第48讲 圆锥曲线中的定点、定值与最值问题 讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第48讲 圆锥曲线中的定点、定值与最值问题 第48讲 圆锥曲线中的定点、定值与最值问题 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．掌握定值问题的两条通道：韦达定理消参与定义（焦半径）转化，能把所求量化成不含参数的常数； 2．掌握定点问题的通法：先求动直线在坐标轴上的截距，再看截距是否与参数无关； 3．会用基本不等式与函数单调性求弦长、面积的最值，能写出取等条件； 4．会把"以线段为直径的圆过某点""向量共线（倍数）"翻译成坐标方程，并能对存在性问题做"先求解、后检验"的完整处理。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 定值问题 选择题、解答题 第8题、第19~20题 中偏难 用韦达定理把所求量写成两根之和与积 定点问题 选择题、填空题 第8题、第14题 中偏难 先算坐标轴上的截距，再看是否与参数无关 面积与弦长的最值 解答题 第19~20题 中偏难 化成一个变量后用基本不等式，写清取等条件 存在性与参数范围 解答题 第19~20题 中偏难 先按条件解出参数，再检验 向量共线条件 解答题 第20题 中偏难 把倍数关系翻译成两根之比，与韦达定理联立 命题规律分析 定点、定值与最值是圆锥曲线综合题的三大收官题型，通常出现在选择题第8题、填空题第14题以及解答题的第（2）（3）问。它们的共同特征是题干含动直线或动点，所求却与参数无关（或只求最值）。破解的关键有三件工具：一是韦达定理消参——把所求量写成两根之和与两根之积，让含参数的项自动抵消；二是截距法定点——先算动直线与坐标轴的交点，若交点坐标不含参数即为定点；三是基本不等式求最值——把弦长或面积化成一个变量的函数后用不等式或单调性处理。本讲按"定值、定点、最值、存在性、向量共线"五个方向各给一套通法，目标是让读者遇到综合题时有章可循，而不是现场硬算。 考点1 定值问题的两条通道 知识点1 韦达定理消参 通法：设动直线，联立得一元二次方程，写出 、，再把所求量（数量积、面积、倒数和等）用这两个式子表示，若参数被约掉，即得定值。 常用中间量：（直线 ）；。 【易错清单】 1．算 时别漏掉交叉项 ，这是定值能否出现的关键； 2．"定值"必须真的与参数无关，若化简后仍含参数，说明题设有误或计算有误； 3．定值问题也要说明直线与曲线确有两个交点（）。 知识点2 定义与焦半径转化 抛物线 的焦点弦：、、、。 椭圆 的焦点弦：；过焦点的最短弦是通径 。 【易错清单】 1．这些结论只对过焦点的弦成立，一般弦要用韦达定理； 2．椭圆的焦半径公式 可由两点距离公式现推，不必死记，用时先验证一次。 考点2 定点问题 知识点3 截距法定点 通法：把动直线写成含参数的形式，求它与 轴（或 轴）的交点坐标，若交点坐标不含参数，则该点就是定点。 设线技巧：过 轴上一点 的直线设为 ，可包含斜率不存在的情形，避免漏解。 【易错清单】 1．设 会漏掉竖直直线，而定点常常恰在竖直情形时取到； 2．求交点时要分清是"与 轴的交点"还是"与 轴的交点"，别求错坐标； 3．算出的截距若为常数，还要确认该直线族确实都经过它（代入验证）。 知识点4 对称与定值角度 关于坐标轴对称的点，坐标只变一个符号；利用对称点构造新直线，其截距往往不含参数，从而得到定点。 典型结论：过 的直线交椭圆 于 、， 关于 轴的对称点为 ，则直线 过定点 。 【易错清单】 1．对称点的横坐标不变、纵坐标变号（关于 轴对称）； 2．该结论要求点 在椭圆外（），否则直线可能不与椭圆相交。 考点3 最值、存在性与向量条件 知识点5 最值的两条路 不等式路：把所求量化成 型，用基本不等式；或把所求量化成 型，分子分母同除以 后用基本不等式。 函数路：把所求量写成关于单变量的函数（常换元成 这类整体），再用单调性求最值，注意新变量的取值范围。 【易错清单】 1．基本不等式必须检验等号能否取到，取不到就要改用单调性； 2．换元后新变量的取值范围要重新确定（如 ），单调区间往往由此改变； 3．最值题必须写出"当且仅当……时取到"的取等条件。 知识点6 存在性与向量共线 存在性：先按所给条件解出参数，再检验它是否满足"直线与曲线确有两个交点"（即 或参数在允许范围内），不满足就答"不存在"。 向量共线： 等价于 ，即把倍数关系翻译成两根之比，再与韦达定理联立。 【易错清单】 1．"以 为直径的圆过点 "等价于 ，这是直径圆问题的通用翻译； 2．解出参数后若参数使直线与曲线不相交，必须果断回答"不存在"，不能只写解出的值； 3． 对应 ，系数别配反。 【题型1 定值问题（斜率之积为定值）】 【例1】已知椭圆 ，、 是椭圆上异于长轴端点的两点， 为坐标原点，且直线 、 的斜率之积为 。 (1) 证明 为定值，并求出该定值； (2) 求 的面积。 【变式1-1】已知椭圆 ，、 在椭圆上，直线 、 的斜率之积为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】已知椭圆 ，、 在椭圆上，直线 、 的斜率之积为 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-3】已知椭圆 ，、 在椭圆上，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型2 定点问题（截距法）】 【例2】已知椭圆 ，过点 的直线交 于 、 两点，点 关于 轴的对称点为 ，证明直线 过定点，并求出该定点。 【变式2-1】已知椭圆 ，过点 的直线交椭圆于 、 两点，点 关于 轴的对称点为 ，则直线 过定点（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】已知抛物线 ，过点 的直线交抛物线于 、 两点，点 关于 轴的对称点为 ，则直线 过定点（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-3】在例2的条件下，直线 与 轴的交点为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 面积的最值问题】 【例3】已知椭圆 ，、 是椭圆上的两点，且 ，求 面积的最小值。 【变式3-1】已知椭圆 ，、 在椭圆上且 ，则 面积的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】已知椭圆 ，、 在椭圆上且 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】已知椭圆 ，、 在椭圆上且 ，则下列说法正确的是（　　） A．　B． 面积的最小值为 　C． 面积的最大值为 　D． 为定值 【题型4 弦长与中点轨迹】 【例4】已知椭圆 ，过点 的直线 交 于 、 两点，线段 的中点为 。 (1) 求 的最小值，并指出取得最小值时直线 的方程； (2) 求点 的轨迹方程。 【变式4-1】在例4的条件下，则 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】在例4的条件下，若 ，则直线 的方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】在例4的条件下，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 存在性与参数范围】 【例5】已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点，是否存在实数 ，使得以 为直径的圆恰好过原点 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。 【变式5-1】已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 、 两点，是否存在实数 ，使得以 为直径的圆过原点（　　） A．存在，　B．存在，　C．不存在　D．存在， 【变式5-2】已知抛物线 ，直线 与抛物线交于 、 两点，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 、 两点，若以 为直径的圆过原点，则 与 满足（　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 向量共线条件的坐标转化】 【例6】已知椭圆 ，过点 的直线 交 于 、 两点，若 ，求直线 的方程。 【变式6-1】在例6的条件下，若 （即 为 的中点），则直线 的方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-2】在例6的条件下，若 ，则直线 的方程为（　　） A．　B．　C．　D．不存在 【变式6-3】在例6的条件下，若只给长度关系 ，则满足条件的直线 共有（　　） A． 条　B． 条　C． 条　D． 条 一、单选题 1．（★★）已知椭圆 ，、 在椭圆上且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）椭圆 中，过右焦点的弦的最短长度为（　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）抛物线 中，过焦点的弦 ，则弦 中点的横坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）椭圆 与直线 相切，则 （　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）已知椭圆 ，、 在椭圆上，直线 、 的斜率之积为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 、 两点，若以 为直径的圆过原点，则 （　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点， 为坐标原点，若以 为直径的圆经过点 ，则 面积的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）已知椭圆 ，、 是椭圆上异于原点的两点，直线 、 的斜率之积为 ， 为线段 的中点，则 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）关于椭圆 ，下列说法正确的是（　　） A．过焦点的弦长取值范围是 　B．通径长为 　C．长轴长为 　D．若 、 在椭圆上且 ，则 面积的最小值为 10．（★★）关于定点、定值问题的常用方法，下列说法正确的是（　　） A．求定点常先求直线在坐标轴上的截距　B．定值问题的本质是含参数的项相互抵消　C．设过 轴上一点的直线用 可包含竖直直线　D．存在性问题解出参数后要检验直线与曲线是否真的相交 11．（★★★）已知椭圆 ，、 在椭圆上，直线 、 的斜率之积为 ，下列说法正确的是（　　） A．　B． 的面积为 　C．存在 的情形　D． 的面积随 的位置变化 12．（★★★）已知抛物线 ，过点 的直线 交抛物线于 、 两点，下列说法正确的是（　　） A．直线 的斜率不存在时，　B．直线 的斜率可以为 　C． 面积的最小值为 　D．对任意满足条件的直线 ，都有 三、填空题 13．（★★）已知椭圆 ，、 在椭圆上且 ，则 ____________。 14．（★★）已知椭圆 ，过点 的直线交椭圆于 、 两点，线段 的中点为 ，则点 的轨迹方程为 ____________。 15．（★★★）已知椭圆 ，、 在椭圆上且 ，则 面积的最小值为 ____________。 16．（★★★）已知椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 交椭圆于 、 两点， 为坐标原点，则 面积的最大值为 ____________。 四、解答题 17．（★★）已知椭圆 ，、 是椭圆上的两点，且 。 (1) 证明 为定值，并求出该定值； (2) 求 面积的最小值。 18．（★★）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交 于 、 两点， 为坐标原点。 (1) 求 的最小值； (2) 求此时 的面积。 19．（★★）已知椭圆 ，过点 的直线 交椭圆于 、 两点，线段 的中点为 。 (1) 若直线 的斜率为 ，求 ； (2) 求点 的轨迹方程。 20．（★★★）已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点。 (1) 求 的取值范围； (2) 是否存在实数 ，使得以 为直径的圆过原点 ？若存在，求出 ；若不存在，说明理由。 21．（★★★）已知椭圆 ，过点 的直线交椭圆于 、 两点，点 关于 轴的对称点为 。 (1) 证明直线 过定点，并求出该定点； (2) 求 面积的最大值。 22．（★★★）已知椭圆 ，、 在椭圆上，直线 、 的斜率之积为 。 (1) 证明 为定值，并求出该定值； (2) 求 的面积。 23．（★★★）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交 于 、 两点（ 在 轴上方， 在 轴下方）， 为坐标原点。 (1) 若 ，求直线 的斜率； (2) 证明： 为定值，并求出该定值； (3) 若 的面积为 ，求直线 的方程。 24．（★★★）已知椭圆 的右顶点为 ，直线 与 交于 、 两点， 为坐标原点。 (1) 若 ，求 ； (2) 若以 为直径的圆经过点 ，求 与 满足的关系式； (3) 在 (2) 的条件下，若 、 均异于点 ，证明：直线 恒过定点，并求 面积的取值范围。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第48讲 圆锥曲线中的定点、定值与最值问题 第48讲 圆锥曲线中的定点、定值与最值问题 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．掌握定值问题的两条通道：韦达定理消参与定义（焦半径）转化，能把所求量化成不含参数的常数； 2．掌握定点问题的通法：先求动直线在坐标轴上的截距，再看截距是否与参数无关； 3．会用基本不等式与函数单调性求弦长、面积的最值，能写出取等条件； 4．会把"以线段为直径的圆过某点""向量共线（倍数）"翻译成坐标方程，并能对存在性问题做"先求解、后检验"的完整处理。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 定值问题 选择题、解答题 第8题、第19~20题 中偏难 用韦达定理把所求量写成两根之和与积 定点问题 选择题、填空题 第8题、第14题 中偏难 先算坐标轴上的截距，再看是否与参数无关 面积与弦长的最值 解答题 第19~20题 中偏难 化成一个变量后用基本不等式，写清取等条件 存在性与参数范围 解答题 第19~20题 中偏难 先按条件解出参数，再检验 向量共线条件 解答题 第20题 中偏难 把倍数关系翻译成两根之比，与韦达定理联立 命题规律分析 定点、定值与最值是圆锥曲线综合题的三大收官题型，通常出现在选择题第8题、填空题第14题以及解答题的第（2）（3）问。它们的共同特征是题干含动直线或动点，所求却与参数无关（或只求最值）。破解的关键有三件工具：一是韦达定理消参——把所求量写成两根之和与两根之积，让含参数的项自动抵消；二是截距法定点——先算动直线与坐标轴的交点，若交点坐标不含参数即为定点；三是基本不等式求最值——把弦长或面积化成一个变量的函数后用不等式或单调性处理。本讲按"定值、定点、最值、存在性、向量共线"五个方向各给一套通法，目标是让读者遇到综合题时有章可循，而不是现场硬算。 考点1 定值问题的两条通道 知识点1 韦达定理消参 通法：设动直线，联立得一元二次方程，写出 、，再把所求量（数量积、面积、倒数和等）用这两个式子表示，若参数被约掉，即得定值。 常用中间量：（直线 ）；。 【易错清单】 1．算 时别漏掉交叉项 ，这是定值能否出现的关键； 2．"定值"必须真的与参数无关，若化简后仍含参数，说明题设有误或计算有误； 3．定值问题也要说明直线与曲线确有两个交点（）。 知识点2 定义与焦半径转化 抛物线 的焦点弦：、、、。 椭圆 的焦点弦：；过焦点的最短弦是通径 。 【易错清单】 1．这些结论只对过焦点的弦成立，一般弦要用韦达定理； 2．椭圆的焦半径公式 可由两点距离公式现推，不必死记，用时先验证一次。 考点2 定点问题 知识点3 截距法定点 通法：把动直线写成含参数的形式，求它与 轴（或 轴）的交点坐标，若交点坐标不含参数，则该点就是定点。 设线技巧：过 轴上一点 的直线设为 ，可包含斜率不存在的情形，避免漏解。 【易错清单】 1．设 会漏掉竖直直线，而定点常常恰在竖直情形时取到； 2．求交点时要分清是"与 轴的交点"还是"与 轴的交点"，别求错坐标； 3．算出的截距若为常数，还要确认该直线族确实都经过它（代入验证）。 知识点4 对称与定值角度 关于坐标轴对称的点，坐标只变一个符号；利用对称点构造新直线，其截距往往不含参数，从而得到定点。 典型结论：过 的直线交椭圆 于 、， 关于 轴的对称点为 ，则直线 过定点 。 【易错清单】 1．对称点的横坐标不变、纵坐标变号（关于 轴对称）； 2．该结论要求点 在椭圆外（），否则直线可能不与椭圆相交。 考点3 最值、存在性与向量条件 知识点5 最值的两条路 不等式路：把所求量化成 型，用基本不等式；或把所求量化成 型，分子分母同除以 后用基本不等式。 函数路：把所求量写成关于单变量的函数（常换元成 这类整体），再用单调性求最值，注意新变量的取值范围。 【易错清单】 1．基本不等式必须检验等号能否取到，取不到就要改用单调性； 2．换元后新变量的取值范围要重新确定（如 ），单调区间往往由此改变； 3．最值题必须写出"当且仅当……时取到"的取等条件。 知识点6 存在性与向量共线 存在性：先按所给条件解出参数，再检验它是否满足"直线与曲线确有两个交点"（即 或参数在允许范围内），不满足就答"不存在"。 向量共线： 等价于 ，即把倍数关系翻译成两根之比，再与韦达定理联立。 【易错清单】 1．"以 为直径的圆过点 "等价于 ，这是直径圆问题的通用翻译； 2．解出参数后若参数使直线与曲线不相交，必须果断回答"不存在"，不能只写解出的值； 3． 对应 ，系数别配反。 【题型1 定值问题（斜率之积为定值）】 【例1】已知椭圆 ，、 是椭圆上异于长轴端点的两点， 为坐标原点，且直线 、 的斜率之积为 。 (1) 证明 为定值，并求出该定值； (2) 求 的面积。 【答案】(1) 定值为 ； (2) 。 【解题思路】设 的斜率为 ，用 表示 ，再由斜率之积得 的斜率为 ，全部化为关于 的代数运算。 【解答过程】设直线 的方程为 （），代入 （即 ）得 。 故 ，。 设 的斜率为 ，则 ，即 ，。 同理 ，代入 得 。 (1) ，为定值。 (2) 由 、 得 ，又 。 。 【多解·巧解】本题的关键是用斜率作为参数：设 的斜率为 ，则椭圆上该点横坐标的平方可直接写成 ，整个问题只剩关于 的分式运算。更妙的是结果可以推广：对椭圆 ，若两条半径的斜率之积为 ，则 ，。 本题 、，故为 与 ——记住一般结论，选择填空可以直接秒答。 【易错提醒】① ，别忘了乘 ，只写 是常见错误； ② 计算 时先算 再整体代入，直接代入 容易在繁分式中出错； ③ (2) 中 、 可能异号，记得取绝对值。 【变式1-1】已知椭圆 ，、 在椭圆上，直线 、 的斜率之积为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】用一般结论：斜率之积为 时，平方和为 。 【解答过程】由 、 且斜率之积为 ，得 。故选B。 【变式1-2】已知椭圆 ，、 在椭圆上，直线 、 的斜率之积为 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】记 、，已知 ，用基本不等式求 的最小值。 【解答过程】由例1知 ，故 。 由 ，得 。 等号在 时成立。故选A。 【变式1-3】已知椭圆 ，、 在椭圆上，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】设 的斜率为 ， 的斜率为 ，分别求两段长度的平方。 【解答过程】，把 换成 得 。 故 。故选A。 【题型2 定点问题（截距法）】 【例2】已知椭圆 ，过点 的直线交 于 、 两点，点 关于 轴的对称点为 ，证明直线 过定点，并求出该定点。 【答案】直线 恒过定点 。 【解题思路】设 ，求直线 与 轴的交点，看其横坐标是否与 无关。 【解答过程】设直线 为 ，代入 得 ，故 ，。 设 、，则 。 直线 的斜率为 ，令其纵坐标为 得交点横坐标 。 代入韦达定理：。 故直线 恒过定点 。 【多解·巧解】求定点的通用手法是先求直线在坐标轴上的截距：本题设 后，把 与 轴交点的横坐标写成 ，代入韦达定理后 与 同时约掉，得到常数 。一般结论：过 的直线交椭圆 于 、， 关于 轴的对称点为 ，则 过定点 。本题 、，故定点为 ——先记结论、再会推导，是做综合题最省时间的组合。 【易错提醒】① 设 会漏掉斜率不存在的直线，而用 就没有这个问题； ② 只把纵坐标变号，横坐标不变； ③ 计算截距 时符号容易写反，得到 就错了，可用"取一条具体直线代入"来验算。 【变式2-1】已知椭圆 ，过点 的直线交椭圆于 、 两点，点 关于 轴的对称点为 ，则直线 过定点（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用结论：定点为 。 【解答过程】由 、 得定点为 。故选A。 【变式2-2】已知抛物线 ，过点 的直线交抛物线于 、 两点，点 关于 轴的对称点为 ，则直线 过定点（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】同样用截距法：设 ，联立后用韦达定理求截距。 【解答过程】设 ，代入 得 ，故 ，。 直线 与 轴交点的横坐标为 。 故过定点 。故选C。 【变式2-3】在例2的条件下，直线 与 轴的交点为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】由例2知 ，又 ，直接求距离。 【解答过程】由例2知定点 ，故 。故选C。 【题型3 面积的最值问题】 【例3】已知椭圆 ，、 是椭圆上的两点，且 ，求 面积的最小值。 【答案】 【解题思路】先证明 ，再用基本不等式求 的下界。 【解答过程】设直线 的斜率为 （），则 的斜率为 。 由 得 ； 把 换成 得 。 于是 。 因为 ，。 由基本不等式 ， 得 ，故 。 等号在 ，即 、 时成立。 【多解·巧解】本题把两个难点拆成了两步：第一步先证倒数和为定值（，这是垂直半径的一般结论），第二步用基本不等式由倒数和推出乘积的下界。第二步的方向最容易搞反： 给出的是 的下界，对应面积的最小值；若要求最大值，则应改用 、 各自的取值范围（）。 【易错提醒】① 忘记 是直角三角形，面积应为 而不是 ； ② 基本不等式方向搞反，把最小值答成最大值； ③ 忘记验证取等条件： 时两半径确实垂直（），且长度的平方同为 ，等号可取到。 【变式3-1】已知椭圆 ，、 在椭圆上且 ，则 面积的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】利用 、 都在 内，把乘积写成单变量函数求最大值。 【解答过程】记 ，由 得 ， 故 。该函数在 上先减后增，最小值在 处，最大值在端点处取得。 时 、； 时 、。 故 的最大值为 ，。故选A。 【变式3-2】已知椭圆 ，、 在椭圆上且 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】由勾股定理 ，再用倒数和定值求平方和的最小值。 【解答过程】记 、，则 ，即 。 由基本不等式 （等号在 时取得）， 得 。 故 。故选A。 【变式3-3】已知椭圆 ，、 在椭圆上且 ，则下列说法正确的是（　　） A．　B． 面积的最小值为 　C． 面积的最大值为 　D． 为定值 【答案】ABC 【解题思路】前三项已分别求出；D 项只有当斜率之积为 时才成立。 【解答过程】A：由例3的计算，正确； B：由基本不等式，正确； C：由端点取值，正确； D：，随 变化，不是定值（斜率之积为 时才是定值 ），错误。 故选ABC。 【题型4 弦长与中点轨迹】 【例4】已知椭圆 ，过点 的直线 交 于 、 两点，线段 的中点为 。 (1) 求 的最小值，并指出取得最小值时直线 的方程； (2) 求点 的轨迹方程。 【答案】(1) 最小值为 ，此时 ； (2) ，即 。 【解题思路】(1) 认出 是右焦点，用过焦点弦的结论；(2) 点差法表示斜率，再利用中点在动直线上消去斜率。 【解答过程】(1) 由 、 得 ，故 恰为右焦点。 过焦点的最短弦为通径，长 ，此时直线垂直于 轴，即 。 (2) 设 。由点差法，弦 的斜率 。 又 在过点 且斜率为 的直线上，故 。 代入得 ，即 。 整理得 ，配方即 （取椭圆内部的部分）。 【多解·巧解】(1) 的关键是认出定点就是焦点——看到椭圆 与点 ，应立即算 ，从而用过焦点弦的结论：最短为通径 、最长为长轴 。(2) 求中点轨迹有固定模板：设中点坐标 — 用点差法把斜率表成中点坐标 — 利用中点在动直线上消去斜率。本题消去 后得到一个椭圆，配方后能直观看出 这一范围。 【易错提醒】① (1) 中若不先认出焦点，就要设 硬算，虽然也能做，但计算量大得多； ② (2) 中点差法公式的负号别丢（椭圆是 ）； ③ 轨迹要注明"取在椭圆内部的部分"，否则会包含并不存在的点。 【变式4-1】在例4的条件下，则 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】由轨迹方程把 写成关于 的函数，再在区间上求最大值。 【解答过程】由 得 ，故 。 由轨迹方程知 ，而 在 上递增， 最大值在 处取得，为 ，故 。故选A。 【变式4-2】在例4的条件下，若 ，则直线 的方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】过焦点的弦中，长度等于 的只有长轴。 【解答过程】过焦点弦的最大值为长轴长 ，此时弦就是长轴，直线为 轴，即 。故选A。 【变式4-3】在例4的条件下，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】过焦点弦的最短值为通径、最长值为长轴。 【解答过程】最短为通径 ，最长为长轴 ，故 。故选A。 【题型5 存在性与参数范围】 【例5】已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点，是否存在实数 ，使得以 为直径的圆恰好过原点 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。 【答案】存在，。 【解题思路】"以 为直径的圆过原点"等价于 ，解出 后再用判别式检验。 【解答过程】把 代入 得 。 ，。 。 由 得 ，即 ，，。 检验：直线与椭圆相交需 ，即 ； 而 ，满足条件。 故存在，。 【多解·巧解】存在性问题的标准流程是先按条件解参数，再检验它是否满足"曲线与直线真的相交"。本题由垂直条件解得 ，但必须再代回判别式条件 ；若解出的 落在不相交的区间里，答案就要改为"不存在"。另外"以 为直径的圆过点 " ，这个翻译是直径圆类问题的通用钥匙，务必记牢。 【易错提醒】① 只解出 而忘记用 检验，过程不完整； ② 算 时漏掉交叉项 ，会导致方程变成 而无解； ③ 有两个解，别只写正的。 【变式5-1】已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 、 两点，是否存在实数 ，使得以 为直径的圆过原点（　　） A．存在，　B．存在，　C．不存在　D．存在， 【答案】C 【解题思路】算出 的表达式，看它能否为零。 【解答过程】联立得 ，，。 。 ，恒不为零。故不存在。故选C。 【变式5-2】已知抛物线 ，直线 与抛物线交于 、 两点，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】联立后用韦达定理算 ，令其为零。 【解答过程】联立得 ，，（）。 。 由 得 ，。 检验：，直线确与抛物线交于两点。故选A。 【变式5-3】已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 、 两点，若以 为直径的圆过原点，则 与 满足（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用韦达定理把 写成 、 的式子，令其为零。 【解答过程】联立得 ，，。 。 由 得 ，即 。故选A。 【题型6 向量共线条件的坐标转化】 【例6】已知椭圆 ，过点 的直线 交 于 、 两点，若 ，求直线 的方程。 【答案】 【解题思路】把 翻译成 ，再用韦达定理把纵坐标之比解出来。 【解答过程】设 ，代入 得 。 ，。 由 得 ，即 。 看纵坐标：，即 。 （此时横坐标方程 自动成立。） 由 得 ； 又 ，故 。 联立得 ，即 ，，。 由 得 ，即 。 【多解·巧解】向量共线（倍数）条件的翻译口诀是： 。写出后优先看纵坐标方程，它通常直接给出两根之比（本题 ），再与韦达定理联立就能解出参数；横坐标方程一般会自动满足，可作为验算。这个套路对椭圆、双曲线、抛物线都适用，是"点在弦上按定比分割"类问题的统一解法。 【易错提醒】① 对应 ，别写成 （那是 ）； ② 联立时建议先由两根之和表示 ，再代入两根之积，比直接解方程组清晰； ③ 解出 后要还原成直线方程，不能只写 的值。 【变式6-1】在例6的条件下，若 （即 为 的中点），则直线 的方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】中点的纵坐标为 ，由两根之和为零解出 。 【解答过程】由 得 ，故直线为 。故选A。 【变式6-2】在例6的条件下，若 ，则直线 的方程为（　　） A．　B．　C．　D．不存在 【答案】A 【解题思路】先设 求解，若无解再考虑它被排除的水平直线。 【解答过程】设 ，由 得 ，同理可化得 ，即 ，无解。 说明所求直线不是 的形式，而 恰好排除了过 的水平直线 。 把 代入检验：、、，，，确有 。 故直线为 。故选A。 【变式6-3】在例6的条件下，若只给长度关系 ，则满足条件的直线 共有（　　） A． 条　B． 条　C． 条　D． 条 【答案】B 【解题思路】长度关系不区分方向，但仍可由 、 异号确定唯一的比值。 【解答过程】由 知 、 异号，故 等价于 ，即 或 。 两种情形都化得 ，即 ，对应同一组直线。 故共有 条。故选B。 一、单选题 1．（★★）已知椭圆 ，、 在椭圆上且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】垂直半径的一般结论：倒数和等于 。 【解答过程】。故选A。 2．（★★）椭圆 中，过右焦点的弦的最短长度为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】过焦点的最短弦是通径，长为 。 【解答过程】通径长为 。故选A。 3．（★★）抛物线 中，过焦点的弦 ，则弦 中点的横坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】焦点弦满足 。 【解答过程】由 且 得 ，中点横坐标为 。故选B。 4．（★★）椭圆 与直线 相切，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】联立后令判别式为零。 【解答过程】联立得 ，，得 。故选A。 5．（★★）已知椭圆 ，、 在椭圆上，直线 、 的斜率之积为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】斜率之积为 时，平方和为 。 【解答过程】。故选B。 6．（★★★）已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 、 两点，若以 为直径的圆过原点，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】由 解出 ，再检验相交条件。 【解答过程】联立得 ，， 由 得 ，。 又 满足相交条件。故选A。 7．（★★★）已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点， 为坐标原点，若以 为直径的圆经过点 ，则 面积的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先把"圆过 "翻译成 ，得到 与 的约束关系，再把面积化为 的函数：上界用基本不等式，下界单独检验端点能否取到。 【解答过程】联立 与 得 ，，，，故 。 由 得 ；此时 恒成立，两个交点确实存在。，故 。 令 ，则 ，即 。 由 得 ，故 ，等号在 （即 ，）时成立，此时 ，即 。 又 （即 ，）时 ，而 时 ，故下界也能取到；竖直弦 同样满足条件，此时 ，不改变上述范围。故 面积的取值范围是 。故选A。 8．（★★★）已知椭圆 ，、 是椭圆上异于原点的两点，直线 、 的斜率之积为 ， 为线段 的中点，则 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】以斜率为参数：由斜率之积把 化为 ，再用 ，归结为求 的最大值。 【解答过程】设 的斜率为 （，否则斜率之积不可能为 ），则 的斜率为 。把 代入 得 ；把 代入 得 ， 故 。 由 得 。又 ， 故 。 由基本不等式 得 ，等号在 时成立。 取 、 同号可使 （例如 、）， 此时 ，故 的最大值为 。故选B。 二、多选题 9．（★★）关于椭圆 ，下列说法正确的是（　　） A．过焦点的弦长取值范围是 　B．通径长为 　C．长轴长为 　D．若 、 在椭圆上且 ，则 面积的最小值为 【答案】ABCD 【解题思路】逐项用通径、长轴与垂直半径的结论核对。 【解答过程】A：最短为通径 、最长为长轴 ，正确； B：通径长 ，正确； C：长轴长 ，正确； D：由基本不等式得最小值为 ，正确。 故选ABCD。 10．（★★）关于定点、定值问题的常用方法，下列说法正确的是（　　） A．求定点常先求直线在坐标轴上的截距　B．定值问题的本质是含参数的项相互抵消　C．设过 轴上一点的直线用 可包含竖直直线　D．存在性问题解出参数后要检验直线与曲线是否真的相交 【答案】ABCD 【解题思路】四条都是本讲反复使用的方法要领。 【解答过程】A：截距不含参数即为定点，正确； B：定值就是参数被约掉，正确； C： 即竖直直线，正确； D：这是存在性问题的必要步骤，正确。 故选ABCD。 11．（★★★）已知椭圆 ，、 在椭圆上，直线 、 的斜率之积为 ，下列说法正确的是（　　） A．　B． 的面积为 　C．存在 的情形　D． 的面积随 的位置变化 【答案】ABC 【解题思路】A、B 用一般结论；C 看取等条件；D 与"面积为定值"矛盾。 【解答过程】A：平方和为 ，正确； B：面积为 ，正确； C：当 （即两斜率为 ）时 ，正确； D：面积恒为 ，不随位置变化，错误。 故选ABC。 12．（★★★）已知抛物线 ，过点 的直线 交抛物线于 、 两点，下列说法正确的是（　　） A．直线 的斜率不存在时，　B．直线 的斜率可以为 　C． 面积的最小值为 　D．对任意满足条件的直线 ，都有 【答案】ACD 【解题思路】设 统一处理，四个选项逐项独立推导；B 项要单独检验水平直线 ，D 项把 算到底看是否恒为零。 【解答过程】设 （ 即竖直直线 ；水平直线 不在此设法中，单独检验），代入 得 ， 恒成立， ，，故 。 A： 时 ，交点为 与 ，，正确； B：把 代入 得 ，直线与抛物线只有一个公共点 （ 是抛物线在顶点处的切线），不满足"交于 、 两点"，故斜率不能为 ，错误； C：，故 ，等号在 时成立，最小值为 ，正确； D：， 故 、 都不是原点，且 恒成立，即 对任意满足条件的 都成立，正确。 故选ACD。 三、填空题 13．（★★）已知椭圆 ，、 在椭圆上且 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】用结论 。 【解答过程】。 14．（★★）已知椭圆 ，过点 的直线交椭圆于 、 两点，线段 的中点为 ，则点 的轨迹方程为 ____________。 【答案】 【解题思路】点差法表示斜率，再利用中点在动直线上消元。 【解答过程】设 ，由点差法 ；又 ，代入得 。 故轨迹方程为 。 15．（★★★）已知椭圆 ，、 在椭圆上且 ，则 面积的最小值为 ____________。 【答案】 【解题思路】由倒数和定值配合基本不等式求乘积的下界。 【解答过程】由 与基本不等式得 ， 故 。 16．（★★★）已知椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 交椭圆于 、 两点， 为坐标原点，则 面积的最大值为 ____________。 【答案】 【解题思路】设 ，把面积化为 ；基本不等式的等号点落在定义域之外，检验后必须改用单调性。 【解答过程】由 得 。设 （覆盖竖直直线），代入 得 ， ，。 ，故 。 ， 故 （水平直线 时 ，不影响最大值）。 令 ，则 。若用基本不等式 ，等号要求 ，在定义域内取不到，不能使用； 当 时，任取 ，， 即分母 单调递增，故 （即 ，直线 ）时 最大，为 。 此时 、，，验证成立。 四、解答题 17．（★★）已知椭圆 ，、 是椭圆上的两点，且 。 (1) 证明 为定值，并求出该定值； (2) 求 面积的最小值。 【答案】(1) 定值为 ； (2) 。 【解题思路】设 的斜率为 表示两段长度，再用基本不等式。 【解答过程】(1) 设 的斜率为 ， 的斜率为 。 由 得 ，同理 。 故 ，为定值。 (2) 由 得 。 由 得 ，故 。 等号在 时成立。 【多解·巧解】把结论记成一般形式会更省事：椭圆 上两条互相垂直的半径 、 满足 。有了它，第 (1) 问可以直接写答；第 (2) 问只需一步基本不等式。"垂直半径的倒数和"是定值题里出现频率最高的模型之一，值得单独记牢。 【易错提醒】① 设 时忘记乘 ； ② 基本不等式方向搞反，把最小值写成最大值； ③ 忘记写取等条件 。 18．（★★）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交 于 、 两点， 为坐标原点。 (1) 求 的最小值； (2) 求此时 的面积。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 过焦点的最短弦是通径；(2) 把面积拆成以 为底的两块。 【解答过程】(1) 过焦点的最短弦为通径，长 ，此时直线垂直于 轴，即 ，两交点为 、。 (2) 此时 ，由 知两点分居 轴两侧。 。 【多解·巧解】第 (2) 问有两种算法：一是拆成 与 两块，每块以 为底、以 为高；二是直接用 ，本题 ，故 。当弦垂直于对称轴时，两种算法都退化成一行式子，这类特殊位置常用来快速验算一般公式。 【易错提醒】① 把通径长记成 而不是 ； ② 面积公式漏掉 ； ③ 认为"最短弦"对应"面积最小"——本题恰好同时取到，但一般情形两者不一定同时发生，不能想当然。 19．（★★）已知椭圆 ，过点 的直线 交椭圆于 、 两点，线段 的中点为 。 (1) 若直线 的斜率为 ，求 ； (2) 求点 的轨迹方程。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 联立后用弦长公式；(2) 点差法加消元。 【解答过程】(1) 直线为 ，代入 得 。 ，，故 。 (2) 设 ，由点差法 ；又 ， 消去 得 ，即 。 【多解·巧解】(2) 的模板值得背下来：设中点 — 点差法写斜率 — 用"中点在动直线上"消元。三步之后得到的方程往往是一个二次曲线，配方后还能顺带看出变量的取值范围（本题配方得 ，故 ）。写出范围既严谨，也能在后面求 最值时直接用。 【易错提醒】① (1) 中 的符号别算错； ② (2) 中点差法公式的负号别丢； ③ 轨迹方程要说明取椭圆内部的部分。 20．（★★★）已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点。 (1) 求 的取值范围； (2) 是否存在实数 ，使得以 为直径的圆过原点 ？若存在，求出 ；若不存在，说明理由。 【答案】(1) 或 ； (2) 存在，。 【解题思路】(1) 令 ；(2) 由 求 后检验。 【解答过程】(1) 联立得 ，，得 。 (2) ，。 由 得 ，。 检验：，落在 (1) 的范围内，故存在。 【多解·巧解】两问的顺序是有讲究的：先求参数的允许范围，再在这个范围内求解，这样第 (2) 问的检验就有现成的标准可对照。若把顺序反过来，很容易忘记检验而把不相交的参数也写进答案。另外算 时的交叉项 是定值能否出现的关键，展开时建议单独写一行，避免口算出错。 【易错提醒】① (1) 中"交于 、 两点"若强调不同点则用 ，若只说"有公共点"则用 ； ② (2) 中漏掉交叉项会得出 这种无解的荒谬结论； ③ 开方后有两个值，别只写一个。 21．（★★★）已知椭圆 ，过点 的直线交椭圆于 、 两点，点 关于 轴的对称点为 。 (1) 证明直线 过定点，并求出该定点； (2) 求 面积的最大值。 【答案】(1) 定点为 ； (2) 。 【解题思路】(1) 截距法；(2) 用行列式公式把面积写成 ，再换元求最大值。 【解答过程】(1) 设 ，代入 得 ， ，。 直线 与 轴交点的横坐标为 ，故定点为 。 (2) 。 ，故 （）。 。令 ，则 ， ，等号在 时成立。 【多解·巧解】(2) 的换元 是点睛之笔：换元后面积变成 ，分子分母同除以 就是 ，基本不等式一步到位。凡是出现 型，就同除以 再用基本不等式，这是求最值最常用的变形。另外注意 中的系数 来自 ，即直线在 轴上的截距 ，别漏乘。 【易错提醒】① (1) 中设 会漏掉竖直直线； ② (2) 中判别式要求 （），换元后的 正是这个条件； ③ 基本不等式的取等条件 要写清，并验证对应的 满足 。 22．（★★★）已知椭圆 ，、 在椭圆上，直线 、 的斜率之积为 。 (1) 证明 为定值，并求出该定值； (2) 求 的面积。 【答案】(1) 定值为 ； (2) 。 【解题思路】设 的斜率为 ，把两段长度都表成 的式子后相加、相乘。 【解答过程】设 的斜率为 ， 的斜率为 ，且 。 由 得 ； 代入 得 。 (1) 相加得 ，为定值。 (2) 由 、 得 ， 又 ， 。 【多解·巧解】两个小问的结果都可以用一般结论直接得到：椭圆 上，若两条半径的斜率之积为 ，则 、。先掌握推导，再记住结论——推导保证你会写过程，结论保证你做得快。考场上的最佳策略是：用结论预判答案，用推导写过程。 【易错提醒】① ，别忘了乘 ； ② 算 时先算 再整体代入，避免繁分式出错； ③ (2) 中 、 可能异号，记得取绝对值。 23．（★★★）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交 于 、 两点（ 在 轴上方， 在 轴下方）， 为坐标原点。 (1) 若 ，求直线 的斜率； (2) 证明： 为定值，并求出该定值； (3) 若 的面积为 ，求直线 的方程。 【答案】(1) ； (2) 定值为 ； (3) 。 【解题思路】(1) 用焦半径 转化后直接求出点 ；(2) 设 ，把 、 都写成 ，用韦达定理整体代入；(3) 先把面积写成 的函数，解出 后回检判别式。 【解答过程】(1) 由 得 ，故 ，代入 得 （ 在 轴上方），即 。直线 过 与 ，斜率 。(2) 设 （覆盖竖直直线），代入 得 ， 恒成立，，。，。 由 、 得 、，故 ， 为定值 。(3) ，故 。 ，故 。 令 得 ，，此时 ，两个交点存在。由 得 或 。 【多解·巧解】第 (2) 问的通法是把焦半径统一写成 ：设 后， 是焦点弦的标志性中间量， 项恰好抵消，代入选分子分母后参数完全消去。也可以先记结论 （本题 ，定值为 ）用于预判答案，推导过程按本解答书写。第 (3) 问体现"先建函数、再解方程、最后回检"的完整流程： 关于 单调递增， 有解且恰有一对，回检 后才能下结论。 【易错提醒】① 第 (1) 问中 ，别把 写成 ；② 第 (2) 问展开 时别漏掉交叉项 ，否则得不到 ；③ 第 (3) 问解出 后要检验判别式，并把 还原成直线方程，不能只写 的值。 24．（★★★）已知椭圆 的右顶点为 ，直线 与 交于 、 两点， 为坐标原点。 (1) 若 ，求 ； (2) 若以 为直径的圆经过点 ，求 与 满足的关系式； (3) 在 (2) 的条件下，若 、 均异于点 ，证明：直线 恒过定点，并求 面积的取值范围。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 定点为 ， 面积的取值范围为 。 【解题思路】(2) 把"圆过 "翻译成 后用韦达定理整体代入；(3) 先剔除退化的解，再把面积写成 的增函数，端点取不到时写开区间。 【解答过程】(1) 联立 与 得 ，即 ，解得 或 ，交点为 与 ，。(2) 联立 与 得 ， ，，。以 为直径的圆经过点 等价于 ，即 ，代入整理得 ，即 ， 故 ，即 ，解得 或 。若 ，则 恒过 ，而 在椭圆上，故 、 中必有一点与 重合，不合题意，舍去；故 ，且 （ 时 为 轴， 与 重合）。此时 ，恒过定点 ；且 不过 （否则 为 轴，与 矛盾）， 恒成立，两个交点存在。点 到 的距离 ， ， 。 令 ，记 ，则 ， 在 上单调递增， 故 随 增大而增大；又 ， 且 时 、 时 ，两个端点都取不到。 故 。 【多解·巧解】第 (2) 问的关键是把"以 为直径的圆过 "统一翻译为 ，即 ，全程用韦达定理整体代入，不必求出交点。第 (3) 问有两个值得记住的动作：一是出现两组解时逐组检验限制条件—— 使直线恰过 、端点与 重合，必须舍去；二是范围端点取不到时老实写开区间—— 任意大时面积逼近 却取不到， 时逼近 也取不到。"定点 加开区间范围"合起来才是完整的探究链。 【易错提醒】① 第 (2) 问展开 时容易漏掉 项；② 第 (3) 问只解出 而不说明 及 为何舍去，过程不完整；③ 面积的取值范围写成 或 都是错的，两个端点都取不到。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $