精品解析：山东烟台市福山区 2026-2027学年八年级上学期期中数学试题（五四制）

2026-2027学年度第一学期期中学业水平考试 初三数学试题 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 多项式因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 分式可变形为（ ） A. B. C. D. 5. 若c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，a+b+c＝﹣5，则a+b﹣c的值是（　　） A. 2 B. 5 C. 20 D. 9 6. 如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大2倍 D. 扩大4倍 7. 某车间工人在某一天加工的零件数只有5件，6件，7件，8件四种情况，这天的相关数据如图所示，有一个数据看不到，只知道7是这一天加工零件数的中位数．设加工零件数是7件的工人有x人，则x的最小值是（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 8. 某女子排球队场上队员的身高（单位：）是：172，174，178，180，180，184．现换下身高为和的两名队员，换上身高为和的两名替补队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ） A. 平均数不变，方差变大 B. 平均数不变，方差不变 C. 平均数不变，方差变小 D. 平均数变小，方差变小 9. 运动会上，初二（3）班啦啦队，买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根．乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为x元，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 10. 若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 若分式的值为0，则x的值为______________________； 12. 已知代数式的值为3，则代数式的值为_________． 13. 已知，则________． 14. 若是一个完全平方式，则k等于_______________． 15. 已知一组数据1，3，5，7，9的方差是8，则另一组数据11，13，15，17，19的方差为 ____________． 16. 对于代数式，，定义运算“”：，例如：，若，则______． 三、解答题 17. 因式分解： （1）； （2） （3） （4） 18. 解下列分式方程： （1）； （2）． 19. 按要求完成下列各题： （1）先化简，再求值：，其中实数a能使关于x的二次三项式是完全平方式． （2）先化简，再求值：，其中a是无理数的整数部分． 20. 已知关于的分式方程， （1）若分式方程无解，求的值； （2）若分式方程的解为正数，求的取值范围． 21. 2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功以一箭三星方式将实践三十号、、星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 70 八年级 c （1）上表中，___________，___________； （2）请你求出七年级所抽取学生成绩的下四分位数和上四分位数，并补全箱线图； （3）求八年级所抽取学生的平均成绩和离差平方和． 22. 已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． （1）直接写出的值． （2）在（1）的条件下，当分式的值为正整数时，求整数的值． 23. 我们把多项式及叫作完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能求代数式的最大值，最小值等． 例如：分解因式： ． 例如：求代数式的最小值： ．所以当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）若多项式的最小值为4，求k的值； （3）若实数a，b满足，求多项式的最大值； 24. 阅读材料，回答问题： 材料：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等． 如“”分法： 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： 分解因式：（1）； （2）． 25. 随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进A，B两种型号的清洁机器人，每台A型机比每台B型机平均每小时少清扫3平方米，一台A型机清扫60平方米所用时间是一台B型机清扫33平方米所用时间的2倍． （1）每台A型机和每台B型机平均每小时分别清扫多少平方米？ （2）若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人3000元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，那么该公司如何购买A型和B型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期期中学业水平考试 初三数学试题 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解”分析判断即可． 【详解】解：A.等号右边不是整式的积的形式（含有分式），不符合因式分解的定义，因此该选项不符合题意； B. 等号右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，因此该选项不符合题意； C. 等号右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，因此该选项不符合题意； D.符合因式分解的定义，因此该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 2. 多项式因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据提取公因式和平方差公式进行因式分解即可解答． 【详解】解：； 故选A． 【点睛】本题考查了利用提取公因式和平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解题的关键． 3. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了最简分式的判断，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，通过检查各选项的分子和分母是否有公因式进行判断即可． 【详解】解：A．中，分子和分母有公因式，不是最简分式，故A不符合题意； B．中，分母，与分子有公因式，不是最简分式，故B不符合题意； C．中，分子与分母没有公因式，是最简分式，故C符合题意； D．中，分母，与分子有公因式，不是最简分式，故D不符合题意． 故选：C． 4. 分式可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了判断分式变形是否正确，解题关键是掌握分式变形并能运用求解． 通过提取分母中的负号，将原分式变形为负的分式形式． 【详解】解：∵， ∴原分式可变形为，即选项C， 故选：C． 5. 若c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，a+b+c＝﹣5，则a+b﹣c的值是（　　） A. 2 B. 5 C. 20 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】对式子进行因式分解，求解即可． 【详解】解：， ∵ ∴ 故选A 【点睛】此题考查了公式法进行因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式． 6. 如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大2倍 D. 扩大4倍 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意列出算式，再进行化简即可． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大为原来的2倍， 即==， 即分式的值不变， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的性质和分式的运算，能根据题意列出算式是解此题的关键． 7. 某车间工人在某一天加工的零件数只有5件，6件，7件，8件四种情况，这天的相关数据如图所示，有一个数据看不到，只知道7是这一天加工零件数的中位数．设加工零件数是7件的工人有x人，则x的最小值是（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据中位数确定未知数的值，由题意，可知，将数据从小到大排序后，第29个数为7，当第29个数据为中位数时，x的值最小，进行求解即可． 【详解】解：∵7是这一天加工零件数的中位数， 由题意可知：将数据排序，第个数据为7， ∴当第29个数据为中位数时，x的值最小，此时数据总数为：， ∴x的最小值是：， 故选C． 8. 某女子排球队场上队员的身高（单位：）是：172，174，178，180，180，184．现换下身高为和的两名队员，换上身高为和的两名替补队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ） A. 平均数不变，方差变大 B. 平均数不变，方差不变 C. 平均数不变，方差变小 D. 平均数变小，方差变小 【答案】C 【解析】 【分析】先通过总身高和判断平均数的变化，再根据方差的定义计算判断方差的变化即可． 【详解】解：∵换下队员的身高和为，换上队员的身高和为， ∴总身高和不变，队员人数不变，因此平均数不变． 计算原数据的平均数得， 原数据的方差为： ； 换人后数据为172，176，178，178，180，184，平均数仍为， 方差为： ； ， 综上所述，平均数不变，方差变小． 9. 运动会上，初二（3）班啦啦队，买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根．乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为x元，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若设甲种雪糕的价格为x元，根据等量关系“甲种雪糕比乙种雪糕多20根”可列方程求解． 【详解】解：由题意可知：若设甲种雪糕的价格为x元，乙种雪糕价格是1.5x元，因为甲种雪糕比乙种雪糕多20根， 即甲种雪糕的根数-乙种雪糕的根数=20，甲种雪糕的根数为，乙种雪糕的根数为，所以列式为 故选B． 【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 10. 若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】先求出一元一次不等式组中两个不等式的解集，从而可得，再解分式方程可得且，从而可得且，然后将所有满足条件的整数a的值相加即可得． 【详解】解：解不等式组 解不等式①得： 解不等式②得： ∵不等式组的解集为 ∴ 解得； 分式方程可化为， 两边乘得： 整理得 解得 ∵分式方程的解为正数 ∴且 解得且 综上，且 满足条件的整数为，和为． 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 若分式的值为0，则x的值为______________________； 【答案】-3 【解析】 【详解】=，当x=-3时 原式的值=-3 12. 已知代数式的值为3，则代数式的值为_________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，由题意可得，再将整体代入所求式子，结合完全平方公式计算即可得解． 【详解】解：∵代数式的值为3， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握分式的混合运算原则是解题的关键． 根据已知条件进行通分得到，等式两边同乘即可得到，再将所求表达式化简，最后代入求值即可． 【详解】解：由可得：， 等式两边同乘， 得，即， 即： ， 故答案为：． 14. 若是一个完全平方式，则k等于_______________． 【答案】12或-8 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 解得：或， 故答案为：12或-8． 【点睛】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 15. 已知一组数据1，3，5，7，9的方差是8，则另一组数据11，13，15，17，19的方差为 ____________． 【答案】8 【解析】 【详解】把数据1，3，5，7，9每个数加10得到新数据11，13，15，17，19， 因为一组数据加上同一个常数，方差不变，故方差仍为8． 16. 对于代数式，，定义运算“”：，例如：，若，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的加减混合运算顺序和运算法则．由※、，从而得出，求出，代入可得答案． 【详解】解：※， ， 由题意，得：， 解得：， ∴． 故答案为：5． 三、解答题 17. 因式分解： （1）； （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式x，再用平方差公式分解即可； （2）先用平方差公式分解，再对分解后的因式用完全平方公式分解即可； （3）设，则，然后展开后运用因式分解法分解，然后将代入再运用因式分解法分解； （4）先统一公因式的形式，再提取公因式，然后用平方差公式分解即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：设， 则原式 ． 【小问4详解】 解： ． 18. 解下列分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原分式方程无解 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解：可化为， 方程两边都乘，得， 去括号移项得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为． 【小问2详解】 解：可化为， 去分母，得， 去括号得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 19. 按要求完成下列各题： （1）先化简，再求值：，其中实数a能使关于x的二次三项式是完全平方式． （2）先化简，再求值：，其中a是无理数的整数部分． 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）先化简分式，再根据完全平方式的结构特征求a的可能值，结合分式有意义的条件筛选a的取值，代入计算； （2）先化简分式，再估算的大小得到其整数部分即a的值，代入计算． 【小问1详解】 解： ， ， 二次三项式是完全平方式， ∴ ， ， 分式有意义 ， 且， ， 将代入，得； 【小问2详解】 解： ， ， ， 的整数部分为3，即， 将代入，得． 20. 已知关于的分式方程， （1）若分式方程无解，求的值； （2）若分式方程的解为正数，求的取值范围． 【答案】（1）的值为或 （2）且 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，（1）分式方程无解分两种情况：①方程有增根；②原分式方程化简后的整式方程无解，（2）先表示出分式方程的解，由分式方程的解为正数，求出m的取值范围即可． 【小问1详解】 解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， 分式方程无解， ①当方程有增根时，原方程无解，即， ，解得； ②当时，原方程无解，即， 综合①②，若分式方程无解，的值为或． 【小问2详解】 ）由（1）可得， 原分式方程的解为正数， ，， ，且， 且． 21. 2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功以一箭三星方式将实践三十号、、星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 70 八年级 c （1）上表中，___________，___________； （2）请你求出七年级所抽取学生成绩的下四分位数和上四分位数，并补全箱线图； （3）求八年级所抽取学生的平均成绩和离差平方和． 【答案】（1）；； （2）；； 作图如下： （3）；离差平方和为 【解析】 【分析】（1）将八年级成绩排序，进而根据中位数和众数的定义作答即可； （2）将七年级成绩排序，求出下四分位数、上四分位数，求出中位数，进而作图即可； （3）先求出平均数，再计算离差平方和即可． 【小问1详解】 解：八年级成绩排序：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 中位数，众数． 故答案为：；； 【小问2详解】 解：七年级成绩排序：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100． 下四分位数为，上四分位数为； 中位数． 【小问3详解】 解：八年级平均数：， 离差平方和： ． 22. 已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． （1）直接写出的值． （2）在（1）的条件下，当分式的值为正整数时，求整数的值． 【答案】（1）， （2），， 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件以及分式的值，熟练掌握知识点是解题关键； （1）根据分式有意义的条件“分母不为0”列出方程解方程即可得到d的值，再通过分式的值为0时，分子为0，列出方程即可得到c的值； （2）把的值代入分式，然后利用分式的值为正整数进行分情况讨论即可． 【小问1详解】 解：当时，分式无意义， ， 解得， 当时，此分式的值为0， ， 解得， 【小问2详解】 把，代入得 因为分式的值为正整数，所以是的正因数，的正因数有、、．当时，；当时，；当时，． 整数的值可能为，，． 23. 我们把多项式及叫作完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能求代数式的最大值，最小值等． 例如：分解因式： ． 例如：求代数式的最小值： ．所以当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）若多项式的最小值为4，求k的值； （3）若实数a，b满足，求多项式的最大值； 【答案】（1） （2） （3）的最大值为 【解析】 【分析】（1）对二次三项式配方凑出完全平方式，再利用平方差公式分解即可； （2）将多项式配方为含完全平方式的形式，根据完全平方式的非负性得到最小值表达式，再列方程求k即可； （3）将已知等式变形为用含a的式子表示，代入所求多项式后配方，最后根据完全平方式的非负性求最大值． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ， ∵ ， ∴当时，多项式取得最小值， ∵多项式的最小值为4， ∴， 解得． 【小问3详解】 解：∵， ∴， 将代入得：   ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 24. 阅读材料，回答问题： 材料：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等． 如“”分法： 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： 分解因式：（1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）首先利用平方差公式因式分解因式，进而提取公因式得出即可； （2）将后三项运用完全平方公式分解因式进而利用平方差公式分解因式即可. 【详解】解：（1） ． （2） ． 【点睛】本题考查的是分组分解法因式分解，掌握分组分解法、公式法的一般步骤是解题的关键． 25. 随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进A，B两种型号的清洁机器人，每台A型机比每台B型机平均每小时少清扫3平方米，一台A型机清扫60平方米所用时间是一台B型机清扫33平方米所用时间的2倍． （1）每台A型机和每台B型机平均每小时分别清扫多少平方米？ （2）若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人3000元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，那么该公司如何购买A型和B型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本． 【答案】（1）每台A型机平均每小时清扫30平方米，每台B型机平均每小时清扫33平方米 （2）购买10台A型机，10台B型机，能使总成本最低，总成本最低为50000元 【解析】 【分析】（1）设每台A型机平均每小时清扫x平方米，则每台B型机平均每小时清扫平方米，根据题意列出，即可得到答案； （2）设购进n台A型机，则购进台B型机．由题意，得，解得，设总成本为w元，则，当时，总成本w最低，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每台A型机平均每小时清扫x平方米，则每台B型机平均每小时清扫平方米．由题意，得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 答：每台A型机平均每小时清扫30平方米，每台B型机平均每小时清扫33平方米． 【小问2详解】 解：设购进n台A型机，则购进台B型机．由题意，得， 解得， 设总成本为w元，则， ，， 当时，总成本w最低， 最低成本为:，此时， 答：购买10台A型机，10台B型机，能使总成本最低，总成本最低为50000元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $