精品解析：浙江宁波市鄞州区中河街道宋诏桥初级中学2026-2027学年七年级上学期培优数学试卷

宋诏桥中学2026学年第一学期11月七年级数学培优考试题卷 考生须知：全卷共两个大题，16个小题．满分为100分，考试时间为90分钟． 一、填空题（本题共有12个小题，每题5分，共60分） 1. 宁波地铁12号线于2026年9月22日正式开通，是网红看海市域铁路，其日均营收最高可达万元．预估今年11月份的最大总营收可达________元（用科学记数法表示） 【答案】 【解析】 【分析】需先明确11月的天数，结合日均最高营收计算11月总营收，完成单位换算后按科学记数法规则表示结果． 【详解】解：∵11月份共有天，且日均最高营收为700万元， ∴11月份最大总营收为 万元元元． 2. 如图在数轴上标出了、、、四个点，记，则实数在数轴上对应的点最有可能是________．    【答案】 点 【解析】 【分析】利用完全平方数估算的值，进而通过二次开方确定的整数部分，最后确定的取值范围． 【详解】解：， 且非常接近， ， ，， ， ， ， ， 观察数轴可知，点在与之间，点、、均大于 ， 实数在数轴上对应的点最有可能是点． 3. 已知代数式的值为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， ． 4. 某种细菌的分裂速度非常快，个细菌经过分钟分裂为个，再过分钟又分别分裂为个，即总共分裂为个…照这样的分裂速度，从一个细菌到布满培养皿恰好需要小时．同样的细菌，同样的分裂速度，同样的培养皿，如果开始时培养皿内装有个细菌，那么恰好分裂到布满培养皿需要________分钟． 【答案】 【解析】 【分析】先将小时换算为分钟，明确个细菌初始时布满培养皿需分钟，初始个细菌的数量等价于个细菌分裂分钟后的数量，可通过数量关系推导所需时间． 【详解】解：小时分钟， 个细菌每经过分钟数量翻倍， 个细菌经过分钟分裂后的总数量为个，此时恰好布满培养皿， 设初始放置个细菌时，经过分钟可布满培养皿， 每个细菌的分裂速度不变， 分钟后个细菌的总数量为个， 当细菌总数达到培养皿可容纳的最大数量时，恰好布满培养皿，因此有， 底数为的正整数次幂，幂相等时对应指数相等， . 解得． 5. 若实数、满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用算术平方根的双重非负性求出与，再代入求值即可． 【详解】解：∵ 非负数才有平方根， ∴ 需同时满足和， 由解得， 由解得， ∴ ， 将代入，得， 将，代入，得． 6. 在，，，，中一定有非零平方根的有________个． 【答案】1 【解析】 【分析】一个数有非零平方根的充要条件是这个数为正数，因此只需判断每个代数式对任意实数是否恒大即可． 【详解】解：对于，当时，，不满足条件； 对于，，，，对任意实数，值恒为正数，一定有非零平方根，满足条件； 对于，当时，，不满足条件； 对于，当时，，不满足条件； 对于，根据二次根式性质得，当时，，不满足条件． 综上所述，满足条件的代数式共个． 7. 已知a，b是有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列结论：①；②；③；④若，c是有理数，且满足，则．其中正确的有________．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，结合有理数的运算法则和绝对值的意义，逐一进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，， ∴，； ∵， ∴， ∴， 若，， ∵ 则， 则：或； 综上：①②③正确． 8. 定义关于a、b的新运算：，其中a、b为整数，且为a与b的乘积，例如，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据新运算规则，先由的值求出，再通过递推计算低次幂的函数值，归纳得到的取值规律，最终求出． 【详解】解：根据新运算规则， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 以此类推，对任意正整数，， ∵ ， ∴ ． 9. 8年级某班有7位同学的生日非常接近，分别为10月26日、10月27日、11月1日、11月4日、11月10日、11月15日和11月20日，小陶老师决定从中选择一个日期为这7位同学庆祝生日，所选日期和每位同学生日相隔天数的总和应当最小，则他选择的日期是________． 【答案】 11月4日 【解析】 【分析】将所有生日对应到数轴上的点，利用数轴上一点到各点距离之和最小的规律，奇数个点时取排序后的中间位置可使总相隔天数最小． 【详解】解：以10月26日为时间基准，记为0天，依次计算每个生日对应的相对天数： 10月26日：0天； 10月27日：1天； 11月1日：天； 11月4日：天； 11月10日：天； 11月15日：天； 11月20日：天； 将所有相对天数按从小到大排列为：0，1，6，9，15，20，25． ∵数轴上奇数个点中，到所有点距离和最小的位置为排序后的中间点， ∴7个点的中间位置为第4个点，对应相对天数9，即11月4日． 10. 三位数M被3除余1，被5除余2，被7除余3，则满足条件的M的最大数是________． 【答案】 【解析】 【分析】先找到同时满足除以3余1、除以5余2的数，写成；再结合除以7余3，求出最小正整数解；由3、5、7最小公倍数得到三位数M为，取不超过的最大值（n、k为整数）． 【详解】解：设除以余的数为，除以余的数为，除以余的数为（a、b、c为整数）， 令， 当时，不是整数； 当，时，成立， 是最小的被3除余1，被5除余2的数， 、的最小公倍数是， 设被3除余1且被5除余2的数为（n为整数）， 令， 当时，不是整数； 当时，不是整数； 当，时，成立， 是最小的被3除余1，被5除余2，被7除余3的数， 、、的最小公倍数是， 设同时满足被3除余1，被5除余2，被7除余3的数为（k为整数）， M是三位数， ，即， 满足条件的M的最大数是． 11. 某班级一共50名同学站成一列进行一个数字游戏，从排头第一个同学开始按照“1，2，1，2，…”报数，报到数字1的同学站到队尾继续参与，报到数字2的同学退出，不断进行，直到只剩下最后一个同学，如果你要成为班级中最后剩下的那一个同学，则从前往后数要排在队伍的第________个． 【答案】37 【解析】 【分析】通过枚举较小总人数的报数过程，总结最后剩余位置的通用规律，再代入总人数计算即可． 【详解】解：我们枚举不同总人数下的报数过程，寻找规律： 总人数为1时，仅1人参与，最后剩余位置为1； 总人数为2时，1报1移至队尾，2报2退出，最后剩余位置为1； 总人数为3时，初始队列：[1，2，3](1在排头，3在队尾) 第1轮：队首是1，报1，移到队尾，队列变成：[2，3，1] 第2轮：队首是2，报2，被淘汰，剩余队列：[3，1] 第3轮：队首是3，报1，移到队尾，队列变成：[1，3] 第4轮：队首是1，报2，被淘汰，最后剩下：3 即总人数为3时，按规则报数后，最后剩余位置为3； 同理：总人数为4时，按规则报数后，最后剩余位置为1； 总人数为5时，按规则报数后，最后剩余位置为3； 总人数为6时，按规则报数后，最后剩余位置为5； 总人数为7时，按规则报数后，最后剩余位置为7； 总人数为8时，按规则报数后，最后剩余位置为1； 观察可得：设不超过n的最大2的整数次幂为，令，则最后剩余位置为； 对于总人数50：不超过50的最大2的整数次幂为， ， ∴最后需要站的初始位置为． 12. 将数“1个，2个，3个，…，k个（k为正整数）”顺次排列成一列：，，，，，…，，…，记，，，…，，，，…，；则小于的最大整数是________． 【答案】0 【解析】 【分析】先确定2026项所属的组次，再通过错位相减计算前若干组的总和，结合剩余项的和得到的取值范围，进而确定小于它的最大整数． 【详解】解：∵第k组包含k个相同的数，前k组的总项数为， ∵， 即前63组共2016项， ∵总项数2026与2016的差值为， ∴第2017项到第2026项属于第64组，共10个项， ∴， ∵第k组的每个数为， ∴第64组的每个数为，这10个项的和为， 设前m组的总和为， ∵对两边同乘，得， ∴将两式错位相加，得 ∴ 代入化简得 当时，代入得 ∵为前2016项的和加上第64组的10个项的和 ∴ ∵，且是绝对值极小的正数 ∴ ∴小于的最大整数为0． 二、解答题（第13题8分，第14-15题每题10分，第16题12分，共40分） 13. 计算． （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过对括号内的幂次和作差变形，简化括号内整体表达式后计算平方； （2）将每一项的分母用连续整数求和公式化简，通过裂项相消简化计算． 【小问1详解】 解：设． 等式两边同乘2得． 两式相减得， 即． 代入原式括号内的表达式：． 因此原式． 【小问2详解】 解： ． 14. 阅读理解，并完成下列各题： 对于数轴上任一点P，把与点P相距a个单位长度的两点所表示的数分别记作x和y（其中），并把x、y这两个数叫做“点P关于a的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于1的对称数组是． （1）点A表示的数为，则________； （2）如果，那么P表示的数是________，a的值是________； （3）如果点P、Q是数轴上的两个动点，，（其中，）．两点同时从原点出发反向运动，当时，求点P、Q之间的距离． 【答案】（1） （2）1014；1010 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解绝对值方程，一元一次方程的应用： （1）根据定义可知表示的是“点A关于7的对称数组”，据此求出数轴上与点A距离为7的数即可得到答案； （2）根据定义可得点P到数轴上数4和数2024的两个点的距离都为a，那么根据数轴上两点距离计算公式即可求出答案； （3）设点P和点Q表示的数分别为，根据定义可得，根据得到，即，据此把看作一个整体，解绝对值方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵表示的是“点A关于7的对称数组”，而数轴上与点A相距7个单位长度的数为或， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵表示的是点P到数轴上数4和数2024的两个点的距离都为a， ∴点P表示的数为：， 故答案为：1014；1010； 【小问3详解】 解：设点P和点Q表示的数分别为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴点P、Q之间的距离为； 当时， ∴， ∴， ∴点P、Q之间的距离为； 综上所述，点P、Q之间的距离为或． 15. 【巧翻杯盏】小陶老师走进教室，发现他的学生小涵同学正在教室里面玩翻杯子的游戏：桌面上放有5只杯子，其中2个杯子朝上，3个杯子朝下，要求每一次只能翻转其中2个杯子，使得这5个杯子最终全部朝上．小涵同学经过多次尝试始终没有成功，立马向小陶老师求助，老师告诉她这是一个不可能完成的游戏，她非常好奇其中的原因，老师给了她一个思路：我们将杯子朝上赋予“”，朝下赋予“”，开始时这5个杯子的值的积为，想一想，翻转杯子时对应赋予的值会发生什么变化，能否把这一变化看成原来的值乘上某个数的结果，翻动2个杯子后，5个杯子的积会发生什么变化，然后看看我们最终想要的结果，相信你一定可以思考出来！ （1）【硬币玄机】小涵同学经过思考后马上就明白了其中的缘由，获得了小陶老师的肯定，老师顺势提出了一个新的问题：有1997枚硬币，其中1000枚国徽朝上，997枚国徽朝下．现要求每一次翻转其中任意6枚，使它们的国徽朝向相反，那能否经过有限次翻转之后，使所有硬币的国徽都朝上？请你运用【巧翻杯盏】中赋值的方法，尝试解决这个问题． （2）【方块探秘】风靡全球的俄罗斯方块游戏共有下面7种图形，每种“方块”都由4个的小方格组成（在游戏时只能移动或转动，不能反面朝上）． ①请你利用这7种图形拼成一个的长方形，要求使用6种不同的图形方块，在图2的长方形虚线网格中画出具体情形，并把你使用的方块标上图1中对应的序号． ②能把上述7种图形方块都各用一次拼出一个的长方形吗？若能，请拼出一个图形；若不能，请给出证明． 【答案】（1）不能； 理由：将国徽朝上赋予“”，朝下赋予“”，则1997枚硬币的国徽朝向情况可用1997个数的乘积表示，若这些数之积为（或），表明有奇数（或偶数）枚国徽朝下，开始时，其乘积为．每次翻转6枚硬币，即每次改变6个数的符号，其结果是1997个数之积仍为，所以经有限次翻转后，这个结果总保持不变，所以经过有限次翻转之后，不能使所有硬币的国徽都朝上． （2）①画图如下： ②不能． 证明：将的长方形的28个小方格黑白相间染色，则如图所示，黑白格各14个，若的长方形能用7个不同的方块拼成，则每个小方块用到一次，且只用一次，其中⑤号方块必占3个黑格，1个白格或3个白格，1个黑格，其余6个方块各占2个黑格和2个白格，7个不同的方块占据的黑格总数和白格总数都是奇数，不会等于14，因此不存在7种图形方块都各用一次拼出的长方形的方法． 【解析】 【分析】（1）将国徽朝上赋予“”，朝下赋予“”， 则1997枚硬币的国徽朝向情况可用1997个数的乘积表示，开始时，其乘积为；每次翻转6枚硬币，不改变乘积的值，从而得以求解； （2）将的长方形的28个小方格黑白相间染色，则黑白格各14个，根据⑤号方块所占格子颜色的特殊性求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 一个自然数若能表示为若干个正整数的和，且这些正整数的倒数和也恰等于1，则称为“宋中数”．比如：且，22就是一个“宋中数”． （1）证明：11是“宋中数”；28也是个“宋中数”． （2）如果是“宋中数”，请你证明：与也是“宋中数”． （3）请你判定：2026是个“宋中数”． 【答案】（1）证明：∵，且 ， ∴11是“宋中数”； ∵，且 ， ∴28是“宋中数”． （2）证明：∵是“宋中数”， ∴存在正整数 ，满足 ，且 ， 对于： 考虑正整数， 它们的和为， 它们的倒数和为， ∴是“宋中数”， 对于： 考虑正整数， 它们的和为， 它们的倒数和为， ∴是“宋中数”； （3）2026是“宋中数”，证明如下： 由（1）知11是“宋中数”， 由（2）的结论： ，故24是“宋中数”， ，故57是“宋中数”， ，故123是“宋中数”， ，故248是“宋中数”， ，故505是“宋中数”， ，故1012是“宋中数”， ，故2026是“宋中数”． 【解析】 【分析】（1）根据题中定义判定即可； （2）根据题中定义可得：存在正整数 ，满足 ，且 ，对于：考虑正整数，根据题中定义可判断是“宋中数”，对于：考虑正整数，进而可判断是“宋中数”； （3）由（1）（2）结论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宋诏桥中学2026学年第一学期11月七年级数学培优考试题卷 考生须知：全卷共两个大题，16个小题．满分为100分，考试时间为90分钟． 一、填空题（本题共有12个小题，每题5分，共60分） 1. 宁波地铁12号线于2026年9月22日正式开通，是网红看海市域铁路，其日均营收最高可达万元．预估今年11月份的最大总营收可达________元（用科学记数法表示） 2. 如图在数轴上标出了、、、四个点，记，则实数在数轴上对应的点最有可能是________．    3. 已知代数式的值为，则的值为________． 4. 某种细菌的分裂速度非常快，个细菌经过分钟分裂为个，再过分钟又分别分裂为个，即总共分裂为个…照这样的分裂速度，从一个细菌到布满培养皿恰好需要小时．同样的细菌，同样的分裂速度，同样的培养皿，如果开始时培养皿内装有个细菌，那么恰好分裂到布满培养皿需要________分钟． 5. 若实数、满足，则________． 6. 在，，，，中一定有非零平方根的有________个． 7. 已知a，b是有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列结论：①；②；③；④若，c是有理数，且满足，则．其中正确的有________．（填序号） 8. 定义关于a、b的新运算：，其中a、b为整数，且为a与b的乘积，例如，若，则________． 9. 8年级某班有7位同学的生日非常接近，分别为10月26日、10月27日、11月1日、11月4日、11月10日、11月15日和11月20日，小陶老师决定从中选择一个日期为这7位同学庆祝生日，所选日期和每位同学生日相隔天数的总和应当最小，则他选择的日期是________． 10. 三位数M被3除余1，被5除余2，被7除余3，则满足条件的M的最大数是________． 11. 某班级一共50名同学站成一列进行一个数字游戏，从排头第一个同学开始按照“1，2，1，2，…”报数，报到数字1的同学站到队尾继续参与，报到数字2的同学退出，不断进行，直到只剩下最后一个同学，如果你要成为班级中最后剩下的那一个同学，则从前往后数要排在队伍的第________个． 12. 将数“1个，2个，3个，…，k个（k为正整数）”顺次排列成一列：，，，，，…，，…，记，，，…，，，，…，；则小于的最大整数是________． 二、解答题（第13题8分，第14-15题每题10分，第16题12分，共40分） 13. 计算． （1）； （2） 14. 阅读理解，并完成下列各题： 对于数轴上任一点P，把与点P相距a个单位长度的两点所表示的数分别记作x和y（其中），并把x、y这两个数叫做“点P关于a的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于1的对称数组是． （1）点A表示的数为，则________； （2）如果，那么P表示的数是________，a的值是________； （3）如果点P、Q是数轴上的两个动点，，（其中，）．两点同时从原点出发反向运动，当时，求点P、Q之间的距离． 15. 【巧翻杯盏】小陶老师走进教室，发现他的学生小涵同学正在教室里面玩翻杯子的游戏：桌面上放有5只杯子，其中2个杯子朝上，3个杯子朝下，要求每一次只能翻转其中2个杯子，使得这5个杯子最终全部朝上．小涵同学经过多次尝试始终没有成功，立马向小陶老师求助，老师告诉她这是一个不可能完成的游戏，她非常好奇其中的原因，老师给了她一个思路：我们将杯子朝上赋予“”，朝下赋予“”，开始时这5个杯子的值的积为，想一想，翻转杯子时对应赋予的值会发生什么变化，能否把这一变化看成原来的值乘上某个数的结果，翻动2个杯子后，5个杯子的积会发生什么变化，然后看看我们最终想要的结果，相信你一定可以思考出来！ （1）【硬币玄机】小涵同学经过思考后马上就明白了其中的缘由，获得了小陶老师的肯定，老师顺势提出了一个新的问题：有1997枚硬币，其中1000枚国徽朝上，997枚国徽朝下．现要求每一次翻转其中任意6枚，使它们的国徽朝向相反，那能否经过有限次翻转之后，使所有硬币的国徽都朝上？请你运用【巧翻杯盏】中赋值的方法，尝试解决这个问题． （2）【方块探秘】风靡全球的俄罗斯方块游戏共有下面7种图形，每种“方块”都由4个的小方格组成（在游戏时只能移动或转动，不能反面朝上）． ①请你利用这7种图形拼成一个的长方形，要求使用6种不同的图形方块，在图2的长方形虚线网格中画出具体情形，并把你使用的方块标上图1中对应的序号． ②能把上述7种图形方块都各用一次拼出一个的长方形吗？若能，请拼出一个图形；若不能，请给出证明． 16. 一个自然数若能表示为若干个正整数的和，且这些正整数的倒数和也恰等于1，则称为“宋中数”．比如：且，22就是一个“宋中数”． （1）证明：11是“宋中数”；28也是个“宋中数”． （2）如果是“宋中数”，请你证明：与也是“宋中数”． （3）请你判定：2026是个“宋中数”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $