第21讲 等式与不等式的性质、一元二次不等式讲义-2027届高三数学一轮复习

高中数学·一轮复习讲义系列 第21讲 等式与不等式的性质、一元二次不等式 （复习讲义）（原卷版） 2026-2027学年高三一轮复习数学 5 大题型 · 28 题 · 03 精讲 12 题 · 05 分层 16 题 目　录 01　考情解码·命题预警 2 02　知识梳理 3 03　题型精讲 5 题型一　不等式的性质与大小比较 5 题型二　一元二次不等式的解法 6 题型三　三个二次的关系与参数  重  7 题型四　恒成立与存在性问题  重  8 题型五　整数解与综合应用  难  9 04　易错核对 9 05　分层练习 10 使用说明 • 本讲义共 28 题：03 精讲 12 题（5 个题型，配典例及变式），05 分层 16 题（A 6／B 5／C 5）。 • 原卷版用于课堂演练与限时训练，解析版逐题给出答案与详解（部分题附分析）。 • 建议顺序：02 知识梳理 → 03 题型精讲 → 04 易错核对 → 05 分层练习。 题型地图 题型 核心方法 题号 题型一　不等式的性质与大小比较 比较大小用作差；乘负数不等号方向要改变；拿不准的选项代入特殊值 01—03 题型二　一元二次不等式的解法 二次项系数化为正；「大于取两边、小于取中间」；含参先分类 04—05 题型三　三个二次的关系与参数 解集端点就是方程的根，用根与系数关系求系数；先由解集形状判断 的符号 06—08 题型四　恒成立与存在性问题 在 上恒成立先验证 再用 ；区间上恒成立转化为最值 09—10 题型五　整数解与综合应用 数轴标整数点，由端点落点列不等式；端点含不含整数单独检验 11—12 05 分层练习按 A 基础、B 提升、C 综合编排，题号接 03 之后连续编号。 01　考情解码·命题预警 本讲复习定位：等式与不等式的性质、一元二次不等式在高考中以选择题、填空题为主，也常作为解答题的第一问或集合、函数问题的工具，覆盖面广、失分点集中。一轮复习要练成四个条件反射：一是比较大小先作差、再判断符号，判断选项优先想性质、拿不准就代特殊值；二是解一元二次不等式先把二次项系数化为正，再因式分解求根、按口诀写解集；三是已知解集反求参数时，先由解集形状判断 的符号，再用 ；四是恒成立问题先验证 ，再用 或分离参数转最值。 考查要求 方法与条件 常见设问 会用不等式的性质和作差法判断大小关系 同向可加；乘正数与乘负数方向不同；倒数、乘方的条件；作差、通分、配方判断符号；特殊值排除 第01、02、03、15、16、19、26题 会解一元二次不等式，含参时会分类讨论 化二次项系数为正；因式分解求根；「大于取两边、小于取中间」；二次项系数为 、两根大小分类 第04、05、13、22、23、25、28题 会用三个二次的关系由解集求参数，再解新不等式 解集端点＝方程的根；；由解集形状判断 的符号 第06、07、08、14、18、20、23、24题 会解决恒成立与存在性问题 上恒成立用 （先验 ）；区间上分离参数转最值；恒成立与存在成立的最值方向相反 第09、10、21、22、25、27、28题 会处理整数解个数与综合问题 解集用参数表示；数轴标整数点；端点落点列不等式组；多个条件取交集 第11、12题 命题预警 • 同向不等式可以相加（同向正数还可相乘），不能直接相减、相除；乘（除）以负数时不等号方向要改变；拿不准的选项代入特殊值检验。 • 解一元二次不等式前先把二次项系数化为正；含参时先看二次项系数是否为 ，再比较两根的大小。 • 由解集反求系数时，先由解集的形状判断 的符号；约去 时不等号方向要随 的符号而定。 • 在 上恒成立要单独验证 ；区间上的恒成立、存在成立转化为最值时，注意最值能不能取到。 复习建议：每道题先问三句话——「二次项系数是正是负、是不是可能为 」「解集或不等号方向由谁决定」「参数范围的端点能不能取到」；三问答完，方法基本就定了。含参题求出参数后一定回代检验，写解集时按各种情形分别写出。 02　知识梳理 按「不等式的性质与大小比较—一元二次不等式的解法—三个二次的关系—恒成立与存在性—整数解与综合」五块整理，顺序同教材 2.1、2.3，与 03 的五个题型一一对应；每条都给出定义、判断方法与典型错处。 一、不等式的性质与大小比较（2.1） • 实数大小比较：；；。比较两式的大小，就是判断它们的差的符号；常用通分、因式分解、配方把差变成乘积或平方形式。 • 不等式的基本性质：① 对称性 ；② 传递性 ；③ 可加性 ；④ 可乘性 ，；⑤ 同向可加 ；⑥ 同向正数可乘 ；⑦ 乘方 （）。 • 倒数： 且 时 ； 且 时 。用倒数性质前先看 同号还是异号。 • 求代数式的范围：由 求 的范围用同向相加；求 要先写成 再与 的范围相加，不能直接相减。 • 易错：同向不等式不能相减、相除；乘（除）以含字母的式子前要判断符号；由 推 需要 （如 ）。 二、一元二次不等式的解法（2.3） • 一元二次不等式：形如 （或 ）（）的不等式。二次函数 的图象与 轴交点的横坐标就是对应方程的根，解集由图象在 轴上方或下方的范围读出。 • 判别式与解集（）： 时方程有两根 ： 的解集是 ， 的解集是 ； 时 的解集是 ， 的解集是 ； 时 的解集是 ， 的解集是 。 • 解题步骤：① 化二次项系数为正（为负时两边同乘 ，不等号方向改变）；② 求对应方程的根（因式分解或判别式）；③ 画简图或用口诀「大于取两边、小于取中间」写出解集；不等号带等号时端点取得到。 • 含参数的分类：① 看二次项系数是否为 （为 时退化成一次不等式）；② 时看能否因式分解或看 ；③ 能分解时比较两根大小，如 ，按 、、 分类。 • 易错：二次项系数为负时直接套口诀；两根大小不分类；解集写成互相矛盾的形式；漏掉二次项系数为 的情形。 三、三个二次的关系与参数（2.3） • 三个二次：二次函数 的零点就是方程 的实根，也是不等式 （）解集的端点。 • 由解集反求系数：若 的解集是 ，则 ，且 是方程的两根，；若解集是 ，则 。 • 分解写法：设解集为 ，则 ，直接展开比较系数，比先解方程更快。 • 求新的不等式的解集：已知 的解集，求 的解集——先用根与系数关系把 写成 的倍数，约去 时按 的符号决定不等号方向，再解新的不等式。 • 易错：忘记由解集形状判断 的符号；根与系数关系写成 （漏负号）；约去 时不等号方向没有随 改变。 四、恒成立与存在性问题（2.3） • 在 上恒成立： 对一切 成立，当 时等价于 且 ； 恒成立等价于 且 。二次项系数含参数时，必须单独验证 。 • 解集为 或 ： 的解集为 就是它恒成立；解集为 就是 恒成立。 • 分离参数法：区间上 恒成立等价于 ， 恒成立等价于 ；存在成立则相反： 有解等价于 ， 有解等价于 。分离时除以含 的式子要先确定符号。 • 图象法：在区间 上 恒成立， 时比较对称轴 与区间：轴在区间左侧看 ，轴在区间内看顶点，轴在区间右侧看 。 • 易错：漏讨论 ；把「恒成立」与「有解」的最值方向搞反；最值取不到时仍写等号；分离参数时除以可能为负的数而不改变号。 五、整数解与综合应用（2.3） • 整数解问题：先解不等式得到解集，再数其中的整数。含参时解集的端点是参数的式子，要在数轴上标出整数点，让端点落在合适的两个整数之间。 • 恰有 个整数：解集是区间时，其中的整数是连续的。例如解集 恰含整数 ，则 ；左端点同理，端点为整数时要检验取不取。 • 综合问题的拆法：把条件分别化成「解集」「恒成立」「根与系数」三类，逐类求出范围后取交集。 • 易错：端点是否含整数不检验；区间方向看反；参数分类漏掉两根相等的情形。 03　题型精讲 按解法分 5 个题型，与配套专项训练同名同序。每个题型先给「考查重点」与方法条件，再以典例完整展示过程，必要时配变式训练；解析版给出完整答案与详解（部分题附分析）。 题型一　不等式的性质与大小比较（共3题） 考查重点　考查不等式的基本性质（同向可加、乘正数与乘负数方向不同、倒数与乘方的条件）、作差比较大小，以及用特殊值排除选项。 【方法条件】 • 作差比较：先作差 ，再变形（通分、因式分解、配方）判断符号；，。 • 判断选项真假：先想性质——同向不等式可相加；两边同乘正数方向不变、同乘负数方向改变；取倒数要先看 同号还是异号。拿不准就代入一组特殊值推翻，如取 。 • 分式比较：，符号由 、、、 的正负共同决定（糖水不等式的来源）。 • 条件里隐含的符号要逐条核对： 的正负、 是否同号、分母是否为 ，漏掉任何一条都可能误判。 【典例1】 01．（26-27高三上·福建三明·阶段检测）已知，则下列不等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【典例2】 02．（26-27高三上·山东日照·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【变式1】 03．（26-27高三上·福建龙岩·阶段检测）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二　一元二次不等式的解法（共2题） 考查重点　考查一元二次不等式的解法：因式分解求根、按判别式与开口方向写解集，含参时对二次项系数、判别式与两根大小分类讨论。 【方法条件】 • 先化成标准形 （或 ）且二次项系数 ，能因式分解的先分解，求出对应方程的根。 • 时： 的解集在两根之外， 的解集在两根之间；方程无实根时，按判别式 判断解集是 还是 。 • 含参数的不等式：先问二次项系数是否为 ，再分 、；能因式分解的比较两根大小，如 ，按 、、 分类，各情形分别写出解集，不能合并。 • 解集一律写成集合或区间；端点取不取由不等号是否带等号决定。 【典例1】 04．（26-27高三上·江苏宿迁·阶段检测）已知关于x的不等式. (1)若不等式的解集是，求实数的值; (2)解关于x的不等式. 【典例2】 05．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）对于实数，关于x的不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 题型三　三个二次的关系与参数（共3题）  重  考查重点　考查一元二次不等式、二次函数、一元二次方程三者的关系：由已知解集反求系数，再解新的不等式。 【方法条件】 • 已知解集求参数：解集的端点是对应方程的根。先由解集形状判断 的符号（ 的解集在两根之间 则 ，在两根之外则 ），再用 求 。 • 只能求出比值时（如 ）直接代入新的不等式，约去 时按 的符号决定不等号方向——这是本型最常见的错点。 • 解集形如 ：说明对应方程只有一个实根（），并要求 的符号与不等号方向相容。 • 也可借二次函数图象理解：解集就是图象在 轴上方（或下方）的那部分 的范围，零点、对称轴、开口方向三者联系起来看。 【典例1】 06．（26-27高三上·甘肃·阶段检测）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【典例2】 07．（2026·甘肃天水·模拟预测）已知关于的不等式的解集为． (1)求，的值； (2)解关于x的不等式． 【变式1】 08．（26-27高一上·重庆·阶段检测）已知一元二次不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 题型四　恒成立与存在性问题（共2题）  重  考查重点　考查一元二次不等式在 上恒成立（用 判断）以及在区间上恒成立、存在成立（分离参数转最值或用图象法）。 【方法条件】 • 在 上恒成立： 恒成立等价于 且 （另需单独验证 是否成立）； 恒成立等价于 且 （同样验证 ）。 • 区间上恒成立：把参数分离，化成 或 ，再转成 在该区间上的最大值或最小值；不好分离时用二次函数图象，比较对称轴与区间的位置。 • 恒成立与存在成立相反： 成立等价于 ； 成立 等价于 。把不等号方向相反的情形对应换成另一端的最值。 • 最值能否取到决定参数端点带不带等号，写出范围前把端点回代检验一次。 【典例1】 09．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）若关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是_________. 【典例2】 10．（25-26高二下·天津宝坻·期末）设函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围． 题型五　整数解与综合应用（共2题）  难  考查重点　考查解集中整数解个数问题，以及把解集、恒成立、根与系数等条件综合运用。 【方法条件】 • 整数解个数：先把解集用参数表示（必要时分类），再在数轴上标出整数点，端点落在哪两个相邻整数之间，就决定了参数的范围。 • 解集是区间时，其中的整数必然连续。例如解集为 且恰含整数 ，则 ；端点是否取到要单独检验。 • 综合题先把各条件分别化成已学的三类问题（解集、恒成立、根与系数关系），逐一求出范围后取交集。 【典例1】 11．（25-26高二下·广东梅州·期末）若关于的不等式的解集中恰有4个整数，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【典例2】 12．（25-26高三上·湖南邵阳·期中）已知函数（），若非空集合，且，则下列说法中正确的是（   ） A．n的取值与m有关 B．n为定值 C． D． 04　易错核对 以下 8 条来自本讲题目的常见失分点，每条给出典型表现、纠正方法和对应题号；做题时先对照，再回看原题；「对应题」只列本讲中最相关的几道，其余题也可按此自查。 序号 易错点 典型表现与纠正 对应题 易错一 同向不等式相减或相除 由 、 想当然得 。同向不等式可以相加（同向正数还可相乘），但不能直接相减、相除；纠正：拿不准就代入特例，如 时 。 第02、19题 易错二 乘（除）负数不改变不等号方向 且 时 ；取倒数还要先看 同号还是异号。纠正：每次两边乘（除）一个数之前，先写出它的符号。 第01、03、15、16题 易错三 作差后不判断符号就下结论 比较大小时只化简、不说明各因式的正负。纠正：把差写成「正数×正数」或「平方」的形式，再逐项说明符号。 第19、26题 易错四 含参不等式漏分类 漏掉二次项系数为 ，或两根大小不分类。纠正：先看 ，再按 、，能分解时按两根的大小关系分类，最后各情形分别写解集。 第04、05、23、28题 易错五 二次项系数为负时直接套「大于取两边」 时口诀方向相反。纠正：先两边同乘 把二次项系数化为正，不等号方向同时改变，再写解集。 第05、06、07、08题 易错六 由解集反求系数时 的符号判断错 解集在两根之间对应 （不等号为 时），在两根之外对应 ；约去 时不等号方向要随 的符号改变。纠正：先写 的符号，再用 。 第06、07、08、20题 易错七 恒成立问题漏讨论二次项系数为 直接用 而忘了 时不等式退化成常数，可能成立也可能不成立。纠正：先单独验证 ，再讨论 的 。 第09、21、25、28题 易错八 整数解问题端点不检验 解集端点是否含整数、是否取得到，直接决定参数范围的开闭。纠正：求出范围后把端点回代，逐个核对整数点的个数。 第11题 05　分层练习 另选一批题，按 A 基础、B 提升、C 综合三层编排，与 03 不重复，题号接 03 之后连续编号。 A　基础达标（6题，建议用时约 15 分钟） 13．（26-27高一上·江苏徐州·阶段检测）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 14．（25-26高二下·天津滨海新区·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则实数的值为_________． 15．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）若，，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 16．（26-27高三上·北京海淀·开学考试）设，且，则（    ） A． B． C． D． 17．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）设、，若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为________． 18．（26-27高三上·山西·阶段检测）若关于的一元二次不等式的解集为，则______． B　能力提升（5题，建议用时约 20 分钟） 19．（25-26高三上·甘肃陇南·阶段检测）用不等号“＞”或“＜”填空． ①如果，那么______； ②如果，那么______； ③如果，那么______． 20．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B．的解集为 C． D． 21．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是________． 22．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 23．（26-27高三上·北京石景山·阶段检测）（1）若不等式的解集为，求不等式的解集. （2）解关于x的不等式(). C　综合拓展（5题，建议用时约 30 分钟） 24．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 25．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）已知函数. (1)若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； (2)当时，解关于的不等式. 26．（25-26高一上·江苏苏州·期中）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜，于是得出“糖水不等式”：.根据“糖水不等式”等知识判断，下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，且，则 C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 27．（26-27高三上·甘肃兰州·阶段检测）已知函数，，. (1)当时，若对于任意，，恒成立，求的取值范围； (2)若存在，使得与同时成立，求的取值范围. 28．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于x的不等式； (3)当时，若，对，，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·一轮复习讲义系列 第21讲 等式与不等式的性质、一元二次不等式 （复习讲义）（解析版） 2026-2027学年高三一轮复习数学 5 大题型 · 28 题 · 03 精讲 12 题 · 05 分层 16 题 目　录 01　考情解码·命题预警 2 02　知识梳理 3 03　题型精讲 5 题型一　不等式的性质与大小比较 5 题型二　一元二次不等式的解法 7 题型三　三个二次的关系与参数  重  9 题型四　恒成立与存在性问题  重  10 题型五　整数解与综合应用  难  12 04　易错核对 14 05　分层练习 14 使用说明 • 本讲义共 28 题：03 精讲 12 题（5 个题型，配典例及变式），05 分层 16 题（A 6／B 5／C 5）。 • 原卷版用于课堂演练与限时训练，解析版逐题给出答案与详解（部分题附分析）。 • 建议顺序：02 知识梳理 → 03 题型精讲 → 04 易错核对 → 05 分层练习。 题型地图 题型 核心方法 题号 题型一　不等式的性质与大小比较 比较大小用作差；乘负数不等号方向要改变；拿不准的选项代入特殊值 01—03 题型二　一元二次不等式的解法 二次项系数化为正；「大于取两边、小于取中间」；含参先分类 04—05 题型三　三个二次的关系与参数 解集端点就是方程的根，用根与系数关系求系数；先由解集形状判断 的符号 06—08 题型四　恒成立与存在性问题 在 上恒成立先验证 再用 ；区间上恒成立转化为最值 09—10 题型五　整数解与综合应用 数轴标整数点，由端点落点列不等式；端点含不含整数单独检验 11—12 05 分层练习按 A 基础、B 提升、C 综合编排，题号接 03 之后连续编号。 01　考情解码·命题预警 本讲复习定位：等式与不等式的性质、一元二次不等式在高考中以选择题、填空题为主，也常作为解答题的第一问或集合、函数问题的工具，覆盖面广、失分点集中。一轮复习要练成四个条件反射：一是比较大小先作差、再判断符号，判断选项优先想性质、拿不准就代特殊值；二是解一元二次不等式先把二次项系数化为正，再因式分解求根、按口诀写解集；三是已知解集反求参数时，先由解集形状判断 的符号，再用 ；四是恒成立问题先验证 ，再用 或分离参数转最值。 考查要求 方法与条件 常见设问 会用不等式的性质和作差法判断大小关系 同向可加；乘正数与乘负数方向不同；倒数、乘方的条件；作差、通分、配方判断符号；特殊值排除 第01、02、03、15、16、19、26题 会解一元二次不等式，含参时会分类讨论 化二次项系数为正；因式分解求根；「大于取两边、小于取中间」；二次项系数为 、两根大小分类 第04、05、13、22、23、25、28题 会用三个二次的关系由解集求参数，再解新不等式 解集端点＝方程的根；；由解集形状判断 的符号 第06、07、08、14、18、20、23、24题 会解决恒成立与存在性问题 上恒成立用 （先验 ）；区间上分离参数转最值；恒成立与存在成立的最值方向相反 第09、10、21、22、25、27、28题 会处理整数解个数与综合问题 解集用参数表示；数轴标整数点；端点落点列不等式组；多个条件取交集 第11、12题 命题预警 • 同向不等式可以相加（同向正数还可相乘），不能直接相减、相除；乘（除）以负数时不等号方向要改变；拿不准的选项代入特殊值检验。 • 解一元二次不等式前先把二次项系数化为正；含参时先看二次项系数是否为 ，再比较两根的大小。 • 由解集反求系数时，先由解集的形状判断 的符号；约去 时不等号方向要随 的符号而定。 • 在 上恒成立要单独验证 ；区间上的恒成立、存在成立转化为最值时，注意最值能不能取到。 复习建议：每道题先问三句话——「二次项系数是正是负、是不是可能为 」「解集或不等号方向由谁决定」「参数范围的端点能不能取到」；三问答完，方法基本就定了。含参题求出参数后一定回代检验，写解集时按各种情形分别写出。 02　知识梳理 按「不等式的性质与大小比较—一元二次不等式的解法—三个二次的关系—恒成立与存在性—整数解与综合」五块整理，顺序同教材 2.1、2.3，与 03 的五个题型一一对应；每条都给出定义、判断方法与典型错处。 一、不等式的性质与大小比较（2.1） • 实数大小比较：；；。比较两式的大小，就是判断它们的差的符号；常用通分、因式分解、配方把差变成乘积或平方形式。 • 不等式的基本性质：① 对称性 ；② 传递性 ；③ 可加性 ；④ 可乘性 ，；⑤ 同向可加 ；⑥ 同向正数可乘 ；⑦ 乘方 （）。 • 倒数： 且 时 ； 且 时 。用倒数性质前先看 同号还是异号。 • 求代数式的范围：由 求 的范围用同向相加；求 要先写成 再与 的范围相加，不能直接相减。 • 易错：同向不等式不能相减、相除；乘（除）以含字母的式子前要判断符号；由 推 需要 （如 ）。 二、一元二次不等式的解法（2.3） • 一元二次不等式：形如 （或 ）（）的不等式。二次函数 的图象与 轴交点的横坐标就是对应方程的根，解集由图象在 轴上方或下方的范围读出。 • 判别式与解集（）： 时方程有两根 ： 的解集是 ， 的解集是 ； 时 的解集是 ， 的解集是 ； 时 的解集是 ， 的解集是 。 • 解题步骤：① 化二次项系数为正（为负时两边同乘 ，不等号方向改变）；② 求对应方程的根（因式分解或判别式）；③ 画简图或用口诀「大于取两边、小于取中间」写出解集；不等号带等号时端点取得到。 • 含参数的分类：① 看二次项系数是否为 （为 时退化成一次不等式）；② 时看能否因式分解或看 ；③ 能分解时比较两根大小，如 ，按 、、 分类。 • 易错：二次项系数为负时直接套口诀；两根大小不分类；解集写成互相矛盾的形式；漏掉二次项系数为 的情形。 三、三个二次的关系与参数（2.3） • 三个二次：二次函数 的零点就是方程 的实根，也是不等式 （）解集的端点。 • 由解集反求系数：若 的解集是 ，则 ，且 是方程的两根，；若解集是 ，则 。 • 分解写法：设解集为 ，则 ，直接展开比较系数，比先解方程更快。 • 求新的不等式的解集：已知 的解集，求 的解集——先用根与系数关系把 写成 的倍数，约去 时按 的符号决定不等号方向，再解新的不等式。 • 易错：忘记由解集形状判断 的符号；根与系数关系写成 （漏负号）；约去 时不等号方向没有随 改变。 四、恒成立与存在性问题（2.3） • 在 上恒成立： 对一切 成立，当 时等价于 且 ； 恒成立等价于 且 。二次项系数含参数时，必须单独验证 。 • 解集为 或 ： 的解集为 就是它恒成立；解集为 就是 恒成立。 • 分离参数法：区间上 恒成立等价于 ， 恒成立等价于 ；存在成立则相反： 有解等价于 ， 有解等价于 。分离时除以含 的式子要先确定符号。 • 图象法：在区间 上 恒成立， 时比较对称轴 与区间：轴在区间左侧看 ，轴在区间内看顶点，轴在区间右侧看 。 • 易错：漏讨论 ；把「恒成立」与「有解」的最值方向搞反；最值取不到时仍写等号；分离参数时除以可能为负的数而不改变号。 五、整数解与综合应用（2.3） • 整数解问题：先解不等式得到解集，再数其中的整数。含参时解集的端点是参数的式子，要在数轴上标出整数点，让端点落在合适的两个整数之间。 • 恰有 个整数：解集是区间时，其中的整数是连续的。例如解集 恰含整数 ，则 ；左端点同理，端点为整数时要检验取不取。 • 综合问题的拆法：把条件分别化成「解集」「恒成立」「根与系数」三类，逐类求出范围后取交集。 • 易错：端点是否含整数不检验；区间方向看反；参数分类漏掉两根相等的情形。 03　题型精讲 按解法分 5 个题型，与配套专项训练同名同序。每个题型先给「考查重点」与方法条件，再以典例完整展示过程，必要时配变式训练；解析版给出完整答案与详解（部分题附分析）。 题型一　不等式的性质与大小比较（共3题） 考查重点　考查不等式的基本性质（同向可加、乘正数与乘负数方向不同、倒数与乘方的条件）、作差比较大小，以及用特殊值排除选项。 【方法条件】 • 作差比较：先作差 ，再变形（通分、因式分解、配方）判断符号；，。 • 判断选项真假：先想性质——同向不等式可相加；两边同乘正数方向不变、同乘负数方向改变；取倒数要先看 同号还是异号。拿不准就代入一组特殊值推翻，如取 。 • 分式比较：，符号由 、、、 的正负共同决定（糖水不等式的来源）。 • 条件里隐含的符号要逐条核对： 的正负、 是否同号、分母是否为 ，漏掉任何一条都可能误判。 【典例1】 01．（26-27高三上·福建三明·阶段检测）已知，则下列不等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质，通过作差法逐一判断各选项即可. 【详解】对于A：由，两边同乘正数得，再同乘正数得，故A错误； 对于B：因为，因为， 所以，即，所以，故B错误； 对于C：因为，因为， 所以，即，所以，故C错误； 对于D：因为，因为，所以，即，所以，故D正确. 【典例2】 02．（26-27高三上·山东日照·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】ACD 【详解】对于A，若，则．若，则． 故，A正确； 对于B，若，，满足，则，B错误； 对于C，若，则，，C正确； 对于D，若，，则，， 故，即，D正确． 【变式1】 03．（26-27高三上·福建龙岩·阶段检测）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】选项A，利用不等式的性质求解；选项B，利用作差法求解；选项C，利用作差法求解；选项D，利用作差法求解. 【详解】选项A，因为，所以，因为，所以，得， 与不相符，故选项A错误； 选项B，，因为，所以， 则，即，即，与不相符，故选项B错误； 选项C， ， 因为，所以， 则，即， 即，故选项C正确； 选项D，， 因为，所以， 所以，即，与不相符，故选项D错误. 题型二　一元二次不等式的解法（共2题） 考查重点　考查一元二次不等式的解法：因式分解求根、按判别式与开口方向写解集，含参时对二次项系数、判别式与两根大小分类讨论。 【方法条件】 • 先化成标准形 （或 ）且二次项系数 ，能因式分解的先分解，求出对应方程的根。 • 时： 的解集在两根之外， 的解集在两根之间；方程无实根时，按判别式 判断解集是 还是 。 • 含参数的不等式：先问二次项系数是否为 ，再分 、；能因式分解的比较两根大小，如 ，按 、、 分类，各情形分别写出解集，不能合并。 • 解集一律写成集合或区间；端点取不取由不等号是否带等号决定。 【典例1】 04．（26-27高三上·江苏宿迁·阶段检测）已知关于x的不等式. (1)若不等式的解集是，求实数的值; (2)解关于x的不等式. 【答案】(1) (2) 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【分析】（1）根据给定条件，利用三个“二次”的关系求出值. （2）按照，和，分类讨论求解不等式即得. 【详解】（1）依题意，是方程的两个实根， 而化为，解得或，则， 所以实数的值为. （2）不等式化为， 方程的解为或， 当时，解不等式得； 当时，原不等式可化为，该不等式的解集为； 当时，解不等式得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【典例2】 05．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）对于实数，关于x的不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】分、和，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】当时，则有，显然不成立， 此时原不等式的解集为，故A正确； 当时，原不等式即为， 当时，不等式，即为， 其解集为，故B正确； 当时，不等式，即为， 不等式的解集为，故D正确. 题型三　三个二次的关系与参数（共3题）  重  考查重点　考查一元二次不等式、二次函数、一元二次方程三者的关系：由已知解集反求系数，再解新的不等式。 【方法条件】 • 已知解集求参数：解集的端点是对应方程的根。先由解集形状判断 的符号（ 的解集在两根之间 则 ，在两根之外则 ），再用 求 。 • 只能求出比值时（如 ）直接代入新的不等式，约去 时按 的符号决定不等号方向——这是本型最常见的错点。 • 解集形如 ：说明对应方程只有一个实根（），并要求 的符号与不等号方向相容。 • 也可借二次函数图象理解：解集就是图象在 轴上方（或下方）的那部分 的范围，零点、对称轴、开口方向三者联系起来看。 【典例1】 06．（26-27高三上·甘肃·阶段检测）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一元二次不等式的解集确定的符号以及与的等量关系，再代入所求不等式化简求解即可. 【详解】 因为不等式的解集为， 所以，且方程的两个实根为，， 根据韦达定理得，所以，即， 则不等式，即为，即， 由于，因此，解得， 即不等式的解集为. 【典例2】 07．（2026·甘肃天水·模拟预测）已知关于的不等式的解集为． (1)求，的值； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)， (2)． 【详解】（1）由题意知，不等式对应的方程的两个实数根为2和3， 由根与系数的关系，得， 解得，. （2）由，知不等式可化为， 即，解得， 所以所求不等式的解集为． 【变式1】 08．（26-27高一上·重庆·阶段检测）已知一元二次不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】关于的不等式的解集为 则且关于的方程的根为，， 则，解之得， 故等价于， 等价于，等价于， 解得， 故的解集为. 题型四　恒成立与存在性问题（共2题）  重  考查重点　考查一元二次不等式在 上恒成立（用 判断）以及在区间上恒成立、存在成立（分离参数转最值或用图象法）。 【方法条件】 • 在 上恒成立： 恒成立等价于 且 （另需单独验证 是否成立）； 恒成立等价于 且 （同样验证 ）。 • 区间上恒成立：把参数分离，化成 或 ，再转成 在该区间上的最大值或最小值；不好分离时用二次函数图象，比较对称轴与区间的位置。 • 恒成立与存在成立相反： 成立等价于 ； 成立 等价于 。把不等号方向相反的情形对应换成另一端的最值。 • 最值能否取到决定参数端点带不带等号，写出范围前把端点回代检验一次。 【典例1】 09．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）若关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】先讨论不等式的二次项系数是否为0，若不为0，利用一元二次不等式恒成立即可求解. 【详解】时，即，满足条件； 时，需满足，解得； 综上所述：的取值范围是. 【典例2】 10．（25-26高二下·天津宝坻·期末）设函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二次不等式解法结合题设可得答案； （2）问题等价于恒成立，然后分，两种情况可得答案. 【详解】（1）由函数， 若，可得， 又由，即不等式， 即，所以不等式的解集为； （2）由对任意实数x恒成立，等价于恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意． 当，则满足，即， 解得，所以的取值范围是． 题型五　整数解与综合应用（共2题）  难  考查重点　考查解集中整数解个数问题，以及把解集、恒成立、根与系数等条件综合运用。 【方法条件】 • 整数解个数：先把解集用参数表示（必要时分类），再在数轴上标出整数点，端点落在哪两个相邻整数之间，就决定了参数的范围。 • 解集是区间时，其中的整数必然连续。例如解集为 且恰含整数 ，则 ；端点是否取到要单独检验。 • 综合题先把各条件分别化成已学的三类问题（解集、恒成立、根与系数关系），逐一求出范围后取交集。 【典例1】 11．（25-26高二下·广东梅州·期末）若关于的不等式的解集中恰有4个整数，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按 、、 三种情形讨论.当 时由判别式求出两根，得解集 ，再由其中恰有 4 个整数列出关于 的不等式组，即得 的范围. 【详解】当 时，原不等式化为 ，即 ，解集中有无数个整数，不合题意. 当 时，二次函数 的图象开口向下，不等式解集为小于较小根或大于较大根的两段，含无数个整数，不合题意. 当 时，判别式 ，方程 的两根为 ，即 ，. 由于 ，抛物线开口向上，解集为 ，其中的整数自 起依次为 . 恰有 4 个整数需 ，即 ，解得 . 端点验证： 时解集为 ，恰含 共 4 个整数； 时解集为 ，只含 共 3 个整数，故 不能取. 所以 的取值范围是 . 【典例2】 12．（25-26高三上·湖南邵阳·期中）已知函数（），若非空集合，且，则下列说法中正确的是（   ） A．n的取值与m有关 B．n为定值 C． D． 【答案】B 【分析】先通过换元将集合转化为关于的不等式，再利用建立方程和不等式，解得的值和的范围，最后判断各项正误. 【详解】令 则不等式化为， 设的解集为， 即，， 即， 所以， 又，且， 所以，且， 故，且， 则， 解得， 故错误，正确； 故， 因为集合非空， 则有解， 则， 解得或； 因为是方程的两个根， 即是方程的两根， 则， 故, 解得， 故， 故错误，错误. 故选： 04　易错核对 以下 8 条来自本讲题目的常见失分点，每条给出典型表现、纠正方法和对应题号；做题时先对照，再回看原题；「对应题」只列本讲中最相关的几道，其余题也可按此自查。 序号 易错点 典型表现与纠正 对应题 易错一 同向不等式相减或相除 由 、 想当然得 。同向不等式可以相加（同向正数还可相乘），但不能直接相减、相除；纠正：拿不准就代入特例，如 时 。 第02、19题 易错二 乘（除）负数不改变不等号方向 且 时 ；取倒数还要先看 同号还是异号。纠正：每次两边乘（除）一个数之前，先写出它的符号。 第01、03、15、16题 易错三 作差后不判断符号就下结论 比较大小时只化简、不说明各因式的正负。纠正：把差写成「正数×正数」或「平方」的形式，再逐项说明符号。 第19、26题 易错四 含参不等式漏分类 漏掉二次项系数为 ，或两根大小不分类。纠正：先看 ，再按 、，能分解时按两根的大小关系分类，最后各情形分别写解集。 第04、05、23、28题 易错五 二次项系数为负时直接套「大于取两边」 时口诀方向相反。纠正：先两边同乘 把二次项系数化为正，不等号方向同时改变，再写解集。 第05、06、07、08题 易错六 由解集反求系数时 的符号判断错 解集在两根之间对应 （不等号为 时），在两根之外对应 ；约去 时不等号方向要随 的符号改变。纠正：先写 的符号，再用 。 第06、07、08、20题 易错七 恒成立问题漏讨论二次项系数为 直接用 而忘了 时不等式退化成常数，可能成立也可能不成立。纠正：先单独验证 ，再讨论 的 。 第09、21、25、28题 易错八 整数解问题端点不检验 解集端点是否含整数、是否取得到，直接决定参数范围的开闭。纠正：求出范围后把端点回代，逐个核对整数点的个数。 第11题 05　分层练习 另选一批题，按 A 基础、B 提升、C 综合三层编排，与 03 不重复，题号接 03 之后连续编号。 A　基础达标（6题，建议用时约 15 分钟） 13．（26-27高一上·江苏徐州·阶段检测）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以原不等式等价于， 因为二次函数的图象开口向上， 所以不等式的解为或，对应区间为. 14．（25-26高二下·天津滨海新区·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则实数的值为_________． 【答案】3 【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系以及韦达定理可求解. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以和是方程的两个实数根， 则由韦达定理可得，解得：. 15．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）若，，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，取，则，故A错误； 对于B，由于，所以，故B错误； 对于C，由可得，又，所以，故C正确； 对于D，由于且，所以，故D错误. 16．（26-27高三上·北京海淀·开学考试）设，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过举特例可判断选项正误；对于C，由题设结合作差法可判断选项正误；对于D，先去掉绝对值，再由作差法可判断选项正误. 【详解】对于A，取，则，故A错误； 对于B，取，则，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，， 又，则，故D正确． 17．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）设、，若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为________． 【答案】 【详解】关于的不等式的解集为，可知且，即，代入不等式得，解得，即解集为(−1,2). 18．（26-27高三上·山西·阶段检测）若关于的一元二次不等式的解集为，则______． 【答案】/ 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以对应的一元二次方程 有且仅有一个解，且， 所以，解得， 代入一元二次方程得，解得，所以，所以． B　能力提升（5题，建议用时约 20 分钟） 19．（25-26高三上·甘肃陇南·阶段检测）用不等号“＞”或“＜”填空． ①如果，那么______； ②如果，那么______； ③如果，那么______． 【答案】 【分析】根据不等式的性质，利用作差法计算求解． 【详解】①，， ， ，即； ②， ，，， ，即； ③， ， ， ，即， 故答案为：． 20．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B．的解集为 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用三个二次的关系，结合韦达定理用表示，再逐项判断即得. 【详解】由不等式的解集为或， 得是方程的两个实根，且， 则，即，ACD正确； 不等式，解得，B错误. 21．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】分和两类情况，结合不等式对应的二次函数的图像可得实数的取值范围. 【详解】当时，不等式为，显然恒成立，符合题意； 当时， 因为关于的不等式对任意恒成立， 所以二次函数的图像在轴的下方， 所以，解得， 综上，可得的取值范围是． 故答案为： 22．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. (2) 【分析】（1）由题意得，结合方程的两根即可求得答案； （2）法一：利用分离参数法得对于恒成立，恒成立，求 的最小值即可求解； 法二：对不等式转化可得，对于恒成立，令，分别讨论对称轴在区间的位置结合单调性即可求解. 【详解】（1）依题意可得：，即， 其对应方程的两根为， 当，即时，不等式的解集为或； 当，即时，解集为R； 当，即时，不等式的解集为或； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. （2）（1）法一：因为，所以对于恒成立， 因为，所以，因此恒成立. 即. 令，则， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，时取等号. 故，所以. 即实数的取值范围为. 法二：因为，所以， 即对于恒成立， 令，对称轴， 当时，即时， 函数在上单调递增，所以，因此， 又因为，所以. 当时，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，因此， 又因为，所以， 当时，即时， 函数在上单调递减，所以， 因此，又因为，所以不存在. 综上：. 23．（26-27高三上·北京石景山·阶段检测）（1）若不等式的解集为，求不等式的解集. （2）解关于x的不等式(). 【答案】（1）； （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理求出参数，再代入求解目标不等式； （2）对参数进行分类讨论，结合因式分解和根的大小关系确定不等式的解集. 【详解】（1）不等式的解集为， 得、是一元二次方程的两个根， 则，解得. ，即，解得； 不等式的解集为. （2）当时，，解得； 当时，. 令，解得，. 当时，，由，解得； 当时，，由，解得或； 当时，，由，解得； 当时，，由，解得或； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. C　综合拓展（5题，建议用时约 30 分钟） 24．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】作出函数的图象，知，讨论和，数形结合求参数值． 【详解】由，函数的图象如下， 所以， 若，则不等式的解集是不连续的两段区域，不合题意， 所以，此时恒成立， 因为不等式的解集为， 所以，，即， 由，得或4， 若，则，解得或，不合题意， 所以，此时，则. 25．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）已知函数. (1)若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； (2)当时，解关于的不等式. 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【分析】（1）先考虑的情况，再考虑的情况即可； （2）先进行因式分解，然后求出对应方程的两个根，再对分类讨论求出不同情况下的不等式的解集即可. 【详解】（1）的解集是实数集，则该不等式在上恒成立. 当时，，则，解集不是实数集，故排除. 当时，要使的解集为，必须满足抛物线开口向上且与 轴最多有一个交点，即： ，，即， 解得，综合，可得，即. （2）， 不等式两边同时除以，，. 这是一个开口向上的二次不等式，解集在两根之外， 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为. 26．（25-26高一上·江苏苏州·期中）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜，于是得出“糖水不等式”：.根据“糖水不等式”等知识判断，下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，且，则 C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 【答案】ACD 【分析】对A，利用作差法比较；对B，举反例说明；对CD，根据糖水不等式可依次判断. 【详解】对于A，， ，即，故A正确； 对于B，当，时，，，故B错误； 对于C，由题，，则， ， 又，所以，故C正确； 对于D，，，， ，故D正确. 故选：ACD. 27．（26-27高三上·甘肃兰州·阶段检测）已知函数，，. (1)当时，若对于任意，，恒成立，求的取值范围； (2)若存在，使得与同时成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双变量恒成立的条件，判断出在上的最小值大于在上的最大值，进而根据函数单调性，求出函数在定义域内的最值，列出不等式，求出参数的范围； （2）根据不等式存在成立的条件，由二次不等式的性质，求出参数的范围，分别进行讨论，判断不等式存在成立时的最值情况，根据参数范围，求出在区间内的单调性和最值，判断是否符合题意，求出结果. 【详解】（1）对于任意，，恒成立，即在上的最小值大于在上的最大值， 可知在时，函数在上单调递增，在上的最大值为， 函数的对称轴为， 当，函数在上单调递增，最小值为， 此时有，解得，此时的取值范围， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，最小值为， 此时有，解得，此时的取值范围， 当，函数在上单调递减，最小值为， 此时有，解得，此时无解， 综上所述，的取值范围. （2）存在，成立，由，可得，解得或， 当时，，解得， 若存在，使得与同时成立，即在有解，即当时，在上的最小值为负数， 函数的对称轴为，在时，在上单调递增，最小值为不符合题意； 当时，，解得， 若存在，使得与同时成立，即在有解，即当时，在上的最小值为负数， 函数的对称轴为，在时，在上单调递减，最小值为，符合题意； 综上所述，的取值范围. 28．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于x的不等式； (3)当时，若，对，，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为当，不等式的解集为. (3) 【分析】（1）根据题意，得到不等式，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据题意，转化为，结合含参数的一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解； （3）根据题意，转化为函数在上的最小值大于在上的最大值，结合二次函数与一次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）当时，不等式，即为， 由方程，可得， 可得方程有两个不同的实数根，分别为， 即不等式为，解得， 即不等式的解集为. （2）由不等式，即为， 整理得， 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为 ①当时，不等式即为，因为，解得； ②当时，不等式即为， （i）若，即，解得或； （ii）若，即，不等式化为，解得； （iii）若，即，解得或； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 当，不等式的解集为. （3）当时，对，，不等式恒成立， 等价于求解函数在上的最小值大于在上的最大值， 当时，函数的图像开口向上，对称轴为， 所以， 因为函数在区间上为单调递减函数， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $