7.8 圆锥曲线的定点、定值与定直线问题讲义-2027届高三数学一轮复习

第三编 · U7 解析几何 7.8定点、定值与定直线 高中数学一轮复习讲义 一、考情与考点定位 这一讲回答解析几何大题里最难写也最容易拿分的一类问题：某个东西不随参数改变。直线恒过某个点、某个乘积恒为常数、动点始终落在某条线上——三句话其实是同一件事，消参之后参数不见了。 （一）高考怎么考 本讲的考查点几乎全部落在解答题的后一问：曲线已经定下来，再给一个含参的动直线或动点，要求“证明某量为定值”“证明直线过定点”“证明交点在定直线上”。先看它在试卷上的位置。 表 1: 高考定点、定值与定直线考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2026 全国Ⅱ卷 18 两条动直线 与 交于点 ， 在椭圆上运动：求 的轨迹方程，再按参数 的取值判断轨迹是哪类曲线 2026 全国Ⅰ卷 18 焦点弦 与直线 交椭圆于另一点 ：由两个三角形面积之比反求 的方程，再求 的最小值 2025 全国一卷 18 第(2)问：射线上的乘积定值，设元表示动点坐标，再由斜率倍数关系消参 2024 新高考Ⅱ卷 19 斜率为定值的直线与双曲线左支相交，迭代构造点列，证 成等比、三角形面积恒定 2024 新课标Ⅰ卷 16 过定点的弦与椭圆上两定点连线，由面积条件反求直线 表 1 有三条线索值得逐条看清。第一条是2026 年把“定点、定值”换了壳：全国Ⅰ卷第 18 题用两个三角形的面积之比反求动直线 ，再求 的最小值；全国Ⅱ卷第 18 题让两条动直线 与 交于点 ，先求 的轨迹方程，再按参数 的取值判断它是椭圆、双曲线还是抛物线。题面里“定值”二字消失了，参数却贯穿到底，落点从“证明某个量不变”改成“求出随参数改变的对象”——手上的动作一个没变，仍是设元、把动点坐标写成含参的式子、再消参。第二条是定值条件被前置为已知：2025 年全国一卷第 18 题把 直接写进题面，第 (i) 问只要求用 表示 ，真正的功夫在于第 (ii) 问把斜率倍数关系翻译成 的轨迹方程——这是最纯粹的“设元—消参”。第三条是同一套动作换了三副面孔：2024 年新高考Ⅱ卷第 19 题把定值说成数列语言，用迭代构造点列，要求证 成等比、三角形面积恒定，本质是识别 这一结构；2024 年新课标Ⅰ卷第 16 题，连同更早的 2023 年新课标Ⅱ卷第 21 题、2022 年新高考Ⅰ卷第 21 题，则回到主干——弦过定点、交点在定直线上、斜率之和为定值零。三副面孔共用一套动作：设元、韦达、把目标式配成对称式。 （二）必备知识清单 表 2: 本讲必备知识清单 知识块 必须记准的内容 掌握要求 探定点 含参直线写成 ，令两部分同时为零；直线系通常漏掉 系数最大的那一条 会探点，会说漏了哪条 设元四种 设线（ 或 ）、设点（、）、设斜率、设比例 会按题面选一种并负责到底 消参三种 代入消元、韦达对称式消元、齐次化（同除 或 ） 会把目标式化成 与 顶点引两线 椭圆上关于原点对称的两点 、 与曲线上的 ：；双曲线为 会用点差法现推，不背结论 焦点弦定值 抛物线 的焦点弦： 会用，知道它来自焦半径公式 定直线结构 弦 过 ，左右顶点 、，则 与 的交点在 上 会用特殊位置先猜，再一般证明 校验三查 、分母不为零、设线形式有没有漏掉一类直线 每题最后一步必查 二、知识梳理：把定义变成可操作的动作 “定点、定值、定直线”三句话的主语不同，动作却完全一样：引进一个参数，把目标写成这个参数的式子，再证明参数被消掉。所以本讲的基本功只有三件——设元、消参、结构识别。 （一）设元：先决定谁是自变量 设元不是“设直线方程”这么一句话，而是选一个全程只用一个的自变量。四个判据： （1）题面给的是“弦的两端点在曲线上”，就设点不设线，并且把横坐标用纵坐标表示——抛物线 上一点一律写成 ，这样斜率、数量积都只含一次 。 （2）题面给的是“直线过 轴上一定点”，就设 。它把竖直线包含进来（），代价是把水平线排除在外（ 写不出来），所以水平线要单独看一眼。 （3）题面给的是“直线过 轴上一定点”或“斜率明确存在”，才设 ，并记住它漏掉了竖直直线。 （4）题面出现“射线”“线段上一点”“定值乘积”，就设比例：，，再用定值条件把 解出来。这是 2025 年全国一卷第 18 题第 (i) 问的唯一通路。 （二）消参：三条路，一条走到底 设元之后，目标式里必然同时出现参数与交点坐标。消参就是把坐标全部换成韦达定理的两个基本对称式： 三条常用路：代入消——把一个坐标用另一个表示后直接约掉；对称式消——目标式若只含 、，代韦达即可；齐次化消——目标式是二次齐次（如 与 的组合）时，同除 或 ，把它变成 这类结构。 （三）结构识别：六个必须一眼看出的式子 拿到题不要急着联立，先扫一遍目标式能不能套下面六个结构。 本讲六个必认结构 （1）：双曲线与等轴型递推的钥匙，配 与 成对处理。 （2）：顶点引两线的斜率之和，通分后分子必出现 这类公因子。 （3）：三角形面积的本质式，平方后用 展开。 （4）：焦点弦倒数和，用焦半径 通分。 （5） 为常数：抛物线上两点的数量积条件，几乎总化为 的二次方程。 （6） 为常数：射线上的乘积定值，用 与 常数解出 。 定值题最忌讳的写法：算一个特例就交卷 取特殊位置算出“定值”是猜，不是证。高考阅卷对“证明某量为定值”只给结论分不给过程分的情形，几乎都是考生只验证了一种位置。正确顺序是：先用特殊位置把答案猜出来（省掉大量试错），再回到一般位置做带参数的完整推导，最后把猜出的数当校验靶子。 三条必记结论 （1）椭圆 上关于原点对称的两点 、 与第三点 （三点不共线），恒有 ；双曲线把负号换成正号。 （2）抛物线 的焦点弦 ：，，。 （3）有心圆锥曲线中，弦 恒过 轴上定点 ，左右顶点 、，则 与 的交点恒在定直线 上（椭圆、双曲线同一形式）。 三、题型模型分类：先认情境，再选工具 本讲的六个模型按题面长什么样划分，不按用哪种消元法划分。认出情境，工具是跟着来的。 表 3: 定点、定值与定直线问题的六个模型速查表 模型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 · 弦过定点 曲线上一动弦，条件只给了两点连线段的数量积 设点不设线，目标式化成 例 1 二 · 斜率之和为定值 顶点（或曲线上定点）向两动点引两条线 通分后配对称式，参数只剩一个 例 2 三 · 两动线交点轨迹 两条动直线分别过两个定点，交点记为 特殊位置猜直线，再证斜率线性关系 例 3 四 · 面积或长度定值 问三角形面积、线段平方和是否为定值 面积写成 后平方 例 4 五 · 迭代构造定值 由 作定斜率直线得 ，问数列、问面积 曲线方程作差，配成一对 例 5 六 · 乘积定值反求坐标 出现 常数、射线、线段 设比例 ，用定值解出 再回代 例 6 （一）模型一：弦过定点 识别标志：抛物线或椭圆上两个动点，题面给的是这两点与原点（或某定点）连线的数量积、斜率之积。标准动作：设点不设线，把直线方程用两点式写成对称形式，再令含参部分为零。易错： 时弦垂直于 轴，用斜率式会漏掉，用对称式不会。 （二）模型二：斜率之和为定值 识别标志：曲线上有一个“半定点”（顶点、端点），从它向弦的两端各引一条线，给两斜率之和或之积。标准动作：通分，把分子分母都写成 、，代韦达后参数只剩一个，再解出定点。易错：分母里的 不能为零，它对应“弦恰好过那个定点”的退化情形。 （三）模型三：两动线交点在某定直线上 识别标志：题面同时出现“过定点的弦”和“两条动直线交于 ”。标准动作：先把弦取成垂直于对称轴的特殊位置，算出 的横坐标，猜出定直线 ；再把 翻译成两条线斜率的一次关系式，用韦达验证。易错：、 与两个定点的配对顺序不能写反，写反了交点不在同一条定直线上。2026 年的变体：全国Ⅱ卷第 18 题保留了“两条动直线交于动点”的全部设定（ 与 交于 ），只把追问从“证明 在定直线上”换成“求 的轨迹方程，再按参数判断曲线类型”。求交点、消参这两步照做不误，只是最后不再验“不变”，而是把参数留在方程里分类讨论。 （四）模型四：面积或长度为定值 识别标志：问 面积、、 是否为定值。标准动作：面积一律写 ，平方后用曲线方程把 换成 。易错：平方之后要说明取正根，且要检查 （三点不共线）。 （五）模型五：迭代构造中的定值 识别标志：出现 、、“过 作斜率为 的直线”。标准动作：把对称条件翻译成坐标关系（关于 轴对称 横坐标反号），再用曲线方程对相邻两项作差，凑出 与 这一对。易错：公比 与它的倒数极易写反，用首项代回验一次。 （六）模型六：乘积定值反求坐标 识别标志：射线、线段、“ 等于常数”。标准动作：设 ，则 ，乘积条件给出 （ 为题中给定的乘积），回代即得 的坐标；再按第二个条件消参求轨迹。易错： 与“ 不在 轴上”这类限制要在最后回查。 四、例题精讲 六道例题一一对应上面六个模型。每题统一按四步展开：认模型 → 设元 → 消参 → 校验。其中“消参”之前必须先做结构识别——认出目标式属于 §二的哪一个必认结构，消法也就跟着定了。第四步“校验”专管三件事：、分母不为零、设元形式有没有漏掉一类直线。 （一）模型一：弦过定点 例题 1（模型一·数量积定值） 已知抛物线 ： 上两点 、 均异于原点 ，且 。求证：直线 恒过定点，并求出该定点。 第 1 步 · 认模型：两个动点都在曲线上，条件只给了它们与原点的数量积——模型一。目标是“直线过定点”，所以宁可设点，不要设线。 第 2 步 · 设元：设 ，，。条件化为 第 3 步 · 消参：这是结构（5）：只含 。令 ，得 ，即 ，故 。再用两点式写直线（对称形式，不含除法）： 无论 取何值， 时恒有 。 第 4 步 · 校验： 时上式给出 ，即弦垂直于 轴，此时 、，确在 上且满足条件，仍过 (2,0)； 说明 、 自动异于原点，不必另设条件。 故直线 恒过定点 (2,0)。 图 1: 抛物线上的弦 AB 与两条原点连线 为什么这里不能设 y=kx+m 有可能垂直于 轴（ 那一类），斜率式 恰好漏掉它，于是要分两类讨论，还要单独验一次。设点写成 之后，竖直与倾斜统一在一个式子里，这类漏解从源头上消失。 （二）模型二：斜率之和为定值 例题 2（模型二·顶点引两线） 已知椭圆 ： 的右顶点为 ，、 是 上两个不同的点（均异于 ），直线 、 的斜率都存在且之和为 1。求证：直线 恒过定点。 第 1 步 · 认模型：定点 是曲线上的顶点，两斜率之和给定——模型二，目标是反推弦过定点。 第 2 步 · 设元：。设 ：（，否则弦过 ），、。联立： 第 3 步 · 消参：目标是结构（2），通分后分子分母各自化简： 分子代韦达两式： 分母代韦达两式： 故 于是 ， 时恒有 。 第 4 步 · 校验：把 代回判别式：，故必须 ； 即 已含其中。 时两交点确实存在、都不与 重合、两斜率都存在，且不论 取何负值，直线都经过 (2,−1)。 故直线 恒过定点 (2,−1)。 图 2: 椭圆右顶点 A 与弦 PQ 两端点的连线 （三）模型三：交点在定直线上 例题 3（模型三·两动线交点） 已知双曲线 ： 的左、右顶点分别为 、，过点 的动直线 与 的右支交于 、 两点。直线 与 交于点 。求证：点 在一条定直线上，并求这条直线。 第 1 步 · 认模型：弦过定点 ，两条动直线交于 ——模型三。先猜后证：取特殊位置定出候选直线，再做一般证明。 第 2 步 · 设元：猜：取 为 ，代入得 ，取 、，则 、，两线交点的横坐标满足 ，解得 。候选定直线：。 证：设 ：（ 轴本身与右支只交于顶点，舍去），、。联立 第 3 步 · 消参：记 ，（，）。由 得 而 分子恰好是对称式，代韦达：。故 ，。 第 4 步 · 校验：（否则与渐近线 平行，只剩一个交点）；（两线不平行，题设已给出交点 ）；、 由右支上 与 不为 轴保证。 的纵坐标随 变化，横坐标恒为 1。 故点 恒在定直线 上。 图 3: 双曲线顶点与过 D 的弦两端点连线交于 M 定直线题的通用猜法：把弦摆正 凡是“过定点 的弦 + 顶点连线交于 ”，先把弦摆成垂直于实轴的那一条（），两交点关于 轴对称，交点 一算就出来。有心圆锥曲线统一给出 ：本讲 、，所以 。猜完之后，证明只需验证一条斜率的线性关系。 （四）模型四：面积为定值 例题 4（模型四·面积定值） 已知椭圆 ：，、 是 上两个动点， 为坐标原点，直线 、 的斜率都存在且 。求证： 的面积为定值。 第 1 步 · 认模型：条件是斜率之积，目标是面积——模型四，面积必须写成结构（3）。 第 2 步 · 设元：设 、，。由曲线方程 。条件化为 第 3 步 · 消参：左边 ，约去 4 展开得 ，即 再算面积： 第一项 ；又 。两式相加，含 的项整体抵消： 第 4 步 · 校验：取 、，两点都在 上，，代入面积式得 ，与推导一致； 说明 、、 不共线，条件本身已排除共线（共线时 ，乘积为正）。 故 的面积为定值 。 图 4: 原点 O 与椭圆上两点 A、B 构成的三角形 （五）模型五：迭代构造中的定值 例题 5（模型五·定斜率迭代） 已知双曲线 ：（）的右支上有点 ， 为常数且 。依次构造点 （）：过 作斜率为 的直线与 的左支交于 ，令 为 关于 轴的对称点，记 。（1）若 ，求 、；（2）证明：数列 是公比为 的等比数列；（3）设 为 的面积，证明：对任意正整数 ，。 第 1 步 · 认模型：定斜率直线 + 关于 轴对称 + 递推点列——模型五，钥匙是结构（1）。先定 ，即 ：。 第 2 步 · 设元：对称条件翻译成坐标：，它与 都在 上、连线斜率为 ： 两式相减（都用 ）：，把上式代入右端： 右支与左支上 ，可约去，得 。 第 3 步 · 消参：把两个一次关系式相加、相减： 第二式即 ，首项 ，故 是公比 的等比数列；第一式同时给出 。 （1）取 ：过 的直线 代入 得 ，两根 （即 ）与 ，故 ，，即 、。 （3）令 ，，，则 且 记 、、、，则 其中最后一步用了 与 。右端只含 （即只含 ），不含 ，故 。 第 4 步 · 校验： 保证 ，公比与倒数不会写反（用 回代： ✓）； 时 ，面积式给出 ，与直接由 、、 算出的面积一致；把 代回可写成 。 图 5: 定斜率直线与双曲线两支的交点及其对称点 （六）模型六：乘积定值反求坐标 例题 6（模型六·射线上的定值） 设椭圆 ：（）的离心率为 ，下顶点为 ，右顶点为 ，。（1）求 的标准方程；（2）已知动点 不在 轴上，点 在射线 上，且满足 。（i）设 ，求点 的坐标（用 、 表示）；（ii）设 为坐标原点， 是 上的动点，直线 的斜率为直线 的斜率的 3 倍，求 的最大值。 第 1 步 · 认模型：射线 + 乘积定值——模型六，用结构（6）设比例。 第 2 步 · 设元：（1） 得 ；又 ，故 、，：，、。 （i）设 ，。则 ，条件给出 ，即 。记 ， 第 3 步 · 消参：（ii），，由 得 整理为 ，即 落在以 为圆心、 为半径的圆上。于是 设 ， 故 ，。 第 4 步 · 校验：取等要求 、、 共线且 在两点之间； 时 ， 不在 轴上，故连线不竖直，其反向延长线与圆的交点横坐标非零， 满足“不在 轴上”； 恒成立， 与“ 在射线 上”一致。 故 的最大值为 。 图 6: 射线 AP 上满足乘积条件的点 R 与动点 P 乘积定值一定先问“t 能不能解出来” 常数的题，设 之后， 这一步用了 （ 在射线上）。若题面写的是“直线 上”，就要允许 ，解出 ，轨迹会多出一支。少讨论一个符号，整道题的轨迹就少一半。 五、易错点辨析 本讲的失分点集中在“设元之后不管限制”和“消参消到一半换方法”两处，逐条对照下表。 表 4: 本讲六个高频错误及其纠正 错误表现 错因 正确做法 设 后算出定点，漏掉竖直弦 斜率式不含竖直直线 过 轴上定点一律设 ，或设点不设线 弦过 时忘了 轴这一类 写不出 单独验一次水平线，或在题面里把它排除 只取特殊位置算出定值就交卷 把“猜”当成“证” 特殊位置只用于确定答案，一般位置必须带参数推一遍 韦达代换后仍有 、 不对称的项 通分时把 、 与两定点配错对 先把目标式写成对称式再代韦达，非对称项说明配对错了 迭代题把公比写成 两式相加、相减时弄反 用 回代验一次首项， 时 递增 面积定值题最后不说明 平方开方丢条件 校验三点不共线、开方取正，并说明斜率存在的要求 六、当堂检测 A 组练四个基本动作（探点、认定值、代公式、拆结构），B 组是六个模型的变式，C 组两题分别考存在性与定点。 （一）A 组：基础过关 A1 不论实数 取何值，直线 ： 恒过一定点，求该定点坐标，并判断 与圆 ： 的位置关系。 A2 已知椭圆 ： 的左、右顶点分别为 、，点 是 上异于 、 的动点。求 的值。 A3 已知抛物线 ： 的焦点为 ，过 的直线交 于 、 两点。求 的值。 A4 已知椭圆 ：， 为左顶点， 为上顶点， 是 上第一象限内的动点。直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 。求证： 为定值。 （二）B 组：能力提升 B5 已知椭圆 ： 的左、右顶点分别为 、，过点 的动直线 与 交于 、 两点（均异于 、），直线 与 交于点 。求证： 在一条定直线上，并求该直线方程。 B6 已知点 ，动点 在圆 ： 上运动（），点 在线段 上，且 。求证：点 在一条定直线上，并求该直线方程。 B7 已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于 、 两点。求证：直线 与 的斜率之和为定值，并求出该定值。 B8 已知椭圆 ： 的上顶点为 ，、 是 上异于 的两点，直线 与 的斜率都存在且之和为 1。求证：直线 恒过定点，并求该定点。 （三）C 组：压轴突破 C9 已知椭圆 ： 的右焦点为 ，过 的动直线 与 交于 、 两点。问 轴上是否存在定点 ，使得 为定值？若存在，求出 的坐标与这个定值；若不存在，说明理由。 C10 已知椭圆 ： 的右焦点为 ，过 的直线 （不垂直于 轴）与 交于 、 两点，与直线 交于点 。设 ，。求证： 为定值。 七、参考答案与提示 下面逐题给出答案与关键一步的提示，提示里写出“这一步为什么必须做”。 （一）A 组 A1答案：定点 (1,−2)； 与圆 恒相交于两点。 提示：按 整理成 ，令两括号同时为零。定点恰为圆心，故过圆心的直线必与圆交于两点。易错点：直线系漏掉 这一条（它对应 不存在），说“过该点的所有直线”并不等价。 A2答案：。 提示：设 ，用 把 化简，得 。易错点：分母是 而不是 ，符号错就成了 。 A3答案：。 提示：，，焦半径 ，弦过焦点给出 、，通分得 。易错点：竖直弦（通径）时斜率不存在，用 设线才不会漏。 A4答案：定值 4。 提示：、，于是 。关键一步是把 代入分子展开：，约分得 4。易错点：不用曲线方程替换 ，就会卡在完全平方式里出不来。 （二）B 组 B5答案：定直线 。 提示：设 ：，联立得 。记 、，则 ，，而 的分子为 。易错点： 要求 ，即弦的倾斜程度必须足够；、 与 、 的配对顺序不能写反。 B6答案：定直线 。 提示：设 ，，由 得比例 ，于是 ， 可取一切实数。易错点： 在线段上要求 ，且 （）；轨迹是整条直线而不是射线。 B7答案：定值 0。 提示：设 ：，联立得 ，、；。易错点： 要求 ， 太小时直线与抛物线不相交，题面就不成立。 B8答案：定点 (−2,−1)。 提示：设 ：（，否则过 ），联立得 ；，故 ，。易错点： 化简为 ，且 （此时 ，弦过 ）；竖直弦 时 、 重合，不合题意。 （三）C 组 C9答案：存在，，定值 。 提示：设 ：，得 。设 ，则 要与 无关，须“分子 ”，比较系数得 且 ，即 ，解出 ，。易错点： 为 轴（）时 、 为左右顶点，，同样成立——这一步要单独验，因为 写不出水平线。 C10答案：定值 0。 提示：，、、、 共线，故可用横坐标之比：、， 设 ：，联立 ，得 、，代入分子 。易错点： 垂直于 轴（）时与 平行， 不存在，题面“不垂直于 轴”正是为此而设；把 用向量分量比表示时，分母 不能为零，即交点不能是 本身。 本讲收口：三句话 （1）设元决定成败：过 轴上定点设 ，曲线上两动点设点不设线，射线线段设比例 。 （2）消参只认对称式：目标式一旦不对称，先回头检查 、 与定点的配对，而不是硬算。 （3）结构识别靠六个必认式子： 分解、斜率之和通分、面积交叉项平方、焦点弦倒数和、 常数、乘积定值解比例。认出结构，四步就是流水账。 学科网（北京）股份有限公司 $