精品解析：山东省烟台市蓬莱区（五四制）2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

2025—2026学年第一学期期中学业水平考试 初三数学试题 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的. 1. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式从左到右变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在，，，，中分式的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 的平均数为m，的平均数为，则的平均数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是大丰区某校七、八两个年级男生参加课外活动人数的扇形统计图．根据统计图，下面对两个年级参加篮球活动的人数判断正确的是 （ ） A. 七年级比八年级多 B. 八年级比七年级多 C. 两个年级一样多 D. 无法确定哪个年级多 6. 在分式中，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在一次中学生田径运动会上，参加跳远的名运动员的成绩如下表所示： 成绩（） 人数 则这些运动员成绩的中位数、众数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 无论、取何值，多项式的值总是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 无法确定 10. 淇淇利用计算机设计了一个循环程序如下，输入一个式子经过运算后会在显示屏上显示结果，并将本次显示结果作为输入的式子再次输入程序中，已知淇淇最初输入，则第1次显示结果为，第2次显示结果为，…，若将第2024次显示结果记为M，2025次显示结果记为N，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 使分式的值为0，这时x=_____． 12. 关于的代数式分解因式得，则的值为______． 13. 已知一组数据的方差计算公式为，则这组数据的中位数是______，标准差是______． 14. 2021年6月17日，中国第7艘载人航天飞船“神舟12号”圆满发射成功，激励更多的年轻人投身航天事业．现有甲、乙两名学员要进行招飞前的考核，按照4：3：2：1的比例确定成绩，甲、乙两人成绩（百分制）如表： 候选人 心理素质 身体素质 科学头脑 应变能力 甲 86 85 88 90 乙 90 82 81 90 选择1名学员，最后应选__________． 15. 若关于的分式方程无解，则的值为__________． 16. 二次三项式在整数范围内可以分解成两个一次因式，则k的值的个数有______个． 三、解答题（本大题共9个题.满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 分解因式： （1） （2） 18. （1）先因式分解，再求值：，其中，． （2）已知，，求的值． 19. 先化简，再求值：，其中x满足． 20. 解分式方程：． 21. 为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加知识竞赛，举行了6次选拔赛，根据两名同学6次选拔赛的成绩，分别绘制了如图所示的统计图． （1）填写下表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲 90 ①_____ 93 乙 ②____ 87.5 ③____ （2）分别求出甲、乙两名同学6次成绩的方差． （3）你认为选择哪名同学参加知识竞赛比较好？请说明理由． 22. 【探究】如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______（用含a，b的等式表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，则的值为______； （2）计算：； 【拓展】计算：． 23. 已知关于的分式方程． （1）若方程的增根为，求的值； （2）若方程有增根，求的值； （3）若方程无解，求的值． 24. 阅读理解“约去”指数：如你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？ （1）仔细观察式子，我们可作如下猜想：______； （2）试证明（1）中猜想的正确性．[供参考：] 25. 某人近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车. 燃油车 油箱容积： 油价：8元 续航里程： 每千米行驶费用：________元 新能源车 电池容量： 电价：1元 续航里程： 每千米行驶费用：________元 （1）根据表格中的数据，燃油车每千米行驶的费用为________，新能源车每千米行驶的费用为________；（用含m的代数式表示） （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，请分别求出这两款车的每千米行驶费用； （3）在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为5000元和7600元，每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低（年费用=年行驶费用+年其他费用） 2025-2026学年度第一学期期中学业水平考试 初三数学试题参考答案及评分建议 一、选择题（每小题3分，满分30分） 6.C 二、填空题（每小题3分，满分18分） 12. 三、解答题（满分72分） 17.（1）解：， ，...1 ；....3 （2）， ， ，.....1 ....3 18.（本题满分8分） （1）解：原式 ；...2 当，时，原式.....4 （2）解： ....2 当，时，原式.....4 25.（本题满分12分） （1）元，元；....2 （2）解：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元， ，....3 解得，....4 经检验，是原分式方程的解，....5 （元），...6 （元），...7 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；...8 （3）解：设每年行驶里程为， 由题意，得：，.....10 解得....11 故当每年行驶里程超过时，买新能源车的年费用更低......12 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期中学业水平考试 初三数学试题 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的. 1. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解．熟练掌握因式分解定义是解题的关键．因式分解是把一个多项式化成几个因式乘积的形式． 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的乘积形式． 【详解】解：A选项：，左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解． B选项：，右边虽提取公因式，但结果仍为多项式（含“”），未完全转化为乘积形式，不符合因式分解． C选项：，等式不成立（展开右边为），错误变形，故排除． D选项：，左边二次三项式转化为完全平方形式，即两个相同整式的乘积，符合因式分解的定义． 故选：D． 2. 下列等式从左到右变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查分式的基本性质，需要根据分式的基本性质对每个选项进行分析判断． 【详解】解：例如，当，，时， ∴以A选项错误． 当时，的分母为，分式无意义，此时变形不成立． 所以B选项错误． 在分母位置， ， ， 分子分母同时除以，分式的值不变，即 ∴C选项正确． 当和异号时，例如，，，，此时 所以D选项错误． 故选：C． 3. 在，，，，中分式的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． 【详解】解：，，分母中含字母，是分式； ，分母中不含字母，不是分式； 故选B． 【点睛】本题主要考查的是分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键． 4. 的平均数为m，的平均数为，则的平均数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平均数的变形计算，掌握以上知识是解答本题的关键. 根据平均数的定义，先分别求出前5个数和后个数的总和，再计算全部个数的平均数， 【详解】解：前5个数的平均数为，总和为；第6到第个数共个数的平均数为，总和为， ∴全部个数的总和为，平均数为：，对应选项D，其他选项中，A和B未考虑数据量的差异，C的分母错误（总数为而非），故排除， 故选：D. 5. 如图，是大丰区某校七、八两个年级男生参加课外活动人数的扇形统计图．根据统计图，下面对两个年级参加篮球活动的人数判断正确的是 （ ） A. 七年级比八年级多 B. 八年级比七年级多 C. 两个年级一样多 D. 无法确定哪个年级多 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形统计图的特点进行判断即可． 【详解】解：由题意可得本题的总量无法确定， 故不能确定哪个年级参加篮球活动的人数多． 故选：D． 【点睛】本题考查了扇形统计图，明确扇形统计图的特点是解本题的关键． 6. 在分式中，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握使分式有意义的条件是解题的关键． 分式的分母不能为零，据此列式求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故的取值范围是． 故选：C． 7. 在一次中学生田径运动会上，参加跳远的名运动员的成绩如下表所示： 成绩（） 人数 则这些运动员成绩的中位数、众数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数的知识，根据中位数，众数概念求解即可，解题的关键是正确理解将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，众数是出现次数最多的数据． 【详解】解：由题意参加跳远的有名运动员， ∴从小到大排列后，中位数是第个数据，为， ∵出现次，次数最多， ∴众数为， 故选：． 8. 小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列出方程即可． 【详解】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为， 根据题意，可得． 故选：A． 9. 无论、取何值，多项式的值总是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用完全平方公式把多项式分组配方变形后，利用非负数的性质判断即可． 【详解】解：∵≥1＞0， ∴多项式的值总是正数． 故选：A． 【点睛】本题考查了利用完全平方公式化简多项式，熟练掌握并灵活运用是解题的关键. 10. 淇淇利用计算机设计了一个循环程序如下，输入一个式子经过运算后会在显示屏上显示结果，并将本次显示结果作为输入的式子再次输入程序中，已知淇淇最初输入，则第1次显示结果为，第2次显示结果为，…，若将第2024次显示结果记为M，2025次显示结果记为N，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了程序流程图、分式的混合运算，能通过计算发现从第1次显示的结果开始按循环是解题的关键．根据题意，依次求出每次显示的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，因为最初输入， 所以第1次显示结果为； 第2次显示结果为； 第3次显示结果为； 第4次显示结果为； ， 由此可见，从第1次显示的结果开始按循环． 又因为，， 所以，， 则． 故选：B． 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 使分式的值为0，这时x=_____． 【答案】1 【解析】 【详解】由题意得＝0， 所以x2-1=0且x+1≠0， 解之得x=1， 故答案为：1． 12. 关于的代数式分解因式得，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】考查知识点多项式乘法、因式分解与整式乘法的互逆性、代数式求值．展开因式，对比系数求参数．关键：准确展开因式并匹配对应项系数．易错点：展开时符号错误；负指数幂运算出错． 先展开得；再与对比，得，；最后计算． 【详解】解： 因为， 所以对应项系数相等：二次项系数：；一次项系数：． 因此． 故答案为：． 13. 已知一组数据的方差计算公式为，则这组数据的中位数是______，标准差是______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】本题考查方差，中位数,标准差．由方差的计算公式得出这组数据为0，2，2，4，据此可得中位数．再求出平均数，求出方差，最后求出标准差即可． 【详解】解：由方差的计算公式知，这组数据为0，2，2，4， 所以中位数为．平均数． ∴， ∴标准差是， 故答案为：2，． 14. 2021年6月17日，中国第7艘载人航天飞船“神舟12号”圆满发射成功，激励更多的年轻人投身航天事业．现有甲、乙两名学员要进行招飞前的考核，按照4：3：2：1的比例确定成绩，甲、乙两人成绩（百分制）如表： 候选人 心理素质 身体素质 科学头脑 应变能力 甲 86 85 88 90 乙 90 82 81 90 选择1名学员，最后应选__________． 【答案】甲 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算公式先求出甲和乙的得分，再进行比较即可得出答案． 【详解】解：甲的成绩是： （分）， 乙的成绩是：（分）， ∵86.5＞85.8， ∴最后应选甲， 故答案为：甲． 【点睛】本题主要考查平均数，解题的关键是熟练掌握算加权平均数的计算公式． 15. 若关于的分式方程无解，则的值为__________． 【答案】或3 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程无解，先根据去分母，去括号，移项，合并同类项，当的系数为0时，方程无解，求出的值；当的系数不等于0时，求出方程的解，最简公分母等于0时方程无解，求出的值即可． 【详解】解： 去分母后，， 整理得，， 当时，方程无解，此时； 当时，，此时； 综上，或； 故答案为：或3． 16. 二次三项式在整数范围内可以分解成两个一次因式，则k的值的个数有______个． 【答案】无数 【解析】 【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握整式和因式分解的关系是解决本题的关键．先设分解的两个因式为（a，b都是整数），根据因式分解与整式的关系得与间关系，判断满足条件的a、b得结论． 【详解】解：在整数范围内可以分解成两个一次因式， 设分解的两个因式为（a，b都是整数）， ， 在整数范围内，满足两个整数的和为的a、b有无数对， 满足条件的k有无数个． 故答案为：无数． 三、解答题（本大题共9个题.满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】考查知识点提公因式法、十字相乘法、平方差公式．先提公因式，再选合适方法分解．关键：（1）提公因式后用十字相乘法；（2）变形统一公因式后用平方差公式．易错点：漏提系数公因式；符号变形错误． （1）：提公因式3，再用十字相乘法分解． （2）：变为，提公因式，再用平方差公式分解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 18. （1）先因式分解，再求值：，其中，． （2）已知，，求的值． 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】考查知识点平方差公式、完全平方公式、提公因式法、代数式求值．先因式分解，再代入已知条件求值．关键：识别公式结构，分解后匹配已知形式．易错点：公式符号错误；漏提公因式． （1）：化为平方差形式，用公式分解为，代入a、b求值． （2）：提公因式，用完全平方公式化为，代入、求值． 【详解】（1）解：原式 ； 当，时， 原式 （2）解： 当，时， 原式 19. 先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再把除法化为乘法，化简得，然后把整理得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 20. 解分式方程：． 【答案】无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先对分母进行因式分解，再按照解分式方程的步骤解答即可求解，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程可变为，， 方程两边同时乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 21. 为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加知识竞赛，举行了6次选拔赛，根据两名同学6次选拔赛的成绩，分别绘制了如图所示的统计图． （1）填写下表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲 90 ①_____ 93 乙 ②____ 87.5 ③____ （2）分别求出甲、乙两名同学6次成绩的方差． （3）你认为选择哪名同学参加知识竞赛比较好？请说明理由． 【答案】（1）①91；②90；③85； （2）甲同学的方差是分；乙同学的方差是分； （3） 解：选择甲同学． 因为两人的平均数相同，说明两人实力相当，但甲的方差小于乙的方差，说明甲同学发挥更稳定，因此甲同学成绩更优秀，可以选择甲同学参加竞赛． 【解析】 【分析】本题考查平均数、中位数、众数、方差，掌握平均数、中位数、众数、方差的计算方法，理解平均数、中位数、众数、方差的意义是正确解答的前提． （1）根据中位数、平均数、众数的定义求解即可； （2）根据方差公式即可得出答案； （3）通过比较甲、乙二人的平均数、方差得出答案． 【小问1详解】 解：①将甲的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为， 因此甲的中位数是91分； ②乙的成绩的平均数为（分）， ③乙的成绩中出现的次数最多，故乙的众数为； 故答案为：91，90；； 【小问2详解】 解：甲同学的方差是： （分）， 乙同学的方差是： （分）． 【小问3详解】 略 22. 【探究】如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______（用含a，b的等式表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，则的值为______； （2）计算：； 【拓展】计算：． 【答案】【探究】；【应用】（1）3；（2）1；【拓展】5050 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，根据平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． 【探究】根据题意，两个图形的面积相等，得到乘法公式； 【应用】（1）根据平方差公式进行计算即可求解．（2）根据平方差公式进行计算即可求解； 【拓展】根据平方差公式进行计算，然后根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：【探究】图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，所以得到乘法公式． 故答案为： 【应用】（1）∵， ∴． ，且， ． 故答案为：3 （2） ． 【拓展】原式 ． 23. 已知关于的分式方程． （1）若方程的增根为，求的值； （2）若方程有增根，求的值； （3）若方程无解，求的值． 【答案】（1）-4；（2）；（3）或． 【解析】 【分析】（1）先去分母，然后根据方程的增根进行求解即可； （2）若原分式方程有增根，则，然后代入求解即可； （3）由（2）及题意可直接进行求解． 【详解】解：（1）去分母得： 整理，得． 若增根为，则．得； （2）若原分式方程有增根，则．所以或． 当时，得． 当时，得． 所以若原分式方程有增根，则． （3）由（2）知，当时，原分式方程有增根，即无解； 当时，方程无解． 综上知，若原分式方程无解，则或． 【点睛】本题主要考查分式方程的增根及无解，熟练掌握分式方程增根及无解的问题是解题的关键． 24. 阅读理解“约去”指数：如你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？ （1）仔细观察式子，我们可作如下猜想：______； （2）试证明（1）中猜想的正确性．[供参考：] 【答案】（1）（或） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了约分，读懂题目信息，理解立方和公式并分解因式是解题的关键． （1）通过观察给定算式的规律猜想一般性公式； （2）再利用立方和公式对分子分母进行因式分解，通过化简证明猜想的正确性． 【小问1详解】 解∶依题意得（或） 故答案为：（或） 【小问2详解】 证明： （或）， ∴（1）中猜想是正确的． 25. 某人近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车. 燃油车 油箱容积： 油价：8元 续航里程： 每千米行驶费用：________元 新能源车 电池容量： 电价：1元 续航里程： 每千米行驶费用：________元 （1）根据表格中的数据，燃油车每千米行驶的费用为________，新能源车每千米行驶的费用为________；（用含m的代数式表示） （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，请分别求出这两款车的每千米行驶费用； （3）在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为5000元和7600元，每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低（年费用=年行驶费用+年其他费用） 【答案】（1）元；元； （2）燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； （3）超过． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． （1）根据表格信息解答即可； （2）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； （3）设每年行驶里程为，列出不等式，然后求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得： 燃油车每千米行驶的费用为元，新能源车每千米行驶的费用为元； 故答案为：元；元； 【小问2详解】 解：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元， ，解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意， （元），（元）， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； 【小问3详解】 解：设每年行驶里程为， 由题意得：，解得， 故当每年行驶里程超过时，买新能源车的年费用更低． 2025-2026学年度第一学期期中学业水平考试 初三数学试题参考答案及评分建议 一、选择题（每小题3分，满分30分） 6.C 二、填空题（每小题3分，满分18分） 12. 三、解答题（满分72分） 17.（1）解：， ，...1 ；....3 （2）， ， ，.....1 ....3 18.（本题满分8分） （1）解：原式 ；...2 当，时，原式.....4 （2）解： ....2 当，时，原式.....4 25.（本题满分12分） （1）元，元；....2 （2）解：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元， ，....3 解得，....4 经检验，是原分式方程的解，....5 （元），...6 （元），...7 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；...8 （3）解：设每年行驶里程为， 由题意，得：，.....10 解得....11 故当每年行驶里程超过时，买新能源车的年费用更低......12 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $