精品解析：黑龙江哈尔滨市第一一六中学校2026-2027学年八年级上学期11月期中数学试题

哈116中学校2026—2027年度上学期期中学情测试 八年级数学试卷 一、选择题：（每题3分共30分） 1. 如图，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，即可解答． 【详解】A、不是轴对称图形； B、是轴对称图形； C、不是轴对称图形； D、不是轴对称图形． 故选B． 【点睛】此题考查轴对称图形的识别，解题关键在于识别图形. 2. 等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分的角是顶角或底角两种情况分别求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①若的角是顶角，则顶角为； ②若的角是底角，则顶角为； 综上所述，它的顶角的度数为或． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项：与不是同类项，不能合并，错误． B选项：，正确． C选项：，错误． D选项：，错误． 4. 点P在第三象限内，P到x轴的距离是2，到y轴的距离是6，那么点P关于y轴对称点的坐标是（　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查点到坐标轴的距离、坐标与图形变换-轴对称，熟知点关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键． 由已知可确定P的坐标为，再由点P关于y轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得对称点的坐标为． 【详解】解：∵P到x轴的距离是2，到y轴的距离是6， ∴，， ∵点P在第三象限内， ∴，， ∴P的坐标为， ∴点P关于y轴对称点的坐标是． 故选：C． 5. 如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝8m，∠A＝30°，则DE等于（　　） A. 1m B. 2m C. 3m D. 4m 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位线定理以及含30度角的直角三角形的性质即可求得． 【详解】解：∵点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC， ∴点E是AC的中点， ∴DE是直角三角形ABC的中位线， 根据三角形的中位线定理得：DE＝BC， 又∵在Rt△ABC中，∠A＝30°， ∴BC＝AB＝×8＝4． 故DE＝BC＝×4＝2m， 故选：B． 【点睛】本题考查了中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 6. 如图， 已知，，则图中全等三角形共有（ ） 对． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，证明得出，，进而证明，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， 在中， ∴ 在中， ∴ 综上所述，图中全等三角形共有对 故选：C． 7. 如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接，以点为圆心，的长为半径画弧，交延长线于点，连接，若，则的周长为（ ） A. 8 B. 12 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确得出是解题关键，直接利用基本作图方法得出垂直平分，再利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：由基本作图方法得出：垂直平分，则， ， ， ， 的周长为：， 故选：． 8. 如图，平分，是上一点，于点，是射线上的一个动点，若，则长的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线的性质：角平分线上的点，到角两边的距离相等，可得点到和的距离相等，根据连接直线外一点与直线上各点的线段中垂线段最短，可得长的最小值是． 【详解】解：∵平分， ∴点到和的距离相等， ∵，，是射线上的一个动点， ∴长的最小值是． 9. 如图，在中，，点D、E分别在上，连接，，，则是（ ）度． A. B. 20 C. 25 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用三角形外角性质表示出和，结合等腰三角形性质建立方程求解． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 10. 下列命题： ①对顶角相等； ②内错角相等，两直线平行； ③线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； ④全等三角形的面积相等． 其中逆命题成立的命题序号是（ ） A. ①② B. ①④ C. ③④ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【详解】①的逆命题为相等的角是对顶角． ∵相等的角不一定是对顶角， ∴逆命题不成立． ②的逆命题为两直线平行，内错角相等． 逆命题成立． ③的逆命题为到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 逆命题成立． ④的逆命题为面积相等的三角形是全等三角形． ∵面积相等的三角形不一定全等， ∴逆命题不成立． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 在平面直角坐标系内，点和关于______轴对称．（填x或y） 【答案】y 【解析】 【分析】对比两点的横、纵坐标数值特征，结合平面直角坐标系内点的轴对称坐标规律，确定对应的对称轴． 【详解】解：∵ 点和点的纵坐标相等，均为，横坐标与互为相反数， ∴ 两点符合关于轴对称的坐标规律， ∴ 两点关于轴对称． 12. 若一个三角形的三边长均为整数，其中的两边长分别为1，5，则第三边的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，解一元一次不等式组，根据三角形三边关系，第三边应大于两边之差且小于两边之和，列一元一次不等式组，再结合整数条件求解． 【详解】解：设第三边长为x，则根据三角形三边关系， 则 解得：， ∵x为整数， ∴． 故答案为：5． 13. 已知：，，则______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键．同底数幂相乘，底数不变指数相加，即． 逆用同底数幂的乘法法则，将 转化为 ，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为18． 14. 把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案中有1个黑色三角形，第2个图案中有3个黑色三角形，第3个图案中有6个黑色三角形，按此规律排列下去，则第6个图案中黑色三角形的个数是________． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查图形类规律，正确发现规律是解题的关键． 根据题意发现规律，第个图案中黑色三角形的个数是，据此解答即可． 【详解】解：根据题意可知， 第1个图案中有1个黑色三角形， 第2个图案中有个黑色三角形， 第3个图案中有个黑色三角形， 依此类推， 第6个图案中黑色三角形的个数是个， 故答案为：21． 15. 如图，已知，平分，若，则的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了两直线平行内错角相等，三角形角平分线的定义，根据等角对等边证明边相等等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先利用平行线的性质证明，再根据角平分线的意义得出，从而可得，再根据等角对等边得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 16. 如图，的三条中线，，交于点．若的面积是18，则阴影部分的面积是________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查三角形中线性质，根据三角形的中线将三角形的面积平分求解即可． 【详解】解：∵的三条中线，，交于点， ∴，，， ∴，，， ∵的面积是18， ∴， 故答案为：9． 17. 如图，平分，延长到E，使得，连接，如果，，，则______． 【答案】 27 【解析】 【分析】先求出，再求出，再根据角平分线的性质求出，求出，即可得答案． 【详解】解：如下图，过点D作于点M，于点N， ， ， ，即， 解得， 平分，，， ， ， ． 18. 如图，是中的平分线，是的外角的平分线，、交于点，如果，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的定义求出，，根据三角形的外角的性质求出的度数，再利用三角形外角的性质求出的度数． 【详解】解：是的平分线， ， , 是的平分线， ， ， 是的外角， ， 是的外角， ． 19. 在中，，，以为边作等边，连接，则的度数为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及三角形内角和定理等知识点，解题的关键是分情况讨论点与线段的位置关系。 因为以为边作等边，所以需要分两种情况讨论点的位置，分别计算的度数。 【详解】解：当点与点在同侧时， 在中，， 。 又是等边三角形， ，。 ； 当点与点在两侧时： 在中，， ． 又是等边三角形， ， ， ， ， ； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 20. 如图，在中，，，平分，且于点E，与相交于点F，D是边的中点，连接交于点G，则①；②；③是等腰三角形；④若点P是线段上的一动点，点Q是射线上的一动点，当时，的最小值是6，其中结论正确的是______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】求出，由角平分线的定义得到，据此可判定①；延长交的延长线于点H，证明，得到；证明，得到，，据此可判断②；由三线合一定理得到，则可证明，据此可判断③；连接，证明，则当P、Q、H三点共线，且时，有最小值，最小值为的长，此时是等腰直角三角形，则，据此可判断④． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，即， ∴，故①正确； 如图所示，延长交的延长线于点H， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，故②正确； ∵，D是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故③正确； 如图所示，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当P、Q、H三点共线，且时，有最小值，最小值为的长， 此时在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为6，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④． 三、解答题：（21题每小题3分共12分，22、23、24题每小题6分，共18分，25题，26题，27题每题10分） 21. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：； 【小问4详解】 解： ． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在图（1）中画出的中线； （2）在图（2）中画出的角平分线． 【答案】（1）如图为的中线： （2）如图为的角平分线： 【解析】 【分析】（1）在网格图中取格点、，连接交于点，连接，通过证明可知为的中线； （2）在网格图中取格点、、，连接并延长交于点，证明可得，再根据可得，可知为的角平分线． 【小问1详解】 解：如图，取格点、，连接交于点，连接， 则，， 可得，， 在和中， ， ， ， 为的中线． 【小问2详解】 解：如图，取格点、、，连接并延长交于点， 据图可知，，，，， 在和中， ， 则， 可得， 可得， 即， 故为的角平分线． 23. 如图所示，在中，，，是的角平分线，点E在上，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用三角形内角和定理得出的度数，再利用平行线的性质以及角平分线的定义分析得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理以及平行线的性质以及角平分线的定义，正确掌握相关性质是解题关键． 24. 如图，、都是等边三角形，分别与、相交于点M、N． （1）证明：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：∵、都是等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得，，从而得到，可证得，即可求证； （2）根据等边三角形的性质可得，再由，可得，从而得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，证得是解题的关键． 25. 解决下列问题： （1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是________，另外他还得到了和的位置关系是________；若，，他还求出了的取值范围为________； （2）问题解决：如图，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）问题拓展：如图，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，请直接写出和的数量关系． 【答案】（1）；；； （2）证明：如图所示，延长至点，使， 同（1）可得 ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件证明，得出，则，由得到，，然后利用三角形三边关系求解； （2）延长至点，使，同（1）可得，，证明，进而证明，即可得证； （3）延长至点，使，由（1）可得，，证明，进而证明，即可得证． 【小问1详解】 解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图所示，延长至点，使， 由（1）可得， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 26. 在中，，点为上一点，， （1）如图1，求的度数； （2）如图2，点分别为上一点，，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，，，求线段的长． 【答案】（1） （2） 证明：，， ， 是的一个外角， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据，设，则，由于在中，，从而得到，再根据三角形内角和定理，即可求解； （2）由已知得到，根据三角形的外角的性质可得，即可得出，根据等角对等边，即可得证； （3）在（2）的条件下，过点分别作的垂线，垂足分别为，根据两个三角形全等的判定定理得到、，设，根据全等三角形的性质可得，，进而根据三角形的面积公式，得出，即可求解． 【小问1详解】 解：，设，则， ∵， ， ， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴，则 在中， ∴ ∴， 又∵,， ∴ 在中， ∴ ∴ ∵， 设 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， 解得：（负值舍去） ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判断与性质、等腰三角形的判断与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及外角的性质、平行线的判定与性质，熟练掌握相关判定与性质，根据题意作出辅助线是解决问题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，点为第一象限内一点，点为轴正半轴上一点，分别连接，为等边三角形，点的横坐标为． （1）如图，求线段的长． （2）如图，点在线段上（点不与点、点重合），点在线段的延长线上，连接，，设的长为，的长为，用含的代数式表示（不要求写出的取值范围）． （3）在（2）的条件下，点为第四象限内一点，分别连接，为等边三角形，求的度数．若线段的垂直平分线交的延长线于点，交于点，连接，交于点，连接，，求点的横坐标． 【答案】（1） （2） （3）的度数为；点的横坐标为 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据等边三角形的性质即可得到答案； （2）过点作于点，根据等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质得到，继而根据等腰三角形的性质即可得到答案； （3）过点作，交轴于点，过点作轴于点，根据等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质得到，，，，，通过证明，可得关于的方程，求出的值，代入即可得到点的横坐标． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 为等边三角形， ， ， ， 点横坐标为， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，过点作，交轴于点，过点作轴于点， 为等边三角形， ， ， ，且， ， 是等边三角形， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的横坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈116中学校2026—2027年度上学期期中学情测试 八年级数学试卷 一、选择题：（每题3分共30分） 1. 如图，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 点P在第三象限内，P到x轴的距离是2，到y轴的距离是6，那么点P关于y轴对称点的坐标是（　） A. B. C. D. 5. 如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝8m，∠A＝30°，则DE等于（　　） A. 1m B. 2m C. 3m D. 4m 6. 如图， 已知，，则图中全等三角形共有（ ） 对． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接，以点为圆心，的长为半径画弧，交延长线于点，连接，若，则的周长为（ ） A. 8 B. 12 C. 15 D. 16 8. 如图，平分，是上一点，于点，是射线上的一个动点，若，则长的最小值为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，在中，，点D、E分别在上，连接，，，则是（ ）度． A. B. 20 C. 25 D. 15 10. 下列命题： ①对顶角相等； ②内错角相等，两直线平行； ③线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； ④全等三角形的面积相等． 其中逆命题成立的命题序号是（ ） A. ①② B. ①④ C. ③④ D. ②③ 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 在平面直角坐标系内，点和关于______轴对称．（填x或y） 12. 若一个三角形的三边长均为整数，其中的两边长分别为1，5，则第三边的长为________． 13. 已知：，，则______． 14. 把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案中有1个黑色三角形，第2个图案中有3个黑色三角形，第3个图案中有6个黑色三角形，按此规律排列下去，则第6个图案中黑色三角形的个数是________． 15. 如图，已知，平分，若，则的长为________． 16. 如图，的三条中线，，交于点．若的面积是18，则阴影部分的面积是________． 17. 如图，平分，延长到E，使得，连接，如果，，，则______． 18. 如图，是中的平分线，是的外角的平分线，、交于点，如果，，则______． 19. 在中，，，以为边作等边，连接，则的度数为_________． 20. 如图，在中，，，平分，且于点E，与相交于点F，D是边的中点，连接交于点G，则①；②；③是等腰三角形；④若点P是线段上的一动点，点Q是射线上的一动点，当时，的最小值是6，其中结论正确的是______． 三、解答题：（21题每小题3分共12分，22、23、24题每小题6分，共18分，25题，26题，27题每题10分） 21. 计算： （1） （2） （3） （4） 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在图（1）中画出的中线； （2）在图（2）中画出的角平分线． 23. 如图所示，在中，，，是的角平分线，点E在上，，求的度数． 24. 如图，、都是等边三角形，分别与、相交于点M、N． （1）证明：； （2）求的度数． 25. 解决下列问题： （1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是________，另外他还得到了和的位置关系是________；若，，他还求出了的取值范围为________； （2）问题解决：如图，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）问题拓展：如图，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，请直接写出和的数量关系． 26. 在中，，点为上一点，， （1）如图1，求的度数； （2）如图2，点分别为上一点，，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，，，求线段的长． 27. 在平面直角坐标系中，点为第一象限内一点，点为轴正半轴上一点，分别连接，为等边三角形，点的横坐标为． （1）如图，求线段的长． （2）如图，点在线段上（点不与点、点重合），点在线段的延长线上，连接，，设的长为，的长为，用含的代数式表示（不要求写出的取值范围）． （3）在（2）的条件下，点为第四象限内一点，分别连接，为等边三角形，求的度数．若线段的垂直平分线交的延长线于点，交于点，连接，交于点，连接，，求点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $