四川省成都市2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷

高二试卷 数学 时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.某公园在2026年国庆期间举办了丰富多彩的活动，参与游客中的老年、中年、青少 年人数之比为2：5：3，现采用分层抽样的方法抽取n名游客调查活动满意度.若抽 取的老年人数有20人，则样本容量n为 A.100 B.150 C.80 D.90 2.平面a和平面B的法向量分别为片=2，-l,),=(-l,2,平面a∥平面A,则 k的值为 B c D.月 3.随机事件A与随机事件B相互独立，且P()=行，P画=之，则P()的值为 A号 B.月 3 D 4.在三棱锥P-ABC中，AD=2DB,PE=PC,若PA=a,PB=b,PC=c,则DE 等于 A.a 1 2+2b-40 B. 30+26-1。 12 3 3 c.-号+ 111 D.- 2-2 + 5.下列说法正确的是 A.点M(2,1,-2)关于x轴对称的点的坐标为(-2,1，-2) B.空间中点A1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),D1,-1,1)四点共面 C.若空间四个点P,A,B,C满足PC=PA+PB,则A,B,C三点共线 D.若点B是点A(1,2,3)在坐标平面Oyz内的射影，则|AB|=3 6.四名同学各投掷一枚质地均匀的正四面体般子（四个面分别标有1,2,3,4点)6 次，分别记录每次骰子接触地面的点数.根据以下四名同学的统计结果，可以判断 出一定没有出现点数4的是 A平约数为2，方差为号 B.中位数为2，众数为1 C.中位数为2.5，极差为2 D.平均数为2.5，中位数为2.5 7.甲、乙两名同学各投掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，记录面朝上的点数：x,y 分别为甲、乙记录的结果，事件E=“y为奇数”，事件F=“|x-y川≤2”，则P(EUF) 的值为 A.0 13 B. C. 25 12 18 36 D.2 高二数学试卷第1页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫指ApP 8.如图，正方体ABCD-AB,CD,的棱长为2，点P是正方形ABCD 外接圆上一点，O,为正方形AB,CD,的中心，则PO·PC的最小 01 值为 A.4 B.8 C.6-V2 D.6+V2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 成都市某区市民艺术学校开设了免费的书画、舞蹈、声乐、古筝、电子琴课程.学 校从只参加一个课程的市民中随机选取部分市民进行问卷调查，将选取的市民情况 和调查情况绘制成如下三个统计图，则下列说法正确的是 人数个 个人数 -k舞蹈 25 一声乐 声乐 舞蹈 50 1 30 10 2-33 周练习 电子琴古筝书画声乐绑蹈课程 0123456789101121314时装 A. 共选取市民100人 B. 参加声乐课程的市民占比为25% C. 参加古筝课程人数与参加舞蹈课程人数之比为1：6 D.参加声乐课程市民周练习时长总和小于参加舞蹈课程市民周练习时长总和 10.有A,B,C三个电器元件，每个元件能正常工作的概率均为p(0<p<1),如图有甲、 乙两个电路，甲电路为通路的概率为乃，乙电路为通路的概率为，则下列结论正 确的是 A.R=-p3+2p2 B.P=-p+p C.不能确定￡，卫，的大小关系 D.B-R的最大值为」 11.如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，棱长为2，E为BC中点，F为正方体表面上的 动点，G为线段BC上的动点，下列结论正确的是 A.三棱锥G-AD,E的体积为定值 B.当AF∥平面AD,E时，点F的运动轨迹长度为2√5+√2 C.当AF∥平面AD,E,且点F在侧面BCCB,上运动时， AF与平面BCC,B,所成角的正切值可能为√5 D.直线4B与DG所成角的余弦值的最大值为互 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在日常训练中，教练组希望利用计算机模拟实验来估计男排队员A在连续三次发球 中，恰有两次得分的概率，利用计算机产生0~9的随机整数来模拟发球结果：当出 现随机数0,1,2时，表示发球得分，当出现随机数3,4,5,6,7,8,9时，表 示发球未得分.利用计算机产生20组随机数： 192980280379960134114214594931425780740019 595691885063239443 根据上述模拟实验，估计三次发球中恰有两次得分的概率为 高二数学试卷第2页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫指ApP 13.学生甲从一本英语杂志上随机抽取100个句子，再筛选出单词数不低于8的句子， 数出每个句子中不认识的单词数，作出频率分布表并计算平均数和上四分位数，如 果平均数超过3且上四分位数不低于4，学生甲就放弃阅读整本杂志，根据计算结果 可知学生甲 (填“放弃”或“不放弃”)阅读整本杂志 不认识的单词数 0 1 2 3 频数 5 8 16 15 频率 0.25 0.2 14.如图，平面a与平面B的夹角为0，a∩B=1,点A,B在 平面a上，点C,D在平面B上，点B,C在直线I上且AB⊥l, CD⊥I,AB=m,CD=n,AD=I,则BC=·(用 m,n,t,日表示) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 国庆期间某商场为促销设计了两款摸球抽奖游戏.两款游戏道具均是不透明盒子内 装小球，小球除颜色外都完全相同，游戏甲：盒中装有4个球，其中红球3个、白球1 个，玩家从盒中一次性随机摸出2个球，摸出的2个球颜色相同即中奖；游戏乙：盒中 装有4个球，其中红球2个、`白球2个，玩家从盒中逐个不放回摸出2个球，摸出的2 个球颜色相同即中奖， (1)分别求玩一次游戏甲、游戏乙的中奖概率，作为玩家，你会选择哪一款游戏？ 请说明理由： (2)若商场希望两个游戏公平，将中奖概率小的游戏的规则调整为：小球个数和颜 色保持不变，玩家从盒中逐个有放回摸出2个球，摸出的2个球颜色相同即中奖，这种 调整方案可行吗？请说明理由， 16.（15分) 成都某学校高二年级共有1000名学生，他们某次数学定时测试成绩在[30,150]分之 间，将成绩分成[30,50)，[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]共6组，其 频数分布表和频率分布直方图如下所示。 分数段 [30,50) [50,70) [70,90) [90,110) [110,130) [130,150] 频数 50 75 250 400 n (1)求m,n和a的值；并估计该校学生本次定时测试的平均成绩（同一组中的数据 用该组区间的中点值代替)： 个频率/组距 (2)若成绩为前20%的学生为“优秀”，根据频率 分布直方图，试估计本次定时测试的优秀分数线： (3)这次定时测试中某班8名学生的成绩分别为： ,名，为，…，x·已知这8名学生成绩的平均数 x=92,方差s2=14,若增加两个分数分别为99和95 的学生成绩，求这10名学生成绩的平均数与标准差， 0.00125x-上 30507090110130150成绩/分 高二数学试卷第3页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫指ApP 17.（15分) 如图，在三棱柱ABC-A,B,C中，D为BC中点，AB=2,AC=1,A4=2, LAAB=∠AAC=LBAC= (1)求AD的长： (2)判断异面直线BA与CB,是否垂直，并说明理由： (3)求三棱柱ABC-AB,C,的体积。 18.(17分) 2026年9月亚运会排球项目中，中国女排成功卫冕夺冠.本次亚运会排球比赛规则 为每场采用五局三胜制，先胜三局的队伍赢得整场比赛.前四局每局先得25分并至少领 先对手2分的一方胜出，若出现比分24：24，则要继续比赛至某队领先2分才能取胜： 决胜局（第五局)先得15分并至少领先2分的一方胜出，若出现比分14：14，则要继续 比赛至某队领先2分才能取胜.每一局采用每球得分制，无论哪一方发球，胜球即得分 的队有发球权，小组赛中，甲、乙两队进行一场排球比赛，已知甲队发球时甲队得分的 概率为，乙队发球时乙队得分的概率为}，且各次发球的得分结果相互独立。 (1)第一局比赛中，甲、乙两队双方比分为22：22，且乙队拥有发球权，求两队共再 发3次球结束本局比赛的概率： (2)第二局比赛中，甲、乙两队双方比分为24：24，且甲队拥有发球权，求两队共再 发4次球，且甲队取得该局比赛胜利的概率； (3)前四局比赛甲、乙两队各胜2局，目前甲、乙两队第五局的比分为13：13，且甲 队拥有发球权，求该局比赛结束时甲队得15分，且乙队赢得整场比赛的概率. 19.(17分) 如图所示，在菱形ABCD中，A=号且边长为2，E为BD中点，将△ABD沿对角 线BD翻折至△PBD,其中P为动点，PM=PE (1)在线段CE上是否存在一点N使MN∥平面PCD,若存在，请找出并证明，若 不存在，请说明理由： (2)二面角P-BD-C的大小为8. ①当9=2”时，三棱锥P-BCD各个顶点都在球0的球面上，求球O的表面积： 3 ®当0∈氏]时，求直线PB与平面PDC所成角的正弦值的取值范围 高二数学试卷第4页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫指ApP 高二 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 2 3 4 5 6 7 A D C B A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9 10 11 BCD AD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2. 13.不放弃 14.VP-m2-n2+2 mn cos0或V2-m2-n2-2ncos0(写对但不全得2分) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 解：(1)设游戏甲盒中的红球为a,b,c,白球为D,设事件A=“玩一次游戏甲，中奖”， 样本空间2={ab,ac,aD,bc,bD,cD}, 事件A={ab,ac,bc}, P(A0=31 …3分 62 设游戏乙盒中的红球为e,了白球为G,H,设事件B=“玩一次游戏乙，中奖”， 样本空间： 22={(e,),(e,G),(e,H),(f,e),(f,G),(f,H),(G,e,(G,f),(G,H),(H,e),(H,∫)，(H,G)}, 事件B={(e,∫)，(f,e),(G,H),(H,G)}, P(B)=4=1 …………6分 123 P(A)>P(B), .作为玩家，我会选游戏甲： ……8分 (2)由(1)问可知游戏乙中奖概率小，需调整游戏乙的游戏规则， 设事件C=“规则调整后玩一次游戏乙，中奖”，调整后的样本空间： 2={(e,e),(e,f),(e,G),(e,H),(f,e),(f,f),(f,G),(f,H),(G,e),(G,f),(G,G),(G,H),(H,e), (H,),(H,G),(H,H)} 事件C={(e,e),(e,f),(f,e),(f,f),(G,G),(G,H),(H,G),(H,H)}, mq=8- ……11分 ·P(A)=P(C),两款游戏获奖概率一样， .调整方案可行、 …13分 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫指ApP 16.（15分) 解：(1)由频率分布直方图知n=0.00125×20×1000=25, m=1000-50-75-250-400-25=200, a=*20=01, …3分 F=40×0.05+60×0.075+80×0.25+100×0.4+120×0.2+140×0.025=94, 估计该校学生本次定时测试的平均成绩为94分： …5分 (2)成绩为前20%的学生为“优秀”，即求第80百分位数， 由频数分布表和频率分布直方图知，成绩在110分以下的同学所占比例为： 0.05+0.075+0.25+0.4=0.775, 成绩在130分以下的同学所占比例为0.775+0.2=0.975， 因此第80百分位数一定位于[110,130)内， 由110+20×0,80-0,75=1125， 0.975-0.775 估计本次定时测试的优秀分数线为112.5分： …9分 (3)原8名学生的成绩的平均数为92，方差为14， 再新增加两名学生的成绩的平均数为9+95=97， 2 方差为I99-97)3+(95-97)]=4, …11分 学生成绕的平均数为x82X92+2x97=9奶，…一 8+2 这10名学生应镇的方差为名=24+02-91+8子24+7-9g9=16, 标准差s。=4, 即这10名学生成绩的平均数与标准差分别为93和4. …15分 17.(15分) 解：(1)设AB=a,AC=b,AA=c, 由题意知|al=2,|b|=1,|c=2, a.b=lallblcos=2x1x-=1, 3 a.c=lallclcos=2x2x-=2, 3 2 1 b.c=1bllclcos-=1x2x-=1, 3 2 11 AD=AD-AA =-a+b-c, …2分 2 2 I4DP-(-a+lb-o 2 2 -ilaP+il6P+lcP+ja-b-a-c-b-c 4 4 2 1 1 =1+二+4+。-2-1 4 厅 4D=D=\4=2 …4分 C③扫描全能王 3亿人都在用的扫指ApP (2)异面直线BA与CB,垂直， ……5分 BA=AA-AB=c-a CB =CB+BB=(AB-AC)+AA=a-b+c, ……6分 ..BA.CB =(c-a).(a-b+c) =c.a-c.b+cp-laP+a.b-a.c =2-1+4-4+1-2 =0, BA⊥CB, .BA,⊥CB, 异面直线BA与CB垂直： …8分 (3)5ue -lall isinxx x 221 ………9分 32 设点A在底面ABC上的射影为点O, AO=xa+yb,O=A0-AA=xa+yb-c, :A,O⊥平面ABC, ∴.AO⊥AB,AO⊥AC, :.4O1AB,OLAC, 40a=0代入a+b-0a=0: 40.b=0, (xa+yb-c).b=0, 得4+y-2=0, x+y-1=0, 〔1 解得 x3 2 3 31 40=+号-e …11分 设三棱柱高为h, h=401 4 2 -6a++e+写ab-3ae- 4 -b·c 9 3 ++4+4-4- =99 933 24 s236 …l3分 3 V-5oumex2 -× 23 ∴三棱柱的体积为√2. …15分 3 C③扫描全能王 3亿人都在用的扫指ApP 18.(17分) 解：(1)比分为22：22后，又打了3个球后比赛结束，则甲、乙两队比分为25：22或22：25， 这三个球均由甲队得分，三次发球为乙队、甲队、甲队，或均由乙队得分，三次发球均为乙队， 设事件A=“比分22：22后，又打了3个球后比赛结束，甲、乙两队比分为25：22”， 设事件B=“比分22：22后，又打了3个球后比赛结束，甲、乙两队比分为22：25”， 设事件C=“比分22：22后，又打了3个球后比赛结束”， C=AUB,事件A与事件B互斥，两队打每个球的得分结果相互独立， P(C)=P(AUB) =P(A)+P(B) 2x2x2+ 3553 81 7527 97 675 ……4分 (2)比分为24：24，两队共再发4次球且甲队取得该局比赛胜利，则甲、乙两队比分为27：25， 前两球甲、乙两队各得一分，后两球甲队得两分， 4球发球队依次为甲、甲、乙、甲或甲、乙、甲、甲， 设事件D=“第一球甲队得分，第二球乙队得分，后两球甲队得分”， 设事件E=“第一球乙队得分，第二球甲队得分，后两球甲队得分”， 设事件F=“比分为24：24，两队共再发4次球，且甲队取得该局比赛胜利”， F=DUE,事件D与事件E互斥，两队打每个球的得分结果相互独立， P(F)=P(DUE) =P(D)+P(E) 23、223222 535+5355 16 125: …9分 (3)设事件G=“第五局比赛甲、乙两队比分为15：17，乙队赢得整场比赛”， 第五局比赛甲、乙两队比分为15：17， 两队还需打6个球，且前2球甲、乙各得1分，第3,4球甲、乙各得1分，第5,6球乙得两 分，共4种情况， 六个球的得分队伍为： ①甲、乙、甲、乙、乙、乙，6球发球队依次为甲、甲、乙、甲、乙、乙，B=2×x2×2xx1=4 553533375 ②甲，乙乙甲乙，乙6球爱球队依次为甲，甲乙，乙单，乙，月=对号对务 3223114 ③乙、甲、甲、乙、乙、乙，6球发球队依次为甲、乙、甲、甲、乙、乙，=三×二×二×二×二× 535533375 @乙、甲、乙、甲、乙、乙，6球发球队依次为甲、乙、甲、乙、甲、乙，B=×名xx2×2x{=4 535353125 PG)=R+R+B+B=125 8 该局比赛结束时甲队得分15分，且乙队赢得整场比赛的概率为 8 ………17分 125 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫指ApP 19.(17分) 解：(1)存在点N,N为CE中点， …1分 证明： PM=P呢， 2 P,M,E三点共线，M为线段PE的中点， 在△PCE中，M是PE中点，N是CE中点， .MN∥PC, 又MN￠平面PCD,PCc平面PCD, ∴.MN∥平面PCD: ……4分 (2)①设△BCD的中心为点O,△PBD的中心为点O,,点O,O,都在平面PEC内， 过点O,O,分别作平面BCD,平面PBD的垂线，两垂线交于外接球球心O, 0=径PE18D,CE18D, ∴∠PEC为二面角P-BD-C的平面角， ·∠PEC=2r, 3 Bo-ce 2V3 3,C0 3，∠OE0=天 00 =EO tan =5x万 3 =1, 外接球半径，R=0C-=60+0-+-1- 外接球表面积：S=4R2=4·了) 728π …9分 ②BD⊥PE,BD⊥CE,PE∩CE=E, .BD⊥平面PEC, :BDc平面BDC, ∴.平面BDC⊥平面PEC, .:平面BDC∩平面PEC=EC, 在平面PEC中过点E作EF⊥EC, ∴.EF⊥平面BDC, …10分 CBF- 如图，以E为坐标原点，EB,EC,EF所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐 标系， 由(2)知，∠PEC=0,B(1,0,0),C(0,V3,0),D(-l,0,0),P(0,N3cos0,V3sin), Cp=(0,V5cos0-√5,5sin0),DC=(1,V5,0), ……12分 2 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z), (n.C=0,即 (3cos0-3)y+3zsin0=0, m.cD=0,x+√3y=0, 取y=1, 则n=(←51,1-cos8 …13分 sine CS扫描全能王 3亿人都在用的扫指ApP BP=(-1,3cos0,3sin 0), 设直线BP与平面PCD所成角为a, sina=|cos BP,n> =lBp.n川 BPIIm 25 2/4+0-cos9の sin20 5 …15分 2 3+1+cos日 03. cm9e-岁 .sina②3g 7,13 …17分 6 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫指ApP 解析： 1.解：n =20,n=100,故选A. 10 2.解：平面a∥平面B,以∥m,名==，=-， -11k ,故选B. 3.解：P=P0P画，P画=子，P团=}，故途D, 4解：正E-而--网+号网=00 3 2 +4c,故选C. 5.解：选项A:点M(2,1,-2)关于x轴对称的点的坐标为(2，-1,2)，故A错误： 选项B:OD=OA-OB+OC系数和为1，四点共面，故B正确： 选项C:PC=PA+PB系数和不为1，则A,B,C三点不共线，故C错误： 选项D:点B是点AL,2,3)在坐标平面Oyz内的射影，|AB|=1,故D错误： 故选B. 6.解：选项A:1,12,2,3,3符合条件，没有出现4.假设出现了点数4，设6=4，立c-2-x6=4, 3 而化，-2少=4,2（化-22=0，∴出=x=x=x=x=2,与平均数为2矛盾.其他选项反 例：选项B:1,1,1,3,3,4:选项C:2,2,2,3,3,4:选项D:1,2,2,3,3,4:故 选A. 7.解：样本空间包含36个样本点.事件E:y为奇数，即(x,)均为奇数，包含9个样本点，P(E)= 36 事件F:(Ix-y川≤2)，包含24个样本点，P(F)=4,事件(EnF)包含7个样本点， 36 Pen刊名，KEU月=固+R月-风En月=名若名-总-员·数选B. 8.解：如图，建立空间直角坐标系，P(2cos0,V2sin0,0),O,(0,0,2),C(1,l,2), P0=(-V2cos0,-V2sin0,2),P℃=1-√2cos0,1-V2sin0,2),Po·P℃=√2cos(W2cos0-1) +√2sin(W2sin0-l1)+4=2cos20-√2cos0+2sin20-√2sin0+4=2-√2(cos0+sing)+4 =6-2sin(0+),当sin(0+)=1,即0=元+2m时，PO·P℃有最小值4， 4个2 9 01 故选A 0 9.解：选项A:30÷15%=200人，故A错误： 选项B:50÷200=0.25,故B正确： 选项C:由折线图可知舞蹈课程人数为60人，计算出古筝课程人数为10人，故C正确： 选项D:舞蹈的周练习总时长等于527小时，声乐的周练习总时长等于375小时，也可以不计算， 分析也可得到，故D正确： 故选BCD. CS扫描全能王 3亿人都在用的扫指ApP 10.解：选项A:由电路图甲可得元件B,C都不正常工作的概率为(1-p)?,故元件B,C至少有一个正 常工作的概率为1-(1-p)2=-p+2p,而电路是通路，则元件A必须正常工作，且元 件B，C至少有一个正常工作，所以这个电路是通路的概率为 =p(-p2+2p)=-p3+2p2,故A正确： 选项B:由电路图乙可得元件A,B都能正常工作的概率为p2,整个电路不通的概率为 (1-p)1-p),这个电路是通路的概率为B=1-1-p)1-p)=-p3+p2+p,故B 错误： 选项C:0<p<1,R-P=p2-p<0,.R<B,故C错误： 选项D:R-R=-p+p=-(D-分+京当P=号时，最大值为子，故D正确： 故选AD. I1.解：选项A:BC∥AD,,BC,￠平面AD,E,∴BC∥平面AD,E,∴点G到平面AD,E的距离h为 定值，SE为定值，V=SADE为定值，故A正确： 选项B:如图，H,M,N分别为CC,BB,B,C的中点，平面AEHD,∥平面AMN,点F在AM, MN,AN上运动，长度和为2W5+√2，故B正确： D G 选项B 选项· 选项D 选项C:如图，点F在MN上运动，AB,⊥平面BCC,B,，∠AFB为所求角， an∠4FB=4g=2,号≤BF≤1,2≤anL4FB≤2W2,V5<2,∴不可能， 故C错误： 选项D:如图，建立空间直角坐标系，A(2,0,2),D(0,0,0),E(1,2,0)，设G(x,2,2-), AE=(-1,2,-2),DG=(x,2,2-x),AE.DG=-x+4+2x-4=x,设直线AE与DG 所成角为0，c0s9=4正.DG=1x1一0≤x≤2)，当x=0时，c0s9=0,当 |AE‖DG13V2x2-4x+8 1 x≠0时，cos0= 分当时，0有最大 ， 3 84+238 + ,故D正确： 6 故选ABD. 12.解：符合条件的随机数为192,280,14,214,019，估计三次发球中恰有两次得分的概率为5=， 204 故填马 4 13.解：符合要求的句子共60个，平均数为0×5+1x8+2×16+3×15+4×12+5×4=2.55<3,上四分位 60 数为4，故填不放弃. 14.解：平面a与平面B的夹角为0，二面角A-1-D为日或π-0，<AB,CD>=π-0或0， AD=4B+BC+CD,AD=(4B+BC+CD)2,=m2+n+BC+24B.CD, <AB,CD>=π-0时，1BC=2-m2-n2+2 mn cos日，当<AB,CD>=0时， 1BCP=12-m2-n2-2 mn cos0,故填V2-m2-n2+2 mn cos0或V12-m2-n2-2 mn cos0. 8 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫指ApP