北京景山学校2026-2027学年高二第一学期期中考试数学试题

北京景山学校2026-2027学年度第一学期期中考试 高二年级数学试卷 班级 姓名 教育D号 考 1. 本试卷共7页，三道大题，21道小题，满分150分。考试时间120分钟。 生 2. 在试卷上准确填写班级、姓名、教育ID号。 须 3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 知 4. 考试结束，将本试卷、答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、 选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项」 1.空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c,点M在OA上，且OM=2MA,N 为BC的中点，则M等于() 2a+26-1。 A.33分 B.、2 a+6+。 M 322 C. 1 1 -2,1 D. ā--b+-c 232 2.正项等差数列{an}的公差为d,已知4=4，且4,4-2,4三项成等比数列，则d=() A.6 B.5 C.4 D.3 3.直线Z:ax+2y-1=0,直线1，：x+y+1=0,若//儿2，则两直线间的距离为() A.32 B.2 C.√2 D.5 4 4.如图，在正三棱柱ABC-A,B,C中，AC=2,A4=1,则AB·BC=（) A.1 B.0 0.-1 D.-3 高二年级数学试卷第1页共7页 5.求圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到x-y+2=0的距离() A.2 B.6 C.2W3 D.32 6.等差数列(a,}的前n项和为Sn,若Sg>0,a,+a4<0,则当Sn取得最大值时，n=（） A.8 B.9 C.10 D.11 7.如图，已知正方体ABCD-AB,C,D,的棱长为1，O为正方形ADDA,的中心，若P为平 D 面OD,B内的一个动点，则P到直线AB,的距离的最小值为（) C A B. √2 2 C.3 D. 6 3 8.记无穷等比数列{an}前n项的和为S,若a>0,则“公比g之1”是“对任意M>0,存 在正整数N。,当n>N。时，Sn>M的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下的两段分割三等分，各去 掉中间一段，留下更短的四段，，将这样操作一直继续下去，直至无穷由于在不断分 割舍弃过程中，所形成的线段的数目越来越多，长度越来越小，在极限情况下，得到一个 0,则n 离散的点集，称为康托尔三分集若在前n次操作中共去掉的线段长度之和不小于 的最小值为()（参考数据：1g2≈0.3010,1g3≈0.4771） A.9 B.8 C.7 D.6 高二年级数学试卷第2页共7页 10.对于平面上点P和曲线C,任取C上一点2，若线段PQ的长度存在最小值，则称该 值为点P到曲线C的距离，记作d(P,C).下列结论中正确的个数为() ①若曲线C是一个点，则点集D={P口(P,C)s2)所表示的图形的面积为4π； ②若曲线C是一个半径为2的圆，则点集D={Pa(P,C)s1}所表示的图形的面积为9元； ③若曲线C是一个长度为2的线段，则点集D={PH(P,C)s1}所表示的图形的面积 为π+4： ④若曲线C是边长为9的等边三角形，则点集D={P(P,C)s1}所表示的图形的面积 为54+π-35. A.0 B.1 C.2 D.3 第二部分（非选择题共110分) 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11.若点A(-4,-2),B(-2,2),则以AB为直径的圆C的标准方程是 12.各项均为正数的等比数列{a,}中，5·a6=4,则数列{log2an}的前10项和为 13.直线1经过点(1,3)且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线1的方程为 14.如图，这是一个棱数为24，所有棱长都为√2的半正多面体， B 它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正 方体截去八个一样的四面体所得， (1)该半正多面体中与D所成的角是亚的棱有 条； (2)若点E为线段BC上的动点，则向量AF与DE夹角的余弦值的取值范围为 高工年级数学试卷 第3页共7页 15.设{a,}与{b,}是两个不同的无穷数列，且都不是常数列记集合M={ka=b,k∈r}, 给出下列4个结论： ①若{a,}与{b}均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若{a,}与{b,}均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若{an}为递增数列，{bn}为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.(本小题13分) 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD, PD=4,E,F,G分别为PC,PD,BC的中点、 (I)求证：FG/I平面PAB; (Ⅱ)求直线FG与平面PBC所成角的正弦值， 高二年级数学试卷第4页共7页 17.(本小题13分) 某科技公司为优化旗下的人工智能助手“小智”的性能，针对“语音交互”和“图像识别” 两项核心功能设计了相应的优化方案：方案A与方案B,为了解“小智的全体用户(18岁 及以上)对新方案的支特情况，对小智”的青年用户(18-35岁)和中老年用户(36岁及 以上)进行简单随机抽样，获得数据如下表： 青年用户 中老年用户 支持 不支持 支持 不支持 方案1 400人 200人 200人 200人 方案B 350人 250人 150人 250人 假设所有用户对方案是否支持相互独立.用频率估计概率， (1)用分层抽祥的方法从样本青年用户支持方案A和不支持方案A两组中共抽取6人， 再从这6人中随机选出2人，求这2人恰有1人支持方案A的概率； (Ⅱ)从“小智”的全体青年用户中随机抽取2人，全体中老年用户中随机抽取1人、估计 这3人中恰有2人支持方案A的概率； (IⅢ)将用户支持方案B的概率估计值记为P。,除500名青年用户和300名中老年用户外 其他用户支持方案B的概率估计值记为P,试比较P与卫的大小.（结论不要求证明） 高二年级数学试卷第5页共7页 18.(本小题14分) 已知无穷等比数列{an}的各项都是正数，a1=1,a2a4=16,设无穷数列{bn}的前n项 和为S。,b=2,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使数列(b} 唯一确定 (I)求数列{a。-bn}的前n项和Tn: 1 （Ⅱ)设cnb,-)o+五，n∈N,不等式≤c1+o2+c+tc,≤t恒成立，求实数s的最 大值与实数t的最小值， 条件①：bn1-bn=2,neN”: 条件②：Sn=n2+n,neN°； 条件③：2b=bn+bn2,n∈N°. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 19.(本小题15分) 已知点A(-3,0),B(3,0),C(0,3): (I)求AB边上中线所在直线的方程与△ABC外接圆的方程： (Ⅱ)设△ABC外接圆与y轴另一交点为D,设H为第一象限内△ABC外接圆上一个动 点，直线HB与直线AD交于点M,直线CH与直线y=-3交于点N.试判断直线MW 与BD的位置关系，并证明你的结论 高二年级数学试卷第6页共7页 20.(本小题15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面PDC⊥平面ABCD, PD⊥CD,DA=DC=DP=2,点M为棱PC中点，平面ABM与棱PD交于点N. (I)求证：N是棱PD的中点； (I)若∠BAD=60°，求： (i)二面角M-BD-C的余弦值； (i)在棱PA上是否存在点2，使得BQ⊥平面BDM？ 若存在，求出巴的值；若不存在，说明理由。 PA 人 21.(本小题15分) 对任意无穷数列(a,},定义从a,起连续k项的和S()为：S()=a,+a1+…+ak1’ 其中k,i为任意正整数.若无穷数列(a)满足：对任意neN'和leN°，存在m∈n+1, n+2,n+3,n+4，使得S,(n)=S,(m),则称数列(an}具有性质T. (1)设b,=si血7，其中n∈N.判断数列，)是否具有性质T？说明理由： (2)己知数列{an}具有性质T, ()求集合{u|u=an,n∈W}中元素个数的最大值； (创证明：存在正整数1，对任意k∈{1,2,3，，2026)，有ak=a: 高二年级数学试卷第7页共7页