精品解析：上海市格致中学2026-2027学年度第一学期第一次测验高一年级数学试卷

格致中学二〇二六学年度第一学期第一次测验高一年级数学试卷 （测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷） 一、填空题（本题共有10个小题，每小题4分，满分40分） 1. 不等式的解集为______. 2. 已知，则的取值范围为___________． 3. 已知一元二次方程的两个实数根分别为.若，则实数的值为______． 4. 全集为，，，则________． 5. 若，则的最小值为________. 6. 已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为____________． 7. 若不等式对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围为____________． 8. 已知关于的不等式的解集为，其中，则关于的不等式的解集为______. 9. 已知集合，集合P是集合M的三元子集，即，P中的元素a，b，c满足，则符合要求的集合P个数是________. 10. 已知正整数，对集合及其每一个非空子集，记，其中，定义一个运算“交替和”.例如：对于集合，.则当时，集合的所有子集的“交替和”的总和为_________. 二、选择题（本题共有4个小题，每小题4分，满分16分） 11. 若，则“”是“”的（　　）条件． A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 12. 用反证法证明结论“、、至少有一个是正数”时，应假设（ ） A. 、、都是正数 B. 、、都不是正数 C. 、、至多有一个正数 D. 、、至多有两个正数 13. “群”的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.“群”的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“*”，满足以下条件： ①任意.有 ②如，有； ③在中有一个元素，对任意，都有，称为的单位元； ④任意，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元； 此时称为一个群 例如实数集和实数集上的加法运算“＋”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（ ） A. ，则为一个群 B. ，为一个群 C. ，则为一个群 D. ，则为一个群 14. 已知a，b，，若关于x不等式的解集为，则（ ） A. 不存在有序数组，使得 B. 存在唯一有序数组，使得 C. 有且只有两组有序数组，使得 D. 存在无穷多组有序数组，使得 三、解答题（本题共有4大题，满分44分．解题时要有必要的解题步骤） 15. 已知函数，． （1）若不等式的解集为，求实数的值： （2）当时，解关于的不等式． 16. 若集合，． （1）若，写出的子集个数； （2）若，求实数的取值范围． 17. 2025年上海奇迹花园国际艺术花展于9月20日正式启幕，本次花展首次实现沉浸IP展、花卉景观、跨界艺术、光影夜花园四展合一，为市民游客打造一个可游、可赏、可感的秋季治愈系童话世界．某公园受此启发打算设计一个八边形活动区域，该区域的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域，十字形的面积为．计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元：在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元．设长为，总造价为元，求： （1）设长为，用表示，并求出的取值范围； （2）如何设计可使总造价最低，并求出最低造价； （3）若总造价不超过69000元，求长的取值范围． 18. 设为实数，集合． （1）若，求； （2）若，求满足的条件； （3）设，当时，如果，且集合均恰有两个元素，求三元数对． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 格致中学二〇二六学年度第一学期第一次测验高一年级数学试卷 （测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷） 一、填空题（本题共有10个小题，每小题4分，满分40分） 1. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式等价转化为二次不等式组，求解即得. 【详解】原不等式等价于，解得, 故答案为：. 2. 已知，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的性质求解即可. 【详解】由于， 则，所以, 即, 则的取值范围为; 故答案为： 3. 已知一元二次方程的两个实数根分别为.若，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件先表示出，然后化简可得的结果. 【详解】因为是的两个实数根，所以， 因为，所以，符合题意， 故答案为：. 4. 全集为，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】写出集合，再由集合间的运算进行求解． 【详解】， ， 而， 则或， 故答案为： 5. 若，则的最小值为________. 【答案】12 【解析】 【分析】利用基本不等式求出最小值即可． 【详解】 当且仅当取等号 故答案为： 6. 已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为____________． 【答案】． 【解析】 【分析】由已知结合二次不等式及一次不等式的求法即可求解． 【详解】由可得， 由可得， 若不等式组没有实数解， 则． 故答案为：． 7. 若不等式对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由分子恒大于零，问题转化为“对一切x∈R恒成立”，再根据系数分类讨论即可. 【详解】， ∴要使不等式对一切x∈R恒成立，只需恒成立． 当时，恒成立. 当时，由，解得. 综上，. 故答案为：. 8. 已知关于的不等式的解集为，其中，则关于的不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意和为方程的两根，利用韦达定理得到方程即可求出和的值，再代入解一元二次不等式即可； 【详解】不等式等价于，即 所以和为方程的两根，且 由韦达定理可得，解得， 所以原不等式为， 即，解得. 即不等式的解集为 故答案为： 9. 已知集合，集合P是集合M的三元子集，即，P中的元素a，b，c满足，则符合要求的集合P个数是________. 【答案】1012 【解析】 【分析】根据题中条件先用表示出，得到，再由，求出范围，即可得出结果. 【详解】因为，所以， 即，整理得，所以， 故或（舍去），则， 所以， 令，得， 又，，所以符合要求的集合的个数为. 故答案为：1012. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据，用表示出，再由集合满足的条件，求解即可. 10. 已知正整数，对集合及其每一个非空子集，记，其中，定义一个运算“交替和”.例如：对于集合，.则当时，集合的所有子集的“交替和”的总和为_________. 【答案】 【解析】 【分析】集合的任意一个不含的集合与集合的“交替和”之和应为，则由对应思想两两结组求和可得. 【详解】由题意知，集合的“交替和”为. 集合的所有个子集中，除去集合外，还有个非空子集. 这个非空子集中不含元素的集合，即的非空子集，共有个， 设为； 则这个非空子集中含元素的集合，也共有个， 这样的集合都可以看成相应地在每个不含的集合中再加上元素得到，即. 对中的任意集合，记， 则“交替和”，其中， 由，则集合的“交替和”为 ， 则集合与集合的“交替和”之和为， 下面举例说明： 如集合与集合， 的“交替和”为， 的“交替和”为 ， 即集合与集合的“交替和”之和为. 综上，把这个非空子集两两结组后分别计算每一组中“交替和”之和， 且每组中“交替和”之和都为，共有组. 故集合所有“交替和”之和，由各组之和再加集合的“交替和”即可， 综上所述，当时，集合的所有子集的所有“交替和”之和为 . 故答案为：. 【点睛】“对应”是数学的基本概念和基本思想，正是基于“对应”，问题才可以抽象或者转化.对应思想在相等关系、对称转化、分组求和等问题的处理中比较常见. 二、选择题（本题共有4个小题，每小题4分，满分16分） 11. 若，则“”是“”的（　　）条件． A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 【答案】A 【解析】 【详解】若，则，所以，充分性成立． 反之取，有，但不成立，故非必要．选A． 12. 用反证法证明结论“、、至少有一个是正数”时，应假设（ ） A. 、、都是正数 B. 、、都不是正数 C. 、、至多有一个正数 D. 、、至多有两个正数 【答案】B 【解析】 【分析】由反证法的定义，假设结论的否定即可. 【详解】因为 “、、至少有一个是正数”的否定为“、、都不是正数”， 由反证法的定义，故应假设：、、都不是正数. 故选：B 13. “群”的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.“群”的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“*”，满足以下条件： ①任意.有 ②如，有； ③在中有一个元素，对任意，都有，称为的单位元； ④任意，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元； 此时称为一个群 例如实数集和实数集上的加法运算“＋”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（ ） A. ，则为一个群 B. ，为一个群 C. ，则为一个群 D. ，则为一个群 【答案】D 【解析】 【分析】分别判断每一个选项，是否为一个群即可. 【详解】A选项：有理数的和还是有理数，求和满足结合律， 设，单位元为，则，故， 所以每一个数的相反数为其逆元， 故为一个群，选项A正确； B 选项：中的任何两个数相加还是属于， 求和满足结合律， 设，单位元为， 则，所以， 每一个数的相反数为其逆元，为一个群，故选项B正确； C选项：中的两个元素相乘，其积可能为或， 又，， 设，单位元为，则，故，的逆元为，的逆元为， 所以则为一个群，故C正确； D选项：两个奇数相乘还是奇数，乘法满足结合率， 设，单位元为，则，故， 又，故存在，使得，则，矛盾， 故不为一个群，故D错误. 【点睛】关键点点睛：需要判断题中说的所有条件，先利用条件③判断单位元，然后再利用条件④判断逆元. 14. 已知a，b，，若关于x不等式的解集为，则（ ） A. 不存在有序数组，使得 B. 存在唯一有序数组，使得 C. 有且只有两组有序数组，使得 D. 存在无穷多组有序数组，使得 【答案】D 【解析】 【分析】根据，不等式转化为一元二次不等式的解的问题，利用两个一元二次不等式解集有交集的结论，得出两个不等式解集的形式，从而再结合一元二次方程的根与系数关系确定结论． 【详解】由题意不等式的解集为， 即的解集是， 则不等式的解是或，不等式的解集是， 设，，， 所以，， 和是方程的两根， 则，， 又， 所以是的一根， 所以存在无数对，使得． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题考查分式不等式的解集问题，解题关键是转化一元二次不等式的解集，从而结合一元二次方程根与系数关系得出结论． 三、解答题（本题共有4大题，满分44分．解题时要有必要的解题步骤） 15. 已知函数，． （1）若不等式的解集为，求实数的值： （2）当时，解关于的不等式． 【答案】（1） （2）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）分析可知，方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得实数的值； （2）将所求不等式变形为，分、、三种情况讨论，结合二次不等式的解法可出原不等式的解集. 【小问1详解】 解：因为不等式的解集为， 所以，方程的两根分别为、，且，可得， 所以，，解得. 【小问2详解】 解：因为，不等式即为 方程两根为，， ①当，即时，原不等式为，该不等式的解集为； ②当时，即时，解原不等式可得或； ③当时，即时，解原不等式可得或. 综上可知：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 16. 若集合，． （1）若，写出的子集个数； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）8个 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用一元二次方程化简集合A，B，再利用集合的并集运算求解，进而得到子集的个数； （2）由，得到，分中没有元素即，中只有一个元素和中有两个元素求解. 【小问1详解】 解：， 若，则，此时， ． 有3个元素，故子集个数为个，即8个． 【小问2详解】 因为，所以， ． ①若中没有元素即，则，此时； ． ②若中只有一个元素，则，此时． 则，此时． ③若中有两个元素，则，此时． 因为中也有两个元素，且，则必有， 由韦达定理得，则，矛盾，故舍去． 综上所述，当时，． 所以实数的取值范围：． 【点睛】． 17. 2025年上海奇迹花园国际艺术花展于9月20日正式启幕，本次花展首次实现沉浸IP展、花卉景观、跨界艺术、光影夜花园四展合一，为市民游客打造一个可游、可赏、可感的秋季治愈系童话世界．某公园受此启发打算设计一个八边形活动区域，该区域的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域，十字形的面积为．计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元：在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元．设长为，总造价为元，求： （1）设长为，用表示，并求出的取值范围； （2）如何设计可使总造价最低，并求出最低造价； （3）若总造价不超过69000元，求长的取值范围． 【答案】（1），； （2）时，元； （3） 【解析】 【分析】（1）设，根据十字形地域的面积得出的关系式，即可求解； （2）由（1）可求得，从而可求出各个图形的面积，将花坛、地坪、草坪的各个区域造价相加，求得总造价，利用基本不等式即可求解最低造价； （3）根据不等式求解可求得的取值范围. 【小问1详解】 设，因为两个相同的矩形和构成的面积为， 所以可得，解之可得， 由得，解得； 【小问2详解】 由（1）知，所以 矩形的面积为 正方形为， 所以 . ， 当且仅当，即时，取等号； 故时，元； 【小问3详解】 由（2）知， 若总造价不超过69000元，即 化简可得，即， 解之可得，所以的取值范围. 18. 设为实数，集合． （1）若，求； （2）若，求满足的条件； （3）设，当时，如果，且集合均恰有两个元素，求三元数对． 【答案】（1）； （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）将代入方程，求解即可； （2）由为方程的根可求出a的值，再讨论是否为的根即可. （3）分类讨论，是的根时，确定a的值，再考虑另一个方程的判别式情况，验证是否符合题意，同理讨论-2是的根，综合即可求得答案. 【小问1详解】 若，则方程为， 即，解得或，故； 【小问2详解】 由题意知； 又，即集合S中有且仅有一个元素， 若，即，即是的根； 若不是的根，则需满足； 若是的根，则需满足，且，则； 综合上述，满足的条件为或； 【小问3详解】 由题意知，则， 且方程与的判别式相同，， 故两方程的根的个数相同，由于集合均恰有两个元素，故， ，，即是或的根， ，，即是或的根， ①当，即时，是的根，，则，则， 此时，则是的根，即， 若，则可得， 此时， ，符合题意； 若，则有两个不相等的实数根， 结合，即得的两根必为和2，则，即， 此时， ，符合题意； ②当时，，即是的根，则，则， 结合，知是的根，即，即， 若，则解得， 此时， ，符合题意； 若，则有两个不相等的实数根， 结合，即得的两根必为，则，即， 此时， ，符合题意； ③当且时，即不是的根，也不是的根， 由，知是的根，是的根， 故，解得，此时且， ，S中有3个元素，不符合题意； 综合上述，三元数对为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $