精品解析：甘肃省甘南州卓尼县柳林中学2024-2025学年高二上学期阶段测试（一）数学试卷

阶段测试卷（一） 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 计算，，再计算得到答案. 【详解】，， 故. 故选：. 【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力. 2. 设复数满足，则它的共轭复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题目条件可直接求出复数，从而写出共轭复数，即可得到共轭复数的虚部． 【详解】依题意，，因此，所以的虚部为. 故选：C． 3. 已知在正项等比数列中，，，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合等比数列性质求出公比即可得解. 【详解】在正项等比数列中，，解得，而，则公比， 所以. 故选：C 4. 设等差数列的前项和为，且，则的最大值为（ ） A. 11 B. 12 C. 121 D. 144 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据等差数列的前项和公式及等差数列的性质可得，再根据基本不等式求解即可. 【详解】在等差数列中，， 则， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为121. 故选：C. 5. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于轴对称，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出平移后的函数解析式，再利用偶函数的性质求出即可. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，得， 依题意，，解得， 显然不存在自然数使得选项ACD成立，当时，，B满足. 故选：B 6. 已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（ ） A. 2022 B. 4036 C. 2023 D. 4038 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合等比数列的性质可得，根据函数解析式可得，利用倒序相加法运算求解. 【详解】因为正项数列是公比不等于1的等比数列， 且，则，即， 结合等比数列性质可得， 又因为函数，则， 令，则， 可得， 所以． 故选：C. 7. 已知等差数列的公差，，，记该数列的前n项和为，则的最大值为（ ） A. 20 B. 24 C. 36 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合等差数列性质求出及通项公式，再确定所有非负数项即可得解. 【详解】等差数列中，公差，即数列是递减等差数列， 显然，而，且，解得，则， ，由，得，因此数列前9项均为非负数，从第10项起均为负数， 所以的最大值为. 故选：C. 8. 等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，再利用等差数列前项和公式，结合等差数列性质计算即得. 【详解】等差数列，的前项和分别为，，由，得， . 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为等差数列的前n项和，为等比数列的前n项积，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，令结合基本不等式可举出反例，对于B，由等差、等比中项即可判断；对于C，由等差数列求和公式以及等差数列性质即可判断；对于D，直接由定义验算即可. 【详解】对于A，设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 若， 则，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 10. 如图所示的几何体出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知题意，探索的递推规律，由规律得通项，由此判断各选项. 【详解】由题意得，，，，，，故B正确； 而，，，，故C正确； 则，故A错误； ，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知数列中，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】判断出数列的周期性，由此对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由题意，， ∴数列是以为周期的周期数列． 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，由递推关系式知， ∴ ，D正确． 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列中，若，，则____________． 【答案】19 【解析】 【分析】取倒数可得，即可得数列的通项公式，计算即可得. 【详解】∵，则， ∴，∴故数列为等差数列，公差等于2， 又，故， ∴. 故答案为：19． 13. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点、，若，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用中点向量公式，结合共线向量定理的推论列式计算即得. 【详解】在中，点是的中点，则， 又，，则， 而点共线，因此，所以. 故答案为： 14. 已知四个整数满足．若成等差数列，成等比数列，且，则的值为_____________． 【答案】333 【解析】 【分析】设公差为x，从而由题意列式得到，化为，结合b为整数确定x的取值，进而确定的值. 【详解】因为成等差数列，故设公差为x，则， 由成等比数列，得，结合， 得，整理得， 由于为整数，且，故x为整数，， 则，需满足，即， 结合b为整数，代入，可得只有当时，才为整数， 当时，，则，不合题意； 当时，，则，，，适合题意， 则， 故答案为：333 【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的综合应用，解答的关键是利用等差等比数列的性质来设参数x，得出后，要结合题意确定x的值，进而求得答案. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 正项数列满足，． （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）整理得，即， 令，则，故是首项为4，公比为4的等比数列； （2） 【解析】 【分析】（1）利用构造法整理递推公式即可证明； （2）求出数列通项公式，利用分组求和求出前n项和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，即， 根据分组求和可得 16. 某部门为了对该城市共享单车加强监督管理，随机调查了1000名用户.根据这1000名用户对某品牌共享单车的评分（满分：100分），绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为 （1）试估计这1000名用户评分的平均分； （2）若采用分层随机抽样的方法从评分在内的用户中抽取5人进行调查，并从这5人中随机选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有1人的评分在内的概率. 【答案】（1）76.2分 （2） 【解析】 【分析】（1）先由概率之和等于1，得出a=0.006，再由频率分布直方图中求平均数的公式得出平均数. （2）先由分层抽样得出中抽2人，抽3人，再由古典概型即可得出要求的概率. 【小问1详解】 由（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10=1，解得a=0.006， 则平均评分分数为=（45×0.004+55×0.006+65×0.022+75×0.028+85×0.022+95×0.018）×10=76.2，所以估计这1000名用户评分的平均分为76.2分. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，评分在[40，50），[50，60）内的人数分别为40，60. 若采用分层随机抽样的方法从评分在[40，50），[50，60）内的用户中抽取5人，则 [40，50）中选：（人），分别记作A，B； [50，60）中选：（人），分别记作a，b，c. 从这5人中任选2人的所有情况有：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c），（b，c），共10种情况. 其中至少有1人的评分在[40，50）内的情况有：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），共7种情况. 故所求概率 17. 已知正项数列前n项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与之间的关系分析可知数列是等差数列，结合等差数列通项公式运算求解； （2）由（1）可得，利用分组求和以及裂项相消法运算求解. 【小问1详解】 因为，则， 两式相减得：， 整理得， 且为正项数列，可知， 可得，即， 可知数列是以首项，公差的等差数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 当为奇数，则， 可得 ， 所以. 18. 已知数列、满足，，，. （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，求，并证明：. 【答案】（1）因为，，则， 等式两边同时乘以可得， 即，所以，数列是等差数列. （2），证明如下： 因为，即为单调递增数列， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）由已知等式变形可得出，利用等差中项法可证得结论成立，确定数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式； （2）利用错位相减法可求得，分析数列的单调性，即可证得结论成立. 【小问1详解】 ，，等差数列公差为， 所以，，故. 【小问2详解】 数列的前项和为，且， 则， 所以，， 两式相减可得 ， 所以. 19. 在数列，中，，，且为正项等比数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明：得， 因为， 所以， 所以当时， ， 即，则，且 故． 【解析】 【分析】（1）设的公比为q，由已知得，利用求出可得答案； （2）由利用累加法求出，再由等比数列求和可得答案. 【小问1详解】 设的公比为q，因为为正项等比数列，所以， 由，，得， 即 ， 解得， 所以； 【小问2详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段测试卷（一） 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数满足，则它的共轭复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知在正项等比数列中，，，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 4. 设等差数列的前项和为，且，则的最大值为（ ） A. 11 B. 12 C. 121 D. 144 5. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于轴对称，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（ ） A. 2022 B. 4036 C. 2023 D. 4038 7. 已知等差数列的公差，，，记该数列的前n项和为，则的最大值为（ ） A. 20 B. 24 C. 36 D. 40 8. 等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为等差数列的前n项和，为等比数列的前n项积，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示的几何体出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列中，，则（　　） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列中，若，，则____________． 13. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点、，若，，则______. 14. 已知四个整数满足．若成等差数列，成等比数列，且，则的值为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 正项数列满足，． （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前n项和． 16. 某部门为了对该城市共享单车加强监督管理，随机调查了1000名用户.根据这1000名用户对某品牌共享单车的评分（满分：100分），绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为 （1）试估计这1000名用户评分的平均分； （2）若采用分层随机抽样的方法从评分在内的用户中抽取5人进行调查，并从这5人中随机选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有1人的评分在内的概率. 17. 已知正项数列前n项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 18. 已知数列、满足，，，. （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，求，并证明：. 19. 在数列，中，，，且为正项等比数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $