精品解析：陕西榆林市横山中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试题

横山中学2026~2027学年度第一学期期中考试 高一数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．在儿童从学校放学回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是（　　） A. B. C. D. 5. 已知函数，若，则的值是（ ） A. 3或 B. 或5 C. D. 3或或5 6. 已知函数，则函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 7. 若集合恰有3个真子集，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，则下列情况不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知幂函数的图象过点，则下列说法正确的是（ ） A. 在上的值域为 B. 在定义域上是减函数 C. 函数图象的对称中心为 D. 在上的最大值是-2 11. 对任意两个实数a，b，定义函数，，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. B. 方程有两个根 C. 有最小值，无最大值 D. 当时，有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知实数满足，，则的取值范围为______． 13. 已知的定义域为，则的定义域为______． 14. 已知不等式的解集为或，则不等式的解集为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合，，其中. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知正实数a，b满足． （1）求ab的最大值； （2）求的最小值． 17. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； （2）当时，解关于的不等式. 18. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，有. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 19. 已知函数，且是奇函数. （1）求的值； （2）记函数，若在区间的最小值为，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 横山中学2026~2027学年度第一学期期中考试 高一数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由得. 又，，故. 因此. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得. 【详解】全称量词命题的否定规则为：①将全称量词（任意）改写为存在量词（存在）；② 否定原命题的结论，同时保留原命题中变量的限定条件不变. 因此命题“，”的否定为“，”. 3. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】利用同一函数的定义逐一判断各个选项即可. 【详解】因为与的对应关系不同，所以不是同一函数，故A错误； 因为的定义域为，而定义域为，定义域不同，所以不是同一函数，故B错误； 因为与的定义域相同均为，值域相同均为，对应关系也相同，所以是同一函数，故C正确； 因为与对应关系不同，所以不是同一函数，故D错误. 4. 清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．在儿童从学校放学回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件描述得离家距离是先减少后增加，则得到答案. 【详解】因为横坐标为时间，纵坐标为离家距离， 条件描述为儿童从学校放学回到家，再到田野这段时间内， 则离家距离是先减少后增加，故C正确. 故选：C. 5. 已知函数，若，则的值是（ ） A. 3或 B. 或5 C. D. 3或或5 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，分类讨论的范围，得到方程，解出即可. 【详解】若，则方程可化为， ∴或（舍去）； 若，则方程可化为 ∴， 综上可得，或， 故选：B. 6. 已知函数，则函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】令，则，且可取任意实数，由题意得， 化简得，所以． 7. 若集合恰有3个真子集，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据集合真子集个数公式确定集合的元素总数，再枚举为自然数时的最小取值，进而确定参数的取值范围. 【详解】∵ 集合恰有3个真子集，设中元素个数为， ∴ ，解得，即中共有2个元素. ∵ ，从小到大计算的取值： 当时，； 当时，； 当时，. 要使仅包含2个元素，即仅和满足， ∴ ，即的取值范围为. 8. 已知，且，则下列情况不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，可得函数的两个零点分别为，对称轴为，由题意可得，结合二次函数的图象、单调性逐一判断即可. 【详解】设， 则函数的开口向上，两个零点分别为，对称轴为， 由二次函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为， 即， 对于A，当时，如图所示： 是可以满足，故A正确； 对于B，当时，不能满足，只能是，故B错误； 对于C，当时，如图所示： ， 能满足，故C正确； 对于D，当时，由C选项中的图象可知能满足，故D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【详解】选项A，当时，，不满足，故A错误; 选项B，由不等式同向可加性，与相加得，故B正确; 选项C，取，，，，则，，此时，故C错误; 选项D，，由，得，，故差式大于零，即，故D正确. 10. 已知幂函数的图象过点，则下列说法正确的是（ ） A. 在上的值域为 B. 在定义域上是减函数 C. 函数图象的对称中心为 D. 在上的最大值是-2 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.先设幂函数，代入已知点坐标求解指数，确定函数解析式，当，；B.举反例，，，不满足减函数的定义；C.图象是由图象向左平移 2 个单位、向下平移 1 个单位得到，从而得到对称中心；D.在负数区间用基本不等式求最值时，需先提取负号将各项转为正数，再套用均值不等式求解，同时验证等号成立条件. 【详解】将代入，可得，则，所以. 对于A，当时，，故在上的值域为，A正确； 对于B，，，不满足减函数的定义，B错误； 对于C，图象的对称中心为，所以图象是由图象向左平移 2 个单位、向下平移 1 个单位得到， 所以图象的对称中心为，C正确； 对于D，当时，， 则，当且仅当时等号成立，故在上的最大值是，D正确. 11. 对任意两个实数a，b，定义函数，，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. B. 方程有两个根 C. 有最小值，无最大值 D. 当时，有 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求出两个函数的交点及解析式，再结合函数图象逐项判断即可． 【详解】先求两个函数的交点，令，即，解得（负根舍去）， 即. 所以当或时，，； 当时，，. 如图所示，画出函数的图象： 由，可知函数是偶函数，所以，故A正确； 当或时，令，解得； 当时，令，解得， 所以方程共有三个根，故B错误； 由图可知，当时，函数有最小值，无最大值，故C正确； 由图象及选项B可知，当时，，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知实数满足，，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【详解】∵ ，不等式两边同乘，不等号方向改变，∴ . ∴ ，即. 13. 已知的定义域为，则的定义域为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为的定义域为，所以要使有意义，应有，解得，因此的定义域为． 14. 已知不等式的解集为或，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】由二次不等式的解集判断的符号，再利用韦达定理将用表示，最后求解不等式即可. 【详解】 已知的解集是或，说明二次函数开口向下，即， 根据韦达定理，两根之积，即， 将其代入，化简得， 因为，所以，所以， 等价于，解得， 所以不等式的解集为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合，，其中. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求及其补集； （2）将问题转化为是的真子集，即可列不等式求解. 【小问1详解】 时，，所以. 【小问2详解】 由题意是的真子集，需且，解得.故. 16. 已知正实数a，b满足． （1）求ab的最大值； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2）9． 【解析】 【分析】（1）两正数和为定值时，求积的最大值可直接用基本不等式 “和定积最大”，注意验证等号成立条件； （2）求分式型和的最小值时，借助 “乘 1 法” 做常数代换，构造出乘积为定值的两项，再用基本不等式求解. 【小问1详解】 因为正实数a，b满足，所以由基本不等式得，得， 当且仅当时取等号，故ab的最大值为． 【小问2详解】 因为正实数a，b满足，所以 ， 当且仅当，即，时取等号，故的最小值为9． 17. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； （2）当时，解关于的不等式. 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【解析】 【分析】（1）先考虑的情况，再考虑的情况即可； （2）先进行因式分解，然后求出对应方程的两个根，再对分类讨论求出不同情况下的不等式的解集即可. 【小问1详解】 的解集是实数集，则该不等式在上恒成立. 当时，，则，解集不是实数集，故排除. 当时，要使的解集为，必须满足抛物线开口向上且与  轴最多有一个交点，即： ，，即， 解得，综合，可得，即. 【小问2详解】 ， 不等式两边同时除以，，. 这是一个开口向上的二次不等式，解集在两根之外， 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为. 18. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，有. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）单调递减，证明如下： ，， 由，得，，则，即， 所以函数在上的单调递减. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的定义求出函数解析式即得. （2）变形函数式并判断单调性，再利用单调性定义推理即得. （3）利用（2）的结论结合偶函数性质确定在上单调性并脱去法则，再利用恒成立的不等式求解即得. 【小问1详解】 函数是上的偶函数，当时，， 当时，，因此， 所以函数的解析式是. 【小问2详解】 函数在上的单调递减，证明略； 【小问3详解】 由（2）知，函数在上的单调递减，而是上的偶函数， 则函数在上的单调递增，不等式， 于是，依题意，关于的不等式在上恒成立， 当时，恒有，因此，解得， 所以的取值范围是. 19. 已知函数，且是奇函数. （1）求的值； （2）记函数，若在区间的最小值为，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法1：求得，由定义域关于原点对称，求解后再检验即可； 方法2：取一组特殊值，例如，求解后再检验即可； 方法3：由，求解后再检验即可； （2）由题意可得，令，则原问题转化为：函数的最小值为. 方法1：分和，结合二次函数的性质求解即可； 方法2：转化为，由对勾函数的性质求解即可. 【小问1详解】 方法1：函数的定义域为， 因为是奇函数， 所以定义域关于原点对称，所以，即. 此时，定义域, 检验：对于，都有，满足f1(x)是奇函数， 所以. 方法2：因为为奇函数，取一组特殊值，例如，即. 此时， 检验，定义域，关于原点对称， ，都有，满足f1(x)是奇函数， 所以. 方法3：为定义域)， 都有， 从而， 所以. 此时，函数的定义域，满足题意. 【小问2详解】 ， 令，因为，所以，当且仅当时，， 所以原问题转化为：函数的最小值为. 方法1：当时，在区间单调递减，在区间单调递增， 所以，解得 (舍去). 当时，在区间上单调递增， 所以，解得， 综上，实数的值为. 方法2：问题可转化为对恒成立且等号可以取到， 即对恒成立且等号可以取到， 所以. 易知函数在上递增， 所以. 所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $