37圆锥曲线的综合问题讲义-2027届高三数学一轮复习

圆锥曲线的综合问题 一、知识梳理 二、练习题 题型 一 直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线与圆锥曲线的位置关系 直线和圆锥曲线有三种位置关系: 相离、相切和相交. (1) 直线与椭圆有两个公共点⇔相交;直线与椭圆有一个公共点⇔相切;直线与椭圆没有公共点⇔相离. (2) 直线与双曲线有两个公共点⇒相交. 当直线与双曲线只有一个公共点时,除了直线与双曲线相切外,还有可能是直线与双曲线相交,此时直线与双曲线的渐近线平行. 直线与双曲线没有公共点⇔相离. (3) 直线与抛物线有两个公共点⇒相交. 当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合. 直线与抛物线没有公共点 相离. 1. 已知直线 与椭圆 相切，则 的值为 ( ) A. 2 B. C. D. 知识拓展 圆锥曲线的切线方程 椭圆 在 处的切线方程为 双曲线 在 处的切线方程为 抛物线 在 处的切线方程为 . 2. 设问方式变式 已知双曲线 ,则过点 与 有且只有一个公共点的直线共有( ) A. 4 条 B. 3 条 C. 2 条 D. 1 条 题型 二 弦长与面积问题 1. 弦长问题 (1) 当弦的两端点坐标易求时，可求出两端点坐标，再用两点间距离公式直接求解. (2) 若斜率为 的直线与圆锥曲线相交于 两个不同的点，则弦长 或 . (3) 当直线过抛物线的焦点时, 可利用抛物线的焦点弦公式求解弦长. (4) 中点弦问题 求解与中点弦有关问题的两种方法: ①方程组法:联立直线方程和圆锥曲线方程，消元 成为二次方程之后，结合根与系数的关系，建立等式关系或不等式关系. ② 点差法:若题中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，可设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程. “点差法” 的常见题型有: 求中点弦方程、求 (过定点、平行弦) 弦中点轨迹、垂直平分线问题. “点差法” 中必须保证判别式 大于零. 2. 面积问题 (1) 利用弦长公式与点到直线的距离公式计算三角形的面积 (其中 为 到 的距离). (2) 如图，,其中 轴, 轴. (3) . (4) 对角线互相垂直的四边形的面积为两对角线长度的乘积的 . 3. 抛物线 的焦点为 ，对称轴为 ，过 且与 的夹角为 的直线交 于 ， 两点， 的中点为 ，线段 的中垂线 交 于点 . 若 的面积等于 ，则 等于 ( ) A. 4 B. C. 2 D. 4. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,以线段 为直径的圆过 的上、下顶点,点 在 上,其中 为 的离心率. (1) 求椭圆 的方程和短轴长； (2) 点 在 上,且在 轴的上方,满足 ,直线 与直线 的交点为 ,求 的面积. 题型 三 定值与定点问题 1. 求解定点问题常用的方法 (1) “特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明. (2) “一般推理, 特殊求解”, 即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标. (3) 求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 来证明. 2. 求解定值问题常用的方法 (1) 引入变量法:解题流程为 变量一选择适当的量为变量 函数一把要证明为定值的量表示成上述变量的函数 定值一把得到的函数化简，消去变量得到定值 (2) 特例法:从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关. 5. 如图,已知椭圆 的左,右焦点分别为 ,点 为 上的一个动点 (非左、右顶点),连接 并延长,交 于点 ，且 的周长为8， 面积的最大值为 2. (1) 求椭圆 的标准方程； (2) 若椭圆 的长轴端点为 ，且 与 的离心率相等， 为 与 异于 的交点，直线 交 于 两点,证明: 为定值. 6. 已知双曲线 经过点 ，直线 与 交于 两点，直线 分别与 轴相交于点 . (1) 证明:以线段 为直径的圆恒过点 ，； (2) 若 ，且 ，求 . 9 轨迹问题 高考解读 轨迹问题在历年高考中出现的频率较高, 一方面，求轨迹方程的实质是将 “形” 转化为 “数”，将 “曲线” 转化为 “方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面，求轨迹方程培养了学生数形结合的思想、函数与方程的思想以及转化与化归的思想. 轨迹方程的探求主要有两种类型, 一种是曲线类型已知, 需要根据条件判断具体是哪类曲线; 另一种是曲线类型未知, 该题型常用的方法有直接法、定义法、相关点法、消参法等. 高考溯源 1. 常规曲线类型判断 7. (多选) 已知曲线 : . ( ) A. 若 ，则 是椭圆，其焦点在 轴上 B. 若 ，则 是圆，其半径为 C. 若 ，则 是双曲线，其渐近线方程为 D. 若 ，，则 是两条直线 8. 高考仿真 (多选)已知曲线 ，则下列说法正确的是 ( ) A. 若 是椭圆，则其长轴长为 B. 若 ，则 是双曲线 C. 不可能表示一个圆 D. 若 ，则 上的点到焦点的最短距离为 2. 非常规曲线轨迹求解和判断 9. (多选) 设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线 的一部分. 已知 过坐标原点 ，且 上的点满足横坐标大于 -2，到点 的距离与到定直线 的距离之积为 4. 则（） A. B. 点 在 上 C. 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 1 D. 当点 在 上时, 10. 高考仿真 (多选) 在平面直角坐标系 中,曲线 是到定点 的距离之积等于 的点的轨迹. 若 是曲线 上一点, 则下列说法中正确的有 ( ) A. 曲线 关于原点 成中心对称 B. 的取值范围是 C. 曲线 上有且仅有一点 满足 D. 曲线 上所有的点 都在圆 上及其内部 高考变式 1. 直接法求轨迹方程 11. 在棱长为 4 的正方体 中,点 是 的中点,点 是侧面 内的动点 (含边界),且 ，则 的轨迹长度为 ( ) A. B. C. D. 技巧点拨 直接法求轨迹方程 如果动点满足的几何条件是一些几何量的等量关系且易于直接表达，那么只需把这些关系 “翻译” 成含 ， 的等式，就可得到曲线的方程. 用直接法求动点轨迹的一般步骤为建系，设点，列式，化简，证明，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”. 2. 定义法求轨迹方程 12. 已知 、、 是直线 上的三点，且 ， 切直线 于点 ，又过 、 作 异于 的两切线，设这条两切线交于点 ，求点 的轨迹方程. 提醒 利用定义法求轨迹方程应熟记各曲线的定义及简单几何性质. 3. 相关点法求轨迹方程 13. 长为 2 的线段 的两个端点 和 分别在 轴和 轴上滑动，则点 关于点 的对称点 的轨迹方程为 ( ) A. B. C. D. 技巧点拨 相关点法求轨迹方程 有些问题中的动点满足的条件不便于直接用等式列出，但动点是随着另一动点 (称之为相关点) 而运动的，而相关点所满足的条件是明显的，这时可通过将相关点用未知点的坐标表示出来，通过相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程. 4. 消参法求轨迹方程 14. 在平面直角坐标系 中,抛物线 上异于坐标原点 的两不同动点 、 满足 . 求 的重心 (即三角形三条中线的交点) 的轨迹方程. __________ __________ 技巧点拨 消参法求轨迹方程 求轨迹方程有时发现这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等) 的制约, 即动点坐标 中的 分别随另一变量的变化而变化,我们可以把这个变量设为参数, 建立轨迹的参数方程, 通过消去参变量即可得到动点的轨迹方程. 10 圆锥曲线中的最值与范围问题 高考解读 圆锥曲线中的最值(范围)问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法:一是利用几何法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解; 二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个参数的式子，然后利用函数方法、基本不等式法、导数法和三角换元法等解决. 高考溯源 1. 利用几何关系寻找最值位置 15. 已知椭圆 过点 ，点 为其左顶点，且 的斜率为 . (1) 求 的方程； (2) 点 为椭圆上任意一点，求 的面积的最大值. 16. 高考仿真 已知 是椭圆 上一点，则点 到直线 的最小距离是 ( ) A. B. C. D. 2. 利用代数关系求最值 17. 已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆 上点的距离的最小值为 4. (1) 求 ； (2) 若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值. 18. 高考仿真 已知椭圆 的中心在坐标原点，两焦点 在 轴上，离心率为 ，点 在 上，且 的周长为 6. (1) 求椭圆 的标准方程； (2) 过点 的动直线 与 相交于 两点,点 关于 轴的对称点为 ,直线 与 轴的交点为 ,求 的面积的最大值. 高考变式 1. 关于线段的范围与最值问题 19. 抛物线 的焦点为 ,点 为该抛物线上的动点,又点 ,则 的最小值是 ( ) A. B. C. D. 2. 关于向量的数量积的最值与范围问题 20. 在平面直角坐标系 中,若抛物线 : 的准线与圆 相切于点 ，直线 与抛物线 切于点 ，点 在圆 上，则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 3. 与斜率有关的最值和范围问题 21. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,离心率为 是 的右支上一点,且 的面积为 3. (1) 求 的方程； (2) 若 的左、右顶点分别为 ，过点 的直线 与 的右支交于 两点，直线 和 的斜率分别记为 和 ，求 的最小值. 4. 和角度有关的最值和范围问题 22. 已知椭圆 的离心率为 ,点 分别为椭圆 的左、右顶点, 是直线 上的一动点. 与 交于点 在 轴的上方),过 作 的垂线交 的延长线于点 ，当 取最大值时，点 的纵坐标为 ( ) A. B. C. D. 5. 求参数的最值和范围问题 23. 已知双曲线 的离心率为 ,左、右焦点分别为 ,点 在 的左支上运动且不与顶点重合,记 为 的内心, ,若 , 则 的取值范围为___. 11 圆锥曲线中的存在与探索问题 高考解读 圆锥曲线中的存在性问题、探索性问题是高考常考题型之一，此类题目的条件和结论不完备，要求学生结合已有的条件进行观察、分析、比较和概括，它对数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力有较高要求，作为高考的热点问题之一，常见类型有:存在点、存在直线、存在实数、存在图形 (如三角形、四边形、圆等). 其解题思考路径如下: 高考溯源 定点存在问题 24. 已知椭圆 的离心率为 ，且过点 . (1) 求 的方程； (2) 点 在 上，且 为垂足. 证明:存在定点 ，使得 为定值. 25. 高考仿真 已知圆 ，动圆 与圆 相内切，且经过定点 . (1) 求动圆圆心 的轨迹方程； (2) 若直线 与(1)中轨迹交于不同的两点 ，记 外接圆的圆心为 ( O 为坐标原点)，平面上是否存在两定点 ，使得 为定值？若存在，求出定点坐标和定值；若不存在，请说明理由. 高考变式 1. 定直线存在问题 26. 已知双曲线 的离心率为 ，过点 的直线 与 的左、右支分别交于 ， 两点(异于顶点). (1) 若点 为线段 的中点，求直线 与直线 斜率之积 ; (2) 若 、 为双曲线的左、右顶点，且 ，试判断直线 与直线 的交点 是否在定直线上. 若是，求出该定直线；若不是，请说明理由. 2. 平面图形存在问题 27. 已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 2. (1) 求椭圆的标准方程. (2) 若直线 与椭圆 相交于 两点,且 ( 为坐标原点). ①求证: 的面积为定值； ② 椭圆 上是否存在一点 ，使得四边形 为平行四边形？若存在，求出点 横坐标的取值范围；若不存在，说明理由. 3. 参数存在问题 28. 已知抛物线 的焦点和椭圆 的右焦点 重合,过点 任意作直线 分别交抛物线 于 ,交椭圆 于 . 当 垂直于 轴时, , . (1) 求 和 的方程； (2) 是否存在常数 ，使 为定值？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 考点 1 直线与圆锥曲线的位置关系 29. 已知椭圆 ，以椭圆 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为 2 的正方形，过点 且斜率存在的直线与椭圆 交于不同的两点 ,过点 和 的直线 与椭圆 的另一个交点为 . (1) 求椭圆 的方程及离心率； (2) 若直线 的斜率为 0，求 的值. 30. 已知椭圆 的方程为 ，若右焦点为 ，且离心率为 . (1) 求椭圆 的方程； (2) 设 是 上的两点，直线 与曲线 相切，证明: 三点共线的充要条件是 . 31. 已知双曲线 : 的右焦点为 ，渐近线方程为 . (1) 求 的方程； (2) 过 的直线与 的两条渐近线分别交于 两点，点 在 上，且 . 过 且斜率为 的直线与过 且斜率为 的直线交于点 . 从下面①②③ 中选取两个作为条件，证明另外一个成立. ① 在 上；② ；③ . 注:若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 考点 2 弦长与面积问题 32. 已知 、 为椭圆 上两点. (1) 求 的离心率； (2) 若过 的直线 交 于另一点 ，且 的面积为 9，求 的方程. 33. 已知椭圆 的离心率为 分别为 的左、右顶点. (1) 求 的方程； (2) 若点 在 上，点 在直线 上，且 ，，求 的面积. 34. 已知点 ( 2,1 ) 在双曲线 上，直线 交 于 两点,直线 的斜率之和为 0. (1) 求 的斜率； (2) 若 ，求 的面积. 考点 3 定值与定点问题 35. 已知双曲线 的中心为坐标原点，左焦点为 ，离心率为 . (1) 求 的方程； (2) 记 的左、右顶点分别为 ，过点 的直线与 的左支交于 ， 两点， 在第二象限，直线 与 交于点 ,证明: 点 在定直线上. 36. 已知椭圆 的离心率为 ，点 在 上. (1) 求 的方程； (2) 过点 的直线交 于 两点，直线 与 轴的交点分别为 ,证明: 线段 的中点为定点. 基础夯实 37. 已知抛物线 的焦点为 ，点 是抛物线准线上一动点，作线段 的垂直平分线 ，则直线 与抛物线公共点个数的可能值构成的集合为 ( ) A. B. C. D. 38. 已知抛物线 , 从抛物线内一点 发出平行于 轴的光线经过抛物线上点 反射后交抛物线于点 ，则 的面积为___. 能力提升 39. 椭圆 过点 且 . (1) 求椭圆 的标准方程； (2) 设 的左、右焦点分别为 ，，过点 作直线 ，与椭圆 交于 ， 两点，，求 的面积. 40. 已知 ，平面内动点 满足直线 的斜率之积为 . (1) 求动点 的轨迹方程； (2) 过点 的直线交 的轨迹 于 ， 两点，以 为邻边作平行四边形 ( 为坐标原点)，若 恰为轨迹 上一点，求四边形 的面积. 41. 已知椭圆 的右焦点为 ，左顶点为 ，短轴长为 ，且经过点 . (1) 求椭圆 的方程； (2) 过点 的直线 (不与 轴重合)与 交于 两点，直线 与直线 的交点分别为 ，记直线 的斜率分别为 ，,证明: 为定值. 42. 已知双曲线 : 的离心率为 分别为其左、右焦点, 为双曲线上任一点, 是双曲线在第一象限内的点， 的最小值是 -2. (1) 过点 分别作双曲线 的两条渐近线的平行线,与渐近线分别交于 两点, 为坐标原点,求四边形 的面积; (2) 若不过点 的直线 与双曲线交于不同的两点 ,且满足 . 证明:直线 过定点, 并求出该定点坐标. 43. 已知抛物线 的焦点为 ，过 作互相垂直的直线 ，分别与 交于 ， 和 ， 两点 在第一象限),当直线 的倾斜角等于 时，四边形 的面积为 32. (1) 求 的方程； (2) 设直线 与 交于点 ，证明:点 在定直线上. 44. 已知双曲线 : 的一条渐近线与双曲线 的一条渐近线垂直，且 的一个焦点到 的一条渐近线的距离为 2. (1) 求 的方程； (2) 若 上任意一点 关于直线 的对称点为 ,过 分别作 的两条渐近线的平行线,与 分别交于 . 求证: 为定值. 9 轨迹问题 45. 已知 、 两点坐标分别为 . 直线 、 相交于点 ，且它们的斜率之和是 3，则点 的轨迹方程为 ( ) A. B. C. D. 46. (多选) 已知正方体 的棱长为 为 的中点, 为正方形 所在平面内一动点, 则下列命题正确的有 ( ) A. 若 ，则 的中点的轨迹所围成图形的面积为 B. 若 到直线 与直线 的距离相等，则 的轨迹为抛物线 C. 若 与平面 所成的角为 ，则 的轨迹为椭圆 D. 若 与 所成的角为 ，则 的轨迹为双曲线 47. (多选) 已知平面内两定点 和 与一动点 ,满足 ,若动点 的轨迹为曲线 ,则下列关于曲线 的说法正确的是 ( ) A. 存在 ,使曲线 过坐标原点 B. 曲线 关于 轴对称,但不关于 轴对称 C. 若 三点不共线，则 周长的最小值为 D. 曲线 上与 不共线的任意一点 关于原点对称的点为 ，则四边形 的面积不大于 48. 已知对任意平面向量 ，把 绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量 ，叫做把点 绕点 沿逆时针方向旋转 角得到点 . 现将双曲线 上的每个点 绕坐标原点 沿逆时针方向旋转 后得到曲线 ，则曲线 的方程为___. 49. 已知 为圆 上一个动点， 垂直 轴，垂足为 为坐标原点， 的重心为 . (1) 求点 的轨迹方程； (2) 记第(1)问中的轨迹为曲线 ，直线 与曲线 相交于 、 两点，点 ，若点 恰好是 的垂心，求直线 的方程. 50. 在平面直角坐标系 中，动点 到 轴的距离等于点 到点 的距离，记动点 的轨迹为曲线 . (1) 求曲线 的方程； (2) 已知点 为曲线 上的一点，曲线 在点 的切线交直线 于 ，过 作直线 的垂线交 于点 ，求 的面积. 51. 设 ， 分别是直线 和 上的动点，且 ，设 为坐标原点，动点 满足 ，记 的轨迹为曲线 . (1) 求 的方程； (2) 已知点 为曲线 的上顶点，点 ， 分别为左、右焦点，过点 的直线 交曲线 于另一点 ,若 ,求 的方程. 52. 在平面直角坐标系 中，已知点 ，，点 满足 . 记 的轨迹为 . (1) 求 的方程； (2) 设点 在直线 上,过 的两条直线分别交 于 两点和 两点，且 ,求直线 的斜率与直线 的斜率之和. 10 圆锥曲线中的最值与范围问题 53. 已知直线 与抛物线 交于 两点，. (1) 求 ； (2) 设 为 的焦点，， 为 上两点，且 ，求 面积的最小值. 54. 在直角坐标系 xOy 中，点 到 轴的距离等于点 到点 的距离，记动点 的轨迹为 . (1) 求 的方程； (2) 已知矩形 有三个顶点在 上，证明:矩形 的周长大于 . 55. 在直角坐标系 中，已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与 交于 ， 两点，且当 的斜率为 1 时，. (1) 求 的方程； (2) 设 与 的准线交于点 ，直线 与 交于点 (异于原点)，线段 的中点为 ，若 3，求 面积的取值范围. 56. 已知 是椭圆 的右焦点， 为坐标原点， 为椭圆上任意一点， 的最大值为 ，当 时， 的面积为 . (1) 求 的值； (2) A，B 为椭圆的左、右顶点，点 满足 ，当 与 ， 不重合时，射线 交椭圆 于点 ,直线 交于点 ,求 的最大值. 11 圆锥曲线中的存在与探索问题 57. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,离心率为 ,且经过点 . (1) 求椭圆 的方程； (2) 求 的平分线所在直线 的方程； (3) 在椭圆 上是否存在关于直线 对称的相异两点? 若存在，请找出；若不存在，说明理由. 58. 已知椭圆 与双曲线 的焦点与 的焦点间的距离为 . (1) 求 与 的方程. (2) 过坐标轴上的点 可以作两条 与 的公切线. (i) 求点 的坐标; (ii) 当点 在 轴上时,是否存在过点 的直线 ,使 与 均有两个交点? 若存在,请求出 的方程; 若不存在,请说明理由. 59. 已知椭圆 ，直线 ， 是直线 上的动点，过 作椭圆 的切线 ，切点分别为 . (1) 当点 坐标为 时，求直线 的方程； (2) 求证:当点 在直线 上运动时，直线 恒过定点 ； (3) 是否存在点 使得 的重心恰好是椭圆的左顶点 ? 如果存在，求出点 的坐标；如果不存在，请说明理由. 60. 如图，双曲线 : 的左、右焦点 分别为双曲线 的左、右顶点，过点 的直线分别交双曲线 的左、右两支于 , 两点,交双曲线 的右支于点 (与点 不重合),且 与 的周长之差为 2. (1) 求双曲线 的方程. (2) 若直线 交双曲线 的右支于 两点. ①记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ,求 的值; ②试探究: 是不是定值? 并说明理由. 三、参考答案与解析 题型 一 直线与圆锥曲线的位置关系 1. 选 C. 联立 消去 ,得 , 化简得 , 因为直线 与椭圆 相切, 所以 , 化简整理得 ,所以 . 故选 C. 2. 选 C. 由题意得点 在双曲线的渐近线 上,且位于第一象限,和双曲线的右顶点的横坐标相同,如图，， 分别为左、右焦点， 所以过点 且与双曲线 有且只有一个公共点的直线只有两条:一条是直线 ,另一条是过点 且与另一条渐近线平行的直线. 故选 C. 题型 二 弦长与面积问题 3. 选 A. 不妨设抛物线方程为 ,则 就是 轴, 点坐标为 . 如图. 因为直线 过焦点 ,且倾斜角为 , 所以直线 的方程为 ,代入抛物线方程,消去 , 得 ,整理得 . 设 ,则 . 所以 . 所以 . 所以直线 的方程为 . 令 ,得 ,即 点坐标为 , 所以 . 所以 . 故选 A. 4. 解析 (1) 设 ,上、下顶点分别为 ,则 . 由以线段 为直径的圆过 的上、下顶点,得 , 得 . 因为 ,所以 ,所以 , 由点 在 上,得 ,解得 , 所以 ,则椭圆 的方程为 , 短轴长 . (2) 根据题意，画出图形如图所示: 因为 ，所以 ， 又 ,所以 ,即 , 设 , 由 得 即 因为点 在椭圆 上, 所以 即 两式相减得, ,即 , 代入椭圆方程,得 ,所以 . 由 得 ,即 . 的面积等于 ,所以只需求 的值. 于是 . 题型 三 定值与定点问题 5. 解析 的周长为 8, 由椭圆的定义得 , 即 . 的面积在点 与椭圆 的上 (或下) 顶点重合时取最大值 ,即 , ,解得 (舍负), 椭圆 的标准方程为 . (2) 证明:由(1)可知 ，，椭圆 的离心率 设椭圆 的方程为 , 则有 , 解得 , 椭圆 的标准方程为 . 设 ,直线 的斜率分别为 , 则 , 联立 消去 ,整理得 , , , 同理可得 ,(化简此式若通分,则过于烦琐,所以需找 和 之间的关系,看题图可知直线 与 交于点 ,结合点 在 上找 与 的关系) 设 ,由点 在 上得 ①, 又 , , ,(想用到①式就需出现 ,只能 和 相乘) , , 即 为定值. 6. 解析 (1) 证明: 将 代入 ,得 ,所以 , 所以 的方程为 . 要证明以线段 为直径的圆恒过点 ,即证 . 设 ,根据题意知直线 的斜率存在,则 故直线 ,令 ,得 , 用 替换 ,得 . 所以 , 所以 . 因为 ,所以 ,所以 ,故原命题得证. (2) 因为 ，所以 . 由 可得 ,记 的斜率为 则 用 替换 ,可得 . 所以 , 化简可得 ,又 , 所以 ,解得 或 (舍去). 所以 . 9 轨迹问题 高考溯源 1. 常规曲线类型判断 7. 选 ACD. A. 若 ,则方程 可变形为 ,因为 ,所以 ,所以此曲线表示椭圆,且焦点在 轴上(把方程化为标准方程, 谁对应的分母大, 焦点就在哪个轴上),所以 正确. B. 若 ,则方程 可变形为 ,所以此曲线表示圆,半径为 ,所以 B 不正确. C. 若 ,则此曲线应为双曲线, 可化为 , 即 ,即双曲线的渐近线方程为 ,所以 正确. D. 若 ,则方程 可化为 ,即 ,表示两条直线,所以 正确. 故选 ACD. 8. 选 BC. 由于 ,所以 . 对于 ,当 时, 表示焦点在 轴上的椭圆,其长轴长为 ,故 A 错误. 对于 ,当 时, 是双曲线,故 正确. 对于 ,因为 ,所以 不可能表示一个圆,故 正确. 对于 时, ,表示焦点在 轴上的椭圆,且 ,则 ,故椭圆上的点到焦点的最小距离为 1, 故 D 错误, 故选 BC. 2. 非常规曲线轨迹求解和判断 9. 选 ABD. 对于 A,因为点 在曲线上,所以点 到直线 的距离为 ,而 ,所以 ,即 ,故 A 正确; 对于 ,由题意可知曲线 的方程为 ,把点 代入,满足方程,故 B 正确; 对于 , 令 , 则 ,则 , 所以在 的左侧必存在一个区间 满足 ,因此 的最大值一定大于 1, 故 C 错误; 对于 , 则 ,故 D 正确. 故选 ABD. 一题多解 对于 , 令 , 则 , 所以 在 上单调递增, 又 ,所以存在 , 使 ,即 , 所以 在 上单调递增,在 上单调递减, 故存在 ,所以 错误. 10. 选 ACD. 设曲线 上任意一点的坐标为 ,则曲线 的方程为 . A 选项,由 是曲线 上一点,知 ,点 关于原点的对称点为 , 有 . ,即 在曲线 上,故 A 正确. B 选项,由 . ,得 ,故 B 错误; C 选项,若 ,则点 在线段 的垂直平分线上, ,将 代入方程,得 ,解得 ,故只有 是原点时满足 ,故 C 正确; D 选项,由 ,得 ,又由 得 ,故 D 正确. 故选 ACD. 高考变式 1. 直接法求轨迹方程 11. 选 D. 在正方体 中, 平面 , 平面 . 如图 1,在 Rt 和 Rt 中, , . 在平面 上,以 为坐标原点,以 的方向为 轴的正方向,建立平面直角坐标系,如图 2,则 , (将空间关系转化为平面关系, 根据已知条件可用直接法求轨迹) 设 , 则由 可得 ,化简可得 ,由于 ,故 的轨迹是圆心为 , 半径为 的圆在第一象限 (包括与坐标轴的交点) 的弧, 图 1 图 2 由于 ,故 ,因此点 的轨迹长度为 . 故选 D. 2. 定义法求轨迹方程 12. 解析 设过 异于 的两切线分别切 于 两点,连接 ,由切线的性质知: , ,故 ,故由椭圆的定义知,点 的轨迹是以 为焦点的椭圆 (不含与 轴的交点), 以直线 为 轴,以线段 的中点 为原点,建立坐标系,如图,可求得动点 的轨迹方程为 . 3. 相关点法求轨迹方程 13. 选 D. 设 , 则有 ,即 , 由题意可得 ,即 ,即 . 故选 D. 4. 消参法求轨迹方程 14. 解析 设直线 的斜率为 ,则直线 的方程为 由 解得 直线 的方程为 , 由 解得 . 设 的重心 的坐标为 ,则 消去参数 ,(可将 两边平方消参) 得重心 的轨迹方程为 . 10 圆锥曲线中的最值与范围问题 高考溯源 1. 利用几何关系寻找最值位置 15. 解析 (1) 由题意可知直线 的方程为 ,即 ,当 时,解得 ,所以 , 由椭圆 过点 ,可得 ,解得 ,所以 的方程为 . (2) 设与直线 平行的直线方程为 ，当直线与椭圆相切时，与 距离比较远的直线与椭圆的切点为 ，此时 的面积取得最大值. 联立 消去 得 ,所以 ,即 ,解得 ,与 距离比较远的直线方程为 ,两平行线 (直线 与直线 之间的距离为 . 所以 的面积的最大值为 . 16. 选 B. 如图，作出椭圆及直线 ，观察图形可发现，当点 在与 平行且与椭圆相切的直线 上时，点 到直线 的距离最小，且该距离等于两平行线 间的距离. 设 的方程为 ，联立 消去 , 得 , 由 ，解得 ， 由图知，距离最小时，显然 ，故 ， 故最小距离为 . 故选 B. 2. 利用代数关系求最值 17. 解析 (1) 由题设知 ,圆 的圆心为 ,半径为 与圆 上点的距离的最小值为 ,即 ,解得 . (2)由(1)知 . 设 . 因为 在 处切线的斜率为 , 所以直线 的方程为 . 方法点拨: 因为抛物线方程为 ,即 ,所以利用导数的几何意义可求切线方程 因为 在直线 上,故 , 所以 在直线 上. 同理 也在直线 上. 所以直线 的方程为 . (利用点与直线的关系以及直线与方程的定义可知过 两点的直线的方程) 由 得 , 故 . 因此 . 因为点 到直线 的距离 , 所以 的面积 . (利用弦长公式和点到直线的距离公式表示三角形的面积) 由 得 . 因为 ,所以当 时, 的面积取得最大值,最大值为 . (利用圆的方程得出 的取值范围,再利用函数思想求得三角形面积的最大值) 18. 解析 (1) 由题意知 所以椭圆 的标准方程为 . (2) 设直线 . 由 . 由 ,解得 . 由根与系数的关系得 . 因为点 关于 轴对称,所以 . 设 ,因为 三点共线,所以 . 即 ,即 . 解得 . 所以点 为定点, . . 令 , 则 , 当且仅当 ,即 ,亦即 时取等号. 所以 的面积的最大值为 . 高考变式 1. 关于线段的范围与最值问题 19. 选 B. 抛物线 的准线方程为 ,则 , 当 时, ; 当 时, ,当且仅当 时取等号,因为 ,所以 的最小值是 . 故选 B. 2. 关于向量的数量积的最值与范围问题 20. 选 C. 抛物线 的准线方程为 , 圆 的圆心为 ,半径为 1,由直线 与圆 相切,得 ,解得 或 (舍去),所以抛物线 的方程为 , 由题意知直线 的斜率存在且不为零, 设直线 的方程为 ,联立 消去 ,得 ,由 ,解得 , 不妨设点 在第一象限,则 ,则有 ,解得 , 此时 ,即点 ,所以 , 由点 在圆 上,设 , 则 , 所以 . 当点 在第四象限时,同理可得 . 故选 C. 3. 与斜率有关的最值和范围问题 21. 解析 (1) 设双曲线的半焦距为 , . 由题可知 , ,即 . 又 . 故 的方程为 . (2) 由(1)可知 ，，，且直线 的斜率不为 0, 设直线 为 , 联立 消去 ，得 ， , , , 直线 与 的右支有交点, , 当 时, 取得最小值,且最小值为 -1. 4. 和角度有关的最值和范围问题 22. 选 D. 由题意得 . 又因为 ,所以 , 显然直线 的斜率不为 0. 当且仅当 ,即 时, 取最大值. 此时 , 又 ,则 . 故选 D. 5. 求参数的最值和范围问题 23. 答案 解析 设双曲线 的方程为 ,过 作直线 的垂线,垂足分别为 ,如图, 因为 为 的内心,(提示: 内心为三角形角平分线的交点) 所以 , , 所以 ,因为 , 所以 , 所以 , 显然 在 上单调递减,则 . 11 圆锥曲线中的存在与探索问题 高考溯源 定点存在问题 24. 解析 (1) 由题设得 ,解得 . 所以 的方程为 . (2) 证明:设 ，. 若直线 与 轴不垂直，设直线 的方程为 ，代入 得 . 于是 . ① 由 知 ,故 ,可得 . 将①代入上式可得 . 整理得 (易错点: 化简和因式分解过程中的计算量比较大, 容易出错). 因为 不在直线 上,所以 , 故 . 于是 的方程为 . 所以直线 过点 . 若直线 与 轴垂直 (易丢分点: 容易忽略直线斜率不存在的情况),可得 . 由 得 . 又 ,所以 . 解得 (舍去) 或 . 此时直线 过点 . 令 为 的中点,即 . 若 与 不重合,则由题设知 是 Rt 的斜边,故 . 若 与 重合,则 . 综上,存在点 ,使得 为定值. 25. 解析 (1) 设圆 的半径为 ,圆 与动圆 内切于点 . 点 在圆 内部, 点 在圆 内部. , 点 的轨迹是焦点在 轴上的椭圆,且 ,则 ,故动圆圆心 的轨迹方程为 . (2) 解法一:联立 消去 ，得 ， 设 ，，则 ，. 线段 的垂直平分线方程为 , 即 ①， 同理线段 的垂直平分线方程为 ②, 由①②可得 , 外接圆圆心 的横坐标 , 其中 , . , 又 线段 的垂直平分线方程为 , 即 , 圆心 的纵坐标为 , , 圆心 在双曲线 上, 存在定点 ,使得 , 为定值. 解法二: 设 的外接圆方程为 ; , 将 代入 得 , 则 , 联立 消去 ,得 , 则 , 故 , ,解得 , 设圆心 的坐标为 , 则 , , 圆心 在双曲线 上, 存在定点 ,使得 , 为定值. 高考变式 1. 定直线存在问题 26. 解析 (1) 由题意得 所以 , 设 , 则 作差得 , 所以 的斜率 ,又 , 所以 . (2) 因为 ，所以 ，，，， 设直线 ，， 联立 得 , 所以 所以 , 易知直线 , 则 , 所以 . 故存在定直线 ,使直线 与直线 的交点 在定直线上. 2. 平面图形存在问题 27. 解析 (1) 由题意知,焦距 ,故 , 又 ,故 ,所以 , 故椭圆 的标准方程为 . (2) ① 证明:由 消去 ，化简得 ,则 , 设 ,则 , 故 , 因为 ,所以 , 所以 , 又坐标原点 到直线 的距离为 , 所以 的面积为 ,故 的面积为定值. ②假设椭圆上存在点 ，使得四边形 为平行四边形，则 设 ,则 又因为 ,所以 ,得 , 与 矛盾, 故椭圆上不存在点 ，使得四边形 为平行四边形. 3. 参数存在问题 28. 解析 (1) 当 垂直于 轴时， 的方程为 ， 代入抛物线方程可得 ，解得 ，所以 . 由题意知 ,得 , 所以抛物线 的方程是 . 所以直线 的方程为 ,焦点 ,所以 . 将 代入椭圆方程可得 ,解得 , 所以 . 由已知可得 解得 所以椭圆 的方程为 . (2) 假设存在常数 ，使 为定值. 设直线 的方程为 ， 联立 消去 ，化简得 . 则 恒成立,且 所以 设 , 联立 消去 ,化简得 . 则 恒成立,且 所以 所以 . 因为 为定值,所以有 ,所以 . 所以假设成立. 所以存在常数 ,使 为定值 . 考点 1 直线与圆锥曲线的位置关系 29. 解析 (1) 由已知条件可知 , 椭圆 的方程为 ,离心率 . (2) 设直线 的方程为 . 联立 消去 得 , ,即 , 直线 的斜率为 点 与点 关于 轴对称, 得 三点共线, , 即 , , , ,解得 . 30. 解析 (1) 由题意得 解得 故椭圆 的方程为 . (2) 证明:由(1)得，曲线 ， 当直线 的斜率不存在时,直线 ,不符合题意; 当直线 的斜率存在时,设 . ①先证必要性. 因为 三点共线, , 所以设直线 ,即 . 由题意知 到直线 的距离 ,解得 , 故 ,所以直线 , 根据对称性,不妨令直线 . 联立 消 整理得 . 故 ,所以 ,即必要性成立. ②再证充分性. 易知直线 的斜率存在,设其方程为 . 由题意得 ,即 . 由 消 整理得 , 则 , 所以 因为 ,所以 ,解得 ,则 . 因为 ,即 , 所以 或 , 所以直线 的方程为 或 . 无论哪一种情况,直线 恒过焦点 , 所以 三点共线,即充分性成立. 故 三点共线的充要条件是 . 31. 解析 (1)由题意知 解得 的方程为 . (2) 易知直线 的斜率存在且不为零， 设其方程为 ， 由 得 , 由 ,得 , , , 设点 的坐标为 ,则直线 的方程分别为 故 得 , 即 , 解得 , 又 得 ,而 , 解得 . 故点 的轨迹方程为 ,其中 为直线 的斜率. 若选择①②作为条件，③作为结论， 设直线 的方程为 ，，，不妨设点 在渐近线 上， 则由 得 ,同理 , 又由 得 , ,即 为 的中点, . 若选择①③作为条件，②作为结论， 当直线 的斜率不存在时，点 即为 ， 此时 不在直线 上，不符合题意，舍去； 当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 . 不妨设点 在渐近线 上,且 . 由 得 同理 , 此时 , 点 在直线 上, , 解得 ,故 . 若选择②③作为条件，①作为结论， 设直线 的方程为 ,不妨设点 在渐近线 上, 则 解得 , 同理,得 , 设线段 的中点为 , 则 , 由于 ,故点 在线段 的中垂线上, 即点 在直线 上, 将该直线方程与 联立,得 , 即点 恰为线段 的中点, 故点 在直线 上. 考点 2 弦长与面积问题 32. 解析(1)将 代入椭圆方程 得 所以椭圆的离心率 . (2) 当直线 的斜率不存在时, , 此时 ,不符合题意. 当直线 的斜率存在时,设 , 联立 消去 整理得 , 设 , 则 , , 又点 到直线 的距离 , , 解得 或 , 直线 的方程为 或 . 33. 解析 (1) 由题设可得 ,得 , 所以 的方程为 . (2) 设 ，根据对称性可设 ，由题意知 . 由已知可得 ，直线 的方程为 ， 所以 ,得 , 所以 . 因为 , 所以 ,将 代入 的方程,解得 或 -3. 由直线 的方程得 或 8. 所以点 的坐标分别为 , . ,直线 的方程为 ,点 到直线 的距离为 ,故 的面积为 . ,直线 的方程为 ,点 到直线 的距离为 ,故 的面积为 综上, 的面积为 . 34. 解析 点 在双曲线上, , 解得 的方程为 . ① 设直线 . ② 联立①②，消去 得 . 设 , 则 , , 由 ,得 , 化简得 , 即 , 化简得 , 或 . 若 ,则 , 这时直线 过点 ,不合题意, . (2) 不妨设直线 的倾斜角为 . 由 (1) 知 ,当 均在双曲线左支时, , 即 ,解得 (负值舍去). 此时 与双曲线的渐近线平行,与双曲线左支无交点,舍去; 当 均在双曲线右支时, , ,即 , 即 ,解得 (负值舍去). 于是,直线 , 联立 消去 可得 , . , 同理 ,又 , . 考点 3 定值与定点问题 35. 解析(1)设双曲线的方程为 ， 由题意可知 , 又离心率 (写出公式给 1 分), , 双曲线 的方程为 . (2) 证明:由题意知直线 的斜率不为 0 (失分点:考虑斜率不存在，否则会失分)，所以可设直线 的方程为 ，,由 知, . 联立 消去 ,得 , . 易知直线 的方程为 ,① 直线 的方程为 ,② 联立①②可得，， , 点 在定直线 上(最后一定要作答,否则会失分). 36. 解析 (1) 由已知条件得 ,又 的方程为 . (2) 证明:由题意知，过 、 两点的直线的斜率存在且不为零，记直线为 ，设 ，令 ，则 , 联立 消去 得 , 由 得 . 设 ,则 , 易知直线 的方程为 . 令 ,得 ,同理可得 , 则 . 线段 的中点为定点 . 解题技巧 解决直线 过坐标系内定点问题时,可采取换元法将点斜式方程变为斜截式方程, 减少项数, 从而有效降低后续的计算量. 基础夯实 37. 选 B. 由题意得焦点为 ,准线方程为 , 设点 ，则 的中点为 ，， 当 时，直线 的斜率为 ， 所以直线 的方程为 ， 由 得 ， 因为 ，所以直线 与抛物线只有一个公共点， 当 时,线段 的垂直平分线 为 轴,此时直线 与抛物线只有一个交点. 综上,直线 与抛物线公共点个数的可能值构成的集合为 , 故选 B. 38. 答案 解析 由抛物线的光学性质知,直线 与 轴的交点为抛物线的焦点, 的焦点为 ,故直线 与 轴的交点横坐标为 1, 由题意得 ,得 ,即 ,又直线 过焦点 ,所以直线 的方程为 , 即 ,联立 消去 ,得 ,解得 或 ,所以 . 则 的 边上的高为 , 又 ,所以 . 知识链接 抛物线的光学性质见人教 A 版选择性必修第一册 P140 阅读与思考. 能力提升 39. 解析 (1) 将 代入椭圆方程可得 , 即 , 又因为 ,所以 ,代入上式可得 , 故椭圆 的标准方程为 . (2) 由(1)可得 ，，， 由题意设直线 的方程为 ，则 , 联立 得 , 所以 , 所以 解得 ,即 , 所以 , 则 的面积 . 40. 解析(1)设 ，则 ， 化简可得 . (2) 由题意知直线 与 轴不重合,设直线 的方程为 , 联立 消去 得 , 所以 , 则 . 易得 到直线 的距离 , 因为平行四边形 的对角线互相平分, 所以 ,所以 , 由 在椭圆 上,可得 ,解得 (舍负). (求出 并解出 的值是本题的关键) 所以平行四边形 的面积 所以四边形 的面积是 . 41. 解析 (1) 因为 ，所以 ，则椭圆 的方程为 ，将 代入 得 ， 解得 ，故椭圆 的方程为 . (2) 证明:由(1)知 ，由题意可设 ，，由 可得 , 易知 恒成立, . 因为 ,所以直线 的方程为 , 令 ,则 ,故 ,同理 , 从而 , 故 ,为定值. 42. 解析 (1) 设 ,则 , , (2 分) 当 时, 的最小值为 ,所以 ,结合离心率为 ,可得 , 故双曲线方程为 . (3 分) 所以 ,双曲线的渐近线方程为 . 不妨令 为直线 与直线 的交点,可得 , 同理可知 , 所以 . (7 分) (2) 若直线 的斜率存在,设直线 的方程为 , . 联立 消去 得 ,则 (9 分) 因为 , 所以 , 整理得, , 或 , (13 分) 当 时,直线方程为 ,过 ,与题意不符; 当 时,直线方程为 ,过定点 . (15 分) 若直线 的斜率不存在,令其方程为 ,根据对称性不妨令 , ,解得 或 . 时,直线过点 ,与题意不符; 时,直线过定点 . 综上,直线过定点 . (17 分) 43. 解析(1)当直线 的倾斜角等于 时，直线 的倾斜角等于 ，直线 的方程为 ， 由抛物线的对称性知 , 所以 ,得 . 联立 消去 得 , 设 两点的横坐标分别为 ,则 . 因为 ,所以 ,所以 的方程为 . (2) 证明:由(1)知 ，依题意，可设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 . 联立 消去 得 ，显然 ， 设 ,则 . 设 ,同理可得 , 所以 ,同理可得 . 直线 的方程为 , 即 . 同理,直线 的方程为 两直线方程联立得 ,解得 , 即直线 与 的交点 在定直线 上. 44. 解析 (1) 由题意可取双曲线 其中一条渐近线的方程 , 因为双曲线 的一条渐近线与双曲线 的一条渐近线垂直, 所以双曲线 的一条渐近线的方程为 , 所以 ,即 , 所以 ,所以 的一个焦点为 , 由点 到双曲线 的渐近线 的距离为 , 所以 ,故 的方程为 . (2) 证明:设 ，则 ，即 ，， 由点 关于直线 的对称点为 ，得 ， 设 ， 由题意知直线 与 的渐近线平行,根据对称性不妨令 的斜率为 , 则直线 的方程为 , 联立 解得 ,(提示: ) 直线 的方程为 , 联立 解得 , 所以 故 为定值 . 9 轨迹问题 45. 选 A. 设 ,则直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 , 依据题意可知, ,化简得 , 因为直线 的斜率存在,所以 , 所以点 的轨迹方程为 . 故选 A. 46. 选 . A 中,记 中点为 中点为 ,连接 ,易知 ,且 ,若 ,则 ,则 ,所以点 的轨迹是以 为圆心,半径为 的圆,其面积 , 故 A 正确; 中,点 到直线 的距离为 ,所以点 到定点 和直线 的距离相等,由抛物线定义可知, 的轨迹是抛物线,故 B 正确; 中,易知 ,则 ,所以 的轨迹是以 为圆心,半径为 的圆,故 错误; 中,过点 向 作垂线,垂足为 ,易知 ,所以 ,所以 ,在平面 中,以 的方向分别为 轴、 轴、 轴的正方向,则 ,设 , ,则 ,则 ,整理得 ,故 D 正确. 故选 ABD. 47. 选 ACD. 平面内 和 ,动点 满足 ,故 . 对于 ，把 代入，可得 ，正确； 对于 ，设曲线上一点 ，则关于 轴对称的点为 ，，关于 轴对称的点为 ， 将 代入 的方程得 将 代入 的方程得 所以曲线 既关于 轴对称,也关于 轴对称,不正确; 对于 ,若 三点不共线,则 ,当且仅当 时等号成立, 又 ,所以 周长的最小值为 ,正确; 对于 ,因为曲线 既关于 轴对称,又关于 轴对称,所以四边形 是平行四边形,又 ,所以四边形 的面积为 ,当且仅当 时等号成立,此时 ,所以四边形 的面积不大于 ，正确. 故选 ACD. 48. 答案 解析 在双曲线 上任取一点 ，将其绕坐标原点 沿逆时针方向旋转 后得到点 , 即 ,在曲线 上设点 , 则有 反求出 ,得 因为点 在双曲线 上, 所以 ,整理得 ,故曲线 的方程为 . 49. 解析(1)设 ，则 ， 因为 为 的重心， 故 解得 结合 ，化简得 ，又 ,故 ,所以 的轨迹方程为 . (2) 因为 为 的垂心，所以 ， 因为 ，所以 ，故设直线 的方程为 ,联立 消去 得 , 由 得 , 设 ,则 , 由 ,得 , 所以 , 所以 , 所以 , 化简得 , 解得 (舍去) 或 (满足 ), 故直线 的方程为 . 50. 解析 (1) 设 ， 由题意可得 ，化简得 ， 所以动点 的轨迹方程为 . (2) 对 求导得 . 把 代入 得 ，即切点坐标为 ， 所以直线 的方程为 ，即 ， 令 ,可得 ,即 , 因为 ,所以 , 则直线 的方程为 ,即 , 联立 解得 或 即 ， 所以 的面积为 51. 解析(1)由题意，设 ，，， . 则 , 将 式代入得 ,化简得 . 动点 的轨迹方程为 . (2) 设点 . 由题意得 ，，. , ,故 , 又 , 故点 在直线 上, 联立 消去 得 , 解得 或 . 或 . 当 坐标为 时,直线 的方程为 , 当 坐标为 时,直线 方程为 , 即 . 52. 解析(1)由题意知 ，因为 ,所以结合双曲线定义知,点 的轨迹 是以 、 为焦点的双曲线的右支. 设其方程为 , 则 ,解得 , 则 , 所以 的轨迹 的方程为 . (2) 如图，设 ，直线 的方程为 ，由 消去 得 设 , 则 , 因为 , 所以 , 同理 , 所以 . 设直线 的方程为 , 同理得 , 因为 , 所以 , 即 , , 化简得 ,由题意知 ,所以 , 即直线 的斜率与直线 的斜率之和为 0. 10 圆锥曲线中的最值与范围问题 53. 解析 (1) 设 , 由 消去 得 , 直线与抛物线有两个交点 , 解得 或 (舍). 由根与系数的关系可知， 解得 或 (舍). . (2) 由(1)知，抛物线的焦点为 . 由题意知直线 的斜率不可能为 0， 设 的方程为 , 联立 消去 得 , ,即 , 由根与系数的关系得 , ,即 即 ,即 . 设 到 的距离为 ,则 , 又 . ,解得 或 , 当且仅当 时, 取得最小值 . 即 面积的最小值为 . 54. 解析 (1) 设 ，由题意得 ，整理得 ，因此 的方程为 . (2) 证明:不妨设 三点在 上，如图所示. 设 的斜率为 , 则直线 的斜率为 , 直线 的方程分别为 ,即直线 的方程分别为 联立直线 与抛物线 的方程可得 消去 得 , 则 . 由根与系数的关系得 , . 同理,联立直线 与抛物线 的方程,并消去 得 ,且 . 由对称性不妨设 , 则 (当 时取 “”)， ,令 ,则 , 则 ,令 , 则 , 当 时, 单调递减; 当 时, , 单调递增, 在 即 处取得极小值,即最小值,为 . 矩形的周长 . 55. 解析 (1) 因为过 的直线 与 交于 两点,故直线 的斜率不为 0, 不妨设 的方程为 , 联立 消去 得 , ,则 , 由题可知当 时, 的方程为 . (2) 由(1)知 ， 将 代入 ，得 ，即 ， 易知 的准线方程为 ，又 与 的准线交于点 ， , 则直线 的方程为 ,联立 与 的方程，得 , 的纵坐标相等， 直线 轴, , , (技巧点拨: 巧用面积公式 避免大量计算, 起到化繁为简的目的) 点 异于原点, , (易错警示: 容易遗漏点 异于原点即 的限制条件) ,即 . 56. 解析 ①, 设椭圆的左焦点为 ,因为 , 所以 ,即 , 又 ,所以 ,所以 , 所以 , 所以 , 因为 ,所以 ,所以 ②,又 ③, 所以联立①②③，解得 ，所以 . (2) 由(1)可知椭圆 的方程为 ，因为点 满足 ，所以 ，设直线 的方程为 ， 联立 消去 得 , 易得 , 设 , 则 , 直线 的方程为 , 直线 的方程为 , 联立得 , 因为 ,所以 ,解得 , 所以动点 的轨迹方程为 . 由椭圆的对称性不妨设 ,直线 的倾斜角分别为 , 因为 ,所以 , 因为 , 所以 , 当且仅当 时,等号成立,此时 ,所以 的最大值为 . 关键点睛 寻找到 与 之间的关系再化简得到 是本题的关键步骤,得到 的轨迹方程是 ,根据椭圆的对称性巧妙设 ,能避免对 的范围讨论,节省解题时间, 提高答题效率. 11 圆锥曲线中的存在与探索问题 57. 解析 (1) 由题意可得 ,解得 所以椭圆 的方程为 . (2) 由(1)可知，，. 由题意可知 ， 设角平分线所在直线上任意一点为 ，则 , 化简得 或 . 又易知 的斜率为正, 的平分线所在直线 的方程为 . (3) 解法一:假设存在关于直线 对称的相异两点 ，,设 , 联立 消去 可得 , 故 . 线段 的中点 在 上, ,解得 . 因此中点 与点 重合,舍去, 故不存在满足题设条件的相异两点. 解法二: 假设存在关于直线 对称的相异两点 , ,线段 中点 , 由点差法可得 即 . , 因此 ,联立 可得 与点 重合, 舍去, 故不存在满足题设条件的相异两点. 58. 解析(1)由题意可得 ，解得 . 又 , 所以 . (2) (i)显然公切线的斜率存在且不为 0，设公切线 , 联立 消去 得 , 则 ,即 . 联立 消去 得 , 则 ,即 . 联立①②得 ，所以公切线为 或 . 因为点 在坐标轴上, 所以当 时可得 ,当 时可得 . 故满足条件的点 有 4 个,分别为 , . (ii) 当点 在 轴上时, 假设存在直线 与 均有两个交点, 由 (i) 知 不等式组无解, 所以不存在过点 的直线 与 均有两个交点. 59. 解析 (1) 设 , 已知椭圆方程为 ,故切线 的方程为 , 又点 在该直线上,所以 , 切线 的方程为 , 又点 在该直线上,所以 , 则点 都在直线 上,即直线 的方程是 , 当点 坐标为 时, , 所以直线 的方程是 ,即 . (2) 证明: 由 (1) 知直线 的方程是 , 又点 在直线 上,所以 , 得 ,代入 的方程得 , 即 ,所以 解得 故直线 恒过定点 . (3) 由(1)知点 ，则直线 的方程为 ,代入 ,得 , 则 , 所以 ,解得 , 所以 点坐标为 . 60. 解析 (1) 设 ,因为 与 的周长之差为 2, 所以 , 即 , 又因为 分别为双曲线 的左、右顶点, 所以 ,联立 解得 所以 , 故双曲线 的方程为 . (2) ① 由(1)知，双曲线 的方程为 ，，，,设 ,则 ,可得 , 则 . ② 为定值 4. 理由如下: 设直线 的方程为 , 联立 整理得 , 设 , 则 , 因为 位于双曲线的左、右两支,所以 ,即 可得 , 又因为 ,所以直线 的方程为 , 根据双曲线的对称性,同理可得 , (小技巧: 的长度不用再计算,只需将 的 换成 即可) 所以 ,故 为定值 4. 学科网（北京）股份有限公司 $