四川省成都市树德中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学综合练习6

**基本信息** 以解析几何、立体几何、概率统计为核心，融合古代数学文化与实际情境，通过综合题型考查知识内在逻辑与核心素养。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解析几何|6题（含椭圆、双曲线）|几何性质与代数运算结合|直线平行距离→椭圆中点弦→轨迹方程推导| |立体几何|3题（刍甍、堑堵）|空间向量与位置关系证明|线面平行→面面垂直→外接球表面积计算| |概率统计|3题（比赛、频率分布）|事件关系与概率计算|渐升数定义→独立事件判断→频率分布应用|

树德中学（外国语校区）高2024级高二上数学综合练习（六） 一、单选题（每小题5分，共40分.） 1．已知直线与直线平行，则直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 2．定义：我们把每个数字都比其左边数字大的正整数叫做“渐升数”，比如258，123等．在二位“渐升数”中任取一数，则该数比48小的概率为（    ） A． B． C． D． 3．我国古代数学名著《九章算术》中将有三条棱互相平行且只有一个面为平行四边形的五面体称为刍甍.如图，今有一刍甍，四边形为平行四边形，平面，且，点在棱上，且.设，则（    ） A． B． C． D． 4.陕西历史博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作中的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线：的右支与轴及直线，围成的曲边四边形绕轴旋转一周得到的几何体，如图，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，则此双曲线的渐近线方程为（   ）    A． B． C． D． 5．一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4.从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是红球”，C表示事件“取出的两球同色”，则下列说法错误的是（    ） A．A与C互斥 B．A与B相互独立 C． D． 6．已知椭圆：（），过的右焦点作直线交椭圆于，两点，若中点坐标为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 7．如图，长方体中，，，，点，分别是和的中点，是侧面内一动点（含边界），若平面，则动点的轨迹的长度为（    ）    A． B． C． D．9 8．已知圆与、正半轴分别交于点、，半径为的圆与圆外切，则圆心变动时，的值（   ） A．不是定值 B．恒为 C．恒为 D．恒为 二、多选题(每小题6分，共18分。） 9．某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示（按得分分成，，，，这五组），则下列结论正确的是（    ） A．直方图中 B．此次比赛得分及格的共有60人 C．以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在，的概率为0.75 D．这100名参赛者得分的第80百分位数为75 10．已知点M在圆上，点P是直线上一点，过点P作圆Q的两条切线，切点分别为A、B，又设直线l分别交x，y轴于C，D两点，则（   ） A．的最小值为 B．直线必过定点 C．满足的点有一个 D．的最小值为 11．已知F，分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，且已知A，B不是椭圆的顶点，过点A作轴，垂足为E，直线BE与椭圆C的另一个交点为P，则（    ） A．四边形的周长为16 B．的最小值为 C．面积的最大值为 D． 三、填空题(每小题5分，共15分。） 12．若圆上到直线（为实数）的距离为1的点有且仅有3个，则 . 13．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直棱柱称之为“堑堵”，如图，三棱柱为一个“堑堵”，底面中，，且，，点在棱上，当时，三棱锥外接球的表面积为 ． 14．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是 . 四、解答题（共5个大题.） 15（本小题13分）．已知长为4的线段的两个端点和分别在直线和上滑动．设线段的中点的轨迹为圆． (1)求圆的方程； (2)若直线过点且与圆相交于，两点，且（为圆的圆心）为直角三角形，求的方程． 16.（本小题15分）甲､乙两人进行象棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响. (1)求甲恰好比赛2局后获胜的概率； (2)求甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率； (3)求甲赢得比赛的概率.（本题结果都用化简后的分数作答） 17.（本小题15分）有人发现椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点．现有一椭圆，长轴长为6，从左焦点发出的一条光线经椭圆内壁上一点反射之后恰好与轴垂直，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，过的左、右焦点，分别作直线，，交于，两点，交于，两点，且． ①求证：当直线的斜率与直线的斜率都存在时，为定值； ②四边形面积的最大值． 18． （本小题17分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，M是棱上的点，且． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值； (3)棱上是否存在点Q，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 19.（本小题17分）已知椭圆的左顶点为，且椭圆过点. (1)求的方程； (2)已知为的左焦点，在轴上有两动点，且. （i）若的外接圆与在第一象限的交点为，连接交轴于点，求； （ii）直线分别与交于点，求证：直线恒过定点. 《高二综合练习6》参考答案 1．D 2．D3． A 4.A. 5．C【详解】A，事件包含，，，，，，，， 事件包含，，，，显然，故与互斥，A正确； B，从中不放回的依次取出两个球为 ，，，，，，，，，，，，共12种情况，故 ，事件包含，，，，，，共6种情况，故， 事件包含，，，，共4种情况，故， 由于，故与相互独立，B正确； C，包含，，，，，，，，共9种情况，故， C错误；D，事件包含，，，，，， 由于事件包含，，，，，，，， 故包含事件，，，，共4种情况，，D正确. 6．D【详解】设，，的中点，则直线的斜率， 由两式相减得，即， 而，，因此，又， 解得，，所以椭圆的方程为：.故选：D 7．C【详解】如图所示： 取的中点，取的中点，连接，，，，，， 所以，又因为点，分别是和的中点， 所以，所以， 又因为平面，平面，所以平面，又点是棱的中 点，点是棱的中点，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以，， 又因为，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，，平面，所以平面平面． 又是侧面内一动点（含边界），且平面， 所以点的运动轨迹为，又在长方体中，，， 所以.故选： 8．D【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径，在圆的方程中，令，可得，解得或，令可得，解得或，则点、， 因为圆与圆外切，所以，设，则.故选：D． 9．ABD 10．ABD【详解】圆的圆心为，半径， 则到直线的距离， 则，故A正确； 设，则的中点为，， 以为直径的圆， 又圆，两圆的方程相减得，即 ， 由，解得，因此直线过定点，故正确； 对于直线，令，则，即，令，则，所以， 则的中点为，， 则以为直径的圆的方程为，又， 则，所以以为直径的圆与圆相交，所以满足的点有两个，故错误； 因为，，设，，则， 则，即 又，，所以， 所以 ， 当且仅当在线段与圆的交点时取得最小值，故正确. 11. 【详解】对于，连接，，，，则四边形为平行四边形， ，四边形的周长为，故错误； ， 当且仅当时，等号成立，故正确； ，是椭圆上关于原点对称的两点，设直线的方程为， 由得，\( \therefore||=\|k|}{\sqrt{1 + 2k^2}}， 的面积 ， 当且仅当 时，等号成立，故C正确； 对于D，设 ，，，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ， 则 ， 又点 和点 在椭圆 上，①，②，①②得 ， 因为 ，则 ，得 ， ，，故D正确。故选：BCD。 12. 由题意得圆心 为 ，半径为2，若圆上到直线的距离为1的点有且仅有3个，可得 圆心 到直线 的距离为1，由点到直线的距离公式得 ，解得 。 13. 【详解】由题，，，， 平面 ， 平面 ，，设 ，，，， ，则 ，， 连接 ，则 ，，， 即 ，解得 ，即 ， 是直角三角形， 的外接圆半径 为 ，设三棱锥 外接球半径为 ，则 ， 则三棱锥 外接球的表面积为 。 14 【答案】【详解】设椭圆的长轴长为 ，双曲线的实 轴长为 ，它们的公共焦距为 ， 不妨设焦点在 轴上，点 在第一象限， 由点 在线段 的垂直平分线上，则 ， 由椭圆、双曲线的定义得：，， 则 ，整理得 ， 则，故，则，故，其中， 令，由对勾函数性质可知，在上单调递增， 故，即的取值范围是. 15.【详解】（1）设直线和的交点为，则，. 因为为线段 的中点，则， 设，则，化简可得 ，则圆的方程为. （2）由（1），可得圆心，半径为2， （为圆的圆心）为直角三角形，可得且， 所以可得圆心到直线的距离为， 当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线过圆心，显然不符合题意， 当直线斜率存在时，设直线的方程为，即， 所以，解得，所以的方程为或. 16.【详解】（1）记“甲在第局获胜”为事件， 记“甲恰好比赛2局后获胜”为事件，，，即甲恰好 比赛2局后获胜的概率为. （2）记“甲在4局以内（包含4局）赢得比赛”为事件，， ， ，，， . 故甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率为. （3）记“甲比赛5局后赢得比赛”为事件，“甲赢得比赛”为事件， ， ， .故甲赢得比赛的概率为. 17.【详解】（1）因，分别是椭圆的左、右焦点，依题意，x轴， 又因为，，所以，则，代入， 可得， 即，解得， 则椭圆的标准方程为； （2）①设，，根据椭圆的对称性，有， 因为，都在椭圆上，所以，. 两式相减得，，为定值，故得证； ②当的倾斜角为时，与重合，舍去； 当的倾斜角不为时，由椭圆的对称性得四边形为平行四边形，， 设直线的方程为，代入，得， 显然，则，. 所以， 设，所以. 所以 . 当且仅当即，即时等号成 立，所以. 所以平行四边形面积的最大值为 . 18.【详解】（1）由平面，，结合， 平面，故，，， 以为原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：由 有：，，，，， 所以，，，由题设可得，所以 ， 所以，即，， 即，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面； （2）由（1）有，，，设平面的法向量为， 所以，令，得，设平面的法向量为， 所以，令，得， 设二面角的平面角为，则为锐角， 所以，， 所以二面角的余弦值为。 （3）假设线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为。 设与平面所成的角为，则。 设，，所以，， 由（2）知平面的一个法向量为， 故，整理得，故或 （舍），所以当时，存在点满足题意。 19.【详解】（1）因为椭圆的左顶点为，所以， 又椭圆过点，所以，解得， 所以椭圆的方程为。 （2）（i）由，得，所以。 显然的外接圆是以为直径的圆， 则其方程为，化简得。 设，则，消去得， ，化简得，又，所以， 所以。 （ii）设直线的方程为，，， 联立，消去整理得， 则，。 因为，，所以， 故，即，化简得， 因为，所以， 所以直线的方程为，即直线恒过定点。 学科网（北京）股份有限公司 $