基本不等式 专项训练-2027届高三数学一轮复习

基本不等式测试 （测试时间120分钟，总分150分） 姓名：___________班级：___________ 一、单选题（每题5分，共40分） 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 4．某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为，深为3m，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，若当贮水池一边长x时，最低总造价z最小，则（   ） A．， B．， C．， D．， 5．在中，角所对的边分别为，点为外接圆的圆心，若，且，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．已知为任意角，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，下列结论中：①当时，的最小值为3；②函数是奇函数；③函数的图象关于点对称 ；④是图象的一条切线，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 二、多选题（每题6分，共18分） 9．已知a，b，c满足，且，则（   ） A． B． C． D． 10．下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 11．已知的面积为，，为的平分线，则（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题（每题5分，共15分） 12．已知a，b为正实数，且满足，则的最小值为_________. 13．已知，且是方程的一个根，则的最小值是______． 14．在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，是线段上的点，且满足，则直线的斜率的最大值为______． 四、解答题（共77分） 15．（13分）（1）已知，求的最小值； （2）若，且满足条件，求的最小值． 16．（15分）（1）证明：； （2）已知，，且，求证：. 17．（（15分）1）比较与的大小； （2）已知为不全相等的正实数，求证：. 18．（17分）已知的内角，，所对的边分别为，，，. (1)求角； (2)若，求周长的取值范围. 19．（分）已知中，内角，，所对的边分别为，，，且，． (1)求； (2)若内心为，求的周长范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《基本不等式测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C D D D B ABD ACD 题号 11 答案 AC 1．A 【分析】利用基本不等式和充分条件、必要条件的定义进行判断即可. 【详解】当时，，当且仅当时，即时取等号，故充分性成立； 当时，也成立，不满足，故必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：. 2．B 【分析】举出反例得到充分性不成立，再由基本不等式得到必要性成立. 【详解】不妨设，此时满足， 但不满足，充分性不成立， 两边平方得，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立， 故，解得，必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3．C 【分析】根据对勾函数的性质可得最小值. 【详解】由，令，则. ，由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增， 所以时，函数. 故函数的最小值为. 故选：C. 4．C 【分析】根据给定条件，得表示出，再利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】依题意，由贮水池的一边长为，得贮水池的另一边长， 总造价 ，当且仅当时取等号， 所以贮水池的一边长时，总造价最低，最低值为元. 故选：C 5．D 【分析】由题结合余弦定理依次求出，，利用正弦定理可求外接圆半径为1，即，根据向量的运算可得，平方处理计算可得，再结合基本不等式的运用可得的范围即可求解. 【详解】由可得， 整理得，又， 所以， 由正弦定理可得圆半径为，即， 又， ， ． ，整理可得． 又，得，解得或． 当时，点在外部，分居两侧且， 所以四点共圆，不满足题意，舍去， （当且仅当时取等号）， 故选：D． 6．D 【分析】解法一：令，，利用导数判断原函数单调性和最值；解法二：设，可得，利用基本不等式运算求解；解法三：的几何意义为单位圆上的动点到两个定点的距离之和，结合椭圆求最值. 【详解】解法一：， 令，则 设， 则， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以的最大值为，所以所求的最大值为； 解法二：， 设， 则，所以， 当且仅当时取等号， 所以所求的最大值为． 解法三：设， 则的几何意义为单位圆上的动点到两个定点的距离之和． 如图，设，    则分别以为左、右焦点，为长轴长的椭圆与单位圆有公共点． 设椭圆的短轴长为，则，所以当最大时，最大， 所以当点在轴上时取得取大值，为，即所求的最大值为． 故选：D. 7．D 【分析】由基本不等式判断①，由奇偶性定义判断②，由函数图象变换及奇函数的性质判断③，由导数的几何意义求切线判断④． 【详解】①当时，,,当且仅当即时等号成立，所以最小值是3，正确； ②函数，记，其定义域是，，因此是奇函数，正确； ③的图象关于原点对称，把它向右平移一个单位，再向上平移一个单位得的图象，因此的图象关于点对称，正确； ④，由得或，，， 因此直线和都是函数图象的切线，④正确， 故选：D． 8．B 【分析】由题意可得，求得即可. 【详解】因为x，，所以，所以， 又， 当且仅当时，取等号，所以， 所以实数a的最小值是. 故选：B. 9．ABD 【分析】首先利用放缩法证明出，，从而可以判断ABC，对于D则需要使用基本不等式. 【详解】因为，所以，即，，即， 所以，故AB正确C错误； 对于D：，故D正确. 故选：ABD 10．ACD 【分析】利用二次函数，函数单调性和基本不等式求最小值，就可作出判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因为在上单调递增，所以，故B错误； 对于C，当时，，当且仅当取到等号，故C正确； 对于D，，当且仅当取到等号，故D正确； 故选：ACD. 11．AC 【分析】由正弦定理及逆用正弦两角和公式化简可得，即可对A判断；由的面积可得，再由余弦定理及基本不等式可对B判断求解；由，可得，再结合基本不等式可对C判断求解；结合C中，讨论当或趋近于无穷大时，则趋近于无穷大，趋近于，可对D判断求解. 【详解】A：由题意，，即， 化简整理：，即， 即，又因， 所以，又因为，， 所以，所以.故A正确； B：由的面积，解得， 余弦定理可得， 当且仅当时取等号，此时，故B错误； C：由，即， 即，当且仅当时取等号，故C正确； D：由，当或趋近于无穷大时，则趋近于无穷大，趋近于，无最小值，故D错误； 12． 【分析】由得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由，所以，又， 所以，当时，即，时，等号成立. 13．8 【分析】由题意易得，代入所求式，利用基本不等式计算即得. 【详解】由题意，可得，即得， 则， 因，故，当且仅当即时等号成立， 即当，时，取得最小值8. 故答案为：8. 14． 【分析】根据抛物线的性质、平面向量的坐标运算及直线斜率公式求出直线的斜率，结合基本不等式求解即可. 【详解】抛物线的焦点，则 设，，，且，则. 所以. 所以直线的斜率为. 因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立. 故直线的斜率的最大值为. 15．（1） ；（2） 【分析】（1）再利用基本不等式可得答案； （2）再利用基本不等式可得答案． 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即等号成立， 所以当时，的最小值为9； （2）因为，，所以，，， 则 ， 当且仅当，即，等号成立， 所以当，时，的最小值为. 16．（1）解法一（反证法）： 假设， 即， 两边平方得，即， 即，这与矛盾，因此假设不成立， 故. 解法二（分析法）： 要证， 只需证， 因为，， 所以只需证， 即证，即证， 因为成立， 所以成立. 解法三（综合法）： ， ， 因为， 所以. （2） 由题意知，故 . 【分析】（1）可用反证法，分析法，综合法的任意1个方法证明； （2）结合先把1换成，再化简，结合基本（均值）不等式证明. 【详解】（1）略 （2）略 17．（1）； （2）证明：因为，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立， 即. 【分析】（1）利用作差法比较大小即可； （2）利用基本不等式证明即可. 【详解】（1）因为， 所以. （2）略 18．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理化角为边，再结合余弦定理求； （2）由（1）结合余弦定理可得，再利用基本不等式求的范围，由此可得结论. 【详解】（1）设的外接圆的半径为， 由正弦定理可得，，， 因为， 所以， 所以， 由余弦定理可得， 又，可得； （2）由题意可得，， 由余弦定理可得， 即， 所以， 所以， 又， 故，当且仅当时取等号， 即的周长的取值范围为. 19．(1)； (2) 【分析】（1）利用二倍角公式和正、余弦定理化简已知式，结合三角形内角范围即可求得； （2）方法一：由内心和求得，设，可得，在中，利用正弦定理求出和,表示出，利用三角恒等变换将其化成正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求得周长范围；方法二：同法求得，设，，由余弦定理得，利用基本不等式即可求得的范围，即得周长范围. 【详解】（1）由可得： ， 化简得， 由正弦定理， ， 又由余弦定理，，因，则． （2） 方法一：如图，因内心为，则和分别平分和， 则，则． 设，则有，，， 由，可得， 在中，，由正弦定理，， 则，，则 ， 又，，则 则的周长范围为． 方法二：与方法一同法求得，设，， 在中，由余弦定理可得，， 即，则， 因为，所以，即， 且，可得，即， 当且仅当时，即时等号成立． 综上的周长范围为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $