精品解析：天津市第四十七中学2026-2027学年高一上学期第一次阶段性检测数学试卷

天津市第四十七中学2026—2027高一年级第一学期 第一次阶段性检测数学试卷 第I卷（共三部分；满分150分） 一、单项选择题（共9题，每题5分，共45分） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出全集，再求出集合在全集中的补集，最后求出与集合的交集. 【详解】已知，所以， 已知，可得， 已知，，所以. 故选：A. 2. 下列式子中，正确的是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【详解】，A错误；设， 显然，但，B错误； 为无理数，故C正确； 或为点集，而2为实数，故D错误. 3. 已知集合，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】由集合，，得集合是集合的真子集， ，A错误；，C错误； ，，B错误，D正确. 4. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【详解】选项：由可知分母，根据不等式的基本性质，不等式两边同乘正数， 不等号方向不变，可得，正确； 选项：计算两个分式的差：， 由，可得，因此差为正，即，错误； 选项：取，满足， 此时，即，不满足错误， 选项：取，满足， 此时，即，不满足，错误. 5. 已知集合，且，则（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系求出的值，验证集合元素互异性即得. 【详解】由可得或. ① 当时，解得或， 若，则，与集合元素互异性矛盾， 若，则，此时，符合题意，故； ②当时，，由上分析可知不合题意. 故. 6. 已知函数是的减函数，则下列各大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用函数单调性定义求解. 【详解】A中，，故，A正确； B中，，故，B错误； C中，，故，C错误； D中，，故，D错误； 7. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用均值不等式“”的代换化简求值. 【详解】由已知， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 8. 下列命题为真命题的个数为（ ） （1）命题：，，则命题的否定是：， （2）是“”的必要不充分条件 （3）的最小值为 （4）是关于的不等式对一切实数恒成立的充要条件 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逐项判断：全称命题的否定要同时改量词；用定义验证是否必要、是否充分；分式函数要看有没有最小值；恒成立问题不要漏掉. 【详解】对于（1），命题是全称命题，其否定应为特称命题“，”， 而题中的否定仍使用全称量词，故（1）是假命题； 对于（2），由得，而时必为实数，所以“”是“”的必要条件； 又当时，但，不满足， 所以“”不是“”的充分条件，故（2）是真命题； 对于（3），因为，所以，当时取等号，即最大值为； 又当无限增大时无限接近，所以没有最小值，故（3）是假命题； 对于（4），当时，不等式化为，对一切实数恒成立； 当时，需且，解得． 所以对一切实数恒成立的充要条件是 ，题中漏掉了，故（4）是假命题． 综上，真命题只有（2），共1个． 9. 已知函数是定义在上的增函数，且，．则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件可得，再等价变形不等式并利用单调性求解. 【详解】函数是定义在上的增函数，由， ，得， 因此不等式，则， 解得，所以所求解集为. 二、填空题（共6题，每题5分，共30分） 10. 函数的定义域为________． 【答案】 【解析】 【分析】分别根据零次幂的底数不能为零、分母中的平方根必须有意义且不为零列出条件，再取交集. 【详解】由零次幂有意义，得，即. 由分母中的平方根有意义且分母不为零，得，即. 因此，函数的定义域为. 11. 定义集合且，若，，则的子集个数是______． 【答案】 【解析】 【详解】由定义知，中的元素是集合中不属于集合的那些元素． 因为，，所以，共3个元素， 故的子集个数为． 12. 已知函数满足，则________． 【答案】 【解析】 【详解】令，解得. 将代入已知等式. 得. 计算得出. 13. 已知为实数，若集合，，且，则的值可以是________． 【答案】或或 【解析】 【分析】由可知，分情况讨论与即可得解. 【详解】由已知，即， 又，即， 当时，，此时满足； 当时，， 此时若满足，则或，即或， 综上所述，若，则或或. 14. 已知函数，，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围________． 【答案】 【解析】 【分析】将题设的全称量词与存在量词条件转化为在上的最小值大于等于在上的最小值，分别求解两函数对应区间的最值后列不等式，即可得到的取值范围． 【详解】对任意，总存在使得成立，等价于. 当时，单调递减，. 当时，图象的对称轴为直线. ①当，即时，在上单调递增， 函数在上的函数值的范围为， ，解得，这与矛盾； ②当，即时，在上单调递减， 函数在上的函数值的范围为， ，解得，故； ③当时，， ， 解得或，故， 综上所述，， 所以实数的取值范围 15. 存在两个不相等的正实数和，使得成立，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据存在性，把问题转化成求右侧代数式的最小值；利用双换元减少变量化成可以用基本不等式的形式，最后验证等号成立的条件. 【详解】原不等式化成， 此题为存在性问题，故大于等于右侧代数式的最小值， 令，，则， ， 当且仅当，即时取等号. 故，即的最小值为32. 三、解答题（共5题，共75分） 16. 解下列不等式： （1）； （2）； （3）； （4）； 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】利用一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式的解法计算即得. 【小问1详解】 ，解得， 故不等式的解集为； 【小问2详解】 由，故，解得， 故不等式的解集为； 【小问3详解】 ， 则， 解得 故不等式的解集为； 【小问4详解】 由， 则得或， 故不等式的解集为. 17. 求下列代数式的最值 （1）已知，是正实数，且，求的最小值； （2）已知，求的最大值； （3）已知实数、满足，求的最小值； （4）已知，，，求的最小值； 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用“1”的代换后由基本不等式得最小值； （2）求出的最小值后可得结论； （3）由条件可得​，代入，再利用基本不等式求最小值； （4）由已知等式变形得出，再结合基本不等式可求得的最小值. 【小问1详解】 因为，是正实数，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是； 【小问2详解】 ，则，从而， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值是； 【小问3详解】 因为，所以，又，故​， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为； 【小问4详解】 因为，，，所以， 即，即， 由基本不等式可得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 18. 已知集合、集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合A，先根据，列出相应不等关系，求出的取值范围，进而求解即可； （2）由题意可判断B是A的真子集，由此列出相应不等关系，即可求得答案. 【小问1详解】 集合，而， 若，故当时，，即； 当时，或，解得. 综合上述，若，则或， 则时，，即实数的取值范围为. 【小问2详解】 命题：；命题：， 因为命题是命题的必要不充分条件，所以B是A的真子集， 当时，即，解得； 当时，或，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 19. 已知关于的二次函数 （1）若关于的不等式的解集为或，求实数、的值； （2）若实数，满足，求关于的不等式的解集．（答案用含有字母的形式表示） 【答案】（1）， （2）当，解集为或； 当，解集为； 当，解集为； 当，解集为； 【解析】 【分析】(1) 利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理列方程求解； (2)将代入，因式分解，对的正负以及根和的大小作分类讨论，写出不等式解集. 【小问1详解】 不等式的解集为或， 得，方程两根为，， 所以，，得，. 【小问2详解】 由，得，即， 因为，所以， 当，不等式化为， 若即，解集为； 若即，，解集为； 若即，解集为； 当，不等式化为，此时，故解集为或； 综上所述，当，解集为或； 当，解集为； 当，解集为； 当，解集为. 20. 已知函数的定义域是．对于，定义集合． （1）若，求； （2）若，且；求实数的值； （3）若，且当时，的值域也为，其中． （i）证明：； （ii）求的取值范围． 【答案】（1）或； （2）； （3）（i）由题意可知，，的图象的对称轴为直线，开口向上． 当时，在上单调递减， 则 ①②，得． 又，所以； （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据题中新定义，代入函数解析式，列出对应不等式，解不等式求出集合； （2）结合二次函数图像与性质，由可知是函数最小值，利用二次函数对称轴列式求解参数； （3）（i）当时，在上单调递减，列出方程组，作差后化简即可证明；（ii）利用方程组可得方程在上有两个不同的实根，再利用二次函数的性质即可. 【小问1详解】 由，得，根据定义得到， 解不等式，解得或，所以或． 【小问2详解】 由，得． 而等价于对任意，都有，即是二次函数的最小值点， 而二次函数对称轴为，因此，解得． 验证：当时，，， 可得恒成立，符合题意，故． 【小问3详解】 （i）略； （ii）由（i）可知，即 即关于的方程在上有两个不同的实根． 令，的图象开口向上且对称轴为直线， 则，解得． 故的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第四十七中学2026—2027高一年级第一学期 第一次阶段性检测数学试卷 第I卷（共三部分；满分150分） 一、单项选择题（共9题，每题5分，共45分） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，正确的是（ ） A. B. C. D. 或 3. 已知集合，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知集合，且，则（ ） A. B. 或 C. D. 6. 已知函数是的减函数，则下列各大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题为真命题的个数为（ ） （1）命题：，，则命题的否定是：， （2）是“”的必要不充分条件 （3）的最小值为 （4）是关于的不等式对一切实数恒成立的充要条件 A. B. C. D. 9. 已知函数是定义在上的增函数，且，．则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6题，每题5分，共30分） 10. 函数的定义域为________． 11. 定义集合且，若，，则的子集个数是______． 12. 已知函数满足，则________． 13. 已知为实数，若集合，，且，则的值可以是________． 14. 已知函数，，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围________． 15. 存在两个不相等的正实数和，使得成立，则的最小值是________． 三、解答题（共5题，共75分） 16. 解下列不等式： （1）； （2）； （3）； （4）； 17. 求下列代数式的最值 （1）已知，是正实数，且，求的最小值； （2）已知，求的最大值； （3）已知实数、满足，求的最小值； （4）已知，，，求的最小值； 18. 已知集合、集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 19. 已知关于的二次函数 （1）若关于的不等式的解集为或，求实数、的值； （2）若实数，满足，求关于的不等式的解集．（答案用含有字母的形式表示） 20. 已知函数的定义域是．对于，定义集合． （1）若，求； （2）若，且；求实数的值； （3）若，且当时，的值域也为，其中． （i）证明：； （ii）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $