黑龙江哈尔滨市第六十九中学校2026－2027学年度上学期期中学情调研数学试题

哈尔滨市第六十九中学校2026—2027学年度上学期学情调研 数学试题 一、选择题：（每小题3分，共计30分） 1．下列运算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 2．汉字是世界上最古老的文字之一，现存最早的汉字是公元前14世纪殷商时期的甲骨文，之后又产生了金文、小篆、隶书、草书、楷书、行书等多种字体，每种字体都有着鲜明的艺术特征．下面的汉字可以近似地看成轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．点关于轴的对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 4．已知，，则的值为（ ） A．11 B．16 C．18 D．24 5．如图，的两外角，的平分线交于点，．则（ ） A． B． C． D． 6．如图，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作垂足为点，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 7．2023年10月17日至18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，中国与150多个国家、30多个国际组织签署了230多份合约，携手实现经济共同发展．北京、莫斯科、雅典三地之间想建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，如图所示，则中转仓的位置应选在（ ） A．三边中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条角平分线的交点 8．如图，在中，已知，，分别以、两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，连接与相交于点，则的周长为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 9．下列说法错误的是（ ） A．角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上 B．等边三角形是锐角三角形 C．有一个角是的等腰三角形是等边三角形 D．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合 10．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（ ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 非选择题（共90分） 二、填空题：（每小题3分，共计30分） 11．计算：__________． 12．计算：的结果是__________． 13．已知，则____________． 14．在中，若，，则的面积等于__________． 15．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点的对应点为．若，则的度数为__________ 16．如图，在中，点，，分别是，，的中点，（阴影部分）的面积是2，则的面积为__________ 17．如图，在的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，在格纸中能画出与成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括本身），这样的三角形共有__________个 18．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为，点的坐标是__________ 19．已知等腰三角形，，，为直线上一点，，则的度数为__________ 20．如图，在中，，，以为边向上作等边三角形，连接，且若，作平分线交于点，以下说法：①；②；③则四边形的面积为16；④在上取点，在上取一点，连接、，则的最小值为4．正确的有___________．（填序号） 三、解答题：（21题、22题每题7分，23、24题每题8分，25-27题每题10分，共60分） 21．先化简．再求值．，其中，． 22．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，请按下列要求画图并填空： （1）在轴上找出点，点在小正方形的格点上，且使的面积为6，请直接写出点的坐标为__________； （2）利用无刻度直尺作图，在上找一点，连接，使为的中线，并保留作图痕迹； （3）利用无刻度直尺作图，画的高线，并保留作图痕迹． 23．已知的三边长分别为，，，且三边长均为整数． （1）若，，满足，则是___________三角形； （2）若，，且的周长为偶数，则___________； （3）化简：． 24．如图，四边形中，点在边上，连接、相交于点，，，且． （1）求证：； （2）如图2，当，时，延长、相交于点，请直接写出图中除、以外的等腰三角形 25．“以形释数”是利用数形结合的思想解决代数问题的一种方法，做整式的乘法运算时，经常利用几何直观和面积法获取结论．例如，对于同一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．如图1，可得等式：． （1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，可以得到等式：__________； （2）利用（1）中所得结论，解决问题：已知，，求的值； （3）如图3，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接和．若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 26．如图，已知为等边三角形，为射线上一点，为射线上一点，满足． （1）如图（1），当点在线段延长线上，点在线段上时，求证：； （2）如图（2），当点在线段上，点在线段延长线上时，求证：； （3）如图（3），在（1）的条件下，交与点，连接，并延长至点，使，连接，交延长线于点，若、，求的长度． 27．如图，在平面直角坐标系中，，点在轴正半轴，连接，三角形面积为48． （1）求点的坐标； （2）为线段上一点，，过点作轴平行线交于点，用含的式子表示的长； （3）在（2）问条件下，为中点，为轴上一点，连接，把线段逆时针旋转（旋转角度为）得到线段，当点刚好落在线段上时，求点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $数学试题参考答案 一、选择题（每小题3分） 1 2 4 5 6 1 8 9 10 A B C D A A B C D 二、 填空题（每小题3分） 11 12 13 14 15 6a'b 3 -6 16 20 16 17 18 19 20 3 (5,0) 30°或120° ①②③④ 21.解：原式=3x2y-x3+x3-2x2y+1 =x2y+1 当x=3,y=7时. 原式=32×7+1 =64 2.(本题8分)(1)(，0)： (2)(3)如图所示：画法不唯一，合理即可. X 23.解：(1)△ABC是等边三角形. (2)C=7 (3)因为a,b,c是三角形三边， 所以a<b+c,b<a+c,a+b>c. 所以a-b-c<0,b-c-a<0,a+b-c>0 Bivla-b-d--(a-b-c)=-a+b+c.b-c-q=-(b-c-a)=-b+c+a.a+b-d-a+b-c 原式=(-a+b+c)-(-b+c+a)+(a+h-c) =-a+b+c+b-c-a+a+b-c =-a+3b-c. 24.解(1)证明： .∠BAE=∠CAD .∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE. ∴.∠CAB=∠DAE. 在△DAE和△CAB中， AD=AC ∠DAE=∠CAB AE=AB ∴.△DAE≌△CAB(SAS) ∴.∠ADE=∠ACB」 又∴：∠AFD=∠CFE, .∠CAD=∠DEC. 又'∠BAE=∠CAD ∴.∠DEC=∠BAE, (2)△ADG、△AEF、△DCF、△DCE D 45 30 D 25.解：1)(a+b}2=a2+2ab+b (2)a+b=11」 (a+b}=1,即d+2ab+h=121, a2+b2=85. .85+2ab=121, 解得ab=18: (3)a+b=10,ab=20. ∴.S阴影部分=SABDE+S△BF a-+8 =a-ab+8)） =[a+b-3ab] =2×00-3x20) =20 26. (1)证明：△ABC为等边三角形 ∴.∠ABC=∠ACB=60° .BP=PM .'∠PBC=∠PMB 又'∠PBC=∠PBA+∠ABC ∠PMB=∠CPM+∠ACB ∴.∠PBA=∠CPM P 60 60+a 60 公 (2)证明：过P点作PS‖BC交于AB点S ∴.∠ASP=∠ABC=60° ∠APS=∠ACB=60° ∴.∠ABC=∠ACB=∠BAC :△APS为等边三角形 ∴.AS=PS=AP .BS=CP .∠ASP=∠ACB=60 M址‘q=Dg‘元=WD=ldM4‘WdDV云daI又Mg‘WD7=Fad74图·￡ ∴W=dNM4‘wOD7云d0NVM‘00=0N4留？ N0=01M4‘N0aVd0IVM4‘.09=Wa07=L7日 ‘L0=9+D元=0aM‘qZ+pz=ayM4‘y0z=ar4留‘q+Dz=OLM4‘YWdV4樱t ez W eZ 8 qz W eZ 8 W 8 097 09 09 ec q+ez q+et e 09 09 09 eZ u 0 u+W 6 dO+dW乙= WO+do+dV= WO+OV=Wg. WO+Oa=Wa∴. WO=dV. Wo=Sd.' (VSv)NOVsday← 0I=WOd7=asd7. PN=2a=4V2 27.(1)证明：A(8,0) ∴.OA=8 :SMABC=亏OA.OB .48=二×8×OB ∴.OB=12 ∴.B(0,12) B A X (2)证明：，OP=m ∴.AP=8-m SAARC=S△APc+S梯形CPOB xxO-xAPxCP+x(CP+0)xOP 2 3 ∴.CP=12 -m y B Q m 8-m 0 A X (3)1.作∠BDT=∠EDP,所以∠DBA=∠DTB, 所以DB=DT,所以△DEB≌△DPT,所以PT=BE. 2.翻PT=PK,导角PK=PT=CK=KA 3.作KN⊥PA,EM⊥BD,△BEM≌△KAN. 所以PN=AW=2,作KS⊥CP,△KPN≌△PKS. 所以KN=PS=3=BM,所以E(2,9) y B a 1 M E 2 180-2a 0 T90-a 4 P 2 N2 A x (答案不唯一，合理即可)