4.4 对数函数的图像与性质（二）（6个题型归纳）（原卷版）人教A版2026年新高一数学暑假预习讲义

本讲义聚焦对数函数图像与性质这一核心知识点，系统梳理定义域、值域、定点、单调性等基础性质，衔接指数函数反函数关系及与幂函数的增长差异，构建从基础梳理到比较大小、反函数应用、综合问题解决再到实际模型选择的递进学习支架。 该资料以题型分类为特色，提炼比较对数式大小的“中间值法”“换底公式”等技巧，结合反函数坐标对称规律及实际问题函数模型案例，培养学生用数学思维分析问题、用数学语言表达现实情境的能力。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【4.4 对数函数的图像与性质（二）】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域：___ _____ 值域：___R_____ 过定点________，即时， 当时，________， 当时，________ 当时，________， 当时，___ _____ 在上是____增____函数 在上是____减____函数 利用直线可以区分底数的大小 2．指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图像与性质 函数 性质 在上的增减性 _单调递增 _____ ___单调递增 ___ __单调递增 ____ 增长速度 越来越快 越来越慢 随值的变化而不同 图像的变化 随的增大逐渐表现为与_轴_____平行 随的增大逐渐表现为与_轴_____平行 随值的变化而不同 值的比较 存在一个，当时，有 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：比较对数式的大小】 【练方法】 公式结论 1同底数对数比较法则 >1时. 0<<1时. 2同真数对数比较法则 真数底数数值越大对应对数值越小 真数底数数值越大对应对数值越大 方法技巧 1底数一致时直接依据对数单调性对比真数大小关系 2真数一致时绘制竖直直线结合函数图像高低判断数值大小 3底数与真数均不统一选取或者作为中间参照分步比对大小 4结构复杂的对数式子借助换底公式统一底数后再进行数值比较 （25-26高二下·山东青岛·期末）（多选）已知，且，，，则下列不等式可能成立的是（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】应用分类讨论，结合对数函数的性质分析判断参数的大小关系即可. 【详解】当时，对数函数在上单调递增， 由，可得， 结合，得，A不符， B 符合，C不符； 当时，对数函数在上单调递减， 由，可得， 结合，得，D符合. （25-26高二下·安徽宣城·期末）已知，，，则下面结论正确的是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意结合对数函数的单调性、指数函数的单调性可得，即可得解. 【详解】根据题意，， ， 所以. （25-26高二下·天津津南·期末）设 ，则 的大小关系为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】引入中间值0和1，判断的大小. 【详解】因为，，又，所以， ，所以. （25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）若，，，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用对数的运算性质求出的值，再根据对数函数的单调性分别比较与、与的大小，即得. 【详解】根据题意，， 因函数为上的增函数，由于，因此，即， 又因为，而， 函数为上的增函数，由，可得，即， 综上可得，. 【题型2：反函数】 【练方法】 公式结论 指数函数的反函数为 原函数定义域=反函数值域原函数值域=反函数定义域 若点在原函数图像上则点一定落在对应反函数图像上 （2026高三·全国·专题练习）函数的反函数是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用反函数的定义结合指对互化即可获得． 【详解】由得，． 因此函数的反函数是. （25-26高一上·河南周口·期末）若函数是函数的反函数，则的值为（    ）小试牛刀1 A．16 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】运用反函数概念求反函数解析式，结合对数函数性质计算即可. 【详解】函数是函数的反函数， 则，所以. （25-26高一上·北京延庆·期末）函数的图象向左平移3个单位长度得到函数的图象，若函数、的图象关于直线对称，则此时______，______．小试牛刀2 【答案】 ，. 【分析】由图象平移写出，根据指对数函数的关系及反函数的性质写出，即可得. 【详解】由题设，其图象关于直线对称后对应的函数为且. 故答案为：；， （2026·辽宁沈阳·一模）若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的反函数是对数函数，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为函数是且的反函数， 所以 且， 令， 因为， 所以函数图象必过定点. 故选：D 【题型3：利用反函数的性质综合应用】 【练方法】 方法技巧 1利用两组恒等式化简原函数与反函数嵌套构成的复合式子 2依靠坐标对称规律求解原函数，反函数的定点坐标与对应最值 3由原函数的单调区间可直接得到反函数单调区间无需重复推导单调性 （25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知实数满足，，则__________.经典例题1例题 【答案】 【分析】由与的交点关于对称，结合，，从而有与关于对称得到且，即可求. 【详解】由关于对称，又与垂直， 所以与的交点关于对称， 结合题设有，，且， 所以是与的交点；是与的交点， 所以与关于对称，则且， 所以. （25-26高一上·安徽·阶段检测）已知，则________________.小试牛刀1 【答案】2 【分析】根据题意，转化为分别为直线与和的图像交点横坐标，结合和的图像关于直线对称，联立方程组，求得交点坐标，即可求解. 【详解】由，可得， 所以分别为直线与和的图像交点横坐标， 因为和的图像关于直线对称，如图所示， 联立方程组，解得，所以，可得, 故答案为：. （25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）已知实数，满足，，则的值_____小试牛刀2 【答案】 【分析】把方程转化为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，化简方程为，令，得到，转化函数的图象与函数的图象交点的横坐标，根据反函数的性质，求得，进而求得，代入即可求解. 【详解】因为，可得，所以为方程的解， 即函数的图象与函数的图象交点的横坐标， 又因为，可得， 即，可得， 令，可得，所以为方程的解， 即为函数的图象与函数的图象交点的横坐标， 由函数和互为反函数，其图象关于对称， 如图所示，函数与的图象的交点为，所以， 所以，所以，即 则. 故答案为：. （25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知函数与互为反函数，且满足，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由函数与互为反函数，得到，构造函数，并判断在上单调递减，得到，再计算得到 【详解】因为函数与互为反函数，所以； 由，得到，即， 即，令 ，则 在上函数单调递减，函数单调递增， 所以在上单调递减，所以，所以， 所以， 因为在 单调递增，， 所以，可正，可负，也可能等于0 ， 所以ABD错误，C正确. 故选：C 【题型4：对数函数的最值与不等式的综合问题】 【练方法】 方法技巧 1先计算内层函数的取值范围结合对数单调性求解整个函数的最值 2求解对数综合不等式必须联立真数大于0的定义域条件与不等关系式 3最值搭配恒成立类不等式转化为函数最值恒大于常数或者恒小于常数 （25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数，.经典例题1例题 (1)当实数时，判断函数的单调性；（不需要证明） (2)若函数在为增函数，求实数t的取值范围； (3)若函数为偶函数，且对于任意，，都有成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)上的增函数 (2) (3) 【分析】（1）根据增函数+增函数为增函数判断； （2）利用定义法证明函数的单调性，依题意可得，即，参变分离可得对恒成立，再根据指数函数的性质计算可得； （3）由函数为偶函数，得到，即可求出的值，从而得到的解析式，再利用基本不等式得到，依题意，可得对任意恒成立，即对任意恒成立，①由有意义，求得；②由，得，即可得到对任意恒成立，从而求出，从而求出参数的取值范围； 【详解】（1）当实数时， 因为都是上的增函数， 所以函数为上的增函数； （2）设，且， 则 ∵函数在上为增函数， ∴恒成立 又∵，∴， ∴恒成立，即对恒成立 当时，的取值范围为， 故，即实数取值范围为. （3）∵为偶函数，∴对任意都成立， 又 ∵上式对任意都成立， ∴，∴， ∴，当且仅当时等号成立， ∴的最小值为0， ∴由题意，可得对任意恒成立， ∴对任意恒成立 ①由有意义，得在恒成立， 得在恒成立， 又在上的值域为，故. 又有意义，有， 所以. ②由，得，得， 得，得，得， ∴对任意恒成立， 又∵在的最大值为， ∴， 由①②得，实数的取值范围为. （25-26高一上·四川成都·期末）（1）设小试牛刀1 ①求函数的最大值. ②当不等式在上有解时，求的取值范围. （2）设，是否存在常数，使得，对于任意正数且恒成立？如果存在，求出的最大值；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）①；②； （2）存在，100 【分析】（1）①由题意整理函数解析式，根据对数函数的单调性，利用换元法化简函数，结合二次函数的性质，可得答案；②由题意整理函数解析式，根据对数函数的单调性，利用换元法化简不等式，根据一次函数的性质，可得答案. （2）由题意以及基本不等式，求得参数值，利用分解因式化简不等式，再换元并利用基本不等式，可得答案. 【详解】（1）①， 令， 因为对称轴为函数在上单调递增，上单调递减， 所以当时，. ②由题可知，不等式在上有解， 即，化简得， 令，则在上有解. 解法1：在上有解， 0，即. 解法2：当时，，无解； 当时，在上单调增， ∴当时， 综上：. （2）由题意， 所以 令，由基本不等式得， 又在上单调递减，， 所以存在最大的常数. （25-26高一上·四川成都·期末）已知函数.小试牛刀2 (1)若函数的图象经过点. ①求实数的值； ②设，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得存在最小值，且最小值小于？若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在， 【分析】（1）①将点代入函数求出； ②先根据得到关于的方程，再利用分离参数法得到，结合函数的单调性求出的取值范围； （2）先对函数进行化简，再根据对数函数的性质分析其最小值情况，进而确定的取值范围. 【详解】（1）①因为函数的图象经过点， 所以， 所以 由为单调递增函数，解得； ②， 因为，所以，即， 整理得. 因为当时，函数单调递减，所以， 所以使方程在上有解的实数的取值范围是； （2）由题意得， 当时，令，解得，所以的定义域为， 令，则为增函数，所以函数是增函数， 所以在上单调递增，无最小值； 当时，在上单调递增，无最小值； 当时，，当且仅当，即时等号成立， 即的最小值为，又因为函数是增函数， 所以， 解得. 综上，存在实数使得存在最小值，且最小值小于， 此时实数的取值范围为. （25-26高一上·天津北辰·阶段检测）已知函数，，．小试牛刀3 (1)若，求定义域，并解关于x的方程； (2)设，函数在区间上的最大值为3，求t的取值范围； (3)当时，对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，求a的取值范围． 【答案】(1)定义域为，解为， (2) (3) 【分析】（1）将代入函数的解析式，求出函数的定义域，利用对数的运算法则可解出方程； （2）当时，，分、和三种情况讨论，去绝对值， 分析函数在区间上的单调性，结合该函数在区间上的最大值为，可求出实数的取值范围； （3）利用对数的运算性质可得出，可知该函数在区间上为减函数， 由题意得出对任意的恒成立，求出在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则，解得： 则得定义域为. 由，可得，可得， 解得，因此，关于的方程的解为； （2）当时，. 当时，对任意的恒成立，则， 此时，函数在区间上为增函数，，合乎题意； 当时，对任意的恒成立，则， 此时，函数在区间上为减函数，，解得，不合乎题意； 当时，令，得，此时， 所以，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数. ，，由于，所以，解得. 此时，. 综上所述，实数的取值范围是； （3）， 由于内层函数在区间为减函数，外层函数为增函数， 所以，函数在区间上为减函数， 所以，， 由题意可得，可得， 所以，. ①当时，； ②当时，令，设， 可得. 下面利用定义证明函数在区间上的单调性， 任取、且，即， ， ，，，，即， 所以，函数在区间上单调递减， 当时，函数取得最大值. 综上所述，函数在上的最大值为，. 因此，实数的取值范围是. 【题型5：指数对数幂函数模型的增长差异】 【练方法】 方法技巧 1自变量取值足够大时指数函数增速远大于幂函数幂函数增速大于对数函数 2代入具体自变量数值计算函数值依靠数值大小直观区分三类函数增长快慢 3结合函数图像走势记忆增速特征快速区分三类函数所属模型 （25-26高二·全国·暑假作业）下列函数中当足够大时，增长率最大的是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析题意可知，指数函数模型增长速度最快． 【详解】当充分大时，指数函数增长最快． 一次函数是线性增长，增长率为固定常数，增长速度稳定； 对数函数是对数增长，增长速度越来越慢，当x足够大时增长率趋近于0； 幂函数是多项式增长，增长速度快于线性增长、对数增长，但远慢于指数增长； 指数函数是指数增长，当x足够大时，增长速度会远超幂函数、一次函数、对数函数，因此本题增长率最大的是指数函数. 故选：D （25-26高一上·山西长治·期末）下列函数中，在上增长速度最慢的是（ ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用各个函数的增长规律特点判定. 【详解】根据指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异，可知对数函数增长速度最慢． 故选：B. （24-25高一上·甘肃甘南·期末）（多选）设，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ）小试牛刀2 A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 【答案】ACD 【分析】做出三个函数，，的图象，结合图象，即可求解. 【详解】做出三个函数，，的图象， 如图所示：    通过图象可知三个函数，，中， 当时，增长速度最快，的增长速度最慢， 故B正确，ACD错误. 故选：ACD. （24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ）小试牛刀3 A．当时，函数均为增函数 B．当时，的增长速度一直快于 C．当时，的增长速度一直快于 D．当时，的增长速度一直快于 【答案】A 【分析】根据指对幂函数的图象分析三个函数的增长情况，即可得答案. 【详解】在同一坐标系中画出的图象，如图所示， 结合图象，当时，函数均为增函数，A正确； 当时，的增长速度不是一直快于，B错误； 当时，的增长速度不是一直快于，C错误； 当时，的增长速度不是一直快于，D错误． 故选：A 【题型6：根据实际问题增长率选择合适的函数模型】 【练方法】 公式结论 1匀速线性变化模型 y=kx+b 2固定百分率增减（指数增长/衰减）模型 3增速放缓的对数模型 4多项式渐变的幂函数模型 方法技巧 1数据依照固定百分比上涨或下跌优先选用指数函数模型 2数据的增减数值固定不变选用一次线性函数模型 3数据上涨速度逐步放缓并趋于平稳选用对数函数模型 4数据呈现平缓多项式变化规律选用幂函数模型拟合实际数据 （24-25高一上·全国·课后作业）有一组实验数据如表：经典例题1例题 x 2 3 4 5 6 y 1.40 2.56 5.31 11 21.30 则体现这些数据的最佳函数模型是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的数据变化情况，逐项判断得解. 【详解】观察表中数据，知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快， 而选项A，B中的函数增长速度越来越慢，AB不正确； 对于C，当x=6时，y≈21.33；对于D，当x=6时，y=18，误差偏大，C最佳. 故选：C （河南省安阳市天一大联考2025-2026学年高一上学期12月期中数学试题）根据下列表格中的数据选择合适的模型，则的解析式可以是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出散点图，可得出结论. 【详解】作出散点图如下图所示： 由图可知，函数在上单调递减，且递减速度越来越慢，D选项中的函数模型较为合适. 故选：D. （25-26高一下·云南玉溪·期末）某校中午下课就餐高峰期，食堂排队人数一开始增长很快，随后增速变慢（在就餐时间内）．经观测下课2分钟时，排队人数为30人；下课4分钟时，排队人数为50人．排队人数与下课时间（单位：分钟）的关系有两种函数模型可供选择：小试牛刀2 ①，②，其中，均为常数． (1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)若食堂排队人数上限为70人，预计最早在下课几分钟食堂排队人数达到上限？ 【答案】(1)选择模型②更合适，解析式为； (2)预计最早在下课8分钟时排队人数达到上限 【分析】（1）根据增长速度可得更合适，代入数据计算出，得到解析式； （2）令得，可得结论 【详解】（1）下课2分钟时，排队人数为30人；下课4分钟时，排队人数为50人， 随着下课时间的增长，人数也在增长，且增长速度减慢， 故对数型函数模型更合适， 将数据代入可得，解得， 故解析式为； （2）中，令得， 预计最早在下课8分钟时排队人数达到上限. （25-26高一上·江西南昌·期末）某新型科技产品进入市场以后其累计销售量y（单位：千万台）随时间x（单位：年）的变化规律通常是初期增长缓慢，随后加速增长，当普及到2千万台时，其增长速度放缓，最终趋于饱和（4千万台），如图，若y关于x的函数关系式为．小试牛刀3 (1)请从①；②；③中选择一个作为，并求出y关于x的函数关系式； (2)假设当累计销售量达到0.75千万台时，开始研发第二代科技产品；当累计销售量达到3.2千万台时，第二代科技产品就必须进入市场销售，求第二代科技产品研发到进入市场销售的时间最长是多少时间． 【答案】(1)选择②， (2)3年 【分析】（1）根据函数的性质确定选择哪个作为，利用待定系数法求函数解析式； （2）根据题意列不等式求解即可. 【详解】（1）根据增长趋势，当x越来越大，y会无限趋近于4千万台，所以应选择②， 则， 由题意知，即，，，， 则． （2）由题意知，即， 所以第二代科技产品研发到进入市场销售的最长时间是3年． 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高二下·江苏南京·期末）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为 ， 因为函数在上单调递增，所以，即. 又 ， 所以. 2．（25-26高二下·山东青岛·期末）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，分别将三个数和比较大小，再对比的大小即可得到结果. 【详解】由于函数在上单调递增，函数在上单调递减，那么 ，即, ，,即， 所以，. 3．（2026高三·全国·专题练习）设，则下列不等式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A，因为，所以，错误. 选项B，因为单调递减，所以，错误. 选项C，因为，所以，错误. 选项D，因为单调递增，所以，正确. 4．（23-24高三上·福建泉州·期末）函数的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（    ） -2 -1 0 1 2 3 5 2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的数据即可得出答案. 【详解】由函数的数据可知，函数， 偶函数满足此性质，可排除B，D； 当时，由函数的数据可知，函数增长越来越快，可排除C. 故选：A. 5．（25-26高一上·全国·阶段检测）已知方程与的实数根分别为，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由函数与的图象关于直线对称，并且也关于直线对称，得到两条直线的交点坐标为，进而得到答案. 【详解】因为函数与的图象关于直线对称， 且直线也关于直线对称，且两条直线的交点坐标为， 所以直线与曲线的两交点关于点对称， 所以，可得． 故选：A． 6．（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）若函数的图像过点，其反函数的图像过点，则（    ） A．4 B．3 C．6 D．5 【答案】B 【分析】根据题意，得到函数的图像过点和，代入列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由函数的图像过点，又由其反函数的图像过点，则函数过点， 可得，即，解得，所以. 故选：B. 7．（25-26高二下·山东烟台·期末）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数函数的单调性和对数换底公式化简比较求解. 【详解】当时，在上单调递增， 在上单调递减，所以，即， 因为， ，所以. 二、多选题 8．（25-26高一上·山东临沂·期末）下列结论正确的是（    ） A．函数是对数函数 B．函数和的图象关于轴对称 C．函数和的图象关于直线对称 D．函数（且）的图象必过定点 【答案】BC 【分析】对于A，由对数函数的定义即可判断；对于B, 由函数和的图象即可判断；对于C，由互为反函数的函数图象性质即可判断；对于D，将代入函数，即可判断. 【详解】对于A，由对数函数的定义知函数不是对数函数. 对于B, 函数和的图象关于轴对称,故B正确； 对于C，函数和互为反函数，故它们的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，将代入函数得，故函数（且）的图象必过定点，故D错误. 故选：BC 三、解答题 9．（23-24高一上·山东聊城·期末）为了振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为乡村进行直播带货，既方便了人们购物和交流，又有效地解决了农产品销售困难的问题．为了支持家乡的发展，越来越多的人注册成为某电商平台的会员进行购物和交流．已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示： 建立平台年数x 1 2 3 会员人数y（千人） 14 20 29 为了描述建立平台年数与该平台会员人数（千人）的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③． (1)根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的解析式； (2)根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立年的会员人数将超过2002千人，求的最小值． 参考数据：，，． 【答案】(1) 从表中数据可知，所选函数必须满足两个条件：增函数，增长速度越来越快． 因为模型①为减函数，模型②增长速度越来越慢，所以不能选择模型①和②，模型③符合两个条件，所以选择模型③． 将数据代入可得，解得 所以，函数为，． (2)14 【分析】（1）根据表中数据，函数为增函数，增长速度越来越快，故选择模型③，代入数据列方程组可得； （2）由得，利用对数的运算可得，进而可得. 【详解】（1）略 （2）由（1）知， 则．得， 故t的最小值为14． 10．（25-26高一上·河北·期末）甲醛是许多住房建材会释放的一种无色、有刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害．新房入住时，空气中甲醛的浓度不能超过0.08毫克每立方米，否则，该新房达不到安全入住标准．已知某住房自装修完成后，通风时长（，单位：天）与室内甲醛浓度（单位：毫克每立方米）满足关系式，且当时，． (1)求的值； (2)求至少通风多少天后，该新房空气中甲醛的浓度可以达到安全入住标准． 【答案】(1) (2)32天 【分析】（1）将，代入函数解析式，再利用指数式与对数式的互化及指数幂的运算性质运算即可求出的值； （2）由题意列出不等式，再利用函数的单调性转化为一元二次不等式，令函数，通过估算的值得到使不等式成立的最小值，即可得解. 【详解】（1）因为当时，，所以， 整理得，即，解得． （2）由（1）可知，． 要使该新房空气中甲醛的浓度达到安全入住标准， 须满足， 整理可得. 因为函数在上单调递减， 所以． 因为函数在上单调递增， 且． 所以至少通风32天后，该新房空气中甲醛的浓度可以达到安全入住标准． 11．（25-26高一上·浙江湖州·阶段检测）已知对数函数的图象过点，并与函数的图象关于直线对称． (1)求函数的解析式； (2)若，. （i）求的值域； （ii）若，对于，都有恒成立，求满足条件的的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）设且，根据可求出的值，可得出函数的解析式，再根据两个函数图象关于直线对称可得出函数的解析式； （2）①求出函数的解析式，利用配方法可求得函数的值域； ②由题意可知，存在，使得，即，即，使得，结合函数单调性可求得的取值范围. 【详解】（1）根据题意，设且， 由题意可得，则，解得，即， 因为函数与函数的图象关于直线对称，故. （2）（i）由（1）可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故函数的值域为； （ii）， ，对于，都有恒成立，即， 所以，存在，使得，即， 可得，即，使得， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 故， 由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立， 即函数在上的值域为， 综上所述，实数的取值范围是. 12．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值； (2)判断的单调性并加以证明； (3)当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2)在区间和单调递增，证明见解析 (3)． 【分析】（1）根据奇函数的定义，结合对数的运算性质求解即可； （2）根据对数的单调性、单调性的定义进行求解即可； （3）根据奇函数的性质，结合换元法、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为是奇函数， 所以，即，则， 故，则，由于x不恒为常数，则，即， 当时，，不满足题意； 当时，由，得或， 所以的定义域为，关于原点对称， 又，所以满足题意， 综上，． （2）在区间和单调递增，证明如下： 的定义域为， 当时，因为， 令，则，取， 则，即， 因为在其定义域上单调递增，所以， 所以，即， 所以在上单调递增. 因为是奇函数，所以在上也是单调递增， 因此在区间和单调递增； （3）因为为奇函数， 所以由，得， 因为在其定义域上单调递增， 所以在上恒成立，则恒成立， 令，则，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以． 13．（25-26高一上·山西太原·期末）已知函数，且． (1)证明：是奇函数； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 因为，且， 即，所以，解得， ， 由解得，的定义域为， 对于任意，都有，且， 是奇函数. (2) 在上单调递减. 证明：设，则， ， ，，， 在上单调递减. (3) 【分析】（1）首先求出的值，即可求出函数解析式，再根据奇偶性的定义证明即可； （2）根据单调性的定义证明即可； （3）依题意可得任意，不等式恒成立，令，，判断的单调性，即可得解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）对任意，不等式恒成立， 即任意，不等式恒成立， 令，， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减， ， 实数的取值范围为. 14．（安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高一下学期5月春季联赛数学试题）已知函数，且，， (1)当时，求关于x的不等式的解集； (2)当时，不等式在上恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为 (2)当时，m的取值范围是，当时，m的取值范围是 【分析】（1）因式分解后，分及进行讨论并计算即可得； （2）问题可转化为在区间上恒成立，令，构造函数，再分及讨论并计算即可得. 【详解】（1）当时，， 下面解不等式，即， 因为，所以， 当时，解得； 当时，解得， 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； （2）当时，不等式可变形为， 即，， 所以问题转化为在区间上恒成立， 令，则，则，故， 令，， 当时，函数在上单调递增， ，则； 当时，函数在上单调递增， 在上单调递减，故，则； 综上所述，当时，m的取值范围是； 当时，m的取值范围是． 15．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数是函数（，且）的反函数，的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)若成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据的图象经过的点坐标求出，然后求出其反函数即可； （2）结合对数函数的定义域及其单调性求解不等式即可. 【详解】（1）因为（，且）的图象过点， 所以，解得，所以． 又因为函数是函数的反函数， 所以． （2）因为函数的定义域为，且在上单调递减，， 所以，解得， 所以的取值范围为. 16．（25-26高一上·宁夏银川·期末）我们知道，指数函数且与对数函数且互为反函数，已知函数，其反函数为. (1)求反函数的解析式； (2)已知函数，求函数的单调递增区间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，即可得到函数的反函数为； （2）由，求得其定义域为，令，利用二次函数与对数函数的单调性，结合复合函数单调性的判定方法，即可求解. 【详解】（1）解：由指数函数与对数函数且互为反函数， 所以函数的反函数为. （2）解：由函数， 令，即，解得， 所以函数的定义域为， 设，此时； 又在上为增函数，且在上为增函数， 根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上为增函数， 所以函数的增区间为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【4.4 对数函数的图像与性质（二）】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域：___ _____ 值域：___R_____ 过定点________，即时， 当时，________， 当时，________ 当时，________， 当时，___ _____ 在上是____增____函数 在上是____减____函数 利用直线可以区分底数的大小 2．指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图像与性质 函数 性质 在上的增减性 _单调递增 _____ ___单调递增 ___ __单调递增 ____ 增长速度 越来越快 越来越慢 随值的变化而不同 图像的变化 随的增大逐渐表现为与_轴_____平行 随的增大逐渐表现为与_轴_____平行 随值的变化而不同 值的比较 存在一个，当时，有 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：比较对数式的大小】 【练方法】 公式结论 1同底数对数比较法则 >1时. 0<<1时. 2同真数对数比较法则 真数底数数值越大对应对数值越小 真数底数数值越大对应对数值越大 方法技巧 1底数一致时直接依据对数单调性对比真数大小关系 2真数一致时绘制竖直直线结合函数图像高低判断数值大小 3底数与真数均不统一选取或者作为中间参照分步比对大小 4结构复杂的对数式子借助换底公式统一底数后再进行数值比较 （25-26高二下·山东青岛·期末）（多选）已知，且，，，则下列不等式可能成立的是（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二下·安徽宣城·期末）已知，，，则下面结论正确的是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二下·天津津南·期末）设 ，则 的大小关系为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）若，，，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：反函数】 【练方法】 公式结论 指数函数的反函数为 原函数定义域=反函数值域原函数值域=反函数定义域 若点在原函数图像上则点一定落在对应反函数图像上 （2026高三·全国·专题练习）函数的反函数是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一上·河南周口·期末）若函数是函数的反函数，则的值为（    ）小试牛刀1 A．16 B．0 C．1 D．2 （25-26高一上·北京延庆·期末）函数的图象向左平移3个单位长度得到函数的图象，若函数、的图象关于直线对称，则此时______，______．小试牛刀2 （2026·辽宁沈阳·一模）若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：利用反函数的性质综合应用】 【练方法】 方法技巧 1利用两组恒等式化简原函数与反函数嵌套构成的复合式子 2依靠坐标对称规律求解原函数，反函数的定点坐标与对应最值 3由原函数的单调区间可直接得到反函数单调区间无需重复推导单调性 （25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知实数满足，，则__________.经典例题1例题 （25-26高一上·安徽·阶段检测）已知，则________________.小试牛刀1 （25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）已知实数，满足，，则的值_____小试牛刀2 （25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知函数与互为反函数，且满足，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：对数函数的最值与不等式的综合问题】 【练方法】 方法技巧 1先计算内层函数的取值范围结合对数单调性求解整个函数的最值 2求解对数综合不等式必须联立真数大于0的定义域条件与不等关系式 3最值搭配恒成立类不等式转化为函数最值恒大于常数或者恒小于常数 （25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数，.经典例题1例题 (1)当实数时，判断函数的单调性；（不需要证明） (2)若函数在为增函数，求实数t的取值范围； (3)若函数为偶函数，且对于任意，，都有成立，求实数a的取值范围. （25-26高一上·四川成都·期末）（1）设小试牛刀1 ①求函数的最大值. ②当不等式在上有解时，求的取值范围. （2）设，是否存在常数，使得，对于任意正数且恒成立？如果存在，求出的最大值；如果不存在，请说明理由. （25-26高一上·四川成都·期末）已知函数.小试牛刀2 (1)若函数的图象经过点. ①求实数的值； ②设，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得存在最小值，且最小值小于？若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由． （25-26高一上·天津北辰·阶段检测）已知函数，，．小试牛刀3 (1)若，求定义域，并解关于x的方程； (2)设，函数在区间上的最大值为3，求t的取值范围； (3)当时，对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，求a的取值范围． 【题型5：指数对数幂函数模型的增长差异】 【练方法】 方法技巧 1自变量取值足够大时指数函数增速远大于幂函数幂函数增速大于对数函数 2代入具体自变量数值计算函数值依靠数值大小直观区分三类函数增长快慢 3结合函数图像走势记忆增速特征快速区分三类函数所属模型 （25-26高二·全国·暑假作业）下列函数中当足够大时，增长率最大的是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一上·山西长治·期末）下列函数中，在上增长速度最慢的是（ ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高一上·甘肃甘南·期末）（多选）设，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ）小试牛刀2 A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 （24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ）小试牛刀3 A．当时，函数均为增函数 B．当时，的增长速度一直快于 C．当时，的增长速度一直快于 D．当时，的增长速度一直快于 【题型6：根据实际问题增长率选择合适的函数模型】 【练方法】 公式结论 1匀速线性变化模型 y=kx+b 2固定百分率增减（指数增长/衰减）模型 3增速放缓的对数模型 4多项式渐变的幂函数模型 方法技巧 1数据依照固定百分比上涨或下跌优先选用指数函数模型 2数据的增减数值固定不变选用一次线性函数模型 3数据上涨速度逐步放缓并趋于平稳选用对数函数模型 4数据呈现平缓多项式变化规律选用幂函数模型拟合实际数据 （24-25高一上·全国·课后作业）有一组实验数据如表：经典例题1例题 x 2 3 4 5 6 y 1.40 2.56 5.31 11 21.30 则体现这些数据的最佳函数模型是（　　） A． B． C． D． （河南省安阳市天一大联考2025-2026学年高一上学期12月期中数学试题）根据下列表格中的数据选择合适的模型，则的解析式可以是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高一下·云南玉溪·期末）某校中午下课就餐高峰期，食堂排队人数一开始增长很快，随后增速变慢（在就餐时间内）．经观测下课2分钟时，排队人数为30人；下课4分钟时，排队人数为50人．排队人数与下课时间（单位：分钟）的关系有两种函数模型可供选择：小试牛刀2 ①，②，其中，均为常数． (1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)若食堂排队人数上限为70人，预计最早在下课几分钟食堂排队人数达到上限？ （25-26高一上·江西南昌·期末）某新型科技产品进入市场以后其累计销售量y（单位：千万台）随时间x（单位：年）的变化规律通常是初期增长缓慢，随后加速增长，当普及到2千万台时，其增长速度放缓，最终趋于饱和（4千万台），如图，若y关于x的函数关系式为．小试牛刀3 (1)请从①；②；③中选择一个作为，并求出y关于x的函数关系式； (2)假设当累计销售量达到0.75千万台时，开始研发第二代科技产品；当累计销售量达到3.2千万台时，第二代科技产品就必须进入市场销售，求第二代科技产品研发到进入市场销售的时间最长是多少时间． 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高二下·江苏南京·期末）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·山东青岛·期末）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）设，则下列不等式中成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·福建泉州·期末）函数的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（    ） -2 -1 0 1 2 3 5 2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1 A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·阶段检测）已知方程与的实数根分别为，则（   ） A．2 B．1 C． D． 6．（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）若函数的图像过点，其反函数的图像过点，则（    ） A．4 B．3 C．6 D．5 7．（25-26高二下·山东烟台·期末）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高一上·山东临沂·期末）下列结论正确的是（    ） A．函数是对数函数 B．函数和的图象关于轴对称 C．函数和的图象关于直线对称 D．函数（且）的图象必过定点 三、解答题 9．（23-24高一上·山东聊城·期末）为了振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为乡村进行直播带货，既方便了人们购物和交流，又有效地解决了农产品销售困难的问题．为了支持家乡的发展，越来越多的人注册成为某电商平台的会员进行购物和交流．已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示： 建立平台年数x 1 2 3 会员人数y（千人） 14 20 29 为了描述建立平台年数与该平台会员人数（千人）的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③． (1)根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的解析式； (2)根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立年的会员人数将超过2002千人，求的最小值． 参考数据：，，． 10．（25-26高一上·河北·期末）甲醛是许多住房建材会释放的一种无色、有刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害．新房入住时，空气中甲醛的浓度不能超过0.08毫克每立方米，否则，该新房达不到安全入住标准．已知某住房自装修完成后，通风时长（，单位：天）与室内甲醛浓度（单位：毫克每立方米）满足关系式，且当时，． (1)求的值； (2)求至少通风多少天后，该新房空气中甲醛的浓度可以达到安全入住标准． 11．（25-26高一上·浙江湖州·阶段检测）已知对数函数的图象过点，并与函数的图象关于直线对称． (1)求函数的解析式； (2)若，. （i）求的值域； （ii）若，对于，都有恒成立，求满足条件的的取值范围． 12．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值； (2)判断的单调性并加以证明； (3)当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 13．（25-26高一上·山西太原·期末）已知函数，且． (1)证明：是奇函数； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 14．（安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高一下学期5月春季联赛数学试题）已知函数，且，， (1)当时，求关于x的不等式的解集； (2)当时，不等式在上恒成立，求m的取值范围. 15．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数是函数（，且）的反函数，的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)若成立，求的取值范围． 16．（25-26高一上·宁夏银川·期末）我们知道，指数函数且与对数函数且互为反函数，已知函数，其反函数为. (1)求反函数的解析式； (2)已知函数，求函数的单调递增区间. 1 学科网（北京）股份有限公司 $