析】（1）代入参数，因式分解二次不等式，利用开口方向直接写出解集； （2）先因式分解找到两根，再比较两个根与的大小，分三类讨论求解集. 【详解】（1）当时，不等式为， 即，所以 所以不等式的解集为； （2）方程的两个实数根是，， 当①即时，不等式的解为或； ②即时，不等式恒成立； ③即时，不等式的解为或. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 题型三　三个二次的关系与参数（共7小题）  重  考查重点　考查一元二次不等式、二次函数、一元二次方程三者的关系：由已知解集反求系数，再解新的不等式。 【知识积累】 三个二次：二次函数 的零点就是方程 的实根，也是不等式 （）解集的端点。 由解集反求系数：若 的解集是 ，则 ，且 是方程的两根，；若解集是 ，则 。 分解写法：设解集为 ，则 ，直接展开比较系数，比先解方程更快。 求新的不等式的解集：已知 的解集，求 的解集——先用根与系数关系把 写成 的倍数，约去 时按 的符号决定不等号方向，再解新的不等式。 易错：忘记由解集形状判断 的符号；根与系数关系写成 （漏负号）；约去 时不等号方向没有随 改变。 【典例】 13．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为的解集为，所以，方程的两个根分别为， 所以，，即，， 所以不等式为， 因为，得，解得． 【变式训练】 14．（26-27高三上·河北·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由关于的不等式的解集为， 得，且是方程的两个根， 则，即， 不等式为，即， 解得，所以所求的解集为. 15．（26-27高一上·福建福州·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的有（    ） A． B．不等式的解集为 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据不等式的解集即可判断对应二次函数的开口方向，进而判断选项A；由不等式解集端点值，可知为方程的两个根，进而可得，从而可以判断选项B和选项C；由方程的根，代入即可判断选项D. 【详解】由题可知，不等式的解集为，则，选项A正确； 又为方程的两个根，则由韦达定理可得， 所以，则，又，所以， 整理得，所以解集为，选项B正确； 由B知，，则，选项C错误； 由是方程的根，则，而成立，所以正确，选项D正确. 16．（26-27高三上·湖南娄底·阶段检测）已知关于x的不等式的解集为，则______ 【答案】0 【详解】已知不等式：的解集为， 由此可知：一元二次方程的两个根为，，且， 由韦达定理得，解得， 所以. 17．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知不等式的解集为，则不等式的解集为________ 【答案】 【分析】先根据不等式的解集与一元二次方程根的关系，求得的值，再结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由不等式的解集为，即是方程的两个实数根， 所以，可得， 则不等式，即为，即， 化简得，解得或， 即不等式的解集为. 18．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 【答案】(1)， (2)当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理求参数； （2）代入参数后因式分解，分类讨论两根大小求解含参一元二次不等式. 【详解】（1）由题意知， 和是方程 的两个实根， 由韦达定理得，，解得. （2）将代入不等式得，即. 方程的两根为， . 当时，解集为或； 当时，不等式为，解集为； 当时，解集为或. 19．（26-27高三上·江西·阶段检测）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若，解关于的不等式． 【答案】(1) (2)当时，的解集为；     当时，的解集为；     当时，的解集为；     当时，的解集为；     当时，的解集为． 【分析】（1）根据不等式的解集与二次方程的实根的关系以及韦达定理分析求解即可； （2）利用求出的值，然后利用分类讨论法解含参数的不等式即可. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以是方程的两根，且，    根据韦达定理得：， 解得：. （2）因为，所以，所以，    所以， 当时，，所以的解集为， 当时，因为，所以的解集为， 当时，因为，所以的解集为， 当时，因为，所以的解集为， 当时，因为，所以的解集为． 题型四　恒成立与存在性问题（共9小题）  重  考查重点　考查一元二次不等式在 上恒成立（用 判断）以及在区间上恒成立、存在成立（分离参数转最值或用图象法）。 【知识积累】 在 上恒成立： 对一切 成立，当 时等价于 且 ； 恒成立等价于 且 。二次项系数含参数时，必须单独验证 。 解集为 或 ： 的解集为 就是它恒成立；解集为 就是 恒成立。 分离参数法：区间上 恒成立等价于 ， 恒成立等价于 ；存在成立则相反： 有解等价于 ， 有解等价于 。分离时除以含 的式子要先确定符号。 图象法：在区间 上 恒成立， 时比较对称轴 与区间：轴在区间左侧看 ，轴在区间内看顶点，轴在区间右侧看 。 易错：漏讨论 ；把「恒成立」与「有解」的最值方向搞反；最值取不到时仍写等号；分离参数时除以可能为负的数而不改变号。 【典例】 20．（26-27高一上·天津武清·阶段检测）若关于 的不等式 的解集不为，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按 、、 讨论；“解集不为空集”意味着存在使不等式成立． 【详解】①当时， 不成立，解集为，不合题意； ②当时，抛物线开口向上，要使 有解， 需 ，； ③当时，抛物线开口向下，充分大时函数值为负，解集必不为空集，符合． 综上所述，或． 【变式训练】 21．（25-26高一上·浙江温州·期中）对任意，不等式恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】分析可知，关于的方程有一个根1，另外一个根小于等于0，进而计算可得结论. 【详解】当时，，由，可得， 当时，，由，可得， 所以时，，即1是方程的一个根， 则题意可得还有一个根小于等于0， 所以，解得，故A正确；B错误； 又开口向下，所以， 所以，故C正确，D错误. 故选：AC. 22．（2026·广东汕头·模拟预测）已知，对任意实数x恒成立．若，则t的取值范围是_______________． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题，结合条件，分析求解，即可得答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 则，即， 所以关于b的一元二次不等式有解，且， 所以， 因为，所以，解得或， 当时，不等式为，得，符合题意； 当时，不等式为，得，符合题意， 则t的取值范围是. 故答案为： 23．（2026·天津河东·二模）已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据的范围分类讨论，结合对于任意，都有成立，解不等式即可求解． 【详解】因为是一个区间，所以， 二次函数的对称轴为直线， ①当时，即，函数在上单调递增， 所以， 要使对于任意，都有成立，则， 所以，解得； ②当时，即时， 函数在处取得最小值，， 则，不等式无解； ③当时，即，函数在上单调递减， 所以， 则，不等式无解； 综上所述，的取值范围是． 24．（2026·重庆·模拟预测）设 ，若对 ，则 _____． 【答案】24 【详解】，， 代入，可得，即， 展开，可得， 即， 化简可得， 因为，当时，代入可得，恒成立， 当时，化简可得 代入，可得 即， 设函数， 因为是开口向上的二次函数，且，又要满足当时， 所以必须是函数的重根，即另一个根，解得， ，解得， 所以. 25．（25-26高二下·福建南平·期末）已知函数． (1)当时，求函数在上的最大值； (2)若，解关于的不等式． 【答案】(1)3 (2)时，不等式解集为；时，不等式解集为；时，不等式解集为． 【分析】（1）由二次函数的性质求解即可； （2）先因式分解，再对分类讨论即可. 【详解】（1）当时，， 二次函数的图象开口向上，对称轴为， 因为，在上单调递增， 所以的最大值为 （2）由得， 若，则； 若，则； 若，则； 综上：时，不等式解集为；时，不等式解集为； 时，不等式解集为． 26．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知函数． (1)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)若，解关于的不等式． 【答案】(1) (2)当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为． 【详解】（1）不等式的解集为，即恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围是． （2）不等式， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，解得或． 所以当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为． 27．（26-27高三上·河南新乡·阶段检测）已知函数． (1)若关于的不等式的解集是空集，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式． 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【分析】（1）先考虑的情况，再考虑的情况即可； （2）先进行因式分解，然后求出对应方程的两个根，再对分类讨论求出不同情况下的不等式的解集即可. 【详解】（1）当时，，解，得，解集不是空集，故舍去． 当时，要使的解集为空集，必须满足函数的图象开口向下且与轴最多有一个交点， 即，，即，解得． 综上，实数的取值范围是． （2）由题意得，，即， 整理得，即． 因为，所以． 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 28．（25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）已知关于的不等式 的解集为． (1)求实数，的值； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为 (3) 【分析】（1）根据和2是方程的两根，利用韦达定理可求的值. （2）对的取值分类讨论，结合一元二次不等式解集的形式解不等式. （3）问题转化为，恒成立，再求，的最大值即可. 【详解】（1）由题意，和2是方程的两根，且， 所以，解得. （2）因为，所以不等式可化为， 即. 当时，不等式可化为 ； 当时，不等式可化为. 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为. 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. （3）因为，所以不等式可化为， 因为时，不等式恒成立，即恒成立. 因为，所以，，，所以. 由恒成立，可得 . 即所求的取值范围为. 题型五　整数解与综合应用（共3小题）  难  考查重点　考查解集中整数解个数问题，以及把解集、恒成立、根与系数等条件综合运用。 【知识积累】 整数解问题：先解不等式得到解集，再数其中的整数。含参时解集的端点是参数的式子，要在数轴上标出整数点，让端点落在合适的两个整数之间。 恰有 个整数：解集是区间时，其中的整数是连续的。例如解集 恰含整数 ，则 ；左端点同理，端点为整数时要检验取不取。 综合问题的拆法：把条件分别化成「解集」「恒成立」「根与系数」三类，逐类求出范围后取交集。 易错：端点是否含整数不检验；区间方向看反；参数分类漏掉两根相等的情形。 【典例】 29．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】对二次不等式左边进行因式分解，先讨论二次项系数，分析得到不符合题意；再讨论二次项系数得到解集，进而得到解集中的一个整数元素，从而得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即，不等式解集为， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即， 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去； 当时，，即， 不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去； 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：. 【变式训练】 30．（25-26高一上·河南新乡·期末）已知集合，关于的不等式的解集为，若中恰有三个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将整理成，设，由中恰有三个正整数得到有两个不同的解，故解得的范围，求出的两个根为，由得到，此不等式的解集为，由中恰有三个正整数得到，从而得到，经过计算得到实数的取值范围是. 【详解】， ， ， ， 设， 中恰有三个正整数， 有两个不同的解， ，， 的两个根为， ，， 转化为， 的解集为， 中恰有三个正整数，故， ， ， ，，， ，， ，，， ，，， 综上可知，， 实数的取值范围是. 故选：B. 31．（26-27高三上·安徽淮南·阶段检测）已知关于的不等式的解集为． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次不等式解集的特征列出关于的方程组即可. （2）将分为，，三类，再利用即可得的取值范围． 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以为方程的根，且， 则，解得． （2）由，即， 当时，原不等式为，解得，则，满足； 当时，原不等式化为，解得或， 所以，满足； 当时，原不等式化为，解得，所以， 由，得，解得． 综上所述，实数m的取值范围为． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·题型专项训练系列 第21讲 等式与不等式的性质、一元二次不等式 专项训练（5大题型31题）（原卷版） 2026-2027学年高三一轮复习 数学 题型归纳 · 内容导航 题型 定位 题号 题数 题型一　不等式的性质与大小比较 基础 第1—7题 7 题型二　一元二次不等式的解法 基础 第8—12题 5 题型三　三个二次的关系与参数 重点 第13—19题 7 题型四　恒成立与存在性问题 重点 第20—28题 9 题型五　整数解与综合应用 难点 第29—31题 3 方法索引 · 易错提示 题型 核心方法 易错点 题型一　不等式的性质与大小比较 比较大小用作差；乘负数不等号方向要改变；拿不准的选项代入特殊值 同向不等式相减；乘负数不改变方向；倒数性质不看 的符号；作差后不判断符号 题型二　一元二次不等式的解法 二次项系数化为正；「大于取两边、小于取中间」；含参先分类 二次项系数为负时直接套口诀；含参不分类；漏掉 ；两根大小不比较 题型三　三个二次的关系与参数 解集端点就是方程的根，用根与系数关系求系数；先由解集形状判断 的符号 由解集反求系数时不判断 的符号；根与系数关系漏负号；约去 时不等号方向没改 题型四　恒成立与存在性问题 在 上恒成立先验证 再用 ；区间上恒成立转化为最值 漏讨论 ；把「恒成立」与「有解」的最值方向搞反；最值取不到仍写等号 题型五　整数解与综合应用 数轴标整数点，由端点落点列不等式；端点含不含整数单独检验 端点是否含整数不检验；区间方向看反；参数分类漏掉两根相等 使用说明 • 本专项共 31 题，按 5 个题型编排（各题型依次 7、5、7、9、3 题）；每个题型先【知识积累】，再【典例】，后【变式训练】。 • 原卷版用于课堂演练与限时训练，解析版逐题给出答案与详解（部分题附分析）；解答题先独立书写，再对照解析。 • 建议先读上表“方法索引·易错提示”，做题时对照易错点自查；5 个题型与配套复习讲义同名同序，可对照使用。 题型通关 · 靶向提分 题型一　不等式的性质与大小比较（共7小题） 考查重点　考查不等式的基本性质（同向可加、乘正数与乘负数方向不同、倒数与乘方的条件）、作差比较大小，以及用特殊值排除选项。 【知识积累】 实数大小比较：；；。比较两式的大小，就是判断它们的差的符号；常用通分、因式分解、配方把差变成乘积或平方形式。 不等式的基本性质：① 对称性 ；② 传递性 ；③ 可加性 ；④ 可乘性 ，；⑤ 同向可加 ；⑥ 同向正数可乘 ；⑦ 乘方 （）。 倒数： 且 时 ； 且 时 。用倒数性质前先看 同号还是异号。 求代数式的范围：由 求 的范围用同向相加；求 要先写成 再与 的范围相加，不能直接相减。 易错：同向不等式不能相减、相除；乘（除）以含字母的式子前要判断符号；由 推 需要 （如 ）。 【典例】 1．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）设，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练】 2．（26-27高三上·上海闵行·期中）已知，为非零实数，且，则下列命题一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·云南保山·阶段检测）若，且，则必有（     ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知，，满足，且，那么下列各式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·山东济宁·期中）甲乙两位驾驶员采用不同的加油方式，甲不考虑油价升降，每次都将油箱加满.乙不考虑油价升降，每次加油所花的钱数一定，多次加油之后，甲乙两位驾驶员谁的加油方式比较经济？（   ） A．甲比较经济 B．甲和乙一样经济 C．乙比较经济 D．不能确定 6．（26-27高三上·四川·阶段检测）已知，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，且，则 7．（25-26高一上·北京·阶段检测）若，，则_____（用“”、 “”或“”填空）． 题型二　一元二次不等式的解法（共5小题） 考查重点　考查一元二次不等式的解法：因式分解求根、按判别式与开口方向写解集，含参时对二次项系数、判别式与两根大小分类讨论。 【知识积累】 一元二次不等式：形如 （或 ）（）的不等式。二次函数 的图象与 轴交点的横坐标就是对应方程的根，解集由图象在 轴上方或下方的范围读出。 判别式与解集（）： 时方程有两根 ： 的解集是 ， 的解集是 ； 时 的解集是 ， 的解集是 ； 时 的解集是 ， 的解集是 。 解题步骤：① 化二次项系数为正（为负时两边同乘 ，不等号方向改变）；② 求对应方程的根（因式分解或判别式）；③ 画简图或用口诀「大于取两边、小于取中间」写出解集；不等号带等号时端点取得到。 含参数的分类：① 看二次项系数是否为 （为 时退化成一次不等式）；② 时看能否因式分解或看 ；③ 能分解时比较两根大小，如 ，按 、、 分类。 易错：二次项系数为负时直接套口诀；两根大小不分类；解集写成互相矛盾的形式；漏掉二次项系数为 的情形。 【典例】 8．（26-27高三上·湖南·阶段检测）不等式的整数解的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】 9．（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 10．（2026·河北沧州·三模）不等式 的解集为__________． 11．（26-27高三上·广东东莞·阶段检测）已知关于x的不等式的解集中恰有个整数，则正整数a =________． 12．（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数（）. (1)当时，解不等式； (2)当时，解不等式. 题型三　三个二次的关系与参数（共7小题）  重  考查重点　考查一元二次不等式、二次函数、一元二次方程三者的关系：由已知解集反求系数，再解新的不等式。 【知识积累】 三个二次：二次函数 的零点就是方程 的实根，也是不等式 （）解集的端点。 由解集反求系数：若 的解集是 ，则 ，且 是方程的两根，；若解集是 ，则 。 分解写法：设解集为 ，则 ，直接展开比较系数，比先解方程更快。 求新的不等式的解集：已知 的解集，求 的解集——先用根与系数关系把 写成 的倍数，约去 时按 的符号决定不等号方向，再解新的不等式。 易错：忘记由解集形状判断 的符号；根与系数关系写成 （漏负号）；约去 时不等号方向没有随 改变。 【典例】 13．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 14．（26-27高三上·河北·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则的解集为（     ） A． B． C． D． 15．（26-27高一上·福建福州·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的有（    ） A． B．不等式的解集为 C． D． 16．（26-27高三上·湖南娄底·阶段检测）已知关于x的不等式的解集为，则______ 17．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知不等式的解集为，则不等式的解集为________ 18．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 19．（26-27高三上·江西·阶段检测）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若，解关于的不等式． 题型四　恒成立与存在性问题（共9小题）  重  考查重点　考查一元二次不等式在 上恒成立（用 判断）以及在区间上恒成立、存在成立（分离参数转最值或用图象法）。 【知识积累】 在 上恒成立： 对一切 成立，当 时等价于 且 ； 恒成立等价于 且 。二次项系数含参数时，必须单独验证 。 解集为 或 ： 的解集为 就是它恒成立；解集为 就是 恒成立。 分离参数法：区间上 恒成立等价于 ， 恒成立等价于 ；存在成立则相反： 有解等价于 ， 有解等价于 。分离时除以含 的式子要先确定符号。 图象法：在区间 上 恒成立， 时比较对称轴 与区间：轴在区间左侧看 ，轴在区间内看顶点，轴在区间右侧看 。 易错：漏讨论 ；把「恒成立」与「有解」的最值方向搞反；最值取不到时仍写等号；分离参数时除以可能为负的数而不改变号。 【典例】 20．（26-27高一上·天津武清·阶段检测）若关于 的不等式 的解集不为，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 21．（25-26高一上·浙江温州·期中）对任意，不等式恒成立，则（    ） A． B． C． D． 22．（2026·广东汕头·模拟预测）已知，对任意实数x恒成立．若，则t的取值范围是_______________． 23．（2026·天津河东·二模）已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 24．（2026·重庆·模拟预测）设 ，若对 ，则 _____． 25．（25-26高二下·福建南平·期末）已知函数． (1)当时，求函数在上的最大值； (2)若，解关于的不等式． 26．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知函数． (1)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)若，解关于的不等式． 27．（26-27高三上·河南新乡·阶段检测）已知函数． (1)若关于的不等式的解集是空集，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式． 28．（25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）已知关于的不等式 的解集为． (1)求实数，的值； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 题型五　整数解与综合应用（共3小题）  难  考查重点　考查解集中整数解个数问题，以及把解集、恒成立、根与系数等条件综合运用。 【知识积累】 整数解问题：先解不等式得到解集，再数其中的整数。含参时解集的端点是参数的式子，要在数轴上标出整数点，让端点落在合适的两个整数之间。 恰有 个整数：解集是区间时，其中的整数是连续的。例如解集 恰含整数 ，则 ；左端点同理，端点为整数时要检验取不取。 综合问题的拆法：把条件分别化成「解集」「恒成立」「根与系数」三类，逐类求出范围后取交集。 易错：端点是否含整数不检验；区间方向看反；参数分类漏掉两根相等的情形。 【典例】 29．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【变式训练】 30．（25-26高一上·河南新乡·期末）已知集合，关于的不等式的解集为，若中恰有三个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．（26-27高三上·安徽淮南·阶段检测）已知关于的不等式的解集为． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $