第3讲 等式与不等式的性质讲义（2考点+5题型）-2027届高三数学一轮复习

第3讲 等式与不等式的性质 目录 Part 1 考点突破 考点1：比较大小的基本方法 考点2：不等式的性质 Part2 题型探究 题型1：不等式性质的应用 题型2：比较数（式）的大小与比较法证明不等式 题型3：已知不等式的关系，求目标式的取值范围 题型4：不等式的综合问题 题型5：糖水不等式 Part3 分层通关 Part 1 考点突破 【考点1：比较大小的基本方法】 1.应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率． 2.比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性． 比较法又分为作差比较法和作商比较法． 作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论． 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论． 其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小． 【考点2：不等式的性质】 不等式的基本性质是解决不等式问题的依据，下面这些性质在 a>b 时恒成立： （1）对称性：ab； （2）传递性：若 a>b，b>c，则 a>c； （3）加法：若 a>b，则 a+c>b+c（同向不等式可相加）； （4）乘法：若 a>b，c>0，则 ac>bc；若 a>b，c<0，则 ac<bc（乘负数要变号）； （5）加法保序：若 a>b，c>d，则 a+c>b+d； （6）乘法保序：若 a>b>0，c>d>0，则 ac>bd； （7）乘方：若 a>b>0，n∈N* 且 n≥2，则 aⁿ>bⁿ； （8）开方：若 a>b>0，n∈N* 且 n≥2，则 ⁿ√a>ⁿ√b。 用性质判断不等式，先看两边做了什么运算，再看符号方向；乘或除以负数时最容易漏掉变号，这是第一个要检查的地方。 【例1】（2026春•衡阳县校级期中）下列不等式中成立的是（　　） A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则 【答案】B 【分析】利用不等式的基本性质即可得出． 【解析】解：A．c＝0时不成立； B．成立． C．a＜b＜0，则a2＞ab＞b2．因此不成立． D．a＜b＜0，则．因此不成立． 故选：B． 【例2】（2026•新华区校级开学）设a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式恒成立的是（　　） A．a﹣b＜c﹣d B．ac＜bd C．ac＞bd D． 【答案】D 【分析】结合特殊值法，以及作差法，即可求解． 【解析】解：取a＝10，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞0＞c＞d， 但a﹣b＝9，c﹣d＝1，所以a﹣b＞c﹣d，此时A不成立； 取a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣10，则ac＝﹣2，bd＝﹣10，所以ac＞bd，此时B不成立； 取a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣10，则，bd＝1，所以ac＜bd，此时C不成立； ， a﹣d＞0，b﹣a＜0，， 故恒成立，故D正确． 故选：D． Part 2 题型探究 【题型1：不等式性质的应用】 【例1】已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，然后对选项一一分析即可得出答案. 【解析】由可知，所以，所以错误； 因为，但无法判定与1的大小，所以B错误； 当时，，故D错误； 因为，所以，故C正确. 故选：C. 【变式1】如果，那么下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质判断A、B，再根据指数函数的性质判断C，根据对数函数的性质判断D； 【解析】解：因为，所以，故A错误； 因为，所以，故B错误； 因为，且在定义域上单调递减，所以，故C错误； 因为，且在定义域上单调递增，所以，故D正确； 故选：D 【题型2：比较数（式）的大小与比较法证明不等式】 【例2】若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差比较法及不等式的性质逐项判断即可求解. 【解析】对于A，，因为，所以， 所以，即，于是有故A错误； 对于B，因为， 因为，所以，但与的大小不确定，故不一定成立，故B错误； 对于C，因为，因为，所以，所以，即，于是有，故C正确； 对于D，因为，因为，所以，所以，即，于是有，故D错误. 故选：C. 【变式2】设、为实数，比较两式的值的大小：_______ （用符号或=填入划线部分）． 【答案】 【分析】利用作差比较法求得正确答案. 【解析】因为，时等号成立， 所以． 故答案为： 【题型3：已知不等式的关系，求目标式的取值范围】 【例3】已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解. 【解析】设， 所以，解得，所以， 又，所以，故A，C，D错误. 故选：B. 【变式3】（2025·全国·高三专题练习）已知，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的性质求解 【解析】， 故，，得 故选：C 【题型4：不等式的综合问题】 【例4】若正实数满足,且,则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性及得到或,分别讨论两种情况下四个选项是否正确,A选项可以用对数函数单调性得到,B选项可以用作差法,C选项用作差法及指数函数单调性进行求解,D选项,需要构造函数进行求解. 【解析】因为,为单调递增函数,故,由于,故,或， 当时,,则，此时； ,故; ,即,所以; 当时,,则,此时, ,故; ,即,所以; 故ABC均错误; 对于D选项,,两边取自然对数,, 因为不管,还是,均有, 所以, 故只需证即可. 设(且),则, 令(且), 则, 当时,,当时,,所以, 所以在且上恒成立, 故(且)单调递减, 因为,所以,结论得证,所以D正确. 故选:D. 【变式4】（2026·全国·高三专题练习）已知正实数x，y满足，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用特殊值判断AC，利用不等式性质及指数函数单调性判断B，根据排除法判断D. 【解析】取，则不成立，故A错误； 由，当时，，所以， 即，故B错误； 取时，，而， 所以，故C错误； 由ABC错误，排除法知，故D正确.故选：D 【题型5：糖水不等式】 【例5】（2025·江苏·模拟预测）已知糖水中含有糖()，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】依题意得到，再根据不等式的性质一一判断即可； 【解析】对于A，由题意可知，正确； 对于B，因为，所以，正确； 对于C，即，错误； 对于D，，正确. 故选：ABD 【变式5】（2025·山西·一模）我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜．这句话用数学符号可表示为：，其中，且a，b，．据此可以判断两个分数的大小关系，比如 （填“＞”“＜”）． 【答案】> 【分析】设、，类比题设的不等关系，判断两个分数的大小. 【解析】令，则， 令，则， 所以，， 根据题设知：. 故答案为：> Part 3 分层通关 【基础通关练】 1．（2026•苏州模拟）下列命题中正确的是（　　） A．若a＞b，则 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若|a|＞b，则a＞b D．若ac2＞bc2，则a＞b 【答案】D 【分析】通过举反例排除A、B、C三个错误选项，再结合不等式的基本性质判断D选项正确． 【解答】解：对于A：取a＝1，b＝﹣1，A错误； 对于B：若取a＝1，b＝﹣2，满足a＞b，但a2＝1＜b2＝4，故B错误； 对于C：若取a＝﹣3，b＝1，满足|a|＞b，但a＝﹣3＜1＝b，故C错误； 对于D：由ac2＞bc2可知c2≠0，即c2＞0，可得a＞b，故D正确． 故选：D． 2．（2026春•衡阳县校级期中）下列不等式中成立的是（　　） A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则 【答案】B 【分析】利用不等式的基本性质即可得出． 【解答】解：A．c＝0时不成立； B．成立． C．a＜b＜0，则a2＞ab＞b2．因此不成立． D．a＜b＜0，则．因此不成立． 故选：B． 3．（2025秋•安宁区校级期末）下列命题中正确的是（　　） A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＞b＞0，m＞0，则 D．若﹣1＜a＜5，2＜b＜3，则﹣4＜a﹣b＜3 【答案】D 【分析】通过举反例排除A，B两项；利用作差法判断C项，结论错误；运用不等式的性质可推理得到D项结论． 【解答】解：对于A，若a＞b，当c＝0时，则ac2＝bc2，故A错误； 对于B，若a＝﹣2，b＝﹣3，满足a＞b，但a2＜b2，故B错误； 对于C，因a＞b＞0，m＞0，由，可得，故C错误； 对于D，由2＜b＜3，得﹣3＜﹣b＜﹣2，因﹣1＜a＜5，则﹣4＜a﹣b＜3，故D正确． 故选：D． 4．（2026秋•信阳校级月考）已知a＞b＞c，2a+b+c＝0，则的取值范围是（　　） A．（﹣3，﹣1） B．[﹣3，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣3，﹣1] 【答案】A 【分析】使用不等式的性质求解． 【解答】解：因为a＞b＞c，2a+b+c＝0，所以a＞0，c＜0， 因为a＞b＞c，所以﹣2a﹣c＜a，即3a＞﹣c，得， 将b＝﹣2a﹣c代入b＞c中，得﹣2a﹣c＞c，即a＜﹣c，得， 所以． 故选：A． 5．（2026•新华区校级开学）设a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式恒成立的是（　　） A．a﹣b＜c﹣d B．ac＜bd C．ac＞bd D． 【答案】D 【分析】结合特殊值法，以及作差法，即可求解． 【解答】解：取a＝10，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞0＞c＞d， 但a﹣b＝9，c﹣d＝1，所以a﹣b＞c﹣d，此时A不成立； 取a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣10，则ac＝﹣2，bd＝﹣10，所以ac＞bd，此时B不成立； 取a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣10，则，bd＝1，所以ac＜bd，此时C不成立； ， a﹣d＞0，b﹣a＜0，， 故恒成立，故D正确． 故选：D． 6．（2026秋•门头沟区月考）在潭柘寺AI+AR智慧文旅体验活动中，已知青年游客人数多于中年游客人数，中年游客人数多于老年游客人数，老年游客人数的两倍多于青年游客人数，那么下列选项中一定成立的是（　　） A．青年游客人数与中年游客人数之和多于老年游客人数的三倍 B．青年游客人数与老年游客人数之和多于中年游客人数的两倍 C．中年游客人数与老年游客人数之和多于青年游客人数 D．青年游客人数的两倍与老年游客人数之和多于中年游客人数的三倍 【答案】C 【分析】设青年、中年、老年游客人数分别为正整数x，y，z，将题干条件转化为不等式组：x＞y，y＞z，2z＞x，代入特殊值验证，可以判断选项A、B、D；由y＞z可得y+z＞2z，进而可得y+z＞2z＞x，可以判断C． 【解答】解：设青年、中年、老年游客人数分别为正整数x，y，z， 对于A：若z＝3，y＝4，x＝5，满足所有题干条件，此时x+y＝9＝3z，不满足“多于三倍”，故A选项错误； 对于B：若z＝3，y＝4，x＝5，x+z＝8＝2y，不满足“多于两倍”，故B选项错误； 对于C：由y＞z可得y+z＞z+z＝2z，又x＜2z，因此y+z＞2z＞x， 即y+z＞x恒成立，故C选项正确； 对于D：若z＝4，y＝6，x＝7，满足4＜6＜7＜8，此时2x+z＝18＝3y， 不满足“多于三倍”，故D选项错误． 故选：C． 7．（2026春•方城县校级月考）已知实数x，y满足1≤x+y≤4，﹣1≤x﹣y≤2，则4x﹣2y的取值范围是（　　） A．﹣4≤4x﹣2y≤10 B．﹣3≤4x﹣2y≤6 C．﹣5≤4x﹣2y≤13 D．﹣2≤4x﹣2y≤10 【答案】D 【分析】利用待定系数法，结合不等式的基本性质可求得4x﹣2y的取值范围． 【解答】解：设4x﹣2y＝m（x+y）+n（x﹣y），则（m+n）x+（m﹣n）y＝4x﹣2y， 所以解得即4x﹣2y＝（x+y）+3（x﹣y）， 因为则 因此﹣2≤4x﹣2y＝（x+y）+3（x﹣y）≤10． 故选：D． 8．（2026秋•浦东新区校级月考）不论实数m取什么值，点P（m+1，2﹣m）一定不在第_____象限．（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据直角坐标系中点的特征并分类讨论即可得到答案． 【解答】解：当m+1＞0，2﹣m＞0时，解得：﹣1＜m＜2，此时点P在第一象限； 当m+1＜0，2﹣m＞0时，解得：m＜﹣1，此时点P在第二象限； 当m+1＜0，2﹣m＜0时，m无解，此时点P不可能在第三象限； 当m+1＞0，2﹣m＜0时，解得：m＞2，此时点P在第四象限． 故选：C． 9．（2026秋•环县校级月考）《九章算术》中有一道“雀燕集称之衡”问题：“今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问雀、燕一枚各重几何？”题意是：现有5只雀，6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重．聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻．若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤（注：中国古代1斤＝16两）．则1只雀和1只燕分别重多少？若假设每只雀、燕的重量分别为x，y两，根据题意，列出的方程组可为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者重量相同，已知5只雀和6只燕的总重量为1斤，据此列出方程组即可． 【解答】解：根据题意可得方程组为． 故选：A． 10．（2025秋•德州校级期末）甲乙两位同学求方程组的解集A时，甲因看错了m解得，乙因看错了n解得A＝{（3，﹣7）}，则m，n的值分别为（　　） A．﹣4，3 B．4，3 C．﹣3，4 D．3，4 【答案】B 【分析】结合等式性质即可求解． 【解答】解：甲看错m，把代入2x﹣ny＝13，得7+2n＝13，解得n＝3． 乙看错n，把x＝3，y＝﹣7代入mx+y＝5，得3m﹣7＝5，解得m＝4． 综上，m＝4，n＝3． 故选：B． 【提升通关练】 11．（2026•石景山区二模）已知实数a，b，c，d满足：a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是（　　） A．a+c＞b+d B．a﹣c＜b﹣d C．ab＞cd D．ac＞bd 【答案】A 【分析】根据不等式的性质即可判断A的正误；举反例即可判断BCD的正误． 【解答】解：因为a＞b，c＞d，所以a+c＞b+d，A正确； 取a＝5，b＝2，c＝0，d＝﹣1，得出a﹣c＝5＞b﹣d＝3，B错误； 取a＝1，b＝0，c＝﹣1，d＝﹣2，则ab＜cd，ac＜bd，CD错误． 故选：A． 12．（2026春•杨浦区期中）已知△ABC中，A＜B，则下列选项不一定成立的是（　　） A．a＜b B．sinA＜sinB C．cosA＞cosB D．tanA＜tanB 【答案】D 【分析】根据三角形中的角与边的关系，结合三角函数的单调性，依次判断即可． 【解答】解：A：在三角形中，根据大角对大边的性质，由A＜B，得a＜b，故A成立； B：由选项A知A＜B，a＜b，又，所以sinA＜sinB，故B成立； C：因为0＜A＜B＜π，y＝cosx在（0，π）上递减，所以cosA＞cosB，故C成立； D：若B为钝角，且A为锐角，则tanB＜0，tanA＞0，此时tanA＜tanB不成立，故D不一定成立． 故选：D． 13．（2025秋•邢台月考）已知，则（　　） A．a＞b＞0 B．b＞a＞0 C．0＞a＞b D．0＞b＞a 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质判断得解． 【解答】解：因为，所以0＞b＞a． 故选：D． 14．（2025秋•内蒙古校级期末）若a＝x2+3x+5，b＝3x+4，则（　　） A．a＜b B．a＞b C．a＝b D．a，b的大小关系无法确定 【答案】B 【分析】结合作差法，即可求解． 【解答】解：a＝x2+3x+5，b＝3x+4， 则a﹣b＝x2+3x+5﹣（3x+4）＝x2+1＞0， 故a＞b． 故选：B． 15．（2026春•沧州月考）已知x＞y＞z＞0，记，，则（　　） A．M＜N B．M＝N C．M＞N D．以上都有可能 【答案】C 【分析】根据题意，利用作差法分析可得答案． 【解答】解：根据题意，，， 则， 因为x＞y＞z＞0，则x﹣y＞0，y﹣z＞0， 所以M﹣N＞0，即M＞N． 故选：C． 16．（2025秋•丽江校级期末）已知a1、a2∈（1，+∞），设P，Q1，则P与Q的大小关系为（　　） A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．不确定 【答案】C 【分析】利用作差法作出P﹣Q然后判断符号即可． 【解答】解：∵P，Q1， ∴P﹣Q1， ∵a1、a2∈（1，+∞）， ∴1﹣a1＜0，a2﹣1＞0， ∴P﹣Q＜0， 即P＜Q． 故选：C． 17．（2026•肥东县校级模拟）已知实数x，y满足x2+2log4x＝2y+log2y，则x，y的大小关系不可能是（　　） A．x＜y＜1 B．y＜x＜1 C．1＜x＜y D．1＜y＜x 【答案】A 【分析】令，可得0＜a＜2时，f（a）＜0，a＝2，f（a）＝0，a＞2时，f（a）＞0，结合图像可得当t＜5时，y＜x＜2，当t＝5时，y＝x＝2，当t＞5时，y＞x＞2，然后逐项判断即可． 【解答】解：令， ∴0＜a＜2时，f（a）＜0，即a2+2log4a＜2a+log2a， a＝2时，f（a）＝0，即a2+2log4a＝2a+log2a， a＞2时，f（x）＞0，即a2+2log4a＞2a+log2a， 又t＝u（a）＝a2+2log4a、t＝v（a）＝2a+log2a在（0，+∞）单调递增， 所以u（a）、v（a）的函数图像如下： 当t＜5时，y＜x＜2，当t＝5时，y＝x＝2，当t＞5时，y＞x＞2， 故x＜y＜1不可能成立． 故选：A． 18．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的定理都能够通过圆形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（　　） A．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） B． C．（a＞0，b＞0） D．（a＞0，b＞0） 【答案】C 【分析】由图形可知OFAB（a+b），OC（a﹣b），在Rt△OCF中，由勾股定理可求CF，结合CF≥OF即可得出． 【解答】解：由图形可知，OFAB（a+b），OC（a+b）﹣b（a﹣b）， 在Rt△OCF中，由勾股定理可得， CF， ∵CF≥OF， ∴（a+b， 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 等式与不等式的性质 目录 Part 1 考点突破 考点1：比较大小的基本方法 考点2：不等式的性质 Part2 题型探究 题型1：不等式性质的应用 题型2：比较数（式）的大小与比较法证明不等式 题型3：已知不等式的关系，求目标式的取值范围 题型4：不等式的综合问题 题型5：糖水不等式 Part3 分层通关 Part 1 考点突破 【考点1：比较大小的基本方法】 1.应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率． 2.比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性． 比较法又分为作差比较法和作商比较法． 作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论． 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论． 其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小． 【考点2：不等式的性质】 不等式的基本性质是解决不等式问题的依据，下面这些性质在 a>b 时恒成立： （1）对称性：ab； （2）传递性：若 a>b，b>c，则 a>c； （3）加法：若 a>b，则 a+c>b+c（同向不等式可相加）； （4）乘法：若 a>b，c>0，则 ac>bc；若 a>b，c<0，则 ac<bc（乘负数要变号）； （5）加法保序：若 a>b，c>d，则 a+c>b+d； （6）乘法保序：若 a>b>0，c>d>0，则 ac>bd； （7）乘方：若 a>b>0，n∈N* 且 n≥2，则 aⁿ>bⁿ； （8）开方：若 a>b>0，n∈N* 且 n≥2，则 ⁿ√a>ⁿ√b。 用性质判断不等式，先看两边做了什么运算，再看符号方向；乘或除以负数时最容易漏掉变号，这是第一个要检查的地方。 【例1】（2026春•衡阳县校级期中）下列不等式中成立的是（　　） A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则 【例2】（2026•新华区校级开学）设a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式恒成立的是（　　） A．a﹣b＜c﹣d B．ac＜bd C．ac＞bd D． Part 2 题型探究 【题型1：不等式性质的应用】 【例1】已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如果，那么下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【题型2：比较数（式）的大小与比较法证明不等式】 【例2】若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】设、为实数，比较两式的值的大小：_______ （用符号或=填入划线部分）． 【题型3：已知不等式的关系，求目标式的取值范围】 【例3】已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·全国·高三专题练习）已知，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【题型4：不等式的综合问题】 【例4】若正实数满足,且,则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2026·全国·高三专题练习）已知正实数x，y满足，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【题型5：糖水不等式】 【例5】（2025·江苏·模拟预测）已知糖水中含有糖()，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【变式5】（2025·山西·一模）我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜．这句话用数学符号可表示为：，其中，且a，b，．据此可以判断两个分数的大小关系，比如 （填“＞”“＜”）． Part 3 分层通关 【基础通关练】 1．（2026•苏州模拟）下列命题中正确的是（　　） A．若a＞b，则 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若|a|＞b，则a＞b D．若ac2＞bc2，则a＞b 2．（2026春•衡阳县校级期中）下列不等式中成立的是（　　） A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则 3．（2025秋•安宁区校级期末）下列命题中正确的是（　　） A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＞b＞0，m＞0，则 D．若﹣1＜a＜5，2＜b＜3，则﹣4＜a﹣b＜3 4．（2026秋•信阳校级月考）已知a＞b＞c，2a+b+c＝0，则的取值范围是（　　） A．（﹣3，﹣1） B．[﹣3，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣3，﹣1] 5．（2026•新华区校级开学）设a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式恒成立的是（　　） A．a﹣b＜c﹣d B．ac＜bd C．ac＞bd D． 6．（2026秋•门头沟区月考）在潭柘寺AI+AR智慧文旅体验活动中，已知青年游客人数多于中年游客人数，中年游客人数多于老年游客人数，老年游客人数的两倍多于青年游客人数，那么下列选项中一定成立的是（　　） A．青年游客人数与中年游客人数之和多于老年游客人数的三倍 B．青年游客人数与老年游客人数之和多于中年游客人数的两倍 C．中年游客人数与老年游客人数之和多于青年游客人数 D．青年游客人数的两倍与老年游客人数之和多于中年游客人数的三倍 7．（2026春•方城县校级月考）已知实数x，y满足1≤x+y≤4，﹣1≤x﹣y≤2，则4x﹣2y的取值范围是（　　） A．﹣4≤4x﹣2y≤10 B．﹣3≤4x﹣2y≤6 C．﹣5≤4x﹣2y≤13 D．﹣2≤4x﹣2y≤10 8．（2026秋•浦东新区校级月考）不论实数m取什么值，点P（m+1，2﹣m）一定不在第_____象限．（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．（2026秋•环县校级月考）《九章算术》中有一道“雀燕集称之衡”问题：“今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问雀、燕一枚各重几何？”题意是：现有5只雀，6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重．聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻．若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤（注：中国古代1斤＝16两）．则1只雀和1只燕分别重多少？若假设每只雀、燕的重量分别为x，y两，根据题意，列出的方程组可为（　　） A． B． C． D． 10．（2025秋•德州校级期末）甲乙两位同学求方程组的解集A时，甲因看错了m解得，乙因看错了n解得A＝{（3，﹣7）}，则m，n的值分别为（　　） A．﹣4，3 B．4，3 C．﹣3，4 D．3，4 【提升通关练】 11．（2026•石景山区二模）已知实数a，b，c，d满足：a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是（　　） A．a+c＞b+d B．a﹣c＜b﹣d C．ab＞cd D．ac＞bd 12．（2026春•杨浦区期中）已知△ABC中，A＜B，则下列选项不一定成立的是（　　） A．a＜b B．sinA＜sinB C．cosA＞cosB D．tanA＜tanB 13．（2025秋•邢台月考）已知，则（　　） A．a＞b＞0 B．b＞a＞0 C．0＞a＞b D．0＞b＞a 14．（2025秋•内蒙古校级期末）若a＝x2+3x+5，b＝3x+4，则（　　） A．a＜b B．a＞b C．a＝b D．a，b的大小关系无法确定 15．（2026春•沧州月考）已知x＞y＞z＞0，记，，则（　　） A．M＜N B．M＝N C．M＞N D．以上都有可能 16．（2025秋•丽江校级期末）已知a1、a2∈（1，+∞），设P，Q1，则P与Q的大小关系为（　　） A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．不确定 17．（2026•肥东县校级模拟）已知实数x，y满足x2+2log4x＝2y+log2y，则x，y的大小关系不可能是（　　） A．x＜y＜1 B．y＜x＜1 C．1＜x＜y D．1＜y＜x 18．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的定理都能够通过圆形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（　　） A．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） B． C．（a＞0，b＞0） D．（a＞0，b＞0） 学科网（北京）股份有限公司 $