指数函数的图像和性质常考题型归纳 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

指数函数 知识梳理 1、指数函数的概念 一般地，函数 （，且 ）叫做指数函数，其中指数 是自变量，定义域是 . 判断一个函数是不是指数函数，看四项： 的系数为 、底数是大于 且不等于 的常数、指数位置上恰好是 本身，以及定义域为全体实数. 四项缺一不可，、、 都不是指数函数：前两个叫指数型函数，第三个的自变量在底数上. 1.1 底数为什么这样规定 （1）： 是常函数，图象是一条水平线，没有研究价值； （2）： 时 、 都不定义； （3）： 这类指数使 在实数范围内不存在. 规定了 且 之后，对任意 ， 都是确定的实数，且恒有 ，定义域才可能是 . 1.2 一个代数特征 即 ，自变量相加、函数值相乘. 幂函数 满足的是 ，积变积. 一个只把「和」变「积」，一个只把「积」变「积」，这是两类函数的标志性差别. 2、指数函数的图象与性质 底数 与 的大小关系决定图象的升降，两支合起来就是下面这张表. 项目 图象 定义域 值域 过定点 单调性 在 上递增 在 上递减 时 时 时 渐近线 轴（ 时 ） 轴（ 时 ） 这张表之外，还有三件事常用： （1）底数比较：作直线 与 的图象交于 ，交点的纵坐标就是底数，所以 轴右侧「底大图高」、左侧「底大图低」；合起来是：不论 还是 ，底数越大，图象在第一象限越靠上. 如图 1，在直线 上，同一竖直线上曲线越高，对应的底数越大，交点的高度就是底数本身. 图 1　底数比较. 直线 与各曲线的交点，纵坐标就是底数，交点越高底数越大. （2）互为倒数的底数：，点 与 分别在两条曲线上，故 与 的图象关于 轴对称，把一条关于 轴翻折即得另一条. （3）值域与渐近线：值域 说明 可任意接近 却取不到 ，更取不到负值；形如 （）的图象整条落在直线 的同一侧，并以它为水平渐近线. 共同性质有五条：定义域为全体实数、值域为 、图象恒在 轴上方、过定点 、以 轴为渐近线；指数函数是非奇非偶函数. 底数没有给定时，凡涉及增减、最值的结论都要分 与 两支讨论，只写一支就漏了一半. 2.1 由单调性得到的等价变形 当 时，；当 时，. 前提是两边已化成同底数幂. 底数含参数而题设没交代它与 的大小时，两种情形都要写出，只写一种就漏了一半. 3、指数函数的图象变换 3.1 平移 已知函数 （，）. 平移只改变图象的位置，不改变形状和单调性，四种对应关系是： ① 向上平移 个单位（）： → ； ② 向下平移 个单位（）： → ； ③ 向左平移 个单位（）： → ； ④ 向右平移 个单位（）： → . 口诀是「左加右减、上加下减」. 横向平移要把 整体换掉： 向右平移 个单位，得到的是 ，不是 . 3.2 定点 令指数为 解出 ，此时函数值与 无关，这就是「恒过」二字的意思： 恒过 ； 恒过 . 画草图只需取三点：、、，分别对应定点、底数与底数的倒数；三点画准，图象形状就定了. 3.3 对称与翻折 （1）关于坐标轴：关于 轴得 ，关于 轴得 ，关于原点得 ；规则是把 换成 、、. （2）：动的是自变量，去左留右，再把右侧图象关于 轴翻到左侧，所得图象关于 轴对称；因 ， 时值域为 ， 时为 . 如图 2(a)：保留右侧那一段，左侧由它对称翻过去，两支在 轴上接成一个尖点，尖点的纵坐标恰为 1，也是最小值. （3）：动的是整体值. 因 恒成立，图象与 完全相同，「留上下翻上」对纯 不起作用；它用在 这类式子上——保留 轴及上方的部分，把下方部分翻上去——翻上去的那一段与原图关于 轴对称，落在 轴上的交点成为折点，如图 2(b). 两条翻折容易混：这一条动整体值，去左留右再翻左那条动自变量，后者是偶函数的常见来源. 图 2　两条翻折. 虚线是翻折前的图象，实线是翻折后的图象：(a) 保留 轴右侧，左侧由右侧对称得到；(b) 把 轴下方的部分翻上去. 4、指数式比较大小 三条路径按「底数、指数是否相同」分工. 式子的结构 处理办法 依据 同底数、不同指数 用这个底数的指数函数的单调性，把比较函数值化为比较指数 时 递增， 时递减 同指数、不同底数 用幂函数在 上的单调性；或看图象在 轴右侧"底大图高" 在 上： 递增， 递减 底数、指数都不同 插入中间量 ，把两数分别与 比，凑成"甲 乙"；与 比不出结果时，用其中一个的指数配上另一个的底数构造同底中间量 时 与 的大小由 与 的大小决定 4.1 底数含参要分类 比较 与 时，若题设只说 且 ，则 时 ， 时结论相反，两种情形都要写出. 4.2 中间量不一定取 与 比不出高低时，换 、 之类的具体值，或换成与两边都同底的幂. 取中间量的唯一原则是「它必须同时能和这两个数比出大小」. 5、指数型函数图象的识别 四个判据，按「先奇偶、再单调、后特殊点」的顺序用，前面的判据能一次砍掉的选项，不必留到后面. （1）奇偶性定对称： 为偶函数， 为奇函数，、 均为奇函数， 为偶函数. 一般地， 为单调奇函数时， 是偶函数、 是单调奇函数. （2）单调性定升降：化成 ， 时与 同向， 时反向. （3）特殊点定位：必查定点、、零点，以及 处的值 与 ——后两个数能区分 与 . （4）渐近线定上下界： 以直线 为水平渐近线，图象整体在它上方（）或下方（），永不与之相交. 题型一　指数函数的概念与解析式 方法：解析式形如 、给点求式，或辨析 型关系 → 先由定义令系数为 ，再由 与 列式 → 由 且 保证底数唯一. 易错：底数须同时满足 、，由方程解出的负值必须舍去. 1. 已知，且的图象如图所示，则等于( ) A．4 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题中图象知，函数过，，则，所以． 又，所以（负值舍去），故， ． 故选：B 1. 已知函数，且，若，则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A选项，， 由于不一定相等，故A不正确； B选项，， 故，故B正确； C选项，， 由于不一定相等，故C不正确； D选项，， 由于不一定相等，故D不正确. 1. 已知指数函数的图象经过点，则( ) A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】因为指数函数，则.因的图象经过点，则 ， ∴. 故选：A. 1. 已知函数的图象过原点，且无限接近于直线但又不与该直线相交，则( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，，，则， 则. 故选：A 题型二　定点与相关最值 方法： 型求定点 → 令 解出 ，此时幂值为 ，纵坐标为 → 由 保证该点与底数 的取值无关. 方法：定点落在直线 上得线性条件 → 把所求式化为 型，或用"1"的代换凑出积为定值 → 由基本不等式（积定和最小）求最值，取等条件须与原线性条件联立可解. 易错：取等解出的参数须落在题设范围内；若解出 而题设 ，最值取不到. 1. 已知函数恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为( ) A． B．8 C． D． 【答案】D 【解析】令，即，，所以恒过定点， 因为点在函数的图象上，则有， ， 当且仅当，即时等号成立. 则的最小值为. 1. （多选）若正实数，满足，则( ) A．的最大值是1 B．的最小值是 C．的最小值18 D．的最小值是 【答案】BCD 【解析】对于A，，， ， 当且仅当，即时取等号，这与已知矛盾， 故等号取不到，所以，故A错误； 对于B，，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D，由，，得，， ， 当时，上式取得最小值，最小值为，故D正确. 1. 函数（且）的图象恒过定点A，且A在幂函数的图象上，则k的值为______． 【答案】 【解析】中，令得，此时， 所以，又A在幂函数上， 所以，解得，所以， 故，解得. 题型三　图象识别与图象应用 方法：给指数型函数的图象反求参数 → 先由曲线升降定 还是 ，再由与 轴交点 与 比较定平移量 → 由 的单调性保证符号唯一. 方法：给含绝对值或分式的指数型解析式选图象 → 先看定义域、奇偶性与特殊点符号排除，再分段判升降 → 由"同增异减"保证各段走向. 易错： 时 才等价于 ，底数与不等号方向须同判. 1. 函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是( ) A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】由图象可知，函数为减函数，所以， ， 因为，所以，所以. 1. 已知函数（，且）的图象如图所示，则( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数的图象是由指数函数向下平移而得到， 由图可知，解得． 故选：D. 1. 函数的图象大致为( ) A． B． C．D． 【答案】B 【解析】先做出函数的图象，保留轴右边的图象不变，并将轴右边的图象对称到轴左边，可得的图象，再将的图象向左平移1个单位，可得的图象，如下图： . 故选：B 1. 函数的图象大致为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由解析式知，函数定义域为R，且，为奇函数，排除A,C; 时，，排除D. 题型四　图象共存与综合判定 方法：一次函数与指数型函数图象共存 → 由直线斜率定 的符号、由曲线升降定 或 ，两处约束须相容 → 由 的单调性判据逐项排除矛盾项. 方法：曲线升降已定仍有多解 → 再取 处的截距（、直线纵截距 ）与 的恒正性定符号 → 由 与 保证该判据唯一. 易错： 在 轴上方还是下方由 定， 只定升降. 例　已知 且 ，，函数 与 的图象在同一平面直角坐标系中.下列四组图象特征中，可能同时出现的是( ) A． 的图象是上升的直线且与 轴交于正半轴， 的图象是下降的曲线且位于 轴上方 B． 的图象是下降的直线且与 轴交于正半轴， 的图象是上升的曲线且位于 轴上方 C． 的图象是下降的直线且与 轴交于负半轴， 的图象是下降的曲线且位于 轴上方 D． 的图象是上升的直线且与 轴交于负半轴， 的图象是上升的曲线且位于 轴上方 解：由 及 得 ，即 的图象与 轴的交点必在负半轴，故 A、B 中"交于正半轴"不可能，排除.C 中 下降，故斜率 ；而 位于 轴上方需 （因为 恒成立），两处约束矛盾，排除. D 中 上升，故 ，此时 确在 轴上方； 上升又需 ，与 且 相容.取 、，则 、 同时满足 D 的全部特征，故选 D. 1. 已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象不可能是( ) A．B．C．D． 【答案】D 【解析】因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线， 而为指数型函数， 对于A，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递增，故A符合题意； 对于B，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减，故B符合题意； 对于C，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减其图象与的图象关于轴对称，故C符合题意； 对于D，由图象结合一次函数图象性质可知，， 而恒成立，所以图象在轴上方，故D不符合题意. 故选：D 1. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，所以在定义域上单调递减． ，，故B符合题意． 1. 函数的图象大致为( ) A．B．C．D． 【答案】A 【解析】当时，为减函数，排除C、D， 当时，为增函数，排除B. 1. 已知且，则函数与函数在同一平面直角坐标系中的部分图象可能为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，B，由图象结合指数函数性质得， 且对于，当时，， 则，故A正确，B错误， 对于C，由指数函数性质结合图象得， 则，与图象不符，故C错误， 对于D，由指数函数性质结合图象得， 对于，当时，，则， 与图象不符，故D错误. 故选：A 1. 函数的部分图象大致为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，解得，则函数的定义域为， 且，可知函数为奇函数， 其图象关于原点对称，故A错误； 又因为当时，则，，，即， 可得，故BD错误； 故选：C. 1. 函数的部分图象大致是( ) A．B．C．D． 【答案】B 【解析】由，解得，即函数的定义域为， ，则函数为偶函数，排除A； 在区间上，，，，则，排除C； 在区间上，，，，则，排除D， 故选：B． 题型五　指数型复合函数的单调区间 方法： 且底数已定、求单调区间 → 先求 的定义域与单调区间， 取同向、 取反向 → 由复合函数"同增异减"保证所得区间端点不变. 易错：区间端点即 的对称轴；只抄 的区间不看外层底数，方向会反. 1. 函数的单调递减区间是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数由和复合而成， 因为，其单调递减区间是，单调递增区间是； 而函数在上单调递减， 由复合函数的单调性知的单调递减区间是. 1. 若函数（，）满足，则的单调递减区间是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以，即，解得或（舍）， 所以， 令，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 由指数函数知，在定义域上单调递减， 所以在上单调递减. 1. 函数的递增区间是________________． 【答案】 【解析】因为是减函数，在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数的单调性，所以函数的递增区间是. 题型六　由单调性求参数 方法：外层底数已定、内层含参，已知复合函数在某区间上的单调性 → 由外层单调性反推内层在该区间应有的单调方向，再令内层对称轴落在区间端点外侧 → 由"同增异减"与二次函数对称轴位置保证. 方法：内层二次项系数也含参 → 先单独处理系数为 的退化情形，再按开口方向与对称轴列不等式组 → 由二次函数单调性保证两段解取并集. 易错：内层带根号时除对称轴条件外，还须内层在该区间恒非负，否则定义域断开. 例　已知函数 在区间 上单调递减，求实数 的取值范围. 解：令 ，则 .外层 在 上单调递增，由"同增异减"知需内层 在 上单调递减，即需 在 上单调递减，且 在 上恒成立. 的图象开口向下、对称轴为 ， 在 上递减等价于 ，即 .又 在 上递减，故当 时 ，要使 恒成立只需 即 ，解得 .两条件同时满足得 . 1. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为上的增函数， 所以由复合函数的单调性知在上单调递减， 当时，在上单调递减，满足题意； 当时，在上单调递减，则， 解得. 综上，. 1. 已知函数在上单调递减，则a的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令， 由题意知，在上单调递减，且在上恒成立. 所以，解得. a的取值范围是. 1. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数在上为增函数， 且在上为减函数，在上为增函数， 而在上单调递增，所以． 题型七　比较大小与充分必要条件 方法：比较几个幂的大小 → 同底用 的单调性、同指数用 的单调性；底与指数都不同则插入 或中间量搭桥 → 由这两条单调性保证不等号方向. 易错： 型是偶函数，由 推不出 ，须改比 与 . 1. 设，，，则，，的大小关系为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数在上单调递增，且，所以，即. 因为函数在R上单调递减，且，所以，即， 所以. 1. 已知，则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 在单调递减， ， ， 在单调递增， ， ， 在单调递增，， ， 综上：. 1. 已知，则“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】C 【解析】若，因为指数函数在上为单调递增函数，所以， 若，因为幂函数的定义域为，满足， 所以为偶函数，且在上递减，在上递增，可得， 当时，不一定成立；反之，当时，也不一定成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 题型八　指数型不等式的解法 方法：两边都是 、 或可化为同底 → 先统一底数，再用 的单调性去底数；底数含参时按 与 分两类 → 由单调性保证去底数时不等号方向正确. 易错： 时去底数必须变号，只写一种情形的解集等于漏解. 例　解关于 的不等式 ，其中 且 . 解：底数 与 的大小关系决定去底数后是否变号，故分类.当 时， 在 上单调递增，原不等式等价于 ，移项得 ，即 ，解得 或 . 当 时， 在 上单调递减，原不等式等价于 ，即 ，解得 .综上，当 时解集为 ；当 时解集为 . 1. 若，则的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】原不等式可化为， 因为在上单调递增，所以， 即，解得. 1. 不等式与不等式解集相同，则________． 【答案】 【解析】因为，且在上单调递增， 所以原不等式等价于，即，解得． 于是的两根为和， 由韦达定理，，故. 1. 解关于的不等式：且． 【答案】当时，解集为；当时，解集为． 【解析】当时，在上单调递增，原不等式等价于， 即，解得； 当时，在上单调递减，原不等式等价于， 即，解得或. 题型九　指数型函数的值域与最值 方法： 且 为二次或含绝对值 → 先求 在给定区间上的取值范围，再用 的单调性取上下界 → 由指数函数单调性保证值域端点. 方法： → 令 ，由 的范围同步算出 的范围 → 化为二次函数在闭区间上求值域，由对称轴位置与端点值比较保证最值取到. 方法： 或 型 → 同乘同除凑完全平方，或直接用基本不等式 → 由 且两式之积为定值保证等号可取. 易错：换元后忘记同步求 的范围，按 求最值会得到区间外的假最值. 例　求函数 在 上的值域. 解：令 ，因 在 上单调递增，由 得 .原式化为 ，. 该二次函数图象开口向上、对称轴 ，因 ，故 时取最小值 ；又 时 ， 时 ，故最大值 .所以函数的值域为 . 1. 函数的值域为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，所以， 因为在上单调递增，所以， 所以函数的值域为. 故选：D. 1. 函数的值域是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，因为，所以， 则， 令，， 所以当时取得最小值，且，又，， 所以，即函数的值域是. 故选：C 1. 函数的定义域为，则其值域为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由题意，所以， 因为函数为增函数，所以， 故． 故选：C． 题型十　恒成立与含参最值 方法：（或 ）在某区间上恒成立 → 分离参数得 （或 ），再把 换元成 求最值 → 由最值定义保证端点取不到时改用上、下确界. 易错： 是开区间，端点只能趋近，参数可取得该端值（ 而非 ）. 方法：出现 常数且 单调 → 由单调性知内层 为常数 ，得 → 代回得 常数，由 单调递增保证 唯一. 例　若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围. 解：令 ，因 在 上单调递增，由 得 .原不等式化为 ，即 对 恒成立，故 须大于右边在 上的最大值. 函数 图象开口向下、对称轴 ，在 上单调递减，故 ，且 趋于 时 趋于 .注意 对应 ，不在区间内，故 取不到， 只有上确界 . 由 对一切 成立得 ： 时 对 恒成立，故等号可以取到.所以 的取值范围为 . 1. 函数对恒成立，则实数的取值范围( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数对恒成立， 则，即 设，，则， 当时，， 则实数的取值范围. 故选：A. 1. 若不等式 对于任意恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】设，则，所以问题转化为，恒成立． 因为 在上单调递减，所以 所以． 1. 已知定义在上的函数为单调函数，且对任意，恒有，则函数的零点是__________. 【答案】0 【解析】令，由函数为上的单调函数，且，，得为常数， 则，且，于是，又函数在上单调递增，且， 因此，即，由，得， 所以函数的零点是0. 故答案为：0 题型十一　指数函数的实际应用 方法：半衰期、保鲜时间、含药量等实际背景 → 设 或 ，用一个已知数据点定出指数系数 → 由 的单调性保证模型唯一，再解指数不等式得有效范围. 易错：半衰期须把周期除进指数（写成 ），写成 等于把 天当成 个半衰期. 1. 人工放射性核素碘-131可发射射线治疗某种疾病．已知该物质的半衰期为天，设质量为的碘-131经过天后剩余的质量为，则关于的函数解析式是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设碘-131的衰减率为，则， 由半衰期为天，可得，解得， 所以，. 故选：A. 1. 某食品的保鲜时间(单位：小时)与储藏温度(单位：℃)满足函数关系，其中为常数．若该食品在℃的保鲜时间为小时，则在℃的保鲜时间是( ) A．20小时 B．24小时 C．28小时 D．32小时 【答案】B 【解析】由时，得，即． 当时，. 1. 某医药研究所开发一种抗甲流新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量(微克)与时间(小时)之间近似满足如图所示的曲线． (1)结合图，求与的值； (2)写出服药后与之间的函数关系式； (3)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于微克时治疗疾病有效，求服药一次治疗有效的时间范围？ 【答案】(1)，；(2)；(3) 【解析】(1)点在直线段上，代入得； 点也在曲线段上，代入得，即，所以． (2)由(1)知时，时，故 (3)当时，由得； 当时，由得，即． 综上，服药一次治疗有效的时间范围为． 题型十二　奇偶性与单调性证明 方法：分式或分段解析式已知为奇函数、求其中参数 → 用 展开通分后比较系数（定义域含 时可用 ） → 由奇函数定义与定义域关于原点对称保证恒等式成立. 方法：用定义法证明单调性 → 取 、作差、通分变形出含 的因式再定号 → 由 的单调性保证该因式符号确定. 方法： 型抽象不等式 → 先用奇偶性移项化为 ，再由单调性去掉函数符号得整式不等式 → 由奇偶性与单调性保证两式等价. 易错： 只对定义域含 的奇函数成立， 的分段函数须代 . 例　已知定义在 上的函数 是奇函数. (1) 求 的值； (2) 判断 在 上的单调性，并用定义证明； (3) 若 ，求实数 的取值范围. 解：(1) 由 是 上的奇函数，取 得 ，解得 .检验：此时 ，而 ，故 . (2) 在 上单调递增.任取 ，则 .由 在 上单调递增及 得 ，又 ，故 ，即 ，所以 在 上单调递增. (3) 由 为奇函数得 ，原不等式化为 ；又 在 上递增，故 ，即 ，分解得 ，解得 . 1. 已知函数为奇函数，则( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对任意的，，则， 因为函数为奇函数，则， 故当时，由可得，即， 所以，解得. 1. 若函数是奇函数，则( ) A．-1 B．0 C．1 D．3 【答案】C 【解析】的定义域为，关于原点对称， 则，即，故，解得， 故选：C 1. 已知函数为奇函数，当时，，则时，_________； 【答案】 【解析】由，可得， 因为函数为奇函数，且当时，， 可得， 即当时，. 1. 已知奇函数的定义域为. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)函数在上单调递增，证明： 由（1）可知，， 任取，且， 则， ，又， 在上单调递增； (3) 【解析】（1） 为定义域为的奇函数， ，即， ，整理得，，解得， 故， 函数的定义域为，则，解得， 所以，； （2）略 （3）当时，，由可得， 即当时，，令， 则， 又，当且仅当时等号成立，所以， 则， 实数m的取值范围． 题型十三　综合压轴 方法：多选辨析型综合题 → 逐项独立判定：幂函数用待定系数、定点令指数为 、单调区间用"同增异减"、分式与对勾函数看单调性 → 由各条结论的成立条件保证判断可靠. 方法：先用奇偶性定参、再换元转二次的综合题 → 先求内层 的值域，令 定出 的区间，再按对称轴与该区间的相对位置分段求最值 → 由二次函数在闭区间上的最值结论保证分段完备. 易错：分段界即换元后 区间的端点，按 讨论会多出无效分支. 1. （多选）下列结论中正确的是( ) A．若幂函数的图象经过点，则 B．函数的图象必过定点 C．函数的单调增区间是 D．若幂函数，则对任意，都有 【答案】BD 【解析】选项A：设幂函数，由于过点，代入可得， 解得，则，故A错误； 选项B：令，解得，此时， 所以图象必过定点，故B正确； 选项C：令，为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，在R上单调递减， 由复合函数单调性”同增异减”的原则，可得的单调增区间是，故C错误； 选项D：由题意， 则， 所以，即，故D正确. 1. （多选）下列说法正确的是( ) A．若的值域为，则的值域为 B．函数且的图象恒过定点 C．函数的最小值为6 D．“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件 【答案】BD 【解析】解：对于A，因为的图象是由的图象向右平移1个单位得到的， 又因为的值域为，所以的值域也为，故A错误； 对于B，对于，令，可得， 故函数且图象过定点，故B正确； 对于C，令，则函数即为， 由对勾函数的性质可知在上单调递增， 所以，当，即时，取得最小值， 即函数的最小值为，故C错误； 对于D，当关于的方程有一正根和一负根， 则有，解得，所以“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件，故D正确． 故选：BD 1. 已知函数是上的奇函数，函数． (1)求实数k的值； (2)当时，函数的最小值是关于a的函数，求； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）函数是上的奇函数， ，即，整理得， 对任意成立，，解得． （2），在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递增， ， 在上的值域为， 令，则，函数开口向上，对称轴为， 当时，在上单调递增，最小值为； 当时，在对称轴处取得最小值，最小值为； 当时，在上单调递减，最小值为； ． （3）若对任意的，恒成立，即对恒成立； 当时，，成立； 当时，，解得，又，； 当时，，解得，与矛盾，舍去； 的取值范围是． 课后作业 1. 已知函数（，）的图象所过的定点在直线上，则的最小值为______. 【答案】/ 【解析】函数所过定点为， 依题意，该定点在直线上，则， 即， 故 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为. 1. 函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象为( ) A．BC．D． 【答案】D 【解析】由函数和， 当时，函数在第一象限为单调递增函数，且增长趋势越来越快， 函数在定义域为单调递增函数，可排除A和B项； 当时，函数在第一象限为单调递增函数，且增长趋势越来越慢， 函数在定义域为单调递减函数，可排除C项. 故选：D. 1. 函数的部分图象大致为( ) A．B．C．D． 【答案】A 【解析】因为，所以函数的定义域为，关于原点对称， 因为，所以为奇函数， 图象关于原点对称，故排除B， 当时，， 由，得，排除CD． 1. （多选）函数的图象可能是( ) A．B．C．D． 【答案】CD 【解析】当时，，因此时，，且在上单调递增，故C符合，AB不符合； 当时，，因此时，，且在上单调递减，故D符合． 1. 已知，，，则( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】比较a和b：由，则是减函数，又，故，即； 比较a和c：由，则是增函数，又，故，即． 综上，． 1. 函数的最小值是( ) A．2 B．3 C．6 D．不存在 【答案】C 【解析】因为， 所以由基本不等式得， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6. 1. 已知函数. (1)当时，求在上的值域； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）当时，; 令，因是上的单调递增函数，且，故， 此时函数转化为，； 该二次函数开口向上，对称轴为： 当时，；当时，； 故在上的值域为. （2）令， 当时，，且是上的单调递增函数， 此时转化为，； 根据复合函数单调性“同增异减”规则，要使在上单调递增，需在上单调递增； 是开口向上的二次函数，对称轴为，故需满足， 解得； 故实数的取值范围为. 1. 已知定义域为的函数是奇函数． (1)求的值． (2)判断函数的单调性，并用定义证明． (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)减函数，证明如下： 由（1）知， 任取，设，则， 因为函数在R上是增函数，，∴．又， ∴，即，∴在上为减函数． (3) 【解析】（1）因为在定义域为R上是奇函数，所以，即， ∴， 则，由 ， 则当时，原函数为奇函数． （2）在上为减函数．证明略； （3）因是奇函数，从而不等式：， 等价于， 因为减函数，由上式推得：． 即对一切有：恒成立，设， 令，则有， ∴， ∴，即k的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $指数函数 知识梳理 1、指数函数的概念 一般地，函数y=ax（a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域 是R. 判断一个函数是不是指数函数，看四项：αx的系数为1、底数是大于0且不等于1的常 数、指数位置上恰好是x本身，以及定义域为全体实数.四项缺一不可，y=2·3x、y= 3x+1、y=x3都不是指数函数：前两个叫指数型函数，第三个的自变量在底数上， 1.1底数为什么这样规定 (1)a=1:y=1x=1是常函数，图象是一条水平线，没有研究价值： (2)a=0:x≤0时0°、0-1都不定义： (3)a<0:x=号这类指数使(-2)在实数范围内不存在 规定了a>0且a≠1之后，对任意xER,ax都是确定的实数，且恒有ax>0,定义 域才可能是R 1.2一个代数特征 a+=a:a,a-=a x2 即f(x1+x2)=f(x1)f(x2),自变量相加、函数值相乘.幂函数g(x)=xm满足的是 g(x1x2)=g(x1)g(x2),积变积.一个只把「和」变「积」，一个只把「积」变「积」，这是 两类函数的标志性差别 2、指数函数的图象与性质 底数α与1的大小关系决定图象的升降，两支合起来就是下面这张表， 1 项目 a>1 0<a<1 y=a y=a 图象 (0,1) (0,1) 0 定义域 R R 值域 (0,+0) (0,+∞) 过定点 (0,1) (0,1) 单调性 在R上递增 在R上递减 x>0时 a>1 0<ax<1 x=0时 a=1 a=1 x<0时 0<ax<1 ax>1 渐近线 x轴(x→-o时y→0) x轴(x→+∞时y→0) 这张表之外，还有三件事常用： (1)底数比较：作直线x=1与y=ax的图象交于(1，a),交点的纵坐标就是底数，所 以y轴右侧「底大图高」、左侧「底大图低」；合起来是：不论a>1还是0<a<1,底数 越大，图象在第一象限越靠上.如图1，在直线x=1上，同一竖直线上曲线越高，对应的底 数越大，交点的高度就是底数本身 =1 y=(1/3' 1y=3 y(1/2y =2 图1底数比较.直线x=1与各曲线的交点，纵坐标就是底数，交点越高底数越大 2 (2)互为倒数的底数：y=(白)x=ax,点(x,y)与(-x,y)分别在两条曲线上，故y= a*与y=(白x的图象关于y轴对称，把一条关于y轴翻折即得另一条 (3)值域与渐近线：值域(0，+o∞)说明af可任意接近0却取不到0，更取不到负 值；形如y=Aafx+c（A≠0)的图象整条落在直线y=c的同一侧，并以它为水平渐近 线 共同性质有五条：定义域为全体实数、值域为(0，+∞)、图象恒在x轴上方、过定点 (0,1)、以x轴为渐近线：指数函数是非奇非偶函数.底数没有给定时，凡涉及增减、最值的 结论都要分a>1与0<a<1两支讨论，只写一支就漏了一半. 2.1由单调性得到的等价变形 当a>1时，af>a9曰f(x)>g(x)；当0<a<1时，af>a9x→f(x)< g(x): 前提是两边已化成同底数幂.底数含参数而题设没交代它与1的大小时，两种情形都要写 出，只写一种就漏了一半 3、指数函数的图象变换 3.1平移 已知函数y=ax（a>0,a≠1).平移只改变图象的位置，不改变形状和单调性，四种 对应关系是： ①向上平移k个单位(k>0):y=ax→y=ax+k: ②向下平移k个单位(k>0):y=axy=ax-k; ③向左平移h个单位(h>0):y=ax→y=ax+h: ④向右平移h个单位(h>0):y=ax→y=ax-h. 口诀是「左加右减、上加下减」.横向平移要把x整体换掉：y=α2x向右平移1个单 位，得到的是y=a2x-1)=a2x-2,不是a2x-1 3.2定点 令指数为0解出x,此时函数值与a无关，这就是「恒过」二字的意思： y=ax+b+c恒过(-b,1+c):y=Aax+b+c恒过(-b,A+c): 3 画草图只需取三点：x=0、x=1、x=一1，分别对应定点、底数与底数的倒数：三点 画准，图象形状就定了 3.3对称与翻折 (1)关于坐标轴：关于y轴得y=ax,关于x轴得y=-ax,关于原点得y= -ax;规则是把f(x)换成f(-x)、-f(x)、-f(-x) (2)y=αl4:动的是自变量，去左留右，再把右侧图象关于y轴翻到左侧，所得图象 关于y轴对称；因x|≥0，a>1时值域为[1，+o),0<a<1时为(0,1].如图2(a):保留 右侧那一段，左侧由它对称翻过去，两支在y轴上接成一个尖点，尖点的纵坐标恰为1，也 是最小值 (3)y=lax:动的是整体值.因ax>0恒成立，图象与y=ax完全相同，「留上下翻 上」对纯ax不起作用：它用在y=|ax-bl这类式子上一保留x轴及上方的部分，把下方 部分翻上去一翻上去的那一段与原图关于x轴对称，落在x轴上的交点成为折点，如图 2(b).两条翻折容易混：这一条动整体值，去左留右再翻左那条动自变量，后者是偶函数的常 见来源， =2 y=21川 2 y=2-1 创 6b) 图2两条翻折.虚线是翻折前的图象，实线是翻折后的图象：()y=2x保留y轴右 侧，左侧由右侧对称得到；(b)y=2x-1把x轴下方的部分翻上去 4、指数式比较大小 三条路径按「底数、指数是否相同」分工 4 式子的结构 处理办法 依据 同底数、不同指数 用这个底数的指数函数的单调性，把比较函数值化 a>1时ax递增，0<a< 为比较指数 1时递减 同指数、不同底数 用幂函数在(0，十∞)上的单调性：或看图象在y y=x在(0，十∞)上：a> 轴右侧"底大图高” 0递增，a<0递减 插入中间量1，把两数分别与1比，凑成"甲>1> 底数、指数都不同 x>0时ax与1的大小由a 乙"；与1比不出结果时，用其中一个的指数配上 另一个的底数构造同底中间量 与1的大小决定 4.1底数含参要分类 比较am与an时，若题设只说a>0且a≠1，则a>1时am>an台m>n,0< a<1时结论相反，两种情形都要写出 4.2中间量不一定取1 与1比不出高低时，换0、2之类的具体值，或换成与两边都同底的幂.取中间量的唯一 原则是「它必须同时能和这两个数比出大小」 5、指数型函数图象的识别 四个判据，按「先奇偶、再单调、后特殊点」的顺序用，前面的判据能一次砍掉的选 项，不必留到后面 (1)奇偶性定对称：ax十ax为偶函数，a*一ax为奇函数，二、a+均为奇函数， ax+1ax-1 ald为偶函数.一般地，h(x)为单调奇函数时，ah(+ah是偶函数、ah一ah是单 调奇函数 (2)单调性定升降：化成y=Aafx)+c,A>0时与afx)同向，A<0时反向. (3)特殊点定位：必查定点、f(0)、零点，以及x=士1处的值a与。一后两个数能 区分a>1与0<a<1 (4)渐近线定上下界：y=Aa+b+c以直线y=c为水平渐近线，图象整体在它上方 (A>0)或下方(A≤0)，永不与之相交. 5 题型一指数函数的概念与解析式 方法：解析式形如y=(a-1)bx、给点求式，或辨析f(x1+x2)型关系→先由定义令 系数为1，再由f(0)=1与a1+2=ax1ax2列式→由a>0且a≠1保证底数唯一. 易错：底数须同时满足a>0、a≠1，由方程解出的负值必须舍去. 1、已知f(x)=ax+b,a>0,且a≠1的图象如图所示，则f(4)等于() -2 A.4 B.6 C.9 D.3V3-3 2、已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)，若x1,x2ER,则() A.f(x1x2)=f(x1)f(x2) B.f(x1+x2)=f(x1)f(x2) C.f(x1x2)=f(x1)+f(x2) D.f(x1+x2)=f(x1)+f(x2) 3、已知指数函数f()=(a-1)b*的图象经过点(-1，》，则(=() A. B.2 C.V2 D.2 6 4、已知函数f(x)=a(w+b的图象过原点，且无限接近于直线y=1但又不与该直线相 交，则f(1)=() A. B. c.-3 D.- 题型二定点与相关最值 方法：y=af+b型求定点→令f(x)=0解出x,此时幂值为1，纵坐标为1+b→ 由a=1保证该点与底数a的取值无关 方法：定点落在直线y=mx+n上得线性条件→把所求式化为22m+2”型，或用"1" 的代换凑出积为定值→由基本不等式（积定和最小）求最值，取等条件须与原线性条件联立 可解 易错：取等解出的参数须落在题设范围内；若解出α=0而题设α>0，最值取不到， 1、已知函数f(x)=ax-2+2(a>0,a≠1)恒过定点Q,且点Q在函数y=mx+n的图象上， 则4m+2n的最小值为() A.22 B.8 C.4 D.4v2 2、（多选)若正实数a,b满足2a+b=1,则() A.(1+a)(1+b)的最大值是1 B.4a+2b的最小值是2v2 C.是+的最小值18 D.a2+2b2的最小值是号 3、函数f()-a3x-k-}(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,且A在幂函数()=(2m- 1)xm的图象上，则k的值为 题型三图象识别与图象应用 方法：给指数型函数的图象反求参数→先由曲线升降定a>1还是0<a<1,再由与 y轴交点f(0)=ab与1比较定平移量→由y=ax的单调性保证符号唯一. 方法：给含绝对值或分式的指数型解析式选图象→先看定义域、奇偶性与特殊点符号排 除，再分段判升降→由"同增异减"保证各段走向 易错：0<a<1时a-b<1才等价于-b>0,底数与不等号方向须同判. 8 1、函数f(x)=a-b的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是() VA -10 1 A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 2、已知函数y=ax+b(a>0,且a≠1)的图象如图所示，则() A.0<a<1,b>-1 B.0<a<1,b<-1 C.a>1,b>-1 D.a>1,b<-1 3、函数f(x)=(孕x+1的图象大致为() -1O A B. 9 4、函数f()=4。的图象大致为) 题型四图象共存与综合判定 方法：一次函数与指数型函数图象共存→由直线斜率定b的符号、由曲线升降定α>1 或0<a<1,两处约束须相容→由y=ax的单调性判据逐项排除矛盾项 方法：曲线升降已定仍有多解→再取x=0处的截距（g(0)=b、直线纵截距-a)与 g的恒正性定符号→由a=1与ax>0保证该判据唯一 易错：g(x)=bax在x轴上方还是下方由b定，a只定升降， 例已知a>0且a≠1，b∈R,函数f(x)=bx-a与g(x)=b·ax的图象在同一平 面直角坐标系中.下列四组图象特征中，可能同时出现的是() A.f(x)的图象是上升的直线且与y轴交于正半轴，g(x)的图象是下降的曲线且位于x轴上 方 B.f(x)的图象是下降的直线且与y轴交于正半轴，g(x)的图象是上升的曲线且位于x轴上 方 C.f(x)的图象是下降的直线且与y轴交于负半轴，g(x)的图象是下降的曲线且位于x轴上 方 D.f(x)的图象是上升的直线且与y轴交于负半轴，g(x)的图象是上升的曲线且位于x轴上 方 解：由f(0)=-a及a>0得f(0)<0,即f(x)的图象与y轴的交点必在负半轴，故 A、B中"交于正半轴"不可能，排除C中f(x)下降，故斜率b<0:而g(x)=b·ax位于x 轴上方需b>0(因为ax>0恒成立)，两处约束矛盾，排除 D中f(x)上升，故b>0,此时g(x)=b·ax确在x轴上方；g上升又需a>1,与 a>0且a≠1相容.取a=2、b=1,则f(x)=x-2、g(x)=2同时满足D的全部特 征，故选D 10 1、己知a>0且a≠1，b∈R,则函数f(x)=bx-a与g(x)=b·ax在同一坐标系内的图象 不可能是() : 2、已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(a<b)的图象如图所示，则函数g(x)=ax-b的图象可能 是() 3、函数f()=的图象大致为水) 4、已知a>0且a≠1，则函数y=ax+a与函数y=ax-a在同一平面直角坐标系中的部分 图象可能为() 了 5、函数f凶 一的部分图象大致为() n 6、函数f()=2的部分图象大致是(） 4x2-1 弟、 题型五指数型复合函数的单调区间 方法：y=af(且底数已定、求单调区间→先求f(x)的定义域与单调区间，a>1取 同向、0<α<1取反向→由复合函数"同增异减"保证所得区间端点不变 易错：区间端点即f(x)的对称轴：只抄f(x)的区间不看外层底数，方向会反， 12 1、函数y=(“-x的单调递减区间是() A.(-∞，] B.(-∞，-] C.[-,+o) D.5,+o) 2、若函数f(x)=a2x-(a>0,a≠1)满足f(1)=。,则f(x)的单调递减区间是() A.(-0∞，2] B.(-0,-2] C.[-2,+o) D.[2,+o) 3、函数y=(白2-2+2的递增区间是 题型六由单调性求参数 方法：外层底数已定、内层含参，已知复合函数在某区间上的单调性由外层单调性反 推内层在该区间应有的单调方向，再令内层对称轴落在区间端点外侧→由"同增异减”与二次 函数对称轴位置保证 方法：内层二次项系数也含参→先单独处理系数为0的退化情形，再按开口方向与对称 轴列不等式组→由二次函数单调性保证两段解取并集！ 易错：内层带根号时除对称轴条件外，还须内层在该区间恒非负，否则定义域断开 例己知函数f(x)=e=x2+ax+1在区间(1,2)上单调递减，求实数a的取值范围. 解：令u=-x2+ax+1,则f(x)=ev.外层y=e”在R上单调递增，由"同增异减” 知需内层g(x)=一x2+ax+1在(1,2)上单调递减，即需u在(1,2)上单调递减，且u≥ 0在(1,2)上恒成立 13 u的图象开口向下、对称轴为x=,u在(1,2)上递减等价于≤1，即a≤2.又u在 (1,2)上递减，故当xE(1,2)时u>u(2)=-4+2a+1=2a-3,要使u≥0恒成立只需 u(2)≥0即2a-3≥0，解得a≥两条件同时满足得aeB,2 1、已知函数f(x)=3ax2-2x在[-1，+o)上单调递减，则实数a的取值范围为() A.[-1,+0) B.(-0,-1) C.[-1,0] D.[-1,0) 2、已知函数f(x)=e-x2+x+2a在(1,2)上单调递减，则a的取值范围是() A.1 B.[0,4] C.[0,1] D.[1,2] 3、若函数f(x)=2x-在(1，+oo)上单调递增，则实数a的取值范围是() A.(-∞，0] B.[0,+∞) C.(-∞，1] D.[1,+oo) 题型七比较大小与充分必要条件 方法：比较几个幂的大小→同底用y=ax的单调性、同指数用y=xa的单调性；底与 指数都不同则插入1或中间量搭桥→由这两条单调性保证不等号方向. 易错：a型是偶函数，由a>b推不出a>b,须政比la与bl 1、设a=0.30.3,b=0.4.3,c=0.30.4,则a,b,c的大小关系为() A.c<a<b B.a<c<b C.b<c<a D.c<b<a 14 2、已知0<a<1<b,则() A.ba≤ab<aa<bb B.ab<aa<ba<bb C.bb<ab<aa<ba D.ab<ba<aa<bb 3、已知a,beR,则3a>3是a>bi的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 题型八指数型不等式的解法 方法：两边都是af)、a9)或可化为同底→先统一底数，再用y=ax的单调性去底 数：底数含参时按a>1与0<a<1分两类→由单调性保证去底数时不等号方向正确. 易错：0<α<1时去底数必须变号，只写一种情形的解集等于漏解. 例解关于x的不等式ax2-2x>a2x-3,其中a>0且a≠1. 解：底数a与1的大小关系决定去底数后是否变号，故分类.当a>1时，y=ax在R 上单调递增，原不等式等价于x2-2x>2x-3,移项得x2-4x+3>0,即(x-1)(x- 3)>0,解得x<1或x>3. 当0<a<1时，y=ax在R上单调递减，原不等式等价于x2-2x<2x-3,即x2- 4x+3<0,解得1<x<3.综上，当a>1时解集为(-∞，1)U(3,+0);当0<a<1时解 集为(1,3) 1、若22+1≤（分x-2,则x的取值范围为） A.(-∞，-3] B.[-3,1] C.(-∞，-3]U[1,+∞) D.[1,+0) 15 2、不等式2xr2-2x-3<月)3x-3与不等式x2+ax+b<0解集相同，则a+b=一 3、解关于x的不等式：ax2-2x+3≤a(a>0且a≠1). 题型九指数型函数的值域与最值 方法：y=αf(且f(x)为二次或含绝对值→先求f(x)在给定区间上的取值范围，再 用αx的单调性取上下界→由指数函数单调性保证值域端点！ 方法：y=Aa2x+Bax+C→令t=ax,由x的范围同步算出t的范围→化为二次函 数在闭区间上求值域，由对称轴位置与端点值比较保证最值取到. 方法：y=ax+ax或a*+。型→同乘同除凑完全平方，或直接用基本不等式→由 αx>0且两式之积为定值保证等号可取 易错：换元后忘记同步求t的范围，按t∈R求最值会得到区间外的假最值， 例求函数y=4x-2x+1+3在x∈[-1,2]上的值域， 解：令t=2,因y=2在R上单调递增，由xE[-1,2]得tE,4原式化为y= t2-2t+3=(t-1)2+2,t∈[B,4 该二次函数图象开口向上、对称轴t=1,因1E,4,故t=1时取最小值ymim=2: 又t=号时y=号-1+3=，t=4时y=16-8+3=11,故最大值max=11.所以函数 的值域为[2,11] 16 1、函数y=22x-x2的值域为() A.[2,+o) B.(-∞，2] c.(0,] D.(0,2] 2、函数y=4x-3·2x+2+1(x∈(-∞，3])的值域是() A.[-31,1) B.[-35,-31] C.「-35,1) D.(-00,-31] 3、函数y=34-1的定义域为[-1,2]，则其值域为() A.[2,8] B.[1,8] C.[0,8] D.[-1,8] 题型十恒成立与含参最值 方法：a≥f(x)(或a≤f(x))在某区间上恒成立→分离参数得a≥f(x)max（或a≤ f(x)mm)，再把ax换元成t求最值→由最值定义保证端点取不到时改用上、下确界 易错：t=2x>0是开区间，端点只能趋近，参数可取得该端值(a≥0而非a>0) 方法：出现f(f(x)-2x)=常数且f单调→由单调性知内层f(x)-2x为常数t,得 f(x)=2x+t→代回得2+t=常数，由g(t)=2+t单调递增保证t唯一 例若不等式4x-2x+1+a>0对任意xE(0,1]恒成立，求实数a的取值范围， 解：令t=2x,因y=2x在R上单调递增，由x∈(0,1]得t∈(1,2].原不等式化为t2- 2t+a>0,即a>-(t-1)2+1对t∈(1,2]恒成立，故a须大于右边在(1,2]上的最大值. 函数h(t)=-(t-1)2+1图象开口向下、对称轴t=1,在(1,2]上单调递减，故 h(t)<h(1)=1,且t趋于1时h(t)趋于1.注意t=1对应x=0,不在区间内，故h(t)= 1取不到，h(t)只有上确界1. 由a>h(t)对一切tE(1,2]成立得a≥1：a=1时t2-2t+1=(t-1)2>0对t>1 恒成立，故等号可以取到.所以a的取值范围为[1，+o) 17 1、函数f(x)=4x-2x-a≥0对xE[-2,2]恒成立，则实数a的取值范围() A.（-∞- B.[-+∞) C.（-o, D. F,+o) 2、若不等式4x+2x+a>0对于任意xER恒成立，则实数a的取值范围是 3、已知定义在R上的函数f(x)为单调函数，且对任意xER,恒有ff(x)-2)=-则函 数f(x)的零点是 题型十一指数函数的实际应用 方法：半衰期、保鲜时间、含药量等实际背景→设y=yoakx或y=α(1-p)x,用一 个已知数据点定出指数系数→由αx的单调性保证模型唯一，再解指数不等式得有效范围. 易错：半衰期须把周期除进指数（写成。），写成8x等于把8天当成8个半衰期， 1、人工放射性核素碘-131可发射B射线治疗某种疾病.已知该物质的半衰期为8天，设质量 为a的碘-131经过x天后剩余的质量为y,则y关于x的函数解析式是() A.y=a(),x≥0 B.y=a(月8x，x≥0 C.y=a(白，x≥0 D.y=a(月4x,x≥0 2、某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：C)满足函数关系y=192kx,其中k 为常数.若该食品在20℃的保鲜时间为48小时，则在30C的保鲜时间是() A.20小时 B.24小时 C.28小时 D.32小时 18 3、某医药研究所开发一种抗甲流新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫 升血液中的含药量y(微克)与时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线. (I)结合图，求k与a的值： (2)写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t): (3)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，求服药一次治疗 有效的时间范围？ 卡y微克) M(1,4) y=kt t(小时) 题型十二奇偶性与单调性证明 方法：分式或分段解析式已知为奇函数、求其中参数→用f(-x)=一f(x)展开通分后 比较系数（定义域含0时可用f(0)=0)→由奇函数定义与定义域关于原点对称保证恒等 式成立 方法：用定义法证明单调性→取x1<x2、作差、通分变形出含ax1-α*2的因式再定号 →由y=ax的单调性保证该因式符号确定， 方法：f(A)+f(B)>0型抽象不等式→先用奇偶性移项化为f(A)>f(-B),再由单调 性去掉函数符号得整式不等式→由奇偶性与单调性保证两式等价 易错：f(0)=0只对定义域含0的奇函数成立，x≠0的分段函数须代一x 19 例已知定义在县上的函数f()=多是奇函数 (1)求m的值： (2)判断f(x)在R上的单调性，并用定义证明： (3)若f(t2-2t)+f(2t2-1)<0,求实数t的取值范围， 解：()由fx)是R上的奇函数，取x=0得f(0)==0,解得m=1检验：此时 f)=品而f(刘=-=f0,故m=1 (②)f(冈在R上单调递增任取x1<x2,则fx)-f)--3g1 3x1+13x2+1 3*+D361+=g1由y=3在R上单调递增及x<3得3 (3x1+1)(3x2+1) 3<0,又(3+1)(3+1)>0，故f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在 R上单调递增 (3)由f(x)为奇函数得f(2t2-1)=-f(1-2t2),原不等式化为f(t2-2t)<f(1- 2t2):又f(x)在R上递增，故t2-2t<1-2t2,即3t2-2t-1<0,分解得(3t+1)(t- 1)<0,解得-片<t<1. 2x+2,x>0 1、已知函数f(x) {a-白，x<0为奇函数，则a=() A.2 B.1 C.-1 D.-2 2、若函数f)=是奇函数，则Q=() A.-1 B.0 C.1 D.3 3、已知函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)=ex+则x>0时，f(x)= 20 4、已知奇函数f)=的定义域为[-n-2,] (1)求实数a,b的值： (2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明： (3)当xE[1,2]时，2+mf(x)+2x>0恒成立，求m的取值范围. 题型十三综合压轴 方法：多选辨析型综合题逐项独立判定：幂函数用待定系数、定点令指数为0、单调 区间用"同增异减"、分式与对勾函数看单调性→由各条结论的成立条件保证判断可靠 方法：先用奇偶性定参、再换元转二次的综合题→先求内层f(x)的值域，令t=f(x) 定出t的区间，再按对称轴与该区间的相对位置分段求最值→由二次函数在闭区间上的最值 结论保证分段完备 易错：分段界即换元后t区间的端点，按t∈R讨论会多出无效分支 21 1、(多选)下列结论中正确的是() A.若幂函数f(x)的图象经过点(G,2),则f(x)=x2 B.函数f(x)=ax+2-2(a>0且a≠1)的图象必过定点(-2，-1) C.函数f(x)=(月)2x-x2的单调增区间是(-o,1) D.若幂函数f)=V反，则对任意x1、2E[0,+四)，都有r@≤f主) 2 2、(多选)下列说法正确的是() A.若f(x)的值域为[-2,2]，则f(x-1)的值域为[-3,1] B.函数f(x)=ax-1-2(a>0且a≠1)的图象恒过定点(1，-1) C.函数f)=V2+16+的最小值为6 D.m<0”是关于x的方程x2-2x+m=0有一正根和一负根的充要条件 3、已知函数f(x)=3x-2k·3-x是R上的奇函数，函数g(x)=[f(x)]2-2af(x)+2. (I)求实数k的值： (2)当x∈[0,1]时，函数g(x)的最小值是关于a的函数m(a),求m(a): (3)若对任意的xE[0,1],g(x)≥1恒成立，求实数a的取值范围. 22 课后作业 1、已知函数f(x)=-2ax+m+n(m>-2,n>0)的图象所过的定点在直线y=2x+1 上，则2+2的最小值为 m+2 2、函数y=xa与y=ax在同一平面直角坐标系中的大致图象为() 、永 3、函数y=日产的部分图象大致为(） 4、(多选)函数y=a*-(a>0,a≠1)的图象可能是() 23 5、已知a=),b=(,c=,则() A.c<a<b B.c<b<a C.b<a<c D.a<b<c 6、函数f(x)=3x+32-x的最小值是() A.2 B.3 C.6 D.不存在 7、已知函数f(x)=9x+2a·3x-1, (1)当a=-1时，求f(x)在x∈[-1,2]上的值域： (2)若f(x)在(1，+o)上单调递增，求实数a的取值范围. 24 8、已知定义域为R的函数f)=是奇函数 (1)求b的值. (2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明. (3)当xE[1,3]时，f(kx2)+f(2x-1)>0恒成立，求实数k的取值范围. 25 指数函数 知识梳理 1、指数函数的概念 一般地，函数 （，且 ）叫做指数函数，其中指数 是自变量，定义域是 . 判断一个函数是不是指数函数，看四项： 的系数为 、底数是大于 且不等于 的常数、指数位置上恰好是 本身，以及定义域为全体实数. 四项缺一不可，、、 都不是指数函数：前两个叫指数型函数，第三个的自变量在底数上. 1.1 底数为什么这样规定 （1）： 是常函数，图象是一条水平线，没有研究价值； （2）： 时 、 都不定义； （3）： 这类指数使 在实数范围内不存在. 规定了 且 之后，对任意 ， 都是确定的实数，且恒有 ，定义域才可能是 . 1.2 一个代数特征 即 ，自变量相加、函数值相乘. 幂函数 满足的是 ，积变积. 一个只把「和」变「积」，一个只把「积」变「积」，这是两类函数的标志性差别. 2、指数函数的图象与性质 底数 与 的大小关系决定图象的升降，两支合起来就是下面这张表. 项目 图象 定义域 值域 过定点 单调性 在 上递增 在 上递减 时 时 时 渐近线 轴（ 时 ） 轴（ 时 ） 这张表之外，还有三件事常用： （1）底数比较：作直线 与 的图象交于 ，交点的纵坐标就是底数，所以 轴右侧「底大图高」、左侧「底大图低」；合起来是：不论 还是 ，底数越大，图象在第一象限越靠上. 如图 1，在直线 上，同一竖直线上曲线越高，对应的底数越大，交点的高度就是底数本身. 图 1　底数比较. 直线 与各曲线的交点，纵坐标就是底数，交点越高底数越大. （2）互为倒数的底数：，点 与 分别在两条曲线上，故 与 的图象关于 轴对称，把一条关于 轴翻折即得另一条. （3）值域与渐近线：值域 说明 可任意接近 却取不到 ，更取不到负值；形如 （）的图象整条落在直线 的同一侧，并以它为水平渐近线. 共同性质有五条：定义域为全体实数、值域为 、图象恒在 轴上方、过定点 、以 轴为渐近线；指数函数是非奇非偶函数. 底数没有给定时，凡涉及增减、最值的结论都要分 与 两支讨论，只写一支就漏了一半. 2.1 由单调性得到的等价变形 当 时，；当 时，. 前提是两边已化成同底数幂. 底数含参数而题设没交代它与 的大小时，两种情形都要写出，只写一种就漏了一半. 3、指数函数的图象变换 3.1 平移 已知函数 （，）. 平移只改变图象的位置，不改变形状和单调性，四种对应关系是： ① 向上平移 个单位（）： → ； ② 向下平移 个单位（）： → ； ③ 向左平移 个单位（）： → ； ④ 向右平移 个单位（）： → . 口诀是「左加右减、上加下减」. 横向平移要把 整体换掉： 向右平移 个单位，得到的是 ，不是 . 3.2 定点 令指数为 解出 ，此时函数值与 无关，这就是「恒过」二字的意思： 恒过 ； 恒过 . 画草图只需取三点：、、，分别对应定点、底数与底数的倒数；三点画准，图象形状就定了. 3.3 对称与翻折 （1）关于坐标轴：关于 轴得 ，关于 轴得 ，关于原点得 ；规则是把 换成 、、. （2）：动的是自变量，去左留右，再把右侧图象关于 轴翻到左侧，所得图象关于 轴对称；因 ， 时值域为 ， 时为 . 如图 2(a)：保留右侧那一段，左侧由它对称翻过去，两支在 轴上接成一个尖点，尖点的纵坐标恰为 1，也是最小值. （3）：动的是整体值. 因 恒成立，图象与 完全相同，「留上下翻上」对纯 不起作用；它用在 这类式子上——保留 轴及上方的部分，把下方部分翻上去——翻上去的那一段与原图关于 轴对称，落在 轴上的交点成为折点，如图 2(b). 两条翻折容易混：这一条动整体值，去左留右再翻左那条动自变量，后者是偶函数的常见来源. 图 2　两条翻折. 虚线是翻折前的图象，实线是翻折后的图象：(a) 保留 轴右侧，左侧由右侧对称得到；(b) 把 轴下方的部分翻上去. 4、指数式比较大小 三条路径按「底数、指数是否相同」分工. 式子的结构 处理办法 依据 同底数、不同指数 用这个底数的指数函数的单调性，把比较函数值化为比较指数 时 递增， 时递减 同指数、不同底数 用幂函数在 上的单调性；或看图象在 轴右侧"底大图高" 在 上： 递增， 递减 底数、指数都不同 插入中间量 ，把两数分别与 比，凑成"甲 乙"；与 比不出结果时，用其中一个的指数配上另一个的底数构造同底中间量 时 与 的大小由 与 的大小决定 4.1 底数含参要分类 比较 与 时，若题设只说 且 ，则 时 ， 时结论相反，两种情形都要写出. 4.2 中间量不一定取 与 比不出高低时，换 、 之类的具体值，或换成与两边都同底的幂. 取中间量的唯一原则是「它必须同时能和这两个数比出大小」. 5、指数型函数图象的识别 四个判据，按「先奇偶、再单调、后特殊点」的顺序用，前面的判据能一次砍掉的选项，不必留到后面. （1）奇偶性定对称： 为偶函数， 为奇函数，、 均为奇函数， 为偶函数. 一般地， 为单调奇函数时， 是偶函数、 是单调奇函数. （2）单调性定升降：化成 ， 时与 同向， 时反向. （3）特殊点定位：必查定点、、零点，以及 处的值 与 ——后两个数能区分 与 . （4）渐近线定上下界： 以直线 为水平渐近线，图象整体在它上方（）或下方（），永不与之相交. 题型一　指数函数的概念与解析式 方法：解析式形如 、给点求式，或辨析 型关系 → 先由定义令系数为 ，再由 与 列式 → 由 且 保证底数唯一. 易错：底数须同时满足 、，由方程解出的负值必须舍去. 1. 已知，且的图象如图所示，则等于( ) A．4 B． C． D． 1. 已知函数，且，若，则( ) A． B． C． D． 1. 已知指数函数的图象经过点，则( ) A． B． C． D．2 1. 已知函数的图象过原点，且无限接近于直线但又不与该直线相交，则( ) A． B． C． D． 题型二　定点与相关最值 方法： 型求定点 → 令 解出 ，此时幂值为 ，纵坐标为 → 由 保证该点与底数 的取值无关. 方法：定点落在直线 上得线性条件 → 把所求式化为 型，或用"1"的代换凑出积为定值 → 由基本不等式（积定和最小）求最值，取等条件须与原线性条件联立可解. 易错：取等解出的参数须落在题设范围内；若解出 而题设 ，最值取不到. 1. 已知函数恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为( ) A． B．8 C． D． 1. （多选）若正实数，满足，则( ) A．的最大值是1 B．的最小值是 C．的最小值18 D．的最小值是 1. 函数（且）的图象恒过定点A，且A在幂函数的图象上，则k的值为______． 题型三　图象识别与图象应用 方法：给指数型函数的图象反求参数 → 先由曲线升降定 还是 ，再由与 轴交点 与 比较定平移量 → 由 的单调性保证符号唯一. 方法：给含绝对值或分式的指数型解析式选图象 → 先看定义域、奇偶性与特殊点符号排除，再分段判升降 → 由"同增异减"保证各段走向. 易错： 时 才等价于 ，底数与不等号方向须同判. 1. 函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是( ) A．， B．， C．， D．， 1. 已知函数（，且）的图象如图所示，则( ) A． B． C． D． 1. 函数的图象大致为( ) A． B． C． D． 1. 函数的图象大致为( ) 题型四　图象共存与综合判定 方法：一次函数与指数型函数图象共存 → 由直线斜率定 的符号、由曲线升降定 或 ，两处约束须相容 → 由 的单调性判据逐项排除矛盾项. 方法：曲线升降已定仍有多解 → 再取 处的截距（、直线纵截距 ）与 的恒正性定符号 → 由 与 保证该判据唯一. 易错： 在 轴上方还是下方由 定， 只定升降. 例　已知 且 ，，函数 与 的图象在同一平面直角坐标系中.下列四组图象特征中，可能同时出现的是( ) A． 的图象是上升的直线且与 轴交于正半轴， 的图象是下降的曲线且位于 轴上方 B． 的图象是下降的直线且与 轴交于正半轴， 的图象是上升的曲线且位于 轴上方 C． 的图象是下降的直线且与 轴交于负半轴， 的图象是下降的曲线且位于 轴上方 D． 的图象是上升的直线且与 轴交于负半轴， 的图象是上升的曲线且位于 轴上方 解：由 及 得 ，即 的图象与 轴的交点必在负半轴，故 A、B 中"交于正半轴"不可能，排除.C 中 下降，故斜率 ；而 位于 轴上方需 （因为 恒成立），两处约束矛盾，排除. D 中 上升，故 ，此时 确在 轴上方； 上升又需 ，与 且 相容.取 、，则 、 同时满足 D 的全部特征，故选 D. 1. 已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象不可能是( ) A．B．C．D． 1. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是( ) A． B． C． D． 1. 函数的图象大致为( ) A．B．C．D． 1. 已知且，则函数与函数在同一平面直角坐标系中的部分图象可能为( ) A． B． C． D． 1. 函数的部分图象大致为( ) A． B． C． D． 1. 函数的部分图象大致是( ) A．B．C．D． 题型五　指数型复合函数的单调区间 方法： 且底数已定、求单调区间 → 先求 的定义域与单调区间， 取同向、 取反向 → 由复合函数"同增异减"保证所得区间端点不变. 易错：区间端点即 的对称轴；只抄 的区间不看外层底数，方向会反. 1. 函数的单调递减区间是( ) A． B． C． D． 1. 若函数（，）满足，则的单调递减区间是( ) A． B． C． D． 1. 函数的递增区间是________________． 题型六　由单调性求参数 方法：外层底数已定、内层含参，已知复合函数在某区间上的单调性 → 由外层单调性反推内层在该区间应有的单调方向，再令内层对称轴落在区间端点外侧 → 由"同增异减"与二次函数对称轴位置保证. 方法：内层二次项系数也含参 → 先单独处理系数为 的退化情形，再按开口方向与对称轴列不等式组 → 由二次函数单调性保证两段解取并集. 易错：内层带根号时除对称轴条件外，还须内层在该区间恒非负，否则定义域断开. 例　已知函数 在区间 上单调递减，求实数 的取值范围. 解：令 ，则 .外层 在 上单调递增，由"同增异减"知需内层 在 上单调递减，即需 在 上单调递减，且 在 上恒成立. 的图象开口向下、对称轴为 ， 在 上递减等价于 ，即 .又 在 上递减，故当 时 ，要使 恒成立只需 即 ，解得 .两条件同时满足得 . 1. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为( ) A． B． C． D． 1. 已知函数在上单调递减，则a的取值范围是( ) A． B． C． D． 1. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是( ) A． B． C． D． 题型七　比较大小与充分必要条件 方法：比较几个幂的大小 → 同底用 的单调性、同指数用 的单调性；底与指数都不同则插入 或中间量搭桥 → 由这两条单调性保证不等号方向. 易错： 型是偶函数，由 推不出 ，须改比 与 . 1. 设，，，则，，的大小关系为( ) A． B． C． D． 1. 已知，则( ) A． B． C． D． 1. 已知，则“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 题型八　指数型不等式的解法 方法：两边都是 、 或可化为同底 → 先统一底数，再用 的单调性去底数；底数含参时按 与 分两类 → 由单调性保证去底数时不等号方向正确. 易错： 时去底数必须变号，只写一种情形的解集等于漏解. 例　解关于 的不等式 ，其中 且 . 解：底数 与 的大小关系决定去底数后是否变号，故分类.当 时， 在 上单调递增，原不等式等价于 ，移项得 ，即 ，解得 或 . 当 时， 在 上单调递减，原不等式等价于 ，即 ，解得 .综上，当 时解集为 ；当 时解集为 . 1. 若，则的取值范围为( ) A． B． C． D． 1. 不等式与不等式解集相同，则________． 1. 解关于的不等式：且． 题型九　指数型函数的值域与最值 方法： 且 为二次或含绝对值 → 先求 在给定区间上的取值范围，再用 的单调性取上下界 → 由指数函数单调性保证值域端点. 方法： → 令 ，由 的范围同步算出 的范围 → 化为二次函数在闭区间上求值域，由对称轴位置与端点值比较保证最值取到. 方法： 或 型 → 同乘同除凑完全平方，或直接用基本不等式 → 由 且两式之积为定值保证等号可取. 易错：换元后忘记同步求 的范围，按 求最值会得到区间外的假最值. 例　求函数 在 上的值域. 解：令 ，因 在 上单调递增，由 得 .原式化为 ，. 该二次函数图象开口向上、对称轴 ，因 ，故 时取最小值 ；又 时 ， 时 ，故最大值 .所以函数的值域为 . 1. 函数的值域为( ) A． B． C． D． 1. 函数的值域是( ) A． B． C． D． 1. 函数的定义域为，则其值域为( ) A． B． C． D． 题型十　恒成立与含参最值 方法：（或 ）在某区间上恒成立 → 分离参数得 （或 ），再把 换元成 求最值 → 由最值定义保证端点取不到时改用上、下确界. 易错： 是开区间，端点只能趋近，参数可取得该端值（ 而非 ）. 方法：出现 常数且 单调 → 由单调性知内层 为常数 ，得 → 代回得 常数，由 单调递增保证 唯一. 例　若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围. 解：令 ，因 在 上单调递增，由 得 .原不等式化为 ，即 对 恒成立，故 须大于右边在 上的最大值. 函数 图象开口向下、对称轴 ，在 上单调递减，故 ，且 趋于 时 趋于 .注意 对应 ，不在区间内，故 取不到， 只有上确界 . 由 对一切 成立得 ： 时 对 恒成立，故等号可以取到.所以 的取值范围为 . 1. 函数对恒成立，则实数的取值范围( ) A． B． C． D． 1. 若不等式 对于任意恒成立，则实数的取值范围是__________． 1. 已知定义在上的函数为单调函数，且对任意，恒有，则函数的零点是__________. 题型十一　指数函数的实际应用 方法：半衰期、保鲜时间、含药量等实际背景 → 设 或 ，用一个已知数据点定出指数系数 → 由 的单调性保证模型唯一，再解指数不等式得有效范围. 易错：半衰期须把周期除进指数（写成 ），写成 等于把 天当成 个半衰期. 1. 人工放射性核素碘-131可发射射线治疗某种疾病．已知该物质的半衰期为天，设质量为的碘-131经过天后剩余的质量为，则关于的函数解析式是( ) A． B． C． D． 1. 某食品的保鲜时间(单位：小时)与储藏温度(单位：℃)满足函数关系，其中为常数．若该食品在℃的保鲜时间为小时，则在℃的保鲜时间是( ) A．20小时 B．24小时 C．28小时 D．32小时 1. 某医药研究所开发一种抗甲流新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量(微克)与时间(小时)之间近似满足如图所示的曲线． (1)结合图，求与的值； (2)写出服药后与之间的函数关系式； (3)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于微克时治疗疾病有效，求服药一次治疗有效的时间范围？ 题型十二　奇偶性与单调性证明 方法：分式或分段解析式已知为奇函数、求其中参数 → 用 展开通分后比较系数（定义域含 时可用 ） → 由奇函数定义与定义域关于原点对称保证恒等式成立. 方法：用定义法证明单调性 → 取 、作差、通分变形出含 的因式再定号 → 由 的单调性保证该因式符号确定. 方法： 型抽象不等式 → 先用奇偶性移项化为 ，再由单调性去掉函数符号得整式不等式 → 由奇偶性与单调性保证两式等价. 易错： 只对定义域含 的奇函数成立， 的分段函数须代 . 例　已知定义在 上的函数 是奇函数. (1) 求 的值； (2) 判断 在 上的单调性，并用定义证明； (3) 若 ，求实数 的取值范围. 解：(1) 由 是 上的奇函数，取 得 ，解得 .检验：此时 ，而 ，故 . (2) 在 上单调递增.任取 ，则 .由 在 上单调递增及 得 ，又 ，故 ，即 ，所以 在 上单调递增. (3) 由 为奇函数得 ，原不等式化为 ；又 在 上递增，故 ，即 ，分解得 ，解得 . 1. 已知函数为奇函数，则( ) A． B． C． D． 1. 若函数是奇函数，则( ) A．-1 B．0 C．1 D．3 1. 已知函数为奇函数，当时，，则时，_________； 1. 已知奇函数的定义域为. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)当时，恒成立，求的取值范围． 题型十三　综合压轴 方法：多选辨析型综合题 → 逐项独立判定：幂函数用待定系数、定点令指数为 、单调区间用"同增异减"、分式与对勾函数看单调性 → 由各条结论的成立条件保证判断可靠. 方法：先用奇偶性定参、再换元转二次的综合题 → 先求内层 的值域，令 定出 的区间，再按对称轴与该区间的相对位置分段求最值 → 由二次函数在闭区间上的最值结论保证分段完备. 易错：分段界即换元后 区间的端点，按 讨论会多出无效分支. 1. （多选）下列结论中正确的是( ) A．若幂函数的图象经过点，则 B．函数的图象必过定点 C．函数的单调增区间是 D．若幂函数，则对任意，都有 1. （多选）下列说法正确的是( ) A．若的值域为，则的值域为 B．函数且的图象恒过定点 C．函数的最小值为6 D．“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件 1. 已知函数是上的奇函数，函数． (1)求实数k的值； (2)当时，函数的最小值是关于a的函数，求； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围． 课后作业 1. 已知函数（，）的图象所过的定点在直线上，则的最小值为______. 1. 函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象为( ) A．BC．D． 1. 函数的部分图象大致为( ) A．B．C．D． 1. （多选）函数的图象可能是( ) A．B．C．D． 1. 已知，，，则( ) A． B． C． D． 1. 函数的最小值是( ) A．2 B．3 C．6 D．不存在 1. 已知函数. (1)当时，求在上的值域； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围. 1. 已知定义域为的函数是奇函数． (1)求的值． (2)判断函数的单调性，并用定义证明． (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $