精品解析：西藏林芝市察隅县中学2026-2027学年九年级上学期期中数学试卷

察隅县中学2026－2027年秋季学期九年级数学期中测试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是(　 ) A. B. =1 C. D. 2. 二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的二次项系数和常数项分别是（ ） A. 2，1 B. 2，0 C. 2，－1 D. －3，－1 4. 若是一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 15 5. 下列各数中，是一元二次方程的解的是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 对于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 其最小值为2 B. 其图象与y轴没有公共点 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 其图象的对称轴是y轴 8. 二次函数的图象与坐标轴交点的情况是（ ） A. 没有交点 B. 有一个交点 C. 有两个交点 D. 有三个交点 9. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：；；；；的解为，．其中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，P(m，m)是反比例函数y＝在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为( ) A. B. 3 C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 一元二次方程化为一般形式后，常数项是______． 12. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是_______． 13. 关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为_________． 14. 关于x的一元二次方程的解是_______． 15. 反比例函数（k不等于0）的图象的一个分支如图所示，则另一个分支在第____象限． 16. 观察下列各式及其展开式： …… 请你猜想的展开式中含项的系数是______． 三、计算题：本大题共9小题，共72分． 17. 解方程：； 18. 解方程：． 19. 解方程：． 20. 已知抛物线过点C（5，4）． （1）求的值； （2）求该抛物线顶点的坐标． 21. 已知关于的一元二次方程，若方程有两个相等的实数根，求的值． 22. 2020年突如其来的新型冠状病毒疫情，给生鲜电商带来了意想不到的流量和机遇，据统计某生鲜电商平台月份的销售额是万元，月份的销售额是万元．若该平台从月份到月份每月的平均增长率相同，求月平均增长率是多少？ 23. 已知关于的一元二次方程．求证：无论取何实数，方程总有两个实数根． 24. 如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数的图象分别交于点C、D，点C坐标为，A是线段的中点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）直接写出当时，自变量x的取值范围． 25. 某水果超市销售一种水果，每千克进价8元，售价每千克13元，每天可以卖出40千克．市场调查：如果每千克售价每降低1元，日销售量增加20千克．超市想要每天获利240元，为尽可能让利顾客，每千克水果应降价多少元? 26. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若已知B点的坐标为B（6，0）． （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）M为线段BC上方抛物线上一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 察隅县中学2026－2027年秋季学期九年级数学期中测试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是(　 ) A. B. =1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义一一判定即可． 【详解】解：A、，是一元二次方程，故正确； B、=1，是分式方程，故不正确； C、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故不正确； D、，加上才是一元二次方程，故不正确． 故选：A 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念：含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，掌握一元二次方程概念是解题的关键． 2. 二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数解析式得出抛物线开口向下，对称轴为直线，结合图象判断即可得解． 【详解】解：对于二次函数， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， 故D符合题意． 3. 一元二次方程的二次项系数和常数项分别是（ ） A. 2，1 B. 2，0 C. 2，－1 D. －3，－1 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式：（是常数且）中，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行求解即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数为，常数项为． 故选：C 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号． 4. 若是一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入原方程，即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得：， 故选：A ． 5. 下列各数中，是一元二次方程的解的是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用直接开平方法求出一元二次方程的解，观察各选项即可得出答案． 【详解】解：， 移项得， 开平方得，选项中只有2是该方程的解． 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式解题即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式． 7. 对于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 其最小值为2 B. 其图象与y轴没有公共点 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 其图象的对称轴是y轴 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图像与性质即可判断． 【详解】A选项，已知二次函数的图象开口向上，故二次函数有最小值为2，正确； B选项，其图象与y轴交于点，错误； C、D选项，其图象的对称轴为y轴，开口方向向上，所以当时，y随x的增大而减小，C、D选项正确． 故选B． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知的图像与性质． 8. 二次函数的图象与坐标轴交点的情况是（ ） A. 没有交点 B. 有一个交点 C. 有两个交点 D. 有三个交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点，分别求出抛物线与坐标轴的交点坐标即可得出结论． 【详解】解：当时，， 解得， 故图象与轴的交点为； 当时，， 故图象与轴的交点为， ∴图象与坐标轴的交点为和，共两个交点， 故选：C． 9. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：；；；；的解为，．其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线与轴的交点情况可判断①；由抛物线的对称轴可判断③；由抛物线的开口方向，与轴交于正半轴，结合对称轴可判断②；根据抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点为，推出时，， 即可判断④；由抛物线与轴的交点坐标可判断⑤． 【详解】解：由图象可知，抛物线与轴有两个交点， ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线的对称轴是直线， 抛物线与轴的一个交点为， ∴ 抛物线与轴的另一个交点为， ∴时，， ∴，故④错误； ∵抛物线与轴的两个交点为，， ∴的解为，，故⑤正确； 综上，正确的有①②③⑤． 10. 如图，P(m，m)是反比例函数y＝在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为( ) A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：作PD⊥OB，∵P（m，m）是反比例函数在第一象限内的图象上一点，∴，解得：m=3，∴PD=3，∵△ABP是等边三角形，∴BD=PD=，∴S△POB=OB•PD=（OD+BD）•PD=，故选D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 一元二次方程化为一般形式后，常数项是______． 【答案】1 【解析】 【详解】解：化为一般形式为，常数项为1 12. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质以及图象法解一元二次方程．利用抛物线的对称性确定抛物线与轴的另一个交点坐标为，然后结合二次函数图象，写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴是直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 抛物线开口向下， 当时，． 故答案为：． 13. 关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解即可． 【详解】解：把 代入，得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 14. 关于x的一元二次方程的解是_______． 【答案】 ， 【解析】 【分析】方程移项后直接开平方，转化为一元一次方程即可求解. 【详解】解： 或 解得，. 15. 反比例函数（k不等于0）的图象的一个分支如图所示，则另一个分支在第____象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象． 根据反比例函数的图象特点作答即可． 【详解】解：∵反比例函数（k不等于0）的图象的一个分支在第二象限， ∴反比例函数（k不等于0）的图象的另一个分支在第四象限． 故选：四． 16. 观察下列各式及其展开式： …… 请你猜想的展开式中含项的系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘法的展开式中系数的规律问题，理解题目中各项的次数，系数之间的关系是解题的关键．观察数字规律，发现各组数据的首尾均为1，中间数字分别为上一组数据相邻两个数字之和，分别写出左边式子的指数分别为6，7，8，9，10，11的等式右边各项的系数，可推出的展开式含项的系数． 【详解】解：由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为6，7，8，9，10，11的等式， 右边各项的系数分别为： 1，6，15，20，15，6，1； 1，7，21，35，35，21，7，1； 1，8，28，56，70，56，28，8，1； 1，9，36，84，126，126，84，36，9，1； 1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1； 1，11，55，165，330，462，330，165，55，11，1； ∴的展开式中含项的系数是， 故答案为：． 三、计算题：本大题共9小题，共72分． 17. 解方程：； 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， 解得． 18. 解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据公式法解一元二次方程的步骤，逐步计算即可． 【详解】解： ， ， 原方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得 ，． 19. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， ， ， ∴或， ∴，． 20. 已知抛物线过点C（5，4）． （1）求的值； （2）求该抛物线顶点的坐标． 【答案】（1）1；（2）（，）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据二次函数图象上点的坐标特征，把C点坐标代入中得到关于a的方程，然后解此方程即可； （2）利用配方法把抛物线解析式配成顶点式即可得到顶点坐标． 试题解析：（1）把C（5，4）代入得，解得； （2）∵，∴抛物线解析式为，所以抛物线的顶点坐标为（，）． 考点：1．二次函数图象上点的坐标特征；2．二次函数的性质． 21. 已知关于的一元二次方程，若方程有两个相等的实数根，求的值． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 22. 2020年突如其来的新型冠状病毒疫情，给生鲜电商带来了意想不到的流量和机遇，据统计某生鲜电商平台月份的销售额是万元，月份的销售额是万元．若该平台从月份到月份每月的平均增长率相同，求月平均增长率是多少？ 【答案】 【解析】 【详解】解：设月平均增长率为． 由题意得， ∴， ∴， ∴，（不合题意，故舍去）． 答：月平均增长率为． 23. 已知关于的一元二次方程．求证：无论取何实数，方程总有两个实数根． 【答案】证明：∵，，， ∴． ∵恒成立，即恒成立， ∴无论取何实数，方程总有两个实数根． 【解析】 【详解】略 24. 如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数的图象分别交于点C、D，点C坐标为，A是线段的中点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）直接写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】（1）； （2）3 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，利用函数图象解不等式．熟练掌握待定系数法是关键． （1）将点坐标代入，即可求出反比例函数解析式；根据点A是线段的中点，点B横坐标为0，点A纵坐标为0，求出点B坐标为，点A坐标为，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）解方程组，求出点D的坐标． 再利用即可求解； （3）时，自变量的取值范围即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，根据图象即可解答． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， 即反比例函数解析式为：； ∵点A是线段的中点，点B横坐标为0，点A纵坐标为0，点的坐标， ∴点B坐标为，点A坐标为， ∵一次函数的图象过点，， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解方程组得，， 即D的坐标． 又∵， 则的面积， 【小问3详解】 解：根据图象可得，当时，自变量的取值范围为或． 25. 某水果超市销售一种水果，每千克进价8元，售价每千克13元，每天可以卖出40千克．市场调查：如果每千克售价每降低1元，日销售量增加20千克．超市想要每天获利240元，为尽可能让利顾客，每千克水果应降价多少元? 【答案】2元 【解析】 【分析】设每千克水果应降价元，根据利润每千克的利润销售量建立方程，解方程，并结合尽可能让利顾客解答即可． 【详解】解：设每千克水果应降价元， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵超市想要尽可能让利顾客， ∴， 答：每千克水果应降价2元． 26. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若已知B点的坐标为B（6，0）． （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）M为线段BC上方抛物线上一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值； 【答案】（1）抛物线解析式为，抛物线对称轴为直线；（2）当P点坐标为（2，2）时，使得△PAC的周长最小；（3） 【解析】 【分析】（1）把B（6，0）代入抛物线中求出抛物线解析式，即可求出抛物线对称轴； （2）连接PC，PA，PB，先求出点C的坐标为（0，3），由A、B关于直线对称，得到PA=PB，则△PAC的周长=PC+AC+PA=PC+PA+PB，故要使△PAC周长最小，即要使PC+PB最小，则当P、C、B三点共线时，PC+PB最小，此时P在位置，，求出直线BC的解析式为，令x=2，则，即可得到的坐标为（2，2），则当P点坐标为（2，2）时，使得△PAC的周长最小； （3）设M点坐标为（m，），由MN∥y轴，且N在直线BC上，得到N点坐标为（m，），则，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线经过B（6，0）， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线； （2）如图所示，连接PC，PA，PB， ∵点C是抛物线与y轴的交点， ∴点C的坐标为（0，3）， ∵A、B是抛物线与x轴的交点， ∴A、B关于直线对称， ∴PA=PB， ∴△PAC的周长=PC+AC+PA=PC+PA+PB， ∴要使△PAC周长最小，即要使PC+PB最小， ∴当P、C、B三点共线时，PC+PB最小，此时P在位置， 设直线BC解析式为， ∴， ∴， ∴直线BC的解析式为， 令x=2，则， ∴的坐标为（2，2）， ∴当P点坐标为（2，2）时，使得△PAC的周长最小； （3）如图所示，设M点坐标为（m，）， ∵MN∥y轴，且N在直线BC上， ∴N点坐标为（m，）， ∴ ， ∵， ∴当时，MN有最大值． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数对称性—最短路径问题，解题的关键在于能够利用数形结合的思想进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $