精品解析：上海市华东理工大学附属奉贤曙光中学2026-2027学年高二第一学期9月月考数学试题

高二数学9月月考试卷 一、填空题 1. 已知点 ，，则过点 且以为法向量的直线的点法式方程是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用点法向式方程公式直接写出方程即可. 【详解】已知点 ，，则过点 的直线的点法式方程是. 2. 已知向量，，若，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】根据即可得出m，n的值，然后得解． 【详解】由，得，解得，， 所以 故答案为：5 3. 已知，若，则实数为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算与垂直条件列方程求解 【详解】， 又，得 解得： 故答案为： 4. 点关于直线的对称点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【详解】设 ，则 5. 设常数，若直线与直线的夹角为，则______. 【答案】或 【解析】 【分析】分别设出两直线的倾斜角，根据斜率公式列出方程即可求解. 【详解】依题意，设直线与直线的倾斜角分别为，则； 又，所以； 又直线与直线的夹角为， 所以当时， ，即，此时直线的斜率不存在，即； 所以当时， ，即，解得；所以，即，解得； 综上，或. 故答案为：或. 6. 已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线绕原点旋转且线段有公共点，再结合数形结合可得斜率的范围. 【详解】因为直线恒过点，且. 由图可知，直线与线段有公共点，所以，即. 故答案为：. 7. 已知正方体中，点O为与的交点，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的加减法运算可得. 【详解】由题意可得，， 故. 故答案为： 8. 在直棱柱中，，是的中点，，．则二面角的余弦值是______． 【答案】 【解析】 【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，写出需要点的坐标，求出平面和平面的法向量，利用向量夹角余弦计算二面角的余弦值． 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，． 设平面的法向量为， 则 令，则，，即． 易知平面，故平面的一个法向量为， 则． 由图形可知二面角为钝二面角， ∴二面角的余弦值为． 故答案为：． 9. 过点P(3，0)有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段恰被点P平分，则直线l的方程为________． 【答案】8x－y－24＝0 【解析】 【分析】设出与两点的坐标，因为为线段的中点，利用中点坐标公式即可列出两点坐标的两个关系式，然后把的坐标代入直线，把的坐标代入直线，又得到两点坐标的两个关系式，把四个关系式联立即可求出的坐标，然后由和的坐标，利用两点式即可写出直线的方程. 【详解】设直线夹在直线之间的线段是(在上，在上)， 的坐标分别是. 因为被点平分，所以 ， 于是. 由于在上，在上，所以， 解得，即的坐标是. 直线的方程是， 即 . 所以直线的方程是. 【点睛】解题关键在于，利用中点坐标公式列出两点坐标的两个关系式，然后，列出相应方程组求解，主要考查学生的运算能力，属于基础题 10. 已知正方体的棱长为1，是空间中任意一点．给出下列四个结论： ①若点在线段上运动，则始终有； ②若点在线段上运动，则过，，三点的正方体截面面积的最小值为； ③若点在线段上运动，三棱锥体积为定值； ④若点在线段上运动，则的最小值为． 其中所有正确结论的序号有________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由平面判断①；由向量法判断②；由等体积法判断③；将与四边形沿展开在同一平面上，由余弦定理得出的最小值. 【详解】对于①：如下图，连接，所以，又，所以， 因为平面，所以，由线面垂直的判定可知， 平面，因为平面，所以，故①正确； 对于②：在上取一点，使得，连接， 易知，且，即四点共面， 即过，，三点的截面为截面. 以点为坐标原点，建立如下图所示的坐标系： ， 因为，， 所以截面的面积为 ， 当时，，，三点的正方体截面面积最小值为，故②错误； 对于③：如下图，由已知得，所以直线上所有点到平面 的距离相等，又，而是一个定值，所以三棱锥体积为定值，故③正确； 对于④：如下图，将与四边形沿展开在同一平面上，由图可知，线段 的长度即为的最小值，在中， ，故④正确； 故答案为：①③④ 【点睛】方法点睛：本题考查空间中的动点问题，解决此类问题时，常需证明线线，线面，面面间的平行和垂直关系，从而得出点运动中，存在的不变的位置关系，存在着面积或体积的定值. 二、单选题 11. 已知点A(1，－2)，B(5,6)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于 A. －2或1 B. 1或2 C. －2或－1 D. －1或2 【答案】C 【解析】 【详解】当直线AB与l平行时，;当直线l过AB的中点（3,2）时，a=-1.故a的值为-2或-1. 12. 在下列条件中，点 与点 一定共面的是（　　）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的共面定理依次判断即可. 【详解】若点 与点 共面，则满足，其中， 对于A，，其中，所以点 与点 不一定共面，故A错误； 对于B，，即，其中，所以点 与点 不一定共面，故B错误； 对于C，，等价于，即，其中， 所以点 与点 一定共面，故C正确； 对于D，即，其中，所以点 与点 不一定共面，故D错误； 13. 已知点，若P，Q是直线：（）上的两点，且对任意， 恒成立，则线段 的长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过分析得到点M在以为直径的圆上或圆内，从而得到线段的范围. 【详解】由直线：化为，故直线恒过定点. 点到直线：距离. 对任意， 恒成立,等价于点M位于以线段为直径的圆上或圆内. 要使直线上存在这样P，Q点，则点M到直线的距离不大于以线段为直径的圆的半径，即， 所以.根据题意，该不等式对任意恒成立， 所以，而，故. 故选：D. 三、解答题 14. 如图，在正方体中，E为的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1） 如下图所示： 在正方体中，且，且， ∴且， 所以，四边形为平行四边形，则， ∵平面，平面， ∴平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线所成角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为坐标原点，AD､AB､所在直线分别为x､y､轴建立如下图所示的空间直角坐标系A-xyz， 设正方体的棱长为2，则，，，，则，， 设异面直线与所成角为， 则. ∴异面直线与AE所成角的余弦值为. 15. 已知直线： （1）求证：不论m为何实数，直线恒过一定点M； （2）过定点M作一条直线，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线的方程． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）将直线l整理得：，由题意得出，得出定点的坐标； （2）设出直线的方程，求出其与坐标轴的交点坐标，结合题意，列出方程，即可得出直线的方程. 【详解】（1）证明：直线l整理得： 令 解得： 则无论m为何实数，直线l恒过定点 （2）由题意可知，当直线的斜率不存在或等于零时，显然不合题意 设直线的方程为 令，则；令，则 即直线与坐标轴的交点为 由于过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分 则点为线段中点，即，解得 则直线l1的方程为，即． 【点睛】本题主要考查了求直线过定点以及求直线方程，属于中档题. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面， 分别为棱的中点. （1）若，求直线与平面所成角的正切值； （2）若，求点到平面的距离. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可由向量的夹角公式求解； （2）求解平面法向量，即可利用点到平面的距离的向量法求解. 【小问1详解】 由题知平面建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，， ，，，，， 设平面的一个法向量为. 则，令，则，， 设直线与平面所成的角为， ，. 所以直线与平面所成角的正切值为. 【小问2详解】 设平面的法向量为， ，， 故，令，， 故点到平面的距离为. 17. 如图，将一块等腰直角三角板置于平面直角坐标系中，已知，点是三角板内一点，现因三角板中部分（内部，不含边界）受损坏，要把损坏的部分锯掉，可用经过的任意一直线将其锯成． （1）求直线的斜率的取值范围； （2）若点满足，这样的直线是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时直线的方程； （3）如何确定直线的斜率，才能使锯成的的面积取得最大值和最小值？并求出最值. 【答案】（1）；（2）存在，；（3）时 ，时 . 【解析】 【分析】（1）设MN方程为：，与y＝x 和x＝1联立得和，结合图像列可得解； （2）由可得坐标关系可得，从而得解； （3）由S△AMN＝＝，进而由函数求最值即可. 【详解】（1）依题意，得MN方程为：，即， ∵AB⊥OB，|AB|＝|OB|＝1，∴直线OA方程为：y＝x ，直线AB方程为：x＝1， 联立 ，得． 联立，得. 所以，解得； （2）若，可得，解得， 所以直线的方程为，整理得 （3）在中，由（1）知： S△AMN＝＝． 设，设．∵， ∴f（t）在是单调递增．∴当时，，即当1﹣k＝时即k＝时，（S）max＝ 当时，，即当1﹣k＝时即k＝时，（S）min＝， 面积的取值范围. 【点睛】本题解题的关键是设MN方程为，进而得和，从而可解范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学9月月考试卷 一、填空题 1. 已知点 ，，则过点 且以为法向量的直线的点法式方程是________. 2. 已知向量，，若，则______. 3. 已知，若，则实数为_______. 4. 点关于直线的对称点的坐标为__________． 5. 设常数，若直线与直线的夹角为，则______. 6. 已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是______. 7. 已知正方体中，点O为与的交点，，则________． 8. 在直棱柱中，，是的中点，，．则二面角的余弦值是______． 9. 过点P(3，0)有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段恰被点P平分，则直线l的方程为________． 10. 已知正方体的棱长为1，是空间中任意一点．给出下列四个结论： ①若点在线段上运动，则始终有； ②若点在线段上运动，则过，，三点的正方体截面面积的最小值为； ③若点在线段上运动，三棱锥体积为定值； ④若点在线段上运动，则的最小值为． 其中所有正确结论的序号有________． 二、单选题 11. 已知点A(1，－2)，B(5,6)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于 A. －2或1 B. 1或2 C. －2或－1 D. －1或2 12. 在下列条件中，点 与点 一定共面的是（　　）. A. B. C. D. 13. 已知点，若P，Q是直线：（）上的两点，且对任意， 恒成立，则线段 的长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题 14. 如图，在正方体中，E为的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 15. 已知直线： （1）求证：不论m为何实数，直线恒过一定点M； （2）过定点M作一条直线，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线的方程． 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面， 分别为棱的中点. （1）若，求直线与平面所成角的正切值； （2）若，求点到平面的距离. 17. 如图，将一块等腰直角三角板置于平面直角坐标系中，已知，点是三角板内一点，现因三角板中部分（内部，不含边界）受损坏，要把损坏的部分锯掉，可用经过的任意一直线将其锯成． （1）求直线的斜率的取值范围； （2）若点满足，这样的直线是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时直线的方程； （3）如何确定直线的斜率，才能使锯成的的面积取得最大值和最小值？并求出最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $