4.3 对数导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.3 对数 · 导学案与教学设计

人教A版（2019）必修第一册 · 第四章 指数函数与对数函数 · 2 课时

 

一、知识准备（课前 3 分钟）

1. 指数的运算性质（，，）：

；；；。

2. 指数函数 （，）的值域是 ，所以 恒为正，且当 时 在 上单调。

3. 复习提问：已知 ， ________；若 ， 还能写成整数吗？

二、第一课时：4.3.1 对数的概念

【问题】

某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个……1 个细胞分裂 次后，得到的细胞个数 与 的关系为 。

（1）分裂 3 次后有多少个细胞？（2）若细胞个数为 10，分裂了多少次？

【尝试】

（1）由 得 ，这是“已知底数 2、指数 3，求幂”的问题。

（2）要解 ， 不是整数，无法用已有的整数指数表示。但我们知道这样的 是唯一存在的（ 单调递增），于是引入新的符号：把 记作 ，读作“以 2 为底 10 的对数”。

【归纳】

一般地，若 （，，），则 唯一确定，记作 。这里 叫底数， 叫真数。

【结论】对数的定义

指对互化的三个对应关系：

 

要点：底数不变，指数与对数值互换位置，幂与真数互换位置。

例1  把下列指数式化为对数式：

（1） ；　　

（2） ；　　

（3） 。　　

【思考】真数可以是负数吗？

因为 对一切实数 都成立，所以幂 一定是正数，即负数和 0 没有对数。因此 中必须有 。

【两种常用记法】

以 10 为底的对数叫做常用对数， 简记为 ，如 ，。

以无理数 （）为底的对数叫做自然对数， 简记为 。

例2  求下列各式中 的值：

（1） ；

【答案】。

（2） ；

【答案】化为 ，又 且 ，故 。

（3） ；

【答案】化为 ，故 。

（4） 。

【答案】化为 ，即 ，故 。

当堂检测（一）

1. 把 写成对数式：________________。

2. 求值： ______； ______。

3. 求值： ______； ______； ______。

4. 判断： 有意义吗？为什么？

三、第二课时：4.3.2 对数的运算

【问题】

两个正数的积、商、幂，它们的对数与这两个数的对数有什么关系？

【尝试】回到指数的运算法则

设 ，（，），则 ，。

于是 。把两边写成对数式，得

。

【归纳】同理

由 得 ；

由 得 （）。

【结论】对数的三条运算性质

注意：三条性质都要求真数为正； 与 一般不相等。

例3  求下列各式的值：

（1） ；

【答案】。

（2） 。

【答案】。