第17讲 圆+直线与圆的位置关系+圆综合压轴 综合讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第17讲 圆+直线与圆的位置关系+圆综合压轴+小测 （核心知识+8易错辨析+9典例精讲） 【知识点01】圆的基本概念与有关性质 1. 圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点叫圆心，定长叫半径。以点 O 为圆心的圆记作 ⊙O。 2. 相关概念： ① 弦：连接圆上任意两点的线段，最长的弦是直径（直径是过圆心的弦）。 ② 弧：圆上任意两点间的部分，大于半圆的弧叫优弧（用三个字母表示），小于半圆的弧叫劣弧（用两个字母表示）。 ③ 等圆：半径相等的圆；等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧。 ④ 同心圆：圆心相同、半径不同的圆；圆环即两同心圆围成的区域。 3. 圆的对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是它的对称轴；圆是中心对称图形，圆心是对称中心；圆具有旋转不变性（绕圆心旋转任意角度都与自身重合）。 4. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 5. 弦、弧、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。反之，相等的弧或弦所对的圆心角也相等。 6. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；②半圆（直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 7. 圆内接四边形：圆的内接四边形的对角互补，且任何一个外角等于它的内对角。 【知识点02】点和圆的位置关系 设圆的半径为 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d，则：点在圆内 ⇔ d＜r；点在圆上 ⇔ d＝r；点在圆外 ⇔ d＞r。 确定一个圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆。三角形外接圆的圆心叫外心，是三边垂直平分线的交点，到三顶点距离相等（等于外接圆半径）。锐角三角形外心在形内，直角三角形外心为斜边中点，钝角三角形外心在形外。 反证法：假设结论不成立，推出矛盾，从而证明结论成立（用于证明“过一点有且只有一条直线与已知圆相切”等）。 【知识点03】直线和圆的位置关系 设 ⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，则直线与圆有三种位置关系，如下表： 位置关系 公共点个数 数量关系 图形特征 图示 相离 0 个 d＞r 直线与圆没有公共点 相切 1 个 d＝r 直线与圆有且只有一个公共点 相交 2 个 d＜r 直线与圆有两个公共点（割线） 切线的判定与性质 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。判定一条直线是圆的切线有三种方法： ① 定义法：直线与圆有且只有一个公共点； ② 数量法：圆心到直线的距离 d 等于半径 r（d＝r）； ③ 判定定理法：直线过圆上一点，且垂直过该点的半径（连半径、证垂直）。 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。由切线的性质可推得：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 三角形内切圆的圆心叫内心，是三条内角平分线的交点，到三边距离相等。直角三角形内切圆半径 r＝（a、b 为直角边，c 为斜边）。 【知识点04】与圆相关的常用计算（压轴基础） 弧长公式：n° 的圆心角所对的弧长 l＝。 扇形面积：S扇形＝＝lr。 圆锥侧面积：S侧＝πrl（l 为母线长）；圆锥底面周长等于侧面展开扇形弧长。 易错点 错因分析 正解与规避 等弧概念误用 误认为长度相等的弧就是等弧 等弧必须在同圆或等圆中且完全重合，仅长度相等不一定等弧 垂径定理适用前提 在一般图形中直接用“垂直于弦”而不确认是直径 垂径定理必须是“垂直于弦的直径”才能平分弦；非直径时需先证其为直径 “平分弦的直径垂直于弦” 忽略“弦不是直径”的前提 平分弦（非直径）的直径垂直于弦；平分直径时结论不成立 圆周角与圆心角关系 把任意圆周角都当成圆心角的一半 必须“同弧或等弧”所对的圆周角等于圆心角一半 切线判定混淆 把“垂直半径”或“过圆上一点”单独当判定条件 判定定理两个条件缺一不可：经过半径外端＋垂直于半径；或证 d＝r 外心与内心混淆 把外心（垂直平分线交点）当作内心（角平分线交点） 外心到顶点距离相等（外接圆）；内心到边距离相等（内切圆） 圆内接四边形性质 误用“对角相等” 圆内接四边形对角互补（和为180°），外角等于内对角 位置关系数量判断 把 d＞r 与 d＜r 记反 相离 d＞r、相切 d＝r、相交 d＜r，结合图形记忆 【题型一】垂径定理的应用（求弦长、半径、弦心距） 1．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为10米．小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径的长度为______米． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】设圆心为，半径为，过点作于，连接，构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设圆弧所在圆的圆心为，半径为 过点作于点，连接 ，过点作交的延长线于点 ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形 ， ， 设，则 ， 在中，， 即 ， 在中，， 即， ， 解得 ， ， ， 故圆弧所在圆的半径的长度为米． 2．（26-27九年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的直径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为___________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】根据直径求出半径，利用垂径定理确定半径与弦垂直，构建直角三角形，结合勾股定理求解弦长的一半，进而得出弦长． 【详解】解：设圆心为，连接， 球形部分的直径为， 半径， 为瓶内液体的最大深度， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 故截面圆中弦的长为． 3．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，液面宽的长为，则瓶内液体最大深度为________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】过点作，延长交于点，根据垂径定理可知，利用勾股定理求出，可得． 【详解】解：如下图所示，过点作，延长交于点， 液面宽的长为， ， ， ， ． 4．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，某圆形拱桥的水面跨度，拱高（弧的中点到弦的距离）． (1)求拱桥所在圆的半径； (2)水位上升，求水面的宽度（保留根号）． 【答案】(1)10m (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】（1）设圆心为，由垂径定理得，在中利用勾股定理列方程求出半径； （2）水位上升后拱高变小，仍用"半径、弦心距、半弦长"的直角三角形模型，以新弦心距代入勾股定理求新水面的宽度． 【详解】（1）解：设拱桥所在圆的圆心为，半径为，连接、（如图），则、、三点共线，， ， 是弧的中点，且， （垂径定理）， 在中，，即， ， 解得， 拱桥所在圆的半径为． （2）解：水位上升后，设水面与弧交于点、，过作于（如图），则、、、四点共线，， 此时拱高为， ， 且过圆心， （垂径定理）， 在中，，， ， ， 水面的宽度为． 【点睛】本题考查垂径定理的实际应用，关键是将拱桥问题化归为"半径、弦心距、半弦长"组成的直角三角形模型；水位变化只改变弦心距，模型不变，重新代入勾股定理即可求解． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）在河北省赵县境内，有一座始建于隋代的石拱桥——赵州桥，距今已有多年的历史．赵州桥开创了中国桥梁建造的崭新局面，是我国古代劳动人民智慧的结晶．赵州桥的桥拱是圆弧形的，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形高）为，跨度（弧所对弦的长）为，求桥拱所在圆的半径．（结果精确到） 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用、求一个数的近似数、利用垂径定理求值 【分析】根据题意构建拱形图形，利用勾股定理、垂径定理列方程解题． 【详解】解：如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为，半径为，经过圆心作弦的垂线，为垂足，与相交于点，连接，根据垂径定理，是的中点，是的中点，就是拱高， 根据题意可知，，， 则，， 在中， ，即， 解得， 故桥拱所在圆的半径为． 6．（26-27九年级上·湖北·期中）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺的圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出 ，求圆形工件的半径为多少？ 【答案】圆形工件的半径为 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用、利用垂径定理求值 【分析】假设圆心为点，连接，由题意得出，设半径为，在中，根据勾股定理列方程求出即可． 【详解】解：假设圆心为点，连接， ∵作的垂直平分线交于点， ∴点在直线上， ∴， 设半径为， 则在中， ， 即， 解得：． ∴圆形工件的半径为． 7．（25-26九年级上·云南昆明·期末）文物修复师在修复破损文物时，经常通过几何推理还原其原貌．如图1，某修复师修复一件破碎的古代瓷器束口盆（盆口原貌为圆形）时，仅凭一块碎片便能推算出其原始口径尺寸．图2是修复师根据碎片切面绘制的几何示意图：碎片边缘为圆弧，设圆弧所在圆的圆心为O，半径于D，连接．已知，，求盆口半径的长度． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，由垂径定理得出，设这个盆口半径的长为，则，再利用勾股定理即可得出r． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 设这个盆口的半径的长为，则， 在中， 由勾股定理得：， 解得：， 答：这个盆口半径的长为． 【题型二】圆周角定理的应用（求角度） 8．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为_______． 【答案】/164度 【知识点】已知圆内接四边形求角度、圆周角定理 【分析】利用圆内接四边形的外角等于内对角求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数. 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴，， ∵是内接四边形的一个外角，， ∴， ∴， ∴. 9．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，A，B是上的两点，且，C是上不与点A，B重合的一点，则的度数是______． 【答案】或 【知识点】已知圆内接四边形求角度、圆周角定理 【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质分两种情况进行解答即可． 【详解】解：如图， 当点C位于点的位置时，， 当点C位于点的位置时，， 即的度数是或． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，点，，均在上．若，求的度数． 【答案】 【知识点】等边对等角、圆周角定理、三角形内角和定理的应用 【分析】先利用等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理得，再利用圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ， ∴， ∴， ∴． 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，C为圆上一点，的平分线交于点D．若，求的度数． 【答案】 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、角平分线的有关计算、直角三角形的两个锐角互余、圆周角定理、三角形内角和定理的应用 【分析】先证明，求解，进一步可得答案. 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴. 12．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的直径，点C在上，． (1)求的度数； (2)若点D是弧的中点（点D与点C在的两侧），求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、直角三角形的两个锐角互余、圆周角定理、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据直径所对的圆周角为90度，然后利用三角形内角和定理即可求解； （2）根据题意得出弧是半圆，弧的度数是，再由圆周角定理即可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴． 在中，． （2）解：∵是的直径， ∴弧是半圆， ∵点D是弧的中点， ∴弧的度数是． ∵是弧所对的圆周角， ∴． 13．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知是的直径，点C，D在上，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴． ，， ∴． (2) 【知识点】等边对等角、圆周角定理、三角形内角和定理的应用、利用弧、弦、圆心角的关系求解、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】（1）根据相等的弧所对的圆心角相等得到，再有，，即可证明． （2）先根据为等腰三角形求出的值，再根据也是等腰三角形，即可求出的度数． 【详解】（1）略． （2）解：， ， ， ， ， ． 14．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在中，，垂足为，， (1)求的度数； (2)如果，求弦的长度． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、圆周角定理、利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】（1）连接，先得出，则，再根据圆周角定理求解即可； （2）先得出，再求出的长，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴， ∴． 【题型三】直线与圆位置关系的判定 15．（26-27九年级上·全国·单元测试）已知的半径为4，直线l上有一点A满足，则直线l与的位置关系为（     ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】是直线上一点与圆心的连线，不一定是圆心到直线的距离，需分垂直、不垂直两种情况讨论. 【详解】解：的半径，， 分两种情况讨论： 当时，圆心到直线的距离，直线与相切. 当不垂直于时， ∵垂线段最短， ∴圆心到直线的距离，直线与相交. 综上，直线与的位置关系为相交或相切. 16．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）中，，，，以点C为圆心，以2为半径画圆，则直线与的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，通过计算圆心C到直线的距离，与半径比较判断位置关系． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴边上的高为， 即圆心到直线的距离是， ∵， ∴直线与相离， 故选：A． 17．（2026九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为2．若与轴所在直线相切，则_________；若与轴所在直线相交，则的取值范围是__________． 【答案】 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】设圆的半径为，点（圆心）到直线的距离为，若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离，从而得出答案． 【详解】解：根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径；又该圆可以在轴的左侧，也可能在轴的右侧，得． 若直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径，则． 18．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）已知点和直线，求点P到直线的距离d，可用公式计算．已知的圆心Q的坐标为，半径r为2，则与直线的位置关系是_______ ． 【答案】相离 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查了算术平方根的应用，直线和圆的位置关系．根据公式计算即可．利用点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离，再与圆的半径比较大小，判断位置关系． 【详解】解：圆心到直线的距离， 故圆与直线相离． 故答案为：相离． 19．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点O在边上，的半径为2．当x在什么范围内取值时，所在的直线分别与相交、相切、相离？ 【答案】当时，所在直线与相离；当时，所在直线与相切；当时，所在直线与相交． 【知识点】含30度角的直角三角形、判断直线和圆的位置关系 【分析】过点O作于点D，求出的长，当圆心到直线的距离大于半径时，该直线与圆相离，当圆心到直线的距离等于半径时，该直线与圆相切，当圆心到直线的距离小于半径时，该直线与圆相交，据此可得答案． 【详解】解：如图，过点O作于点D． ， ． 若所在直线与相离，则，即， 解得； 若所在直线与相切，则，即， 解得； 若所在直线与相交，则，即， 解得． 综上所述，当时，所在直线与相离；当时，所在直线与相切；当时，所在直线与相交． 20．（25-26九年级·全国·课后作业）如图，在中，．以点C为圆心，分别以下面给出的r为半径作圆，试问所作的圆与斜边所在的直线分别有怎样的位置关系？请说明理由． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)解：当时，直线与圆相离；理由如下： ∵， ∴， 作，则，即， ∴，即点到直线的距离为； ∵，即， ∴直线与圆相离； (2)解：当时，直线与圆相切；理由如下： 由（1）可知，点到直线的距离为； ∴， ∴直线与圆相切； (3)解：当时，直线与圆相交；理由如下： 由（1）可知，点到直线的距离为， ∵，即， ∴直线与圆相交. 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】勾股定理求出的长，等积法求出的长，根据与的大小关系，判断位置即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【题型四】切线的判定与性质（辅助线） 21．（2025·甘肃武威·一模）如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【知识点】切线的性质和判定的综合应用 【分析】本题主要考查切线的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键；根据已知及切线的判定等对各个结论进行分析，从而得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴为的切线，①正确； ②由图可知不一定； ∵为的切线， ∴． ∵， 又∵， ∴， ∴，③正确． 故选：B． 22．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，为的切线，A为切点，连接，过点A作，垂足为C，交于点B，连接，求证：为的切线． 【答案】 证明：如图所示，连接， ， ， ， ， 为的切线， ，即， ， 为的半径， 为的切线． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用垂径定理求值、切线的性质和判定的综合应用 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，垂径定理，全等三角形的性质与判定，由垂径定理得到，则，证明，结合切线的性质可得，据此可证明结论． 【详解】略 23．（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，为的直径，是的切线，切点为点B，点D为上一点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵为的直径，与相切于点B， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵是的半径，且， ∴是的切线； (2)6 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形、切线的性质和判定的综合应用 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、切线的判定与性质． （1）连接，由切线的性质得，则，因为，，所以，则，即可证明是的切线； （2）由，得，而，，则，求得，所以的半径长为． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴的半径长为． 24．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，为的外接圆，，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴即， ∵是的半径， ∴为的切线； (2) 证明：延长交于点，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵为的切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴； (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、根据矩形的性质与判定求线段长、切线的性质和判定的综合应用 【分析】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理： （1）连接，由，得到，结合，推出，再根据为的直径，得到，进而得到即，即可证明结论； （2）延长交于点，连接，易证垂直平分，圆周角定理，切线的性质，推出四边形为矩形，即可得证； （2）由（2）可知，勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）知四边形为矩形，，， ∴， ∴， 设的半径为，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 即：的半径为． 【题型五】切线长定理的应用 25．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径，连接，．如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、直角三角形的两个锐角互余、圆周角定理、应用切线长定理求证 【分析】连接，证明得，根据圆周角定理求出，可得，进而可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵和为的两条切线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 26．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若， ，则的长为_____．    【答案】 【知识点】根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、应用切线长定理求证、切线的性质和判定的综合应用 【分析】连接、，根据切线的判定可证是的切线，再根据切线长定理可得，，由切线的性质可得，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得，可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接、， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查切线的判定与性质、切线长定理、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质和切线长定理是解题的关键． 27．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，四边形的各边与分别相切于点．求证：． 【答案】证明：∵四边形的各边与分别相切于点， 根据切线长定理：， ∴ ， ∴． 【知识点】圆外切四边形模型、应用切线长定理求证 【分析】利用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等．把四边形四条边拆成多组相等的线段，再进行等量代换，即可证明等式． 【详解】略 28．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段是日晷的底座，点为日晷与底座的接触点（即与相切于点）．点在上，为某一时刻晷针的影长，的延长线与交于点，与交于点，连接、、，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接． 与相切于点， ， ， ， ． 又∵， ∴ ∴； (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、应用切线长定理求证、切线的性质定理 【分析】本题考查切线的性质，切线长定理的应用； （1）证明，得出，进而根据切线长定理可得，即可得证； （2）根据（1）可得，切线长定理可得，进而根据勾股定理求出，，进而求得的长． 【详解】（1）略． （2）解：根据（1）可得 ， ， ； ∴， ，与相切，， ． 在中，， ∴ ∴， ， 在中，． 29．（2025·河南周口·一模）数学实践小组对卧式手摇纺车纺线时的场景进行了探究：纺线时（如图），木架水平放置，即绳轮与水平面相切于点E，线绳绕过绳轮汇聚于点D处放置的锭子上，即线绳与相切于点C，过切点E的直径与交于点A（图中点O，A，E，D，C在同一平面内）． (1)连接，求证：． (2)该小组在实践过程中发现，当纺车的绳轮半径为，且圆心O与D处锭子之间的水平距离在与之间时，纺线较为舒适．若，请判断使用该纺车纺线时是否舒适，并说明理由．（参考数据：，最后结果精确到个位） 【答案】(1) 证明：切于点C， ． ， ． ， ， ． (2)使用该纺车纺线时舒适， 理由：如图，连接， 切于点E，切于点C， ，， ，， ， ， 作的垂直平分线交于F，连接， 则， ∴， ， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ， 使用该纺车纺线时舒适． 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、等腰三角形的性质和判定、应用切线长定理求证、切线的性质定理 【分析】本题主要考查了切线的性质，等于三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握切线的性质，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据切于点C，得出，根据等腰三角形的性质得出．根据，得出，最后证明结论即可； （2）连接，证明，得出，作的垂直平分线交于F，连接，根据等腰三角形的性质得出，证明为等腰直角三角形，得出，，求出，即可得出结论即可． 【详解】（1）略 （2）略 【题型六】圆内接四边形性质的应用 30．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，点A、B、C、D、E都是上的点，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等、已知圆内接四边形求角度 【分析】连接、，根据圆内接四边形的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：连接、， 点、、、都是上的点， ， ， ， ， ， 点、、、都是上的点， ， ． 31．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知四边形内接于，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】因为四边形内接于，所以根据圆内接四边形对角互补的性质，可求出的度数．因为是对应的圆心角，是对应的圆周角，所以根据圆周角定理，可得到与的数量关系，进而求出的大小． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴ ∴ 32．（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）如图，点，，，，在上，，则所对的圆周角度数为________． 【答案】 【知识点】 求圆弧的度数、已知圆内接四边形求角度 【分析】先连接，根据圆内接四边形的性质得到，再结合已知条件得出，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 点，，，，在上， ∴四边形是圆内接四边形， ，即． ， ， 即所对的圆周角度数为． 33．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，四边形为的内接四边形，为四边形的一个外角．求证：． 【答案】证明：∵四边形为的内接四边形， ， ， ． 【知识点】已知圆内接四边形求角度 【分析】先根据圆内接四边形性质得出，再结合即可证明结论． 【详解】略 34．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，四边形内接于，E是延长线上的一点，的延长线交于点F，，． (1)求的度数； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)证明：由（1）得：是等边三角形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴：四边形是平行四边形． 【知识点】等边三角形的判定和性质、证明四边形是平行四边形、同弧或等弧所对的圆周角相等、已知圆内接四边形求角度 【分析】（1）证明是等边三角形，可得，再由圆内接四边形的性质可得，即可求解； （2）根据，可得，从而得到，进而得到，再由圆内接四边形的性质可得，从而得到，即可求证． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 35．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，为直径，点C为上一点，平分，，垂足为H，交于点D． (1)求证：直线是的切线． (2)若，，求的直径． 【答案】(1)证明：如图， 连接，则：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵点C为上一点， ∴直线是的切线． (2)的直径为 【知识点】角平分线的有关计算、用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理、证明某直线是圆的切线、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）连接，则，即可得，根据角平分线性质得，等量代换即可得，再根据垂线定义得，进而得，等量代换即可得，进而可证明直线是的切线． （2）连接，，根据勾股定理结合已知求出，再根据圆内接四边形性质、平角定义即可得，再根据等角的余角相等即可得，根据角平分线性质得，进而得，即可证明，，根据相似性质列式计算得，进而可计算出的直径． 【详解】（1）略 （2）解：如图， 连接，，则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的直径为． 【题型七】动点与最值（选择/填空压轴） 36．（2025·山东临沂·一模）如图，中，，，．点P为内一点，且满足．则的长度最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、90度的圆周角所对的弦是直径、判断三边能否构成直角三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆．由题意知，又长度一定，则点P的运动轨迹是以中点O为圆心，长为半径的圆弧，所以当B、P、O三点共线时，最短，再进一步求解即可． 【详解】解： 取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆，则点P在上运动， 由题意知：当B、P、O三点共线时，最短，而， ， ∵， ， ∴的长度最小值为． 故选：B 37．（24-25九年级上·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和不在直线上的点C，给出如下定义：若点C关于直线的对称点C在上或其内部，且，则称点C是弦的“可及点”．如图，点，．若点C是弦的“可及点”，则点C的横坐标的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、90度的圆周角所对的弦是直径、坐标与图形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】取中点为H，连接，可确定点D在以H为圆心，为半径的上方半圆上运动（不包括端点A、B），当轴时，点C横坐标最大，可求，故点C的横坐标的最大值为． 【详解】解：取中点为H，连接， ∵， ∴， ∴点C在以H为圆心，为半径的上方半圆上运动（不包括端点A、B）， ∴当点轴时，点C横坐标最大， ∵，， ∴， ∴， ∵点，， ∴， ∴此时， ∴点C的横坐标的最大值为， 故选B． 【点睛】本题考查了新定义，圆周角定理，勾股定理，直角三角形斜边的中线，正确添加辅助线是解题的关键． 38．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，弦．点在上移动，连接，过点作，交于点，则长的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、点与圆上一点的最值问题、利用垂径定理求值、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】由勾股定理得，为定值，最小时最大，根据垂线段最短，当时最小，最后求出最大值． 【详解】解：如图，连接， ， ， 为定值，则当取得最小值时，取得最大值， 当时，取得最小值， 此时点与点重合， ， ． 39．（2025·陕西汉中·二模）如图，在正方形中，，点、分别为边、上的动点（均不与端点重合），以为边向右作等边，点为的中点，连接，则的最小值为_______． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、根据正方形的性质求线段长、90度的圆周角所对的弦是直径、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了根据正方形的性质求线段长、含30度角的直角三角形、90度的圆周角所对的弦是直径、等边三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，理解当时，取得最小值，然后在中进行求解． 【详解】解：连接、， 如图，由点为等边的边的中点，可得到，即， 由正方形的性质可得，作的外接圆，则为该外接圆的直径，易得点也在该圆上， 因此，可得点在射线上运动，过点作于点， 当时，取得最小值， 此时点在点的位置，在中，， 则，即的最小值为2， 故答案为：2． 40．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，，垂足为点，，，点是平面内的一个动点，且满足，则线段BM的最大值为__________． 【答案】8 【知识点】用勾股定理解三角形、90度的圆周角所对的弦是直径、点与圆上一点的最值问题 【分析】先证明点M在以为直径的圆上，取的中点O，连接并延长交于点，B，O，三点共线，此时的值最大，据此求解即可． 【详解】如图，，， ， ∵， ∴， ， ∴点M在以为直径的圆上， 取的中点O，连接并延长交于点，B，O，三点共线，此时的值最大， ， ， ∴在中，， ，即的最大值为8． 41．（2026·河北石家庄·二模）如图，点P是边长为2的正方形内部一点，且，点E是边的中点，将线段以点D为中心逆时针旋转得到线段，连结，，线段长度的最大值为_________． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、根据正方形的性质求线段长、90度的圆周角所对的弦是直径、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】证明，可得，从而得到点Q在以为直径的圆上运动，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴，即， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上运动， 如图，取的中点H，连接，则， ∴， ∵， ∴当点E，H，Q在同一直线上时，取得最大值，最大值为的长，即． 42．（26-27九年级上·陕西·期中）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，的半径为1，直线切于点，则线段的最小值为_____． 【答案】 【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、坐标系中的动点问题（不含函数）、切线的性质定理 【分析】连接，根据切线的性质和勾股定理得到，进而得到当最小时，最小，根据垂线段最短，得到最小，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵直线切于点， ∴，， ∴， ∴当最小时，最小， ∵是直线上的一个动点， ∴当直线时，最小，此时， ∴的最小值为． 【题型八】三角形内切圆与面积法（解答题压轴） 43．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知，正三角形的边长为，正三角形的外接圆和它的内切圆是同心圆，求这两个圆所形成的圆环的面积． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、三角形内切圆与外接圆综合 【分析】经过正三角形的中心，作边的垂线，构建直角三角形，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，为等边三角形，点为中心，作于点，连接， 则， ∵为等边三角形， ∴为三角形外接圆的半径，为三角形内切圆的半径，， ∴这两个圆所形成的圆环的面积为． 44．（25-26九年级·全国·单元复习）如图，已知，求作其内切圆． 【答案】见解析 【知识点】一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】分别作∠ABC，∠ACB平分线BD、CE，两平分线交于点O，以O为圆心，以点O到BC的垂线段OG为半径作圆，则圆O即为△ABC的内切圆． 【详解】解：如图，分别作∠ABC，∠ACB平分线BD、CE，两平分线交于点O，以O为圆心，以点O到BC的垂线段OG为半径作圆，则圆O即为△ABC的内切圆． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，理解三角形内切圆的定义，熟练掌握基本作图作已知角的角平分线和过直线外一点作已知直线的垂线是解题关键． 45．（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，中，D为AC边上一点，为内切圆，G、E、F为切点．求证：； 【答案】证明：∵为内切圆，、、为切点， ∴， ∵， ∴即 ∴． 【知识点】应用切线长定理求证 【分析】根据切线长定理可得，，根据，由线段的差相等，即可求解． 【详解】略 46．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，它们的坐标分别是，，，将绕点B逆时针旋转后得到（A与对应，C与对应）． (1)画出旋转后的三角形； (2)求扫过的面积； (3)直接写出内切圆圆心的坐标_______． 【答案】(1) 根据旋转的性质，得，，画图如下： 则即为所求． (2) (3) 【知识点】画旋转图形、三角形内心有关应用、勾股定理与网格问题、求图形旋转后扫过的面积 【分析】（1）根据旋转的性质画图解答即可． （2）分割法求面积解答即可． （3）根据直角三角形内切圆的半径与三角形的面积关系求出半径为，而直角三角形两直角边与内切圆的切点、圆心、直角顶点构成正方形，利用平移的思想，解答即可； 本题考查了旋转作图，面积计算，直角三角形的性质，内心，熟练掌握变换的基本特征是解题的关键． 【详解】（1）解：略． （2）解：根据，，， 得，， 故， 故扫过的面积等于， 故面积为 （3）解：根据，，， 得，， 故， 故内切圆得半径为． 将点向右平移1个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到 故内切圆圆心的坐标， 故答案为：． 47．（25-26九年级上·湖南株洲·阶段检测）如图，是半圆的直径，是半圆上一点，连接并延长到，使，连接，，交半圆于点，已知． (1)如图①，过点作于点，求证：是半圆的切线； (2)如图②，当时，求与半圆重合的面积； (3)如图③，若点是的内心，则当点在半圆上时，求的度数． 【答案】(1) 如下图所示，连接， ，， 点，点分别为，的中点， ， ， ， 是半圆的半径， 是半圆的切线； (2) (3) 【知识点】等边三角形的判定和性质、证明某直线是圆的切线、三角形内心有关应用、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】本题主要考查圆的综合知识，切线的判定，不规则图形的面积的求法，三角形的内心，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点，作出正确的辅助线是做题的关键． （1）先连接，再利用三角形的中位线的性质定理，可得，最后得出即可证明； （2）连接，，，判定，和是等边三角形，再利用等边三角形的性质求出高，最后根据与半圆重合的面积即可求出答案； （3）根据三角形内心的定义，得出角的关系式，再通过设，利用四边形的内角和求出的值，进一步判定为等边三角形，最后根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理，即可求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：如下图所示，连接，，， 过点作于点， 是半圆的直径， ， ， ， ， ，是等边三角形， ， ，， 和是等边三角形， ， ， ， ，， ， 与半圆重合的面积； （3）解：当点在半圆上时， 点是的内心，是半圆的直径， ，，， ，， ，， ， ． 设， 则，， 四边形的内角和为， ， 解得，， 为等边三角形， ， . 答：当点在半圆上时，的度数为． 【题型九】圆综合压轴（解答题压轴第二问） 48．（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，是的直径，是的弦，如果 (1)求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，据此求出的度数，再由同弧所对的圆周角相等可得答案； （2）根据直径所对的圆周角是直角得到，再由同弧所对的圆周角相等得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵是的直径， ∴； ∵， ∴， ∴． 49．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）尺规作图：（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）． (1)如图①，已知线段和直线，请在上作出所有的点，使得； (2)如图②，已知，请在上作出所有的点，使得． 【答案】(1)如图①所示，点及点即为所求； (2)如图②所示，点及点即为所求． 【知识点】作已知线段的垂直平分线、等边三角形的性质、圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等、画圆(尺规作图)、 三角形外接圆的概念辨析 【分析】（）如图①，在的上方构造等边，以为圆心，为半径作，交直线于点和点，由圆周角定理及等边三角形的性质可得，故点及点即为所求； （）如图②，作线段的垂直平分线交于点，连接，以为圆心，的长为半径作，在的上方交的垂直平分线于点，连接，由圆周角定理得，，以为圆心，为半径作，交直线于点和点，由圆周角定理得到，故点及点即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 50．（2024·山东枣庄·一模）如图，在平行四边形中，是对角线，，以点A为圆心，以的长为半径作，交边于点E，交于点F，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1) 证明：如图，连接. ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵是的半径， ∴与相切. (2) 【知识点】圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）证明：连接AE，根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD∥BC，求得∠DAE=∠AEB，根据全等三角形的性质得到∠DEA=∠CAB，得到DE⊥AE，于是得到结论； （2）根据已知条件得到△ABE是等边三角形，求得AE=BE，∠EAB=60°，得到∠CAE=∠ACB，得到CE=BE，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴是等边三角形， ∴，. ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. ∵，， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 51．（2025·北京西城·一模）在中，，为边上一点，点与点关于直线对称，过点作的垂线，交线段的延长线于点，连接交直线于，连接，，设． (1)如图，当时． ①求的大小（用含的式子表示）； ②请用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (2)当时，请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1)①； ② 证明：过点作交于, ∴. ∵ ∴, ． ∵在中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴点在以点为圆心，的长为半径的圆上， ∴， ， ∴． 在和中 ， ∴， ∴． ∵点与点关于直线对称， ∴， ， ， ， ， ． (2)． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据成轴对称图形的特征进行求解、圆内知识综合(圆的综合问题) 【分析】（1）①连接，，利用等腰直角三角形的性质求得，，再利用四边形内角和来求解；②过点作交于,易得，利用全等三角形的性质得到，再利用对称性来求解； （2）利用②的方法来求解． 【详解】（1）解：①连接，，如下图 为边上一点，点与点关于直线对称， ，，， ． 在中，， ，， ． ， ， ， ． ②略 （2） 证明：同②的方法． 【点睛】本题考查了对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，四点共圆，四边形内角和度数，理解相关知识，作出辅助线是解答关键． 52．（26-27九年级上·江苏南京·期中）定义：内接于，为的内心，若关于该三角形某条边的对称点恰好在上，则称为的“完美三角形”． (1)【初步认识】下列内接三角形一定是的“完美三角形”的有______（填序号）： ①等边三角形；②等腰直角三角形；③有一个角为的直角三角形． (2)【探索本质】如图1，是的“完美三角形”，其内心关于的对称点在上． ①求的度数； ②若，求的半径． (3)【理解应用】如图2，的半径为，弦．是上一点，为的“完美三角形”，请直接写出所有可能的值． 【答案】(1)①③ (2)①；② (3)9，15，21 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】（1）设的内心关于边的对称点恰好在上，证明，可得，，由为的内心，可得，，由四边形内接于，可得，可得当为其外接圆的“完美三角形”时，有一个内角为，即可得结论； （2）①连接，，，，同理（1）即可得； ②连接，，过点作于点，则，利用等腰三角形的性质和勾股定理即可求解； （3）分，，三种情况，即可求解． 【详解】（1）解：如图，设的内心关于边的对称点恰好在上， 由对称可得，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为的内心， ∴，分别平分，， ∴，， ∴，， ∴， ∵四边形内接于， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴当为其外接圆的“完美三角形”时，有一个内角为， ∴当三角形为等边三角形和有一个角为的直角三角形时，一定是的“完美三角形”，故①③符合． （2）解：①如图，连接，，，， 由对称可得，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为的内心， ∴，分别平分，， ∴，， ∴，， ∴， ∵四边形内接于， ∴，即， ∴， ∴， ∴． ②如图，连接，，过点作于点，则， 由①可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，即的半径为． （3）解：由（2）可知，有一个角为， 当时，如图，连接，，过点作于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 过点作于点，则， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 在中，， ∴； 当时，过点作交延长线于点，则，， ∴； 当时，如图， 同理当时，其对边， ∴当时，其对边； 同理，若，则其对边，与已知不符合，故不存在； 综上所述，所有可能的值为9，15，21． 53．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图1，是等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)如图2，与边交于点、点，连接、，作的平分线交于点，连接、． ①求证的形状，并说明理由； ②若，，求弦与劣弧围成的阴影的面积． 【答案】(1)过点作于点，连接、． ∵是等腰三角形，是底边中点， ∴，且平分． ∵与相切于， ∴． ∵， ∴． ∵是的半径， ∴也等于的半径， ∴是的切线． (2)①是等腰直角三角形，证明如下： ∵是的直径 ∴． ∵平分， ∴． ∴， ∴． ∴是等腰直角三角形． ②． 【知识点】利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形、圆周角定理、切线的性质定理、证明某直线是圆的切线、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）过点作的垂线，记垂足为点H，因为与相切，所以到的距离等于半径，结合等腰三角形三线合一、角平分线的性质，证明到的距离等于半径即可． （2）①因为是的直径，所以先由直径所对圆周角是直角确定为直角，再结合角平分线的条件得到弧和弧相等，所以对应弦，据此判断三角形形状．②先在中用勾股定理求长度，得到的半径，再结合角平分线定义求出度数，根据圆周角定理求出的度数，最后用扇形的面积减去的面积得到阴影部分面积． 【详解】（1）略． （2）①略． ②连接， ∵在中，，，， ∴， ∴的半径． ∵平分， ∴， ∴． ∴扇形的面积：． ∵的面积：： ∴． 54．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测） 如图1，为的直径，．点D是上一动点（不与A、C重合），连接，，． (1)求的度数； (2)探究线段、、之间的数量关系，并证明． (3)如图2，若与相交于点E，过点E分别作于点F，于点G，求与面积之和的最大值． 【答案】(1) (2)解：，证明如下： 延长至点M，使得，连接， ，， ， 在和中 ∴， ， ， 在中，， ， ． (3)4 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、全等三角形综合问题、根据正方形的性质与判定求线段长、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角得出，根据等腰三角形的性质求出，最后根据圆周角定理得出答案即可； （2）延长至点M，使得，连接，证明，得出，根据勾股定理得出，即可得出答案； （3）过点作交点N，证明四边形为正方形．得出，证明，得出，设 ，则，求出 ，根据二次函数性质得出答案即可． 【详解】（1）解：为直径， ， ∵， ， ∵， ∴； （2）略 （3）解：过点作交点N， 如图所示： 为直径， ． ， ， ， 平分 ． 又 ， ， 四边形为正方形． ， ， ， ， ． 在和中， ∴， ， 设 ，则， ， 当，取得最大值，最大值为4， 即最大值为4 ． 55．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知：四边形内接于，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长、相交于点E，点F在弦上，连接、，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点O作于点H，连接、，若，，求的面积． 【答案】(1)证明：连接，如图所示， ， ， ， ． (2)证明：，， 四边形为等腰梯形， ， ，， ， ． ， ， 为等边三角形， ． ， ，， ， 为等边三角形， ，， 在和中， ， ． (3)15 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、用勾股定理解三角形、圆周角定理、圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）根据同圆中相等的弦所对的弧相等和等弧所对的圆周角相等推出，根据内错角相等，两直线平行即可证明． （2）利用等腰梯形的判定和性质推出，结合邻补角定义和等腰三角形的性质推出结合已知条件，推出等边，结合平行线的性质推出等边三角形，最后利用证明，即可推出． （3）根据垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的性质和勾股定理求出的长度，利用等边三角形的性质求出关系，设参数，，结合勾股定理表示出关系，利用完全平方公式求出和的值即可求出相应的线段，面积从而求出最后利用等底同高即可求出面积． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ， ， ，， ，， ， 在中，，， ． ，， ． 和为等边三角形，，， ， 设，则，，，，， ， 在和中，， ， 在和中，，， ， ， ①，②， ②-①得，则， ， 即， 即， ，， ． ，是和的高， ． 【点睛】本题考查了圆与内接四边形的综合，解题的关键是要设和参数，利用整体化思想和完全平方公式求出长度． （一）知识网络 主干 关键结论 圆的有关性质 垂径定理；弦弧圆心角关系；圆周角定理及推论；圆内接四边形对角互补 点和圆的位置关系 d＜r 在圆内、d＝r 在圆上、d＞r 在圆外；外心 直线和圆的位置关系 相离 d＞r、相切 d＝r、相交 d＜r；切线判定与性质；切线长定理；内心 圆的计算 弧长 l＝；扇形 S＝＝lr （二）解题策略（通法） ① 遇直径，想直角；② 遇切线，连半径（性质）/连半径证垂直（判定）；③ 求弦长，作弦心距用勾股；④ 求角度，圆周角转圆心角；⑤ 多性质综合时，先作辅助线“翻译”已知，再用相似或勾股列方程。 （三）易错提醒 重点防范：等弧必须在同圆或等圆中；垂径定理须为“直径”；圆周角定理须“同弧或等弧”；切线判定两个条件缺一不可；外心（垂直平分线交点）与内心（角平分线交点）勿混淆。 （四）常用辅助线小结 ① 过圆心作弦的垂线段（弦心距）→ 构造 Rt△； ② 连接切点与圆心（半径）→ 得垂直； ③ 连接圆上两点 → 构造圆周角或直径所对直角； ④ 圆外一点连接圆心 → 出现切线长相等与角平分。 一、单选题 1．课下小亮和小莹讨论一道题目：“已知点O是的外心，，求”．小亮的解答为：如图，画以及它的外接圆O，连接，由，得．而小莹说：“小亮考虑的不周全，应该还有另一个不同的值”．下列判断正确的是（    ） A．小亮求的结果不对，应该是 B．小莹说的不对，就是 C．小莹说的对，的另一个值是 D．两人说的都不对，的值有无数个 【答案】C 【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案． 【详解】解：如图所示：还应有另一个不同的值与互补， 故． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，以及圆周角定理，正确分类讨论是解题的关键． 2．如图，点在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断四边形是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得，代入的度数即可求解． 【详解】解：∵点在上， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 3．若一个等边三角形的边长为，则其内切圆与外接圆的半径分别为（   ） A．， B． C． D．1，2 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的外接圆和内接圆，掌握等边三角形的性质、三角形外接圆和内接圆的概念、根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 【详解】解：如图，设等边三角形的中心为O， ， 连接，延长交于点E，则， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴为外接圆的半径，为内切圆的半径，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴内切圆与外接圆的半径分别为1和2， 故选：D． 4．在半径为的中，弦长为的弦所对的圆心角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角的定义，等边三角形的性质．根据题意画出图形，得到是等边三角形，即可得到弦长为的弦所对的圆心角为． 【详解】解：如图，∵，， ∴， ∴． 故选：B． 5．如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，如果这个正六边形的周长是，则这个正六边形的外接圆半径是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；连接，相交于点，根据题意得出是等边三角形是解题关键．由正六边形的性质证出是等边三角形，由等边三角形的性质得出，即可解题． 【详解】解：连接，相交于点，    由正多边形性质可知，， 为等边三角形， 正六边形的周长是， ， ． 这个正六边形的外接圆半径是． 故选：C． 6．刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，中，的长分别为．则可以用含的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，三角形内接圆半径，令，根据选项中关系式计算比较判断即可． 【详解】解：为直角三角形， 令． 选项A：，选项B：，选项C：，选项D：， 只有D选项结果跟其他选项结果不一致， 表达式错误的是D选项， 故选：D． 7．如图，在矩形中，，以为直径作，将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点．若，则长为（    ） A．9 B．10 C． D．12 【答案】B 【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线的性质、垂径定理等知识点． 连接，延长交于点，由垂径定理可得，证明四边形为矩形，得到，设，则，由勾股定理得出，解得，则得出答案． 【详解】解：连接，延长交于点， 与相切， ， 在矩形中，， ， ， 矩形绕点旋转所得矩形为， ，，， 四边形为矩形， ， 设，则， ， ， 解得， ． 故选：B． 8．如图，在中，直径，正方形的四个顶点都分别在半径、及上，且，则（　　） A．4 B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线，构造与相关的直角三角形．先结合正方形的性质证明为等腰直角三角形，易得，设，则，在中根据勾股定理求得的值，即可获得答案． 【详解】解：连接，如下图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵直径， ∴， 设，则， 在中，可有， 即， 解得或（舍去）， ∴． 故选：B． 二、填空题 9．如图，内接于圆，为圆的直径，过点的切线交的延长线于点．若，则的度数是___________ 【答案】/29度 【分析】本题主要考查圆的切线性质及圆周角定理．连接，由切线的性质可得，再利用余角的性质可得，然后根据圆周角定理即可求得． 【详解】解：如图，连接， ∵过点的切线交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．如图，正五边形内接于，连接，，则的大小是 ________．    【答案】/18度 【分析】本题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据正多边形和圆的性质求出中心角的度数，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可，掌握正多边形中心角的计算方法，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提． 【详解】解：如图，连接、，    ∵五边形是的内接正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．如图，菱形的边长为，，将菱形绕点顺时针旋转，使与重合，则在旋转过程中，点所走的路径的长为___________（结果不取近似值） 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、弧长的计算方法；熟练掌握菱形的性质并能进行推理计算是解决问题的关键．连接，交于，再证明是等边三角形，得出，再求出，根据弧长公式即可得出结果． 【详解】解：连接，交于，如图所示： 菱形的边长为，， ，，， ， 与重合， ， 是等边三角形， ，，， ， 点所走的路径的长为； 故答案为： 12．如图，在由小正方形组成的网格图中建立一个平面直角坐标系，一条圆弧经过格点，，．圆心为，则的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查垂径定理，点的坐标，通过作图，确定圆心的位置是解题的关键． 找到，的垂直平分线的交点即为圆心，再求其坐标即可． 【详解】解：如图，连接，分别作，的垂直平分线交于点， 由图可得点坐标为， 故答案为：； 13．如图，，点在射线上滑动，点在射线上滑动，且线段的长始终保持不变；以为斜边在的右侧作，则在滑动的过程中线段长的最大值是____． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质，利用圆的性质，确定在以为直径的圆上，最大值为直径． 【详解】解：连接，以为直径作，连接． ， 点在上， 当为直径时有最大值， ， 的最大值为：． 故答案为：． 14．如图，在等边三角形中，点D是边的中点，以为直径的分别交、于点E、F，且，则图中阴影部分的面积______． 【答案】 【分析】连接过点O作于G，运用求解即可． 【详解】解：连接过点O作于G， ∵在等边三角形中，点D是边的中点，， ∴，，， ∴，， ∴，， 以为直径的分别交、于点E、F， ∴，， ∴，，， ∴， 同理可得：， ∵，， ∴ ∴． 三、解答题 15．（1）已知：（图①），求作：的外接圆（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出作法，不要求证明） （2）如图②，A为上一点，按以下步骤作图： ①连接；②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③在射线上截取；④连接．若，求的半径．    【答案】 （1）的外接圆如图所示：    （2）的半径． 【分析】本题主要考查圆的基本性质，确定三角形的外接圆的圆心． （1）根据三角形的外接圆的圆心是三角形边的垂直平分线的交点进行确定即可； （2）由题意易得是等边三角形，则，进而可得，然后可得，最后问题可求解． 【详解】解：（1）略 （2）连接，    ∵， 由作图知， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴的半径． 16．新素材正六边形蜂窝状置物架如图（1）是某阅览室墙上安装的正六边形蜂窝状置物架，将该置物架抽象成如图（2）所示的图形，点A，B，C，D，E，F均为正六边形的顶点，点O为的中点，每个正六边形的边长均为． (1)连接，求的长； (2)求该置物架所占用墙面的宽度 d． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添适当的辅助线是解题的关键． （1）连接并延长交的延长线于点 G，作于点R．先求出，，过点C作，垂足为H，证明四边形为矩形，得出，再根据勾股定理求出结论； （2）由题意得：共线，连接，过点Q作，垂足为N，则，求出，在求出，即可求出结论． 【详解】（1）解：如图（1），连接并延长交的延长线于点 G，作于点R． ， ，   ，   ， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 过点C作，垂足为H， 则， ∵ ∴四边形为矩形，     ， ∴， ； （2）如图（2），由题意得：共线，连接， 过点Q作，垂足为N， 则 ， 在中， ， ， 设左上角正六边形中心为点O，其左上角的顶点为W，连接， 则， 是等边三角形， ，    ， 答：该置物架所占用墙面的宽度 d为． 17．如图，是半圆O的直径，正方形和正方形彼此相邻且内接于半圆O，点A，B，F在半圆上，点C，D，G在直径上，点E在上，正方形的面积为16． (1)求证：； (2)求的半径长． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由，即可证明； （2）设，则，由勾股定理得到，求出，即可得到的长． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 设，则， ∵正方形的面积， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得（舍去负值）， ∴，， ∴， ∴半径长是． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，圆的性质等知识点，关键是由勾股定理求出的长． 18．在中，，，． (1)若以点C为圆心，长为半径画，则直线与的位置关系___________； (2)若直线与半径为r的相切，求r的值． (3)若线段与半径为r的有唯一公共点，则r的取值范围为______________． 【答案】(1)相离 (2) (3)或 【分析】先通过面积法求出点C到直线AB的距离，再结合直线与圆的位置关系判定前两问；第三问分相切、线段与圆仅有一个交点两类讨论． 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：， 过点作于点， 由三角形面积公式，， ∴，即圆心到直线的距离. 当时， ∵， ∴直线与相离； （2）解：∵直线与相切， ∴； （3）解：分两种情况讨论： ①当与直线相切时，切点在线段上，线段与有唯一公共点，此时； ②当与直线相交时，若线段与仅有一个公共点，则需直线与圆的两个交点中仅一个在线段上， ∵，， 当时，点在上，另一交点在线段上，有2个公共点，不符合； 当时，点在内，点在上或圆外，仅一个交点在线段上，符合； 当时，点、均在内，无公共点，不符合， 综上所述，的取值范围为或． 19．已知，按要求完成作答 (1)用直尺和圆规作如图的内切圆⊙O． (2)若，则______； (3)若面积为6，周长为10，则的内切圆半径为________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先分别作和的角平分线，以为圆心，大于长度为半径画弧，交于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交点与点的连接即为的角平分线，同理得到的角平分线，两条角平分线相交于点，再过点作于点，以点为圆心，的长为半径画圆，即为所求； （2）点是内心，得到，求出，得到，再根据，即可求出答案； （3）根据内切圆半径，周长，三角形面积的关系进行计算即可． 【详解】（1）解：作图如下， （2）解：点是内心， 平分，平分， ． （3）解：根据内切圆的性质得到， 且， ， ， ， ， ． 20．问题情境： “康居课题学习小组”在学习扇形的面积公式时，对生活中所用的一次性纸杯（如图产生了兴趣，决定对制作这种纸杯的相关问题进行研究．（说明：整个探究过程中均忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度．） (1)任务1：测量如图1所示的圆口水杯的杯口直径． 工具：一张宽度为的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺． 测量方法一：如图2，将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点，分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，，利用刻度尺测得的长，即为杯口直径．这里用到的几何知识是：_____；（请选择正确的序号填入） ①垂直于弦的直径平分弦；②的圆周角所对的弦是直径；③直径所对的圆周角是． 测量方法二：如图3，将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为，另一边与杯口相交于，两点，利用刻度尺测得的长为．请求出此时杯口的直径； (2)任务2：测量出杯口直径后，用类似的方法测得杯底直径（如图4），杯壁母线长，请求出任务1中水杯的侧面积（如图5）． 【答案】(1)②；此时杯口的直径为 (2) 【分析】（1）测量方法一：根据的圆周角所对的弦是直径进行解答即可； 测量方法二：设点为圆心，连接交于点，连接．根据为的切线得到．由得到，垂径定理得到，设的半径为，则，在中，，列出方程即可求解． （2）根据纸杯侧面是大扇形减去小扇形的扇环求解即可； 【详解】（1）解：测量方法一：∵纸板的两个顶点，分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为， ∴为杯口的直径（的圆周角所对的弦是直径）， 即小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是的圆周角所对的弦是直径． 测量方法二：如图，设点为圆心，连接交于点，连接． ∵为的切线， ， 又∵， ， ∴， 设的半径为，则， 在中，， ， 解得， 所以杯口的直径为． （2）解：杯口周长为大扇形的弧长：， 杯底周长为小扇形的弧长：， 设小扇形的半径为，圆心角为， 根据弧长公式得： ， 两式相减得，解得，代入得， ∴． 21．如图，BC是半⊙O的直径，点P是半圆弧的中点，点A是弧BP的中点，AD⊥BC于D，连结AB、PB、AC，BP分别与AD、AC相交于点E、F． （1）求证：AE=BE； （2）判断BE与EF是否相等吗，并说明理由； （3）小李通过操作发现CF=2AB，请问小李的发现是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请写出CF与AB正确的关系式． 【答案】（1）见解析；（2）BE=EF，理由见解析；（3）小李的发现是正确的，理由见解析 【分析】（1）如图1，连接AP，由BC是半⊙O的直径，AD⊥BC于D，得到∠ACB+∠ABC=∠BAD+∠ABD=90°，于是得到∠ACB=∠BAD，根据圆周角定理得到∠P=∠ACB=∠ABP，即可求出结论； （2）根据圆周角定理求出∠ABE=∠BAE，求出AE=BE，求出∠CAD=∠AFB，求出AE=EF，即可得出答案； （3）根据全等三角形的性质和判定求出BG=CF，AB=AG，即可得出答案． 【详解】（1）如图1，连接AP， ∵BC是半⊙O的直径， ∴∠BAC=90°， ∵AD⊥BC于D， ∴∠ADB=90°， ∴∠ACB+∠ABC=∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠ACB=∠BAD， ∵点A是弧BP的中点， ∴∠P=∠ACB=∠ABP， ∴∠ABE=∠BAE， ∴AE=BE； （2）BE=EF， 理由是：∵BC是直径，AD⊥BC， ∴∠BAC=∠ADC=90°， ∴∠BAD=∠ACB， ∵A为弧BP中点， ∴∠ABP=∠ACB， ∴∠BAD=∠ABP， ∴BE=AE，∠FAD=∠AFB， ∴EF=AE， ∴BE=EF； （3）小李的发现是正确的， 理由是：如图2，延长BA、CP，两线交于G， ∵P为半圆弧的中点，A是弧BP的中点， ∴∠PCF=∠GBP，∠CPF=∠BPG=90°，BP=PC， 在△PCF和△PBG中， ， ∴△PCF≌△PBG（ASA）， ∴CF=BG， ∵BC为直径， ∴∠BAC=90°， ∵A为弧BP中点， ∴∠GCA=∠BCA， 在△BAC和△GAC中，  ∴△BAC≌△GAC（ASA）， ∴AG=AB=BG， ∴CF=2AB． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度． 22．阅读与思考． 在学习《圆》这章时，我们学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合问题中，经常会出现对角互补的四边形，那么我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题．如图，是等腰直角三角形，，点是内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，并延长交直线于点，连接．请解答下列问题： (1)当点在如图所示的位置时， ①求证； ②求的度数； ③利用题干中的结论，证明：，，，四点共圆． (2)点在内部运动的过程中，若，，直接写出线段的长． 【答案】(1)①证明：是等腰直角三角形，， ， 线段绕点顺时针旋转得到， ， ，即， 在和中 ， ． ②． ③证明： ． ． 根据对角互补的四边形四个顶点共圆， 四点共圆． (2) 【分析】（1）①利用等腰直角三角形性质和旋转性质得到两组边相等，再推导夹角相等，用 证明三角形全等． ②由全等得到角相等，进行等角代换，推出中两个锐角相加为，得到． ③算出，得到与互补，依据对角互补的四边形四点共圆完成证明． （2）先在直角三角形中求出斜边，结合等腰直角求出，利用四点共圆得到，作垂线构造等腰直角三角形，再用勾股定理分段求出、，相加得到． 【详解】（1）解：①略． ②， ， 是等腰直角三角形 ，也就是， ∴，即 在中， ③略． （2）解：， 在中， ， ，是等腰直角三角形， ， 四点共圆， ， 过点作于， 是等腰直角三角形， 在中， ， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 圆+直线与圆的位置关系+圆综合压轴+小测 （核心知识+8易错辨析+9典例精讲） 【知识点01】圆的基本概念与有关性质 1. 圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点叫圆心，定长叫半径。以点 O 为圆心的圆记作 ⊙O。 2. 相关概念： ① 弦：连接圆上任意两点的线段，最长的弦是直径（直径是过圆心的弦）。 ② 弧：圆上任意两点间的部分，大于半圆的弧叫优弧（用三个字母表示），小于半圆的弧叫劣弧（用两个字母表示）。 ③ 等圆：半径相等的圆；等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧。 ④ 同心圆：圆心相同、半径不同的圆；圆环即两同心圆围成的区域。 3. 圆的对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是它的对称轴；圆是中心对称图形，圆心是对称中心；圆具有旋转不变性（绕圆心旋转任意角度都与自身重合）。 4. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 5. 弦、弧、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。反之，相等的弧或弦所对的圆心角也相等。 6. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；②半圆（直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 7. 圆内接四边形：圆的内接四边形的对角互补，且任何一个外角等于它的内对角。 【知识点02】点和圆的位置关系 设圆的半径为 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d，则：点在圆内 ⇔ d＜r；点在圆上 ⇔ d＝r；点在圆外 ⇔ d＞r。 确定一个圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆。三角形外接圆的圆心叫外心，是三边垂直平分线的交点，到三顶点距离相等（等于外接圆半径）。锐角三角形外心在形内，直角三角形外心为斜边中点，钝角三角形外心在形外。 反证法：假设结论不成立，推出矛盾，从而证明结论成立（用于证明“过一点有且只有一条直线与已知圆相切”等）。 【知识点03】直线和圆的位置关系 设 ⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，则直线与圆有三种位置关系，如下表： 位置关系 公共点个数 数量关系 图形特征 图示 相离 0 个 d＞r 直线与圆没有公共点 相切 1 个 d＝r 直线与圆有且只有一个公共点 相交 2 个 d＜r 直线与圆有两个公共点（割线） 切线的判定与性质 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。判定一条直线是圆的切线有三种方法： ① 定义法：直线与圆有且只有一个公共点； ② 数量法：圆心到直线的距离 d 等于半径 r（d＝r）； ③ 判定定理法：直线过圆上一点，且垂直过该点的半径（连半径、证垂直）。 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。由切线的性质可推得：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 三角形内切圆的圆心叫内心，是三条内角平分线的交点，到三边距离相等。直角三角形内切圆半径 r＝（a、b 为直角边，c 为斜边）。 【知识点04】与圆相关的常用计算（压轴基础） 弧长公式：n° 的圆心角所对的弧长 l＝。 扇形面积：S扇形＝＝lr。 圆锥侧面积：S侧＝πrl（l 为母线长）；圆锥底面周长等于侧面展开扇形弧长。 易错点 错因分析 正解与规避 等弧概念误用 误认为长度相等的弧就是等弧 等弧必须在同圆或等圆中且完全重合，仅长度相等不一定等弧 垂径定理适用前提 在一般图形中直接用“垂直于弦”而不确认是直径 垂径定理必须是“垂直于弦的直径”才能平分弦；非直径时需先证其为直径 “平分弦的直径垂直于弦” 忽略“弦不是直径”的前提 平分弦（非直径）的直径垂直于弦；平分直径时结论不成立 圆周角与圆心角关系 把任意圆周角都当成圆心角的一半 必须“同弧或等弧”所对的圆周角等于圆心角一半 切线判定混淆 把“垂直半径”或“过圆上一点”单独当判定条件 判定定理两个条件缺一不可：经过半径外端＋垂直于半径；或证 d＝r 外心与内心混淆 把外心（垂直平分线交点）当作内心（角平分线交点） 外心到顶点距离相等（外接圆）；内心到边距离相等（内切圆） 圆内接四边形性质 误用“对角相等” 圆内接四边形对角互补（和为180°），外角等于内对角 位置关系数量判断 把 d＞r 与 d＜r 记反 相离 d＞r、相切 d＝r、相交 d＜r，结合图形记忆 【题型一】垂径定理的应用（求弦长、半径、弦心距） 1．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为10米．小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径的长度为______米． 2．（26-27九年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的直径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为___________． 3．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，液面宽的长为，则瓶内液体最大深度为________． 4．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，某圆形拱桥的水面跨度，拱高（弧的中点到弦的距离）． (1)求拱桥所在圆的半径； (2)水位上升，求水面的宽度（保留根号）． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）在河北省赵县境内，有一座始建于隋代的石拱桥——赵州桥，距今已有多年的历史．赵州桥开创了中国桥梁建造的崭新局面，是我国古代劳动人民智慧的结晶．赵州桥的桥拱是圆弧形的，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形高）为，跨度（弧所对弦的长）为，求桥拱所在圆的半径．（结果精确到） 6．（26-27九年级上·湖北·期中）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺的圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出 ，求圆形工件的半径为多少？ 7．（25-26九年级上·云南昆明·期末）文物修复师在修复破损文物时，经常通过几何推理还原其原貌．如图1，某修复师修复一件破碎的古代瓷器束口盆（盆口原貌为圆形）时，仅凭一块碎片便能推算出其原始口径尺寸．图2是修复师根据碎片切面绘制的几何示意图：碎片边缘为圆弧，设圆弧所在圆的圆心为O，半径于D，连接．已知，，求盆口半径的长度． 【题型二】圆周角定理的应用（求角度） 8．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为_______． 9．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，A，B是上的两点，且，C是上不与点A，B重合的一点，则的度数是______． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，点，，均在上．若，求的度数． 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，C为圆上一点，的平分线交于点D．若，求的度数． 12．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的直径，点C在上，． (1)求的度数； (2)若点D是弧的中点（点D与点C在的两侧），求的度数． 13．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知是的直径，点C，D在上，，． (1)求证：； (2)求的度数． 14．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在中，，垂足为，， (1)求的度数； (2)如果，求弦的长度． 【题型三】直线与圆位置关系的判定 15．（26-27九年级上·全国·单元测试）已知的半径为4，直线l上有一点A满足，则直线l与的位置关系为（     ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 16．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）中，，，，以点C为圆心，以2为半径画圆，则直线与的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 17．（2026九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为2．若与轴所在直线相切，则_________；若与轴所在直线相交，则的取值范围是__________． 18．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）已知点和直线，求点P到直线的距离d，可用公式计算．已知的圆心Q的坐标为，半径r为2，则与直线的位置关系是_______ ． 19．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点O在边上，的半径为2．当x在什么范围内取值时，所在的直线分别与相交、相切、相离？ 20．（25-26九年级·全国·课后作业）如图，在中，．以点C为圆心，分别以下面给出的r为半径作圆，试问所作的圆与斜边所在的直线分别有怎样的位置关系？请说明理由． (1)； (2)； (3)． 【题型四】切线的判定与性质（辅助线） 21．（2025·甘肃武威·一模）如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 22．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，为的切线，A为切点，连接，过点A作，垂足为C，交于点B，连接，求证：为的切线． 23．（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，为的直径，是的切线，切点为点B，点D为上一点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 24．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，为的外接圆，，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 【题型五】切线长定理的应用 25．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径，连接，．如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 26．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若， ，则的长为_____．    27．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，四边形的各边与分别相切于点．求证：． 28．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段是日晷的底座，点为日晷与底座的接触点（即与相切于点）．点在上，为某一时刻晷针的影长，的延长线与交于点，与交于点，连接、、，，． (1)求证：； (2)求的长． 29．（2025·河南周口·一模）数学实践小组对卧式手摇纺车纺线时的场景进行了探究：纺线时（如图），木架水平放置，即绳轮与水平面相切于点E，线绳绕过绳轮汇聚于点D处放置的锭子上，即线绳与相切于点C，过切点E的直径与交于点A（图中点O，A，E，D，C在同一平面内）． (1)连接，求证：． (2)该小组在实践过程中发现，当纺车的绳轮半径为，且圆心O与D处锭子之间的水平距离在与之间时，纺线较为舒适．若，请判断使用该纺车纺线时是否舒适，并说明理由．（参考数据：，最后结果精确到个位） 【题型六】圆内接四边形性质的应用 30．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，点A、B、C、D、E都是上的点，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 31．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知四边形内接于，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 32．（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）如图，点，，，，在上，，则所对的圆周角度数为________． 33．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，四边形为的内接四边形，为四边形的一个外角．求证：． 34．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，四边形内接于，E是延长线上的一点，的延长线交于点F，，． (1)求的度数； (2)求证：四边形是平行四边形． 35．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，为直径，点C为上一点，平分，，垂足为H，交于点D． (1)求证：直线是的切线． (2)若，，求的直径． 【题型七】动点与最值（选择/填空压轴） 36．（2025·山东临沂·一模）如图，中，，，．点P为内一点，且满足．则的长度最小值为（    ） A．3 B． C． D． 37．（24-25九年级上·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和不在直线上的点C，给出如下定义：若点C关于直线的对称点C在上或其内部，且，则称点C是弦的“可及点”．如图，点，．若点C是弦的“可及点”，则点C的横坐标的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 38．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，弦．点在上移动，连接，过点作，交于点，则长的最大值为（     ） A． B． C． D． 39．（2025·陕西汉中·二模）如图，在正方形中，，点、分别为边、上的动点（均不与端点重合），以为边向右作等边，点为的中点，连接，则的最小值为_______． 40．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，，垂足为点，，，点是平面内的一个动点，且满足，则线段BM的最大值为__________． 41．（2026·河北石家庄·二模）如图，点P是边长为2的正方形内部一点，且，点E是边的中点，将线段以点D为中心逆时针旋转得到线段，连结，，线段长度的最大值为_________． 42．（26-27九年级上·陕西·期中）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，的半径为1，直线切于点，则线段的最小值为_____． 【题型八】三角形内切圆与面积法（解答题压轴） 43．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知，正三角形的边长为，正三角形的外接圆和它的内切圆是同心圆，求这两个圆所形成的圆环的面积． 44．（25-26九年级·全国·单元复习）如图，已知，求作其内切圆． 45．（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，中，D为AC边上一点，为内切圆，G、E、F为切点．求证：； 46．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，它们的坐标分别是，，，将绕点B逆时针旋转后得到（A与对应，C与对应）． (1)画出旋转后的三角形； (2)求扫过的面积； (3)直接写出内切圆圆心的坐标_______． 47．（25-26九年级上·湖南株洲·阶段检测）如图，是半圆的直径，是半圆上一点，连接并延长到，使，连接，，交半圆于点，已知． (1)如图①，过点作于点，求证：是半圆的切线； (2)如图②，当时，求与半圆重合的面积； (3)如图③，若点是的内心，则当点在半圆上时，求的度数． 【题型九】圆综合压轴（解答题压轴第二问） 48．（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，是的直径，是的弦，如果 (1)求的度数． (2)若，求的长． 49．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）尺规作图：（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）． (1)如图①，已知线段和直线，请在上作出所有的点，使得； (2)如图②，已知，请在上作出所有的点，使得． 50．（2024·山东枣庄·一模）如图，在平行四边形中，是对角线，，以点A为圆心，以的长为半径作，交边于点E，交于点F，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的面积． 51．（2025·北京西城·一模）在中，，为边上一点，点与点关于直线对称，过点作的垂线，交线段的延长线于点，连接交直线于，连接，，设． (1)如图，当时． ①求的大小（用含的式子表示）； ②请用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (2)当时，请直接写出线段之间的数量关系． 52．（26-27九年级上·江苏南京·期中）定义：内接于，为的内心，若关于该三角形某条边的对称点恰好在上，则称为的“完美三角形”． (1)【初步认识】下列内接三角形一定是的“完美三角形”的有______（填序号）： ①等边三角形；②等腰直角三角形；③有一个角为的直角三角形． (2)【探索本质】如图1，是的“完美三角形”，其内心关于的对称点在上． ①求的度数； ②若，求的半径． (3)【理解应用】如图2，的半径为，弦．是上一点，为的“完美三角形”，请直接写出所有可能的值． 53．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图1，是等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)如图2，与边交于点、点，连接、，作的平分线交于点，连接、． ①求证的形状，并说明理由； ②若，，求弦与劣弧围成的阴影的面积． 54．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测） 如图1，为的直径，．点D是上一动点（不与A、C重合），连接，，． (1)求的度数； (2)探究线段、、之间的数量关系，并证明． (3)如图2，若与相交于点E，过点E分别作于点F，于点G，求与面积之和的最大值． 55．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知：四边形内接于，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长、相交于点E，点F在弦上，连接、，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点O作于点H，连接、，若，，求的面积． （一）知识网络 主干 关键结论 圆的有关性质 垂径定理；弦弧圆心角关系；圆周角定理及推论；圆内接四边形对角互补 点和圆的位置关系 d＜r 在圆内、d＝r 在圆上、d＞r 在圆外；外心 直线和圆的位置关系 相离 d＞r、相切 d＝r、相交 d＜r；切线判定与性质；切线长定理；内心 圆的计算 弧长 l＝；扇形 S＝＝lr （二）解题策略（通法） ① 遇直径，想直角；② 遇切线，连半径（性质）/连半径证垂直（判定）；③ 求弦长，作弦心距用勾股；④ 求角度，圆周角转圆心角；⑤ 多性质综合时，先作辅助线“翻译”已知，再用相似或勾股列方程。 （三）易错提醒 重点防范：等弧必须在同圆或等圆中；垂径定理须为“直径”；圆周角定理须“同弧或等弧”；切线判定两个条件缺一不可；外心（垂直平分线交点）与内心（角平分线交点）勿混淆。 （四）常用辅助线小结 ① 过圆心作弦的垂线段（弦心距）→ 构造 Rt△； ② 连接切点与圆心（半径）→ 得垂直； ③ 连接圆上两点 → 构造圆周角或直径所对直角； ④ 圆外一点连接圆心 → 出现切线长相等与角平分。 一、单选题 1．课下小亮和小莹讨论一道题目：“已知点O是的外心，，求”．小亮的解答为：如图，画以及它的外接圆O，连接，由，得．而小莹说：“小亮考虑的不周全，应该还有另一个不同的值”．下列判断正确的是（    ） A．小亮求的结果不对，应该是 B．小莹说的不对，就是 C．小莹说的对，的另一个值是 D．两人说的都不对，的值有无数个 2．如图，点在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．若一个等边三角形的边长为，则其内切圆与外接圆的半径分别为（   ） A．， B． C． D．1，2 4．在半径为的中，弦长为的弦所对的圆心角为（ ） A． B． C． D． 5．如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，如果这个正六边形的周长是，则这个正六边形的外接圆半径是（    ）    A． B． C． D． 6．刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，中，的长分别为．则可以用含的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，，以为直径作，将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点．若，则长为（    ） A．9 B．10 C． D．12 8．如图，在中，直径，正方形的四个顶点都分别在半径、及上，且，则（　　） A．4 B． C． D．6 二、填空题 9．如图，内接于圆，为圆的直径，过点的切线交的延长线于点．若，则的度数是___________ 10．如图，正五边形内接于，连接，，则的大小是 ________．    11．如图，菱形的边长为，，将菱形绕点顺时针旋转，使与重合，则在旋转过程中，点所走的路径的长为___________（结果不取近似值） 12．如图，在由小正方形组成的网格图中建立一个平面直角坐标系，一条圆弧经过格点，，．圆心为，则的坐标是_____． 13．如图，，点在射线上滑动，点在射线上滑动，且线段的长始终保持不变；以为斜边在的右侧作，则在滑动的过程中线段长的最大值是____． 14．如图，在等边三角形中，点D是边的中点，以为直径的分别交、于点E、F，且，则图中阴影部分的面积______． 三、解答题 15．（1）已知：（图①），求作：的外接圆（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出作法，不要求证明） （2）如图②，A为上一点，按以下步骤作图： ①连接；②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③在射线上截取；④连接．若，求的半径．    16．新素材正六边形蜂窝状置物架如图（1）是某阅览室墙上安装的正六边形蜂窝状置物架，将该置物架抽象成如图（2）所示的图形，点A，B，C，D，E，F均为正六边形的顶点，点O为的中点，每个正六边形的边长均为． (1)连接，求的长； (2)求该置物架所占用墙面的宽度 d． 17．如图，是半圆O的直径，正方形和正方形彼此相邻且内接于半圆O，点A，B，F在半圆上，点C，D，G在直径上，点E在上，正方形的面积为16． (1)求证：； (2)求的半径长． 18．在中，，，． (1)若以点C为圆心，长为半径画，则直线与的位置关系___________； (2)若直线与半径为r的相切，求r的值． (3)若线段与半径为r的有唯一公共点，则r的取值范围为______________． 19．已知，按要求完成作答 (1)用直尺和圆规作如图的内切圆⊙O． (2)若，则______； (3)若面积为6，周长为10，则的内切圆半径为________． 20．问题情境： “康居课题学习小组”在学习扇形的面积公式时，对生活中所用的一次性纸杯（如图产生了兴趣，决定对制作这种纸杯的相关问题进行研究．（说明：整个探究过程中均忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度．） (1)任务1：测量如图1所示的圆口水杯的杯口直径． 工具：一张宽度为的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺． 测量方法一：如图2，将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点，分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，，利用刻度尺测得的长，即为杯口直径．这里用到的几何知识是：_____；（请选择正确的序号填入） ①垂直于弦的直径平分弦；②的圆周角所对的弦是直径；③直径所对的圆周角是． 测量方法二：如图3，将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为，另一边与杯口相交于，两点，利用刻度尺测得的长为．请求出此时杯口的直径； (2)任务2：测量出杯口直径后，用类似的方法测得杯底直径（如图4），杯壁母线长，请求出任务1中水杯的侧面积（如图5）． 21．如图，BC是半⊙O的直径，点P是半圆弧的中点，点A是弧BP的中点，AD⊥BC于D，连结AB、PB、AC，BP分别与AD、AC相交于点E、F． （1）求证：AE=BE； （2）判断BE与EF是否相等吗，并说明理由； （3）小李通过操作发现CF=2AB，请问小李的发现是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请写出CF与AB正确的关系式． 22．阅读与思考． 在学习《圆》这章时，我们学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合问题中，经常会出现对角互补的四边形，那么我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题．如图，是等腰直角三角形，，点是内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，并延长交直线于点，连接．请解答下列问题： (1)当点在如图所示的位置时， ①求证； ②求的度数； ③利用题干中的结论，证明：，，，四点共圆． (2)点在内部运动的过程中，若，，直接写出线段的长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $