四川泸州市泸县普通高中共同体2026-2027学年高二上学期期中模拟考数学试题

泸县普通高中共同体2026年秋期高二期中模拟考 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 2.考生必须保持答题卡的整洁。 3.满分150分，时间120分钟 第I卷 选择题（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角大小为 A． B． C． D． 2．若复数z满足，则z在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．数据；这一组数据的方差为 A．6 B．3 C． D． 4．已知随机事件满足，则 A． B． C． D． 5．若可构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是 A． B． C． D． 6．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为 A． B． C． D． 7．设的内角的对边分别为，满足，则 边上的中线的长为 A． B． C． D． 8．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．以下四个命题为真命题的是 A．直线恒过定点 B．已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为 C．“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件 D．过两点的直线方程为 10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则 A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为 C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件 11．已知正四面体的棱长为2，则下列说法正确的是 A．正四面体的表面积为 B．正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 C．正四面体的内切球半径为 D．若是的中点，动点在内（包括边界），则的最小值是 第II卷 非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为___________． 13．已知二面角的棱上有两点，直线分别在平面内，且它们都垂直于．若，则异面直线与所成角为___________． 14．某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家．如果天不下雨，那么他不带雨伞．假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立．现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知三个顶点是，，． (1)求边中线所在直线方程； (2)求边上的垂直平分线的直线方程； (3)求点到边的距离． 16．(15分) 某校高二年级第一次定时训练测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩；将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取15名，则成绩在的同学有几个? (2)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数； (3)若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过6%，根据样本数据，试估计获得表彰的同学的最低分数. 17．(15分) 如图，正三棱柱的所有棱长均为2，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 18．(17分) 甲、乙两支篮球队进入某次决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过加时赛决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；加时赛甲队获胜的概率为.不同对阵的结果相互独立，假设甲队先主场后客场. (1)已知. （i）求甲队通过加时赛获得冠军的概率； （ii）求甲队获得冠军的概率. (2)除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过加时赛决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，加时赛甲队获胜的概率为.问哪种赛制更有利于甲队夺冠？ 19．(17分) 如图所示，在直三棱柱中，，，点是线段上的动点（不与点重合），且满足，实数. (1)求三棱锥的体积. (2)若二面角的余弦值不超过，求实数的取值范围. (3)求四面体的外接球半径的取值范围 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $泸县高2025级2026年秋期高二上期中模拟考 数学试题参考答案 单项选择题 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A A A C C 0 D 二.多选题 题号 9 10 11 答案AC ACD BCD 三.填空题 12.P'(-1,-2,-3) 13. 14. 39 3 128 四.解答题 15.解：(1)因为B(-2,1),C(2,3),所以BC的中点D的坐标为(0,1) ·…………………………………1分 汉形40=4-1=32 -1-0 所以BC边上的中线方程为y-1=-3x… 0…3分 即3x+y-1=0.… ……4分 (2)因为A(-1,4),C(2,3), 所以4c的中后)品 ……………6分 所以AC边上的垂直平分线的斜率k=3……………7分 所以所求直线方程为了-3x-》 即3x-y+2=0. (3)直线BC的方程为：y+1=x+2,即x-y+1=0· …·11分 则点4(1,4)到直线BC:x-y+1=0的距离为：d=上1-4+122.…。 …………13分 16.解：(1)由频率分布直方图性质得(0.0025+0.005+0.01+0.015+a+0.005)×20=1…2分 资解得a=0.0125……………4分 0.01 所以[70,90)的人数有0.01+0015+00125×15=4个… ……5分 (2)本次考试的平均分x=40×0.0025×20+60×0.005×20+80×0.01×20 +100×0.015x20+120x0.0125x20+140x0.005×20=98 0…8分 由频率分布直方图得：众数为100.…………………10分 (3)[130,150]的频率为0.005×20=0.1>0.06… ……………11分 所以获得表彰的同学的最低分数位于[130,150]内，且设为x, 则(150-x)×0.005≤0.06，解得x≥138，即最低分数为138.· 答案第1页（共4页） 17.(1)证明：在正三棱柱ABC-ABCG中，由D为AB的中点，得CD1AB…2分 又AA⊥平面ABC,CDC平面ABC,则CD⊥A4,而A4OAB=AAA,ABC平面ABBA··5分 所以CD⊥平面ABBA.………………………………………6分 (2)由(1)知，直线DB,DC,AA两两垂直，以D为原点，直线DB,DC,AA分别为x,y,z轴建立空间直 角坐标系…………………………………………………………………7分 ZA B B 则D(0,0,0),C(0,V3,0),A(-1,0,2),B1,0,2),AB=(2,0,0),DC=(0,√3,0)，DA=(-1,0,2)·8分 ii.DA=-x+2z=0 设平面ADC的法向量为n=(c,y,-),则 i.DC=√3y=0 ，取r=2,得=(2,0,1)…11分 设直线A8与平面ADC所成的角为0，则sim0cos01,4A)4 42W5 InAB 5.2 5 …14分 所以直线48与平面4DC所成角的正弦值为25 0……15分 18.解：(1)(i)设甲队通过加时赛获得冠军为事件A, 则事件A包含甲队主胜客负，主负客胜，主平客平，然后加时赛获胜…1分 以-p0-小i-号3-A- …4分 2 因为p号所以小=子名 (iⅱ)设甲队获得冠军为事件B, 则事件B包含甲队加时赛胜，主胜客胜，主胜客平，主平客胜·…· ……7分 则P-PAp号是1g智 ……9分 因为p-号所以a-名5含品器 …11分 (2)在第三方场地的“单场比赛制”下，将甲队获胜记为事件C, 则事件C包含甲队胜，甲队平且加时赛胜 …12分 答案第2页（共4页） 则P(C)p+写pp3卫1B8 2 因为0<p+罗<1，所以0<p<此时0<p+号 3 250 ,符合题意…14分 3 p(B)-pC)=1p3g33368乳)…15分 6 因为0<p名0,8-9p>0,所以P8)PC)0 …16分 即“主客场比赛制比第三方场地的“单场比赛制更加有利于甲队夺冠.…17分 1以.解：）根据题意，4c=e号专Seh… ……………………1分 又smcc51-盟 ……………2分 2 因为在直三棱柱ABC-A,B,C1中，AB⊥AC,AB=AC=CC=1 当点E是线段B,C上的中点时，AE⊥平面EBC…3分 所以点4到平面BC的距离d:,即三棱锥4-BC的高h-反 …4分 2 两台号5舌 ……5分 (2)在直三棱柱ABC-ABC1中，AB⊥AC,A4⊥AC,A4⊥AB, 则以A为原点，以AB为x轴，以AC为y轴，以AA为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系·6分 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A(0,0,1),B(1,0,1),C1(0,11)…7分 又BE=B,C=(-1,1,0),则E(1-,元，1)， B 则AE=(1-元，元，0)，AB=(1,0,-1), 设平面AEB的法向量为=(x,y,=), a石0=0，取：=1，则=1，y=分故m（1分 则 mAB=x-z=0 又在直三棱柱ABC-ABC中，AB⊥AC,则AC⊥平面ABB,, 所以平面ABB,的法向量为i=AC=(0,1,0)…… ………………………………9分 又二面角E-AB-B的平面角为锐角，则二面角的余弦值为： 2-1 cos(m.)= i.元 6 10分 -1 答案第3页（共4页） 令2-1，因为(0,1，则r<0,故月。s6 V2+23 即f≤4，则2≤1<0，即2之-2，故时所以居 9………………………11分 (3)设四面体EABC的外接球心I的坐标为(x,y,),半径为R, 则R=I4=IB=IC=E, 故V+y+(-1=Vx-12+y2+2=V代2+(0y-1+2…12分 则x=y=z,所以外接球心I的坐标为(x,x,x), 代入得R=V3x2-2x+1=Vx-1+)2+(x-2+(x-1)2, 即3x2-2x+1=3x2-4x+22-21+2, 则x=-+分A(0,),当=时，x取得最小值为行 …14分 当=0酸头1时，-a*日分所以x骨》 「11 所以尽=3-2+1x任引当时，发取得最小值为号 ……………………15分 当x时.3-2+1-月所以Re[后) 所以R∈ 65 3’2 ……16分 6 所以四面体EAB℃的外接球半径的取值范围为 3’2 …17分 答案第4页（共4页）泸县高2025级2026年秋期高二上期中模拟考 数学试题参考答案 一. 单项选择题 题号 1 , 3 5 6 7 8 答案 D A A A C C D D 二.多选题 题号 9 10 11 答案AC ACD BCD 三.填空题 π 39 12.P'(-1,-2,-3) 13.3 14.128 四.解答题 15解山因为B(-2,-).C2,3),所以8C的中点D的坐标为0，) …1分 4-1 又kAD= -1-0 =-3.… …2分 所以BC边上的中线方程为y-1=-3x… 。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。 …3分 即3x+y-1=0 4分 (2)因为 A(-1,4)C(2,3) E 17 431 所以AC的中点 2'2 kc=-2 3……6分 所以AC边上的垂直平分线的斜率k=3…7分 7 所以所求直线方程为”-2-2引，即3-y+2=0.…9分 J- (3)直线BC的方程为：y+1=x+2,即X-y+1=0…11分 d=1-4+1 =2√2 则点A(-,4)到直线BC:x-y+1=0的距离为 2 .…13分 (0.0025+0.005+0.01+0.015+a+0.005)×20=1 16.解：(1)由频率分布直方图性质得 …2分 解得a=0.0125 …4分 0.01 所以[70,90）的人数有0.01+0.015+0.0125×15=4个…5分 答案第1页（共2页） x=40×0.0025×20+60×0.005×20+80×0.01×20 (2)本次考试的平均分 +100×0.015×20+120×0.0125×20+140×0.005×20=98.…8分 由频率分布直方图得：众数为100. …10分 3)130,1506的率为0.005×20=0.1>0.06. …11分 130,150] 所以获得表彰的同学的最低分数位于 内，且设为x, 则150-x)×0.005≤0.06，解得x2138,即最低分数为138.… …15分 17.(1)证明：在正三棱柱 BC-ABC中，由D为8的中点，得CD1B.2分 又M上平面48C,CDc平面48C,则CDL从，而Mn1B=AM,BC平面B84…5分 ,而 平面 所以CD平面 ABB A …6分 DB,DC,AA B,DC,AA (2)由(1)知，直线 两两垂直，以D为原点，直线 分别为少2 轴建立空间直 角坐标系… …7分 Z B D B 则D0.00.C0.v5.0.4-10.280,2,4g=200,DC=0,5.01.D4=(-102)…8分 元.DA=-x+2z=0 设平面4DC的法向量为i=化y则元-DC=V5y=0，取x=2得n=(2,0)…11分 设直线AB,与平面ADC所成的角为0， in9cos(m,4)卡1m-481-4_25 1n川ABlV5…25…14分 答案第2页（共2页） 25 所以直线4B与平面ADC所成角的正弦值为5.… 15分 18.解：(1)()设甲队通过加时赛获得冠军为事件A, 则事件A包含甲队主胜客负，主负客胜，主平客平，然后加时赛获胜…1分 --+号-月 2 …4分 因为-所uP0云瓷 -X- …6分 (i)设甲队获得冠军为事件B, 则事件B包含甲队加时赛胜，主胜客胜，主胜客平，主平客胜…7分 (B)=P(A)+p+p2+22.2=17p2_3p 则 2 23262.…9分 因为P-5,所以P(B)=x43x8134 2 6X252×12537511分 (2)在第三方场地的“单场比赛制”下，将甲队获胜记为事件C, 则事件C包含甲队胜，甲队平且加时赛胜…12分 期P)+n=g 2……13分 因%0<p+号<1，所以0<p,此时0<r+号品 +2<50,符合题意…14分 P@)g苦号誓号明 …15分 0<p<5,6 因 .名20,8-9p0,所2八@-Pq>06分 即“主客场比赛制”比第三方场地的“单场比赛制”更加有利于甲队夺冠.…17分 19.解：(1)根据题意，Vg-48c='4-c=3Sach-1分 SFC=BCxCC=xv2x1=v2 1 2 2 2…2分 答案第3页（共2页） 因为在直三棱柱 6C-A8C中，ABLAC,B=4C=CC 当点E是线段 G上的中点时， AE⊥ 平面EBC.3分 d、 所以点A到平面EBC的距离”=2，即三棱锥4-EBC的高”=2…4分 122_1 …5分 (2)在直三棱柱 BC-ABC中，ABLAC,M14C,4上B 则以为原点，以4B为轴，以4C为'轴，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系6分 则40.0,0），BL.0,o),c(010）.4Q.01).Bo,1)C(@,1） ……7分 C 又BE=BG=A(-10）,则E0-元，) 则4E=1-元，，0).48=(L0,-1) 设平面4EB的法向量为m=(任y2) m·AE=(1-)x+y=0 则m4B=x-z=0 …8分 又在直三棱柱 C-4BC中，BLAC,则1C上平面 BB 所以平面4BB的法向量为 =AC=(0,1,0) …9分 又二面角 -4B-B的平面角为锐角，则二面角的余弦值为： 2-1 cos(m,训= m.n √6 λ-1 …10分 +2 -1 令元=1，因为元(0，)，则<0，故P+2≤3， 答案第4页（共2页） 即t≤4，则-2≤t<0,即2 …11分 (③)设四面体EABC的外接球心1的坐标为：4)，半径为R, R=IA=IB=IC=IE 则 故V2+y+(2-=x-+y+2=+0y-+2…12分 则=y=2,所以外接球心1的坐标为任x)】 代入得R=V3x2-2x+1=V(x-1++(x-}+(- 即3x2-2x+1=3x2-4x+22-21+2, 则=-+分e0),当2-时，取得最小位为好分 当-孩=时.术-A兮片.风 「11) 2 R3-2x+e,当3时，取得最小值为35观 所以 1 …16分 所以四面体EABC的外接球半径的取值范围为3’2 …17分 答案第5页（共2页）