精品解析：上海市奉贤中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

奉贤中学2026届高二第一次阶段练习（数学） 本卷用时120分钟，满分150分 一、填空题（本题共12题，满分54分，1-6每题4分，7-12每题5分） 1. 已知，则__________. 2. 的展开式中只有第六项的系数最大，则n＝________． 3. 已知圆锥的底面半径为4，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为________. 4. 的展开式中，系数最小的项为第________项. 5. 正整数1224有________个不同的正约数. 6. 展会期间，要安排位志愿者到个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排个人，剩下两个展区各安排个人，不同的安排方案共有_________种. 7. 已知长为6的线段的两个端点到平面的距离分别为2和4，则直线与平面的所成角大小为________. 8. 的展开式中项的系数为______ . 9. 如图所示，在平行四边形中，，，将它沿对角线折起，使二面角的大小为，则点与点之间的距离为_________； 10. 九官格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a，b，c，d，e这5个数字未知，且b，d为奇数，则的概率为______. 9 7 4 5 11. 若集合A，B，C，D满足A，B，C都是D的子集，且，，均只有一个元素，且，称为D的一个“有序子集列”.若D有6个元素；则有_________个“有序子集列”. 12. 从1，2，，2024中任取两个数a，b（可以相同），则的个位数是1的概率为_________. 二、单选题（本题共4题，满分18分，13，14每题4分，15，16每题5分） 13. 一个不透明袋子中装有大小和质地完全相同的2个红球和2个白球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．则下列事件中互斥而不对立的是（ ） A. “第一次摸到红球”与“第二次摸到红球” B. “至少摸到一次红球”与“至少摸到一次白球” C. “两次都摸到红球”与“两次都摸到白球” D. “两次都摸到红球”与“至少摸到一次白球” 14. 某城市新修建的一条道路上有12个路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ） A. B. C. D. 15. 在空间，已知直线及不在上两个不重合的点､，过直线作平面，使得点､到平面的距离相等，则这样的平面的个数不可能是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 16. 如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线．从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到11的事件中，跳过数字的概率记为，则下列结论正确的是（ ） ①，②，③，④． A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 三、解答题（本题共5题，满分78分） 17. （1）解不等式； （2）解方程. 18. 如图，四棱锥的底面是正方形，⊥平面，，点是线段上任意一点. （1）求证：； （2）当长为多少时，与平面所成角的大小为. 19. 某电视台举办“读经典”知识挑战赛．初赛环节，每位选手先从三类问题中选择一类，该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答．再次选择的一类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束，否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰．已知选手甲能正确回答两类问题的概率均为，能正确回答类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立． （1）已知选手甲先选择类问题且回答正确，接下来他按照的顺序对各类问题继续回答，求他能取得复赛资格的概率； （2）由于选手甲能正确回答两类问题的概率均为，故可将回答顺序和顺序视为同一个顺序；为使取得复赛资格的概率最大，选手甲应如何选择各类问题的回答顺序？请说明理由． 20. 已知（n为正整数）. （1）若，求该式的展开式中所有项的系数之和； （2）若，求该式的展开式中无理项的个数； （3）若，求该式的展开式中系数最大的项. 21. 从数据组中取出（是自然数，且）个不同的数构成一个新数据组.若对任意的，存在，，使得，，则称数据组为数据组Ω的一个k维基本数据库. （1）判断数据组是否为数据组的一个2维基本数据库； （2）若数据组：是数据组的一个2维基本数据库，请求出的最大值，并写出此时的2维基本数据库. （3）若数据组是数据组的一个k维基本数据库，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 奉贤中学2026届高二第一次阶段练习（数学） 本卷用时120分钟，满分150分 一、填空题（本题共12题，满分54分，1-6每题4分，7-12每题5分） 1. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据,可得，从而可得结果. 【详解】解：因为， 所以,可得. 故答案为：. 2. 的展开式中只有第六项的系数最大，则n＝________． 【答案】10 【解析】 【分析】直接利用二项式的展开式求出结果. 【详解】由于该展开式中系数和二项式的系数相同，故展开式中只有第六项的系数最大，第六项为中间项，故展开式一共有11项，故 故答案为：10 3. 已知圆锥的底面半径为4，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】先由圆锥的底面周长为侧面展开图的弧长，求得圆锥的母线长，再求得圆锥的高，从而利用圆锥的体积公式即可得解. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，则， 又因为它的侧面展开图是一个半圆， 所以，则， 所以， 则圆锥的体积， 故答案为：. 4. 的展开式中，系数最小的项为第________项. 【答案】四 【解析】 【分析】利用二项展开通项公式，结合列举法分析系数最小的项的情况，从而得解. 【详解】因为的展开通项公式为， 由于的存在，只需考虑的情况， 对应的项的系数分别为，，， 所以当时，系数最小，此时该项为第四项. 故答案为：四. 5. 正整数1224有________个不同的正约数. 【答案】 【解析】 【分析】将分解成若干个素数的积，再利用分步乘法计数原理即可得解. 【详解】因为， 所以正整数1224的正约数个数为. 故答案为：. 6. 展会期间，要安排位志愿者到个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排个人，剩下两个展区各安排个人，不同的安排方案共有_________种. 【答案】 【解析】 【分析】使用分步乘法计数原理和组合数公式进行计算即可. 【详解】第步，从位志愿者中，选出人，安排到甲展区提供服务，有种方法； 第步，从剩下的位志愿者中，选出人，安排到乙展区提供服务，有种方法； 第步，从剩下的位志愿者中，选出人，安排到第个展区提供服务，有种方法； 第步，将剩下的位志愿者安排到第个展区提供服务，有种方法， ∴不同的安排方案共有种. 故答案为：. 7. 已知长为6的线段的两个端点到平面的距离分别为2和4，则直线与平面的所成角大小为________. 【答案】或 【解析】 【分析】当，在平面同侧时，过作，交于，则是所在直线与平面抽成角，由此能求出所在直线与平面所成角的大小；当，在平面异侧时，推导出平面，由此能求出所在直线与平面所成角的大小． 【详解】当，在平面同侧时，如图 点到平面的距离，点到平面的距离， 过作，交于，则，， 是所在直线与平面所成角， ， 所在直线与平面所成角的大小为； 当，在平面异侧时， 点到平面的距离，点到平面的距离， 连结，交于， 由题意得，， ，，，，，三点重合， 平面， 所在直线与平面所成角的大小为． 综上，直线与平面的所成角大小为或． 故答案为：或． 8. 的展开式中项的系数为______ . 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，结合二项式定理，即可求解． 【详解】的展开式通项公式为， 令，解得， 令，解得， 故的展开式中项的系数为 故答案为： 9. 如图所示，在平行四边形中，，，将它沿对角线折起，使二面角的大小为，则点与点之间的距离为_________； 【答案】4 【解析】 【分析】过点做至点，使得，将二面角转化为平面角，再证明，通过余弦定理和勾股定理，得到的长度. 【详解】过点做至点，使得，连接，. 平行四边形中，，可得 由，，可得为平行四边形， ，可得为正方形. ， 所以是二面角的平面角，即 所以在中，由余弦定理可得 由 面， 可得面，所以面 而面，所以 在中，有勾股定理可得 【点睛】本题考查将二面角转化为平面角，通过线线垂直证明线面垂直，余弦定理和勾股定理求线段长度，属于中档题. 10. 九官格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a，b，c，d，e这5个数字未知，且b，d为奇数，则的概率为______. 9 7 4 5 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出这个试验的等可能结果，然后求解概率即可； 【详解】这个试验的等可能结果用下表表示： a b c d e 2 1 6 3 8 2 1 8 3 6 6 1 2 3 8 6 1 8 3 2 8 1 2 3 6 8 1 6 3 2 2 3 6 1 8 2 3 8 1 6 6 3 2 1 8 6 3 8 1 2 8 3 2 1 6 8 3 6 1 2 共有12种等可能的结果，其中的结果有10种， 所以的概率为. 故答案为：. 11. 若集合A，B，C，D满足A，B，C都是D的子集，且，，均只有一个元素，且，称为D的一个“有序子集列”.若D有6个元素；则有_________个“有序子集列”. 【答案】7680 【解析】 【分析】根据题意，先确定满足“，，，且”的三元组，，的个数，再确定集合中除、、外的其他元素的分布情况，从而根据乘法原理算出集合的“有序子集列”的总数． 【详解】对于任一个“有序子集列”，必然存在一个三元组， 使得“，，，且”， 若中还有除了、、的其他元素，记为，则只能在之一中出现（或者根本不出现）． 另外，对于任一个三元组，都能通过令，，的形式，构建出一个“有序子集列” ，，． 集合中的三元组有个， 对于集合中除、、外的其他元素，每个都有4种可能：不属于，或属于，或属于，或属于． 再安排每个子集的其他元素，对于每个子集，除了公共元素外，还有个位置需要安排元素. 因为每个位置都有种选择（放入该子集或不放入），所以每个子集的安排方式有种. 理由：分步乘法计数原理，每个位置的选择相互独立，所以总的安排方式是各个位置选择方式的乘积. 最后计算总的“有序子集列”个数，根据分步乘法计数原理，总的“有序子集列”个数为. 计算可得：. 故答案为：7680. 12. 从1，2，，2024中任取两个数a，b（可以相同），则的个位数是1的概率为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】列出的个位数与的个位数，发现周期为4，再求出的个位数是1的情况，再由独立事件的乘法公式求解即可. 【详解】列出的个位数与的个位数，发现周期为4， 1 2 3 4 5 6 7 8 的个位数 2 4 8 6 2 4 8 6 的个位数 7 9 3 1 7 9 3 1 则的个位数是的情况有：， 又2024是4的倍数，故表格中一个周期内取数每种组合情况发生的概率均为， 所以个位数是1的概率为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，分析发现的个位数与的个位数呈周期规律，从而得解. 二、单选题（本题共4题，满分18分，13，14每题4分，15，16每题5分） 13. 一个不透明袋子中装有大小和质地完全相同的2个红球和2个白球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．则下列事件中互斥而不对立的是（ ） A. “第一次摸到红球”与“第二次摸到红球” B. “至少摸到一次红球”与“至少摸到一次白球” C. “两次都摸到红球”与“两次都摸到白球” D. “两次都摸到红球”与“至少摸到一次白球” 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断． 【详解】A. “第一次摸到红球”与“第二次摸到红球”可以同时发生，不是互斥事件； B. “至少摸到一次红球”与“至少摸到一次白球”可以同时发生（两球一红一白时）不是互斥事件； C. “两次都摸到红球”与“两次都摸到白球”，不可以同时发生，但可以同时不发生，互斥但不对立； D. “两次都摸到红球”与“至少摸到一次白球”不可以同时发生，但一定有一个会发生，对立事件． 故选：C． 14. 某城市新修建的一条道路上有12个路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用插空法分析：先将亮的8盏灯排成一排，进而在7个空位中，任取4个插入熄灭的4盏灯，由组合式公式计算可得答案． 【详解】根据题意，使用插空法分析：原来有12盏路灯，熄灭其中的4盏灯，还有8盏是亮着的， 先将亮的8盏灯排成一排，由于两端的灯不能熄灭，则有7个符合条件的空位， 进而在7个空位中，任取4个插入熄灭的4盏灯，有种方法， 故选：B． 15. 在空间，已知直线及不在上两个不重合的点､，过直线作平面，使得点､到平面的距离相等，则这样的平面的个数不可能是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 【答案】C 【解析】 【分析】分情况讨论可得出. 【详解】（1）如图，当直线与异面时，则只有一种情况； （2）当直线与平行时，则有无数种情况，平面可以绕着转动； （3）如图，当过线段的中垂面时，有两种情况. 故选：C. 16. 如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线．从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到11的事件中，跳过数字的概率记为，则下列结论正确的是（ ） ①，②，③，④． A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分析，不难得到，按照规律写出各项，即可判断①，②正确；对于③，结合树状图，考虑对立事件所包含的样本点数，利用古典概型概率公式计算即得，同法求出即可判断. 【详解】由题意可知， 则，， 则①正确；显然，故②正确； 因为，经过数字5的路线共有条. 理由:如上树状图所示，分别计算1-5的路线共有5条，5-11的路线共有13条， 利用分步乘法计数原理可得，过数字5的路线共有条. 则，故③正确； 同理可得即有，故④错误. 故选:A． 三、解答题（本题共5题，满分78分） 17. （1）解不等式； （2）解方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用组合数的性质可得答案； （2）利用组合数性质、排列数公式计算可得答案. 【详解】（1）根据组合数公式，原不等式可化为.化简可得. 进一步变形为. 根据阶乘的性质，则. 约分后得到，解这个不等式得. 又因为且（组合数中的取值范围要求），即且， 综合可得或，故不等式解集为. （2）原方程可化为，即， ∴，∴， ∴，解得或，经检验：是原方程的解. 故方程解集为 18. 如图，四棱锥的底面是正方形，⊥平面，，点是线段上任意一点. （1）求证：； （2）当长为多少时，与平面所成角的大小为. 【答案】（1）连接，因为四边形为正方形，所以， 又因为⊥平面，平面，所以. 又因为，所以平面， 因为平面，所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）只需证明平面即可； （2）直线与平面所成角为，所以只需在中进行分析即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，因为⊥平面， 所以与平面所成角为. 在中，由，即， 所以当时，与平面所成角的大小为. 19. 某电视台举办“读经典”知识挑战赛．初赛环节，每位选手先从三类问题中选择一类，该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答．再次选择的一类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束，否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰．已知选手甲能正确回答两类问题的概率均为，能正确回答类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立． （1）已知选手甲先选择类问题且回答正确，接下来他按照的顺序对各类问题继续回答，求他能取得复赛资格的概率； （2）由于选手甲能正确回答两类问题的概率均为，故可将回答顺序和顺序视为同一个顺序；为使取得复赛资格的概率最大，选手甲应如何选择各类问题的回答顺序？请说明理由． 【答案】（1） （2）甲按（或）顺序回答问题取得复赛资格的概率最大；理由如下： 依题意，对于选手甲只需考虑、、这三种回答顺序， 若按顺序回答，则取得复赛资格的概率为， 若按顺序回答，则取得复赛资格的概率为， 若按顺序回答，则取得复赛资格的概率， 由于， 故甲按（或）顺序回答问题取得复赛资格的概率最大． 【解析】 【分析】根据独立事件概率乘法公式计算即可. 【小问1详解】 甲取得复赛资格的概率． 【小问2详解】 甲按（或）顺序回答问题取得复赛资格的概率最大，理由略. 20. 已知（n为正整数）. （1）若，求该式的展开式中所有项的系数之和； （2）若，求该式的展开式中无理项的个数； （3）若，求该式的展开式中系数最大的项. 【答案】（1）1 （2）15 （3） 【解析】 【分析】（1）由求出，再令可得答案； （2）由求出，求出展开式的通项公式，再由的指数不为整数可得答案； （3）求出展开式的通项公式由解不等式可得答案． 【小问1详解】 由可得， 令可得， 所以展开式中所有项的系数之和为1； 【小问2详解】 若，则，解得，或舍去， 设的通项为， 且， 所以当时可得展开式中的无理项，所以共有15个无理项； 【小问3详解】 设的通项为， 且， 最大的项为偶数， 则，解得， ， 所以展开式中系数最大的项为． 21. 从数据组中取出（是自然数，且）个不同的数构成一个新数据组.若对任意的，存在，，使得，，则称数据组为数据组Ω的一个k维基本数据库. （1）判断数据组是否为数据组的一个2维基本数据库； （2）若数据组：是数据组的一个2维基本数据库，请求出的最大值，并写出此时的2维基本数据库. （3）若数据组是数据组的一个k维基本数据库，求证：. 【答案】（1）是 （2）的最大值为，此时的2维基本数据库 （3）证明:不妨设， 则形如的正整数共有k个； 形如的正整数共有k个； 形如的正整数至多有个； 形如的正整数至多有个； 又数据组含n个不同的正整数，数据组是数据组的一个k维基本数据库， 故，化简得. 【解析】 【分析】（1）根据k维基本数据库的定义直接运算判断即可； （2）先利用k维基本数据库的定义与列举法证得，再分析得时的2维基本数据库，从而得解； （3）设，计算出的各种情况下的正整数个数，并求出它们的和，结合定义即可得证. 【小问1详解】 因为， ， 所以数据组是数据组的一个2维基本数据库； 【小问2详解】 不妨设， 则组成的数据的个数最多有：，， ，，，，共6个， 所以， 当时，因为是组成的数据中最大的项，且必存在， 所以有，则， 而组成的数据中最小的项可能为或， 若，则由无法得到这一项，不满足题意； 若，则， 此时， ， 所以是数据组的一个2维基本数据库，满足题意； 所以的最大值为，此时的2维基本数据库. 【小问3详解】 略. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $