精品解析：山东烟台市蓬莱区 2026-2027学年八年级上学期期中数学试题（五四制）

2026-2027学年第一学期期中学业水平考试 初三数学试题 卷1 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列式子中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】形如（A、B为整式，B中含有字母且）的式子是分式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：由分式的定义可知，四个选项中，只有C选项中的式子是分式． 2. 下列由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以因式分解的定义为判断依据，即多项式化为几个整式的积的恒等变形，进行解答，即可． 【详解】解：A、左边是多项式，右边是两个整式的积，变形正确，是因式分解，符合题意； B、左到右是整式乘法，将积化为多项式，不是因式分解，不符合题意； C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、左右两边不相等，变形错误，不是因式分解，不符合题意； 3. 下列分式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简分式的定义，即分子和分母没有公因式的分式，逐一判断各选项能否约分，即可得到结果． 【详解】解：对选项A：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式； 对选项B：的分子与分母没有公因式，不能约分，是最简分式； 对选项C：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式； 对选项D：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式． 4. 某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，结果如图所示．则这个跳水队运动员的年龄的众数是（ ） A. 2 B. 24 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，结合条形统计图中人数最多的年龄求解即可． 【详解】解：由条形统计图可得：年龄为岁的有人，年龄为岁的有人，年龄为岁的有人，年龄为岁的有人， ∵， ∴年龄为岁的人数最多， ∴这个跳水队运动员的年龄的众数是． 5. 下列各式从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的基本性质和分式乘方运算，逐一判断选项即可得到正确结果． 【详解】解：A、，故选项变形错误； B、分式有意义，则，即，可得，故选项变形正确； C、，故选项变形错误； D、是最简分式，，故选项变形错误． 6. 若分式的值等于0，则x的值为（ ） A. 3 B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】分式值为0需同时满足分子为0，分母不为0，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， 解得， 解得， ∴． 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用多项式乘多项式的运算法则展开等式左边，再根据多项式相等对应项系数相等求出和的值，最后计算得到结果． 【详解】解：，， ，解得， ． 8. 为美化泾川县的城市环境，县上有关部门计划对街道两旁共6000棵景观树木进行修剪整形．由于志愿者团队主动参与协助，实际每天修剪的树木数量比原计划多了20％，最终比原定工期提前5天完成全部修剪任务．若设原计划每天修剪树木x棵，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以工期差5天为等量关系，结合工作时间与工作总量、工作效率的关系列方程即可． 【详解】解：设原计划每天修剪棵，则实际每天修剪棵． 原计划工期为天，实际工期为天． ∵实际比原定工期提前5天完成， ∴． 9. 已知，，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用提公因式法对所求代数式因式分解，再整体代入已知条件计算，不需要分别求出每个未知数的值． 【详解】解：∵ 已知， ∴ 整体代入得，原式 ． 10. 若分式方程无解，则的值是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先将分式方程转化为整式方程，再从整式方程无解和整式方程有解，但该解让原分式方程的最简公分母为零两种情况讨论即可． 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理得， 当，即时，，整式方程无解，原分式方程无解； 当时，， 令，得增根， 将代入，得， 两边同乘，得， 展开得， 移项得， 经检验：是方程的解， 综上，的值为或． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，分式的分母不等于零，据此列出关于的不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义 ∴， 整理得， 解得且，即． 12. 在○处填入一个整式，使关于的多项式可以因式分解，则○可以为________．（写出一个即可） 【答案】2x 【解析】 【分析】可根据完全平方公式或提公因数法分解因式求解即可． 【详解】解：∵， ∴○可以为2x、－2x、2x－1等，答案不唯一， 故答案为：2x． 【点睛】本题考查因式分解，熟记常用公式，掌握因式分解的方法是解答的关键． 13. 已知a，b，c是的三边长，则__________0（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】先利用平方差公式对原式因式分解，再结合三角形三边关系判断各因式的符号，进而得到原式与的大小关系． 【详解】解： ，即， ，即， ∴， 即． 14. 一次数学测验后，李老师随机抽取了份试卷，其成绩（单位：分）分别为，，，，，则这组数据的离差平方和为________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算这组数据的平均数，再计算每个数据与平均数的差的平方，最后求和即可得到结果． 【详解】解：这组数据的平均数为， 则这组数据的离差平方和． 15. 如图，一块大的长方形分成3个正方形和3个完全相同的小长方形，观察图形，可将多项式因式分解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解与几何图形的面积，弄清图形中的面积关系是解题关键． 图中大长方形的面积有两种求法，一是由三个正方形的面积与三个小长方形的面积之和计算，二是由大长方形的长与宽的乘积计算，两者相等即可确定多项式因式分解的结果． 【详解】解：结合图形，可得长方形的面积为， 还可得长方形的长为，宽为， ∴长方形的面积也可以为， ∴． 故答案为：． 16. 已知一组数据，，，，的平均数是，方差为，那么另一组数据，，，，的平均数是__________，方差是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据平均数和方差的变化性质进行求解． 【详解】解：设原数据的平均数为，方差为， 由题意得：，， 新数据，，，，的平均数为：， 新数据的方差为：． 三、解答题（本大题共9个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 把下列各式因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 利用简便方法计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 先因式分解，再计算求值： （1），其中，； （2），其中． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查代数式的因式分解以及代数式求值： （1）直接提取公因式，进而分解因式得出即可； （2）直接提取公因式，进而得出答案． 【小问1详解】 解：， 将，代入得： 原式； 【小问2详解】 解： ， 将代入得出：原式． 20. 解答 （1）已知，求． （2）先化简再求值： ，其中从，，，，中选取一个合适的数代入求值． 【答案】（1） （2），或 【解析】 【分析】（1）把变形为，再代入所求代数式进行计算即可； （2）化简原分式，判断取时分式无意义，故代入和求值即可． 【小问1详解】 解： ； 因为，即，所以，原式． 【小问2详解】 解： ， 因为，，所以，，， 因此，可选数值只能是或， 当时，， 当时，． 21. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】（1）把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可； （2）先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出y的值，最后检验即可． 【小问1详解】 解： 方程两边都乘以，得 ， 解得：， 检验：当时，， 所以是原方程的根； 【小问2详解】 解：， 方程两边都乘以，得 解得：， 检验：当时，， 所以是原方程的增根，应舍去， 因此，原方程无解． 22. 若分式方程的解为正数，求的取值范围． 【答案】且 【解析】 【分析】先解关于x的分式方程,求得x的值,然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围. 【详解】解:去分母,得,解得 因为这个解是正数,所以,即. 又因为分式方程的分母不能为零,即且,所以. 所以a的取值范围是且. 【点睛】本题考查了分式方程的解，利用分式方程的解得出关于a的不等式是解题关键． 23. 某校要从甲、乙两名选手中挑选一人参加科普活动，在最近的10次选拔赛中，他们的测试成绩（单位：分）如下： 甲：89，70，96，100，68，78，96，60，91，92； 乙：88，65，90，80，93，65，93，90，96，80． （1）小明利用平均数、方差进行分析：通过计算平均数：分，________分；方差：，________，可以看出，________（填“甲”或“乙”）的测试更稳定； （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图）进行分析： ①甲数据的四分位数：________，________，________； ②图中乙的箱线图绘制有误，请找出错误并说明理由，再画出甲对应的箱线图； ③根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对甲、乙两人成绩的看法． 【答案】（1）84；114.8，乙 （2）①70,90,96； ②图中乙成绩的中位数画在了刻度90的位置 理由：将乙的成绩按从小到大排列为：65，65，80，80，88，90，90，93，93，96， ∴， 乙的下四分位数是80，最小值是65；原图箱体起点、中位数位置不对； ③甲乙平均数相等，甲中位数略高，中等成绩稍好，乙四分位距更小，中间大部分成绩更集中更稳定，甲成绩两极分化，能考高分，也容易考低分，乙成绩波动小，发挥平稳，不容易考最低分数，不过最高分数不如甲，想冲高分选甲，想要稳定发挥选乙 【解析】 【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式进行计算即可； （2）①把甲的成绩按从小到大排列后，分别找到第一四分位数，第二四分位数及第三四分位数即可； ②根据乙的中位数是89，可知乙箱线图错误；然后，连接两个四分位数画出甲箱线图可； ③观察两个箱线图，得到相应的结论即可． 【小问1详解】 解：； ∵， ∴乙更稳定； 【小问2详解】 解：①将甲的成绩按从小到大排列为：60，68，70，78，89，91，92，96，96，100， ∴，，， （方法二：，下四分位数是第三个数70；中位数是；，上四分位数是第8个数96） ②略； ③略． 卷2 24. 【方法呈现】 形如这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法分解了，此时，我们可以在中间先加上常数9，使它与的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即： ． 像这样，通过添项、减项，将多项式或多项式的一部分恒等变形，化为含有完全平方式的形式，这种方法叫做配方法． 同样地，把一个多项式进行局部配方可以用来解决代数式的最小值（或最大值）问题． 例如：． 因为， 所以． 则这个代数式的最小值是2，这时相应的的值是． 【尝试应用】 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：________； （2）借助“配方法”因式分解：； （3）若，求的最小值，并求出此时的值． 【答案】（1）4 （2） （3）的最小值为，此时的值为 【解析】 【分析】（1）根据完全平方式的定义进行配方即可； （2）先根据进行配方，配成完全平方后，再利用平方差公式分解因式； （3）先对M进行配方，再利用完全平方式的非负性进行分析即可解答． 【小问1详解】 解： 添加常数为4； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， ， 的最小值是，此时， 相应的的值是． 25. “彩线轻缠红玉臂，小符斜挂绿云鬟”一年一度的端午节来临前夕，某超市欲购进甲、乙两种粽子进行销售，每个甲种粽子的进价比每个乙种粽子的进价便宜5元，用300元购进甲种粽子的个数与用400元购进乙种粽子的个数相同． （1）求甲、乙两种粽子每个的进价分别为多少元； （2）超市准备购进这两种粽子共250个，其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为20元/个、28元/个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元． ①求与的函数关系式，并求出的取值范围； ②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别为15元、20元 （2）①与的函数关系式为（，且m为正整数）；②超市应进货甲种粽子167个，乙种粽子83个才能获得最大利润，最大利润是1499元 【解析】 【分析】（1）设甲种粽子每个的进价为x元，依题意列出分式方程并求解，即可解答； （2）①根据总利润＝甲、乙两种粽子利润之和列出函数解析式，即可解答；②根据甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍求出m的取值范围，再根据函数的性质求最值，并求出相应的方案即可． 【小问1详解】 解：设甲种粽子每个的进价为x元，依题意，得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴， 答：甲、乙两种粽子每个的进价分别为15元、20元． 【小问2详解】 解：①依题意，得 ， ∵ ∴， 由m为正整数，得 ，且m为正整数， 答：与的函数关系式为（，且m为正整数）； ②∵， ∴w随着m的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，为， 此时， 答：超市应进货甲种粽子167个，乙种粽子83个才能获得最大利润，最大利润是1499元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期期中学业水平考试 初三数学试题 卷1 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列式子中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列分式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，结果如图所示．则这个跳水队运动员的年龄的众数是（ ） A. 2 B. 24 C. 15 D. 16 5. 下列各式从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若分式的值等于0，则x的值为（ ） A. 3 B. C. D. 0 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 为美化泾川县的城市环境，县上有关部门计划对街道两旁共6000棵景观树木进行修剪整形．由于志愿者团队主动参与协助，实际每天修剪的树木数量比原计划多了20％，最终比原定工期提前5天完成全部修剪任务．若设原计划每天修剪树木x棵，可列方程是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 18 10. 若分式方程无解，则的值是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是________． 12. 在○处填入一个整式，使关于的多项式可以因式分解，则○可以为________．（写出一个即可） 13. 已知a，b，c是的三边长，则__________0（填“>”“<”或“=”）． 14. 一次数学测验后，李老师随机抽取了份试卷，其成绩（单位：分）分别为，，，，，则这组数据的离差平方和为________． 15. 如图，一块大的长方形分成3个正方形和3个完全相同的小长方形，观察图形，可将多项式因式分解为______． 16. 已知一组数据，，，，的平均数是，方差为，那么另一组数据，，，，的平均数是__________，方差是__________． 三、解答题（本大题共9个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 把下列各式因式分解： （1） （2） 18. 利用简便方法计算： （1）； （2）． 19. 先因式分解，再计算求值： （1），其中，； （2），其中． 20. 解答 （1）已知，求． （2）先化简再求值： ，其中从，，，，中选取一个合适的数代入求值． 21. 解方程： （1）； （2）． 22. 若分式方程的解为正数，求的取值范围． 23. 某校要从甲、乙两名选手中挑选一人参加科普活动，在最近的10次选拔赛中，他们的测试成绩（单位：分）如下： 甲：89，70，96，100，68，78，96，60，91，92； 乙：88，65，90，80，93，65，93，90，96，80． （1）小明利用平均数、方差进行分析：通过计算平均数：分，________分；方差：，________，可以看出，________（填“甲”或“乙”）的测试更稳定； （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图）进行分析： ①甲数据的四分位数：________，________，________； ②图中乙的箱线图绘制有误，请找出错误并说明理由，再画出甲对应的箱线图； ③根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对甲、乙两人成绩的看法． 卷2 24. 【方法呈现】 形如这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法分解了，此时，我们可以在中间先加上常数9，使它与的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即： ． 像这样，通过添项、减项，将多项式或多项式的一部分恒等变形，化为含有完全平方式的形式，这种方法叫做配方法． 同样地，把一个多项式进行局部配方可以用来解决代数式的最小值（或最大值）问题． 例如：． 因为， 所以． 则这个代数式的最小值是2，这时相应的的值是． 【尝试应用】 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：________； （2）借助“配方法”因式分解：； （3）若，求的最小值，并求出此时的值． 25. “彩线轻缠红玉臂，小符斜挂绿云鬟”一年一度的端午节来临前夕，某超市欲购进甲、乙两种粽子进行销售，每个甲种粽子的进价比每个乙种粽子的进价便宜5元，用300元购进甲种粽子的个数与用400元购进乙种粽子的个数相同． （1）求甲、乙两种粽子每个的进价分别为多少元； （2）超市准备购进这两种粽子共250个，其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为20元/个、28元/个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元． ①求与的函数关系式，并求出的取值范围； ②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $