上海市华东理工大学附属奉贤曙光中学2026-2027学年高二第一学期9月月考数学试题

高二数学9月月考试卷--答案 姓名：________　班级：________ 一、填空题 1、已知点 ，，则过点 的直线的点法式方程是________。 【答案】，即 。 【解析】法向量为 ，点法式是 。 2、已知向量 ，，若 ，则 ________。 【答案】。 【解析】由平行得 ，所以 ，故 。 3、已知 ，若 ，则实数 为________。 【答案】。 【解析】计算得 。垂直条件化为 ，即 。 4、点 关于直线 的对称点 的坐标为________。 【答案】。 【解析】对称轴 可先将纵坐标减 ，交换两坐标，再加回 ：，故 。 5、设常数 ，若直线 与直线 的夹角为 ，则 ________。 【答案】 或 。 【解析】两直线法向量分别为 、。夹角为 ，故 。平方化简得 ；代回两值均满足。 6、已知点 ，，若直线 与线段 有公共点，则 的取值范围是________。 【答案】。 【解析】端点到原点连线的斜率分别为 和 。线段跨过负 轴，过原点的射线斜率随交点移动经过无穷大，故为两侧区间，端点取到。 7、已知正方体 中，点 为 与 的交点，，则 ________。 【答案】。 【解析】 是体对角线 中点，故 ，三个系数均为 。 8、在直棱柱 中，， 是 的中点，，。则二面角 的余弦值是________。 【答案】。 【解析】取 。沿棱 作垂直截面，指向 和 的截面向量可取 与 。其数量积为 、长度之积为 ，二面角余弦为 。 9、过点 有一条直线 ，它夹在两条直线 与 之间的线段恰被点 平分，则直线 的方程为________。 【答案】。 【解析】设直线上关于 对称的两交点为 。分别代入两条已知直线，得到 和 ；消去 得 。过 ，故 。 10、已知正方体 的棱长为 ， 是空间中任意一点。给出下列四个结论： ①若点 在线段 上运动，则始终有 ； ②若点 在线段 上运动，则过 三点的正方体截面面积的最小值为 ； ③若点 在线段 上运动，三棱锥 体积为定值； ④若点 在线段 上运动，则 的最小值为 。 其中所有正确结论的序号有________。 【答案】①③④。 【解析】设 。① ， 与 点积为 。② 时，过 的截面还有第四个顶点 ，是平行四边形而非三角形；面积为 ，在 时最小值为 ，故②错误。③ ，，与 点积恒为 ，体积恒为 。④ ，；在 取最小值 。 二、单选题 11、已知点 到直线 的距离相等，则实数 的值等于（　　）。 A． 或 　　B． 或 　　C． 或 　　D． 或 【答案】C， 或 。 【解析】两点到同一直线距离相等，分母相同，故 。分别取同号、异号，得 或 。 12、在下列条件中，点 与点 一定共面的是（　　）。 A． B． C． D． 【答案】C。 【解析】由 得 。位置向量系数和为 ，因此 在 所在平面；其余各项所得系数和并非 ，不能保证。 13、已知点 ，若 是直线 （）上的两点，且对任意 ， 恒成立，则线段 的长度的取值范围是（　　）。 A．　　B．　　C．　　D． 【答案】按“每个 都能取到该长度且满足角条件”的命题意图，选 D：；原题量词需核对。 【解析】固定直线 ，由 可得以 为直径的圆覆盖点 ，因而 ；反过来，在直线上以垂足为中点取两点，可以达到这一最短长度或更大长度。若要求同一长度适用于每个 ，需 ，即 D。若按字面理解为“随 自由变化时所有可能长度”，则并集为 ，四个选项均不符；这里须核对命题意图。 三、解答题 14、如图，在正方体 中， 为 的中点。 （1）求证： 平面 ； （2）求异面直线 与 所成角的余弦值。 【答案】（1）证明见解析；（2）。 【解析】（1）取棱长为 ，设 ，则 。； 在平面 内，而 不在此平面内，故 平面 。 （2），点积 ，长度积 ，故所成角余弦为 。 15、已知直线 。 （1）求证：不论 为何实数，直线 恒过一定点 ； （2）过定点 作一条直线 ，使夹在两坐标轴之间的线段被 点平分，求直线 的方程。 【答案】（1）；（2）。 【解析】（1）原式按 分组为 。联立 得 ，故与 无关。 （2）设两坐标轴交点为 。因 是中点，，直线截距式 ，整理得 。 16、如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ， 分别为棱 的中点。 （1）若 ，求直线 与平面 所成角的正切值； （2）若 ，求点 到平面 的距离。 【答案】（1）；（2）。 【解析】设 ，则 。 （1） 时，平面 的方程为 ，法向量 ；，线面角正弦为 ，故正切为 。 （2） 时，平面 的方程为 ，，点面距离 。 17、如图，将一块等腰直角三角板 置于平面直角坐标系中，已知 ，，点 是三角板内一点，现因三角板中部分（ 内部，不含边界）受损坏，要把损坏的部分锯掉，可用经过 的任意一直线 将其锯成 。 （1）求直线 的斜率的取值范围； （2）若 点满足 ，这样的直线 是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时直线 的方程； （3）如何确定直线 的斜率，才能使锯成的 的面积取得最大值和最小值？并求出最值。 【答案】（1）；（2）存在，；（3） 时最大值 ， 时最小值 。 【解析】设 。直线 写成 ，与 分别交于 、。 （1）使两交点落在线段上，可得 ；两端分别是 与 ，边界保留，所以可取。 （2）向量式 等价于 。比较横坐标得 ，再比较纵坐标得 ，对应 。因此直线为 ，即 。 （3）。在 ] 上，导数 ，故面积随 递减；两端代入得最大 、最小 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学9月月考试卷 姓名：________　班级：________ 一、填空题 1、已知点 ，，则过点 的直线的点法式方程是________。 2、已知向量 ，，若 ，则 ________。 3、已知 ，若 ，则实数 为________。 4、点 关于直线 的对称点 的坐标为________。 5、设常数 ，若直线 与直线 的夹角为 ，则 ________。 6、已知点 ，，若直线 与线段 有公共点，则 的取值范围是________。 7、已知正方体 中，点 为 与 的交点，，则 ________。 8、在直棱柱 中，， 是 的中点，，。则二面角 的余弦值是________。 9、过点 有一条直线 ，它夹在两条直线 与 之间的线段恰被点 平分，则直线 的方程为________。 10、已知正方体 的棱长为 ， 是空间中任意一点。给出下列四个结论： ①若点 在线段 上运动，则始终有 ； ②若点 在线段 上运动，则过 三点的正方体截面面积的最小值为 ； ③若点 在线段 上运动，三棱锥 体积为定值； ④若点 在线段 上运动，则 的最小值为 。 其中所有正确结论的序号有________。 二、单选题 11、已知点 到直线 的距离相等，则实数 的值等于（　　）。 A． 或 　　B． 或 　　C． 或 　　D． 或 12、在下列条件中，点 与点 一定共面的是（　　）。 A． B． C． D． 13、已知点 ，若 是直线 （）上的两点，且对任意 ， 恒成立，则线段 的长度的取值范围是（　　）。 A．　　B．　　C．　　D． 三、解答题 14、如图，在正方体 中， 为 的中点。 （1）求证： 平面 ； （2）求异面直线 与 所成角的余弦值。 15、已知直线 。 （1）求证：不论 为何实数，直线 恒过一定点 ； （2）过定点 作一条直线 ，使夹在两坐标轴之间的线段被 点平分，求直线 的方程。 16、如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ， 分别为棱 的中点。 （1）若 ，求直线 与平面 所成角的正切值； （2）若 ，求点 到平面 的距离。 17、如图，将一块等腰直角三角板 置于平面直角坐标系中，已知 ，，点 是三角板内一点，现因三角板中部分（ 内部，不含边界）受损坏，要把损坏的部分锯掉，可用经过 的任意一直线 将其锯成 。 （1）求直线 的斜率的取值范围； （2）若 点满足 ，这样的直线 是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时直线 的方程； （3）如何确定直线 的斜率，才能使锯成的 的面积取得最大值和最小值？并求出最值。 学科网（北京）股份有限公司 $