30.1.2 切线长定理 （第3课时）教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

教学目标

课题

30.1.2.2 切线长定理

授课人

素养目标

1.掌握切线长的定义及切线长定理。

2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明。

教学重点

掌握切线长定义、切线长定理，运用定理进行几何证明与相关线段计算。

教学难点

区分“切线”与“切线长”概念，结合图形综合运用切线长定理解决复杂证明与计算题型。

教学活动

教学步骤

师生活动

教学建议

活动一：设问激趣，开启新课

【情境导入】

问题1　上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线．如果点 P 是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？

【参考答案】可以作两条．（过圆外一点 P 向 ⊙O 引切线，能且只能作出两条。）

【设计意图】回顾过圆上一点作切线，提出过圆外一点作切线问题，直观感知可作两条切线，引出切线长相关新知。

【教学建议】

引导学生动手画图，猜想切线数量。

活动二：动手操作，探求新知

探究点1　切线长定理

用直尺和圆规作出过圆外一点的圆的切线的步骤：

（1）连接 OP，作线段 OP 的垂直平分线 MN，与 OP 交于点 C；

（2）以点 C 为圆心，CO 为半径作圆，与 ⊙O 相交于 A、B 两点；

（3）作直线 PA、PB，即所求作的切线．

【教学建议】

着重区分切线（直线）与切线长（线段），规范定理几何语言，引导学生自主推导衍生结论。

【参考答案】PA、PB 即为所求作的切线．依据：C 是 OP 的中点，⊙C 经过 O、P 两点，OP 是 ⊙C 的直径，A 在 ⊙C 上，∴∠OAP＝90°（直径所对的圆周角是直角），∴OA⊥PA，PA 是 ⊙O 的切线；同理 PB 也是 ⊙O 的切线。

1．切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长．

2．切线长与切线的区别在哪里？

①切线是直线，不能度量．

②切线长是切线上一条线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．

【参考答案】切线是一条直线，不能度量；切线长是切线上一条线段的长度，可以度量。

问题2　PA 为 ⊙O 的一条切线，沿着直线 PO 对折，设圆上与点 A 重合的点为 B．

OB 是 ⊙O 的一条半径吗？　PB 是 ⊙O 的切线吗？

PA、PB 有何关系？　∠APO 和 ∠BPO 有何关系？

【参考答案】OB 是 ⊙O 的半径；PB 是 ⊙O 的切线（PB⊥OB）；PA＝PB；∠APO＝∠BPO。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

几何语言：∵PA、PB 分别切 ⊙O 于点 A、B，∴PA＝PB，

∠APO＝∠BPO．

练习：已知，如图，PA、PB 是 ⊙O 的两条切线，A、B 为切点．求证：PA＝PB，∠APO＝∠BPO．

【参考答案】证明：连接 OA、OB．∵PA、PB 分别切 ⊙O 于点 A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即 ∠OAP＝∠OBP＝90°．在 Rt△OAP 和 Rt△OBP 中，OA＝OB（半径），OP＝OP（公共边），∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL）．∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO．

想一想：若连接两切点 A、B，AB 交 OP 于点 M，你又能得出什么新的结论？并给出证明．

【参考答案】结论：OP⊥AB，且 OP 平分 AB（OP 是线段 AB 的垂直平分线）。

证明：∵PA＝PB，∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上；∵OA＝OB，∴点 O 也在线段 AB 的垂直平分线上．∴直线 OP 是线段 AB 的垂直平分线，即 OP⊥AB，且 OP 平分 AB．

想一想：若延长 PO 交 ⊙O 于点 C，连接 CA、CB，你又能得出什么新的结论？并给出证明．

【参考答案】结论：CA＝CB，且 PC 平分 ∠ACB（∠ACO＝∠BCO）。

证明：由上一问，OP⊥AB 且 OP 平分 AB，而 PC 在直线 OP 上，∴PC 垂直平分 AB．∴CA＝CB，∠ACO＝∠BCO．

【设计意图】展示过圆外一点作切线的作图方法，辨析切线与切线长概念；通过折叠猜想、推理证明得到切线长定理，拓展衍生结论，完善图形模型。